内蒙古包头市2019年中考数学总复习 第六单元 圆课件+练习（打包6套）.zip

1课时训练(二十七) 圆的有关概念与性质|夯实基础|1.☉ O 的半径为 5 cm,点 A 到圆心 O 的距离 OA=3 cm,则点 A 与☉ O 的位置关系为 ( )A.点 A 在☉ O 上 B.点 A 在☉ O 内C.点 A 在☉ O 外 D.无法确定2.[2016·黄石] 如图 27-9 所示,☉ O 的半径为 13,弦 AB 的长度是 24,ON⊥ AB,垂足为 N,则 ON 的长为 ( )图 27-9A.5 B.7 C.9 D.113.如图 27-10,已知半径 OD 与弦 AB 互相垂直,垂足为 C.若 AB=8 cm,CD=3 cm,则☉ O 的半径为( )图 27-10A. cm B.5 cm C.4 cm D. cm256 1964.如图 27-11,已知☉ O 的直径 AB⊥ CD 于点 E,连接 OC,OD,则下列结论不一定正确的是 ( )图 27-112A.CE=DEB.AE=OEC. =⏜BC⏜BDD.△ OCE≌△ ODE5.[2018·聊城] 如图 27-12,在☉ O 中,弦 BC 与半径 OA 相交于点 D,连接 AB,OC.若∠ A=60°,∠ ADC=85°,则∠ C 的度数是 ( )图 27-12A.25° B.27.5° C.30° D.35°6.[2018·南充] 如图 27-13,BC 是☉ O 的直径, A 是☉ O 上的一点,∠ OAC=32°,则∠ B 的度数是 ( )图 27-13A.58° B.60° C.64° D.68°7.[2018·济宁] 如图 27-14,点 B,C,D 在☉ O 上,若∠ BCD=130°,则∠ BOD 的度数是 ( )图 27-14A.50° B.60° C.80° D.100°38.[2018·青岛] 如图 27-15,点 A,B,C,D 在☉ O 上,∠ AOC=140°,B 是 的中点,则∠ D 的度数是 ( )⏜AC图 27-15A.70° B.55° C.35.5° D.35°9.[2018·包头样题二] 如图 27-16,在☉ O 中, AC∥ OB,∠ BAC=25°,则∠ ADB 的度数为 ( )图 27-16A.55° B.60° C.65° D.70°10.[2018·衢州] 如图 27-17,AC 是☉ O 的直径,弦 BD⊥ AO 于点 E,连接 BC,过点 O 作 OF⊥ BC 于点 F.若 BD=8 cm,AE=2 cm,则 OF 的长度是 ( )图 27-17A.3 cm B. cm C.2.5 cm D. cm6 511.[2017·广州] 如图 27-18,在☉ O 中, AB 是直径, CD 是弦, AB⊥ CD,垂足为 E,连接 CO,AD,∠ BAD=20°,则下列说法中正确的是 ( )4图 27-18A.AD=2OB B.CE=EO C.∠ OCE=40° D.∠ BOC=2∠ BAD12.如图 27-19,△ ABC 内接于☉ O,AB 是☉ O 的直径,∠ B=30°,CE 平分∠ ACB 交☉ O 于点 E,交 AB 于点 D,连接 AE,则S△ ADE∶ S△ CDB的值等于 ( )图 27-19A.1∶ B.1∶ C.1∶ 2 D.2∶ 32 313.[2018·无锡] 如图 27-20,点 A,B,C 都在☉ O 上, OC⊥ OB,点 A 在劣弧 BC 上,且 OA=AB,则∠ ABC= °. 图 27-2014.[2018·杭州] 如图 27-21,AB 是☉ O 的直径, C 是半径 OA 的中点,过点 C 作 DE⊥ AB,交☉ O 于点 D,E,过点 D 作直径 DF,连接 AF,则∠ DFA= °. 5图 27-2115.[2018·烟台] 如图 27-22,方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度,点 O,A,B,C 在格点(两条网格线的交点叫格点)上,以点 O 为原点建立直角坐标系,则过 A,B,C 三点的圆的圆心坐标为 . 图 27-2216.[2018·包头样题三] 如图 27-23,四边形 ABCD 内接于☉ O,四边形 ABCO 是平行四边形,则∠ ADC= °. 图 27-2317.[2018·青山区二模] 如图 27-24,四边形 ABCD 是菱形,☉ O 经过点 A,C,D,与 BC 相交于点 E,连接 AC,AE.若∠ D=78°,则∠ EAC= °. 图 27-2418.[2018·临沂] 如图 27-25,在△ ABC 中,∠ A=60°,BC=5 cm.能够将△ ABC 完全覆盖的最小圆形片的直径是cm. 图 27-25619.[2017·包头] 如图 27-26,A,B,C 为☉ O 上的三个点,∠ BOC=2∠ AOB,∠ BAC=40°,则∠ ACB= °. 图 27-2620.[2016·青山区三模] 如图 27-27,在平行四边形 ADBO 中,☉ O 经过点 A,D,B,如果☉ O 的半径 OA=4,那么弦 AB= .图 27-2721.[2016·昆区一模] 如图 27-28,在☉ O 中, CD 是直径,弦 AB⊥ CD,垂足为 E,连接 BC.若 AB=2 ,∠ BCD=30°,则2☉ O 的半径为 . 图 27-2822.如图 27-29,AB,CD 是☉ O 中互相垂直且相等的两条弦,垂足为 E.若 AE=3,BE=1,则☉ O 的半径为 . 图 27-2923.[2017·包头样题一] 如图 27-30,已知 A,B,C,D 是☉ O 上的四个点, AB=AD,BC 为☉ O 的直径, AC 交 BD 于点 E.若7BC=6,AE·AC=4,则 AC 的长为 . 图 27-3024.[2017·东河区二模] 如图 27-31,MN 是☉ O 的直径, MN=4,∠ AMN=40°,B 为 的中点, P 是直径 MN 上的一个动点,则⏜ANPA+PB 的最小值为 . 图 27-3125.[2018·安徽] 如图 27-32,☉ O 为锐角三角形 ABC 的外接圆,半径为 5.(1)用尺规作出∠ BAC 的平分线,并标出它与劣弧 BC 的交点 E(保留作图痕迹,不写作法);8(2)若(1)中的点 E 到弦 BC 的距离为 3,求弦 CE 的长 .图 27-3226.[2018·无锡] 如图 27-33,四边形 ABCD 内接于☉ O,AB=17,CD=10,∠ A=90°,cosB= ,求 AD 的长 .35图 27-3327.[2017·青山区二模] 已知:如图 27-34,△ ABC 内接于☉ O,AB 为直径,∠ CBA 的平分线交 AC 于点 F,交☉ O 于点D,DE⊥ AB 于点 E,且交 AC 于点 P,连接 AD.(1)求证:∠ DAC=∠ DBA;(2)求证: P 是线段 AF 的中点;(3)连接 CD,若 CD=3,BD=4,求☉ O 的半径和 DF 的长 .9图 27-34|拓展提升|28.[2017·包头样题一] 如图 27-35,AB 为☉ O 的直径, AC 交☉ O 于点 E,BC 交☉ O 于点 D,CD=BD,∠ C=67.5°.下列结论:①∠ A=45°;② AC=AB;③ = ;④ CE·AB=2BD2,其中正确的结论是 ( )⏜AE⏜BE图 27-35A.①② B.①②③C.①②④ D.①②③④29.[2017·岳阳] 如图 27-36,☉ O 为等腰三角形 ABC 的外接圆,直径 AB=12,P 为 上任意一点(不与点 B,C 重合),⏜BC直线 CP 交 AB 的延长线于点 Q,☉ O 在点 P 处的切线 PD 交 BQ 于点 D,下列结论正确的是 .(写出所有正确结论的序号) 10图 27-36①若∠ PAB=30°,则 的长为 π;②若 PD∥ BC,则 AP 平分∠ CAB;③若 PB=BD,则 PD=6 ;④无论点 P 在 上的位置⏜BP 3 ⏜BC如何变化, CP·CQ 为定值 .11参考答案1.B 2.A 3.A4.B [解析] ∵ AB⊥ CD,∴ CE=DE, = .⏜BC⏜BD∵ CO=DO,∠ OEC=∠ OED,OE=OE,∴Rt△ OCE≌Rt△ ODE.不能确定 AE 和 OE 的关系 .故选 B.5.D [解析] ∵∠ A=60°,∠ ADC=85°,∴∠ B=∠ ADC-∠ A=85°-60°=25°,∴∠ O=2∠ B=2×25°=50°,∴∠ C=∠ ADC-∠ O=85°-50°=35°.6.A [解析] ∵ BC 是☉ O 的直径,∴∠ CAB=90°.∵ OA=OC,∠ OAC=32°,∴∠ C=∠ OAC=32°,∴∠ B=90°-32°=58°,故选 A.7.D [解析] 先找出圆周角∠ BCD 所对的优弧度数为 260°,再结合图形确定劣弧 BD 的度数为 100°,从而根据圆心角∠ BOD 与劣弧 BD 的度数之间的相等关系,得出∠ BOD 的度数是 100°,因此,本题应该选 D.8.D 9.C 10.D11.D [解析] 如图,连接 OD.∵ AD 是弦,且不是☉ O 的直径, OB 是☉ O 的半径,∴ AD≠2 OB,故 A 选项不正确;∵ AB⊥ CD,∴= ,∴∠ BOC=∠ BOD=2∠ BAD=40°,故 D 选项正确;∵∠ OCE=180°-90°-40°=50°,∴∠ BOC≠∠ OCE,∴ CE≠ EO,故 B,C⏜BC⏜BD选项不正确 .12.D1213.15 [解析] ∵ OC⊥ OB,OB=OC,∴∠ CBO=45°.∵ OB=OA=AB,∴∠ ABO=60°,∴∠ ABC=∠ ABO-∠ CBO=60°-45°=15°.14.30 [解析] ∵ AB⊥ DE,且 C 为 OA 的中点,∴ OC=AC= OA= OD,∴∠ DOC=60°.又∵ OA=OF,∴∠ OAF=∠ DFA=30°.12 1215.(-1,-2) 16.60 17.27 18.103319.20 [解析] ∵∠ BAC=40°,∴由圆周角定理可知∠ BOC=2∠ BAC=80°.又∵∠ BOC=2∠ AOB,∴∠ AOB=40°.再次利用圆周角定理得到∠ AOB=2∠ ACB=40°,∴∠ ACB=20°.20.4 21. 22.3263 523.4 24.22 325.解:(1)如图①所示 .(2)如图,连接 OE,OC,CE.设 OE 与 BC 交于点 D,由(1)知 AE 为∠ BAC 的平分线,∴∠ BAE=∠ CAE,∴ = .⏜BE⏜EC13根据垂径定理的推论知 OE⊥ BC,则 DE=3.∵ OE=OC=5,∴ OD=OE-DE=2.在 Rt△ ODC 中, DC= = = .OC2-OD2 52-22 21在 Rt△ DEC 中,CE= = = ,DE2+DC2 32+( 21)2 30∴弦 CE 的长为 .3026.解:如图所示,延长 AD,BC 交于点 E.∵四边形 ABCD 内接于☉ O,∠ A=90°,∴∠ EDC=∠ B,∠ ECD=∠ A=90°,∴△ ECD∽△ EAB,∴ = .CDABECEA∵cos∠ EDC=cosB= ,35∴ = .CDED35∵ CD=10,∴ = ,∴ ED= ,10ED35 503∴ EC= = = ,ED2-CD2 (503) 2-102403∴ = ,1017403503+AD∴ AD=6.1427.解:(1)证明:∵ BD 平分∠ CBA,∴∠ CBD=∠ DBA.∵∠ DAC 与∠ CBD 都是 所对的圆周角,⏜CD∴∠ DAC=∠ CBD,∴∠ DAC=∠ DBA.(2)证明:如图,∵ AB 为☉ O 的直径,∴∠ ADB=90°.∵ DE⊥ AB 于点 E,∴∠ DEB=90°,∴∠1 +∠3 =∠5 +∠3 =90°,∴∠1 =∠5 =∠2,∴ PD=PA.∵∠4 +∠2 =∠1 +∠3 =90°,且∠1 =∠2,∴∠3 =∠4,∴ PD=PF,∴ PA=PF,即 P 是线段 AF 的中点 .(3)∵∠ CBD=∠ DBA,∴ CD=AD.∵ CD=3,∴ AD=3.∵∠ ADB=90°,BD=4,∴ AB=5,故☉ O 的半径为 2.5.∵∠ FAB=∠ FDC,∠ ABF=∠ ACD,∴△ DCF∽△ ABF,∴ = ,DCABDFAF15即 = ,35 DF32+DF2∴ DF= .9428.D29.②③④ [解析] ①∵∠ PAB=30°,∴ 所对的圆心角为 60°, 的长为 =2π,故①错误;⏜BP ⏜BP 60×π ×6180②连接 OP.∵ PD 是☉ O 的切线,∴ OP⊥ PD.∵ PD∥ BC,∴ OP⊥ BC,∴ = ,∴∠ PAC=∠ PAB,故②正确;⏜CP⏜PB③若 PB=BD,则∠ BPD=∠ BDP.∵ OP⊥ PD,∴∠ BPD+∠ BPO=∠ BDP+∠ BOP,∴∠ BOP=∠ BPO,∴ BP=BO=PO=6,即△ BOP 是等边三角形,∴ PD= OP=6 ,故③正确;3 3④∵ AC=BC,∴∠ BAC=∠ ABC=∠ APC.又∵∠ ACP=∠ QCA,∴△ ACP∽△ QCA,∴ = ,即 CP·CQ=CA2(定值),故④正确 .CPCACACQ1课时训练(二十八) 直线与圆的位置关系|夯实基础|1.如图 28-10,∠ O=30°,C为 OB上一点,且 OC=6,以点 C为圆心,3 为半径的圆与直线 OA的位置关系是 ( )图 28-10A.相离B.相交C.相切D.以上三种情况均有可能2.在 Rt△ ABC中,∠ C=90°,BC=3 cm,AC=4 cm,以点 C为圆心,2 .5 cm为半径画圆,则☉ C与直线 AB的位置关系是( )A.相交 B.相切C.相离 D.不能确定3.如图 28-11,AB是☉ O的直径,直线 PA与☉ O相切于点 A,PO交☉ O于点 C,连接 BC,若∠ P=40°,则∠ ABC的度数为( )图 28-11A.20° B.25° C.40° D.50°4.如图 28-12,PA,PB分别与☉ O相切于 A,B两点,若∠ C=65°,则∠ P的度数为 ( )2图 28-12A.65° B.130° C.50° D.100°5.[2016·昆区三模] 如图 28-13,已知 AB为☉ O的直径, AD切☉ O于点 A, = ,则下列结论不一定正确的是( )⏜BC⏜CE图 28-13A.BA⊥ DA B.OC∥ AEC.∠ COE=2∠ CAE D.OD⊥ AC6.如图 28-14,在△ ABC中,已知∠ C=90°,BC=3,AC=4,则它的内切圆半径是 ( )图 28-14A. B.1 C.2 D.32 237.[2018·烟台] 如图 28-15,四边形 ABCD内接于☉ O,点 I是△ ABC的内心,∠ AIC=124°,点 E在 AD的延长线上,则∠ CDE的度数是 ( )3图 28-15A.56° B.62° C.68° D.78°8.如图 28-16,AB是☉ O的直径, C,D是☉ O上的点, ∠ CDB=30°,过点 C作☉ O的切线交 AB的延长线于点 E, 则sinE的值为 ( )图 28-16A. B.12 32C. D.22 339.[2015·包头样题三] 如图 28-17,PA,PB分别切☉ O于 A,B两点, CD切☉ O于点 E,交 PA,PB于点 C,D,连接 PO,若☉ O的半径为 r,△ PCD的周长等于 3r,则 tan∠ APO的值为 ( )图 28-17A. B.32 23C. D.21313 3131310.在 Rt△ ABC中,∠ C=90°,AC=3,BC=4,以点 C为圆心, R为半径作☉ C.当 R 时,☉ C与直线 AB相交;当 R 时,☉ C与直线 AB相切;当 R 时,☉ C与直线 AB相离 . 11.[2018·长沙] 如图 28-18,点 A,B,D在☉ O上,∠ A=20°,BC是☉ O的切线, B为切点, OD的延长线交 BC于点 C,则∠ OCB= °. 4图 28-1812.[2018·连云港] 如图 28-19,AB是☉ O的弦,点 C在过点 B的切线上,且 OC⊥ OA,已知∠ OAB=22°,则∠ OCB= °. 图 28-1913.[2018·安徽] 如图 28-20,菱形 ABOC的边 AB,AC分别与☉ O相切于点 D,E,若点 D是 AB的中点,则∠ DOE= °. 图 28-2014.[2017·连云港] 如图 28-21,线段 AB与☉ O相切于点 B,线段 AO与☉ O相交于点 C,AB=12,AC=8,则☉ O的半径长为 . 图 28-2115.[2016·包头] 如图 28-22,已知 AB是☉ O的直径,点 C在☉ O上,过点 C的切线与 AB的延长线交于点 P,连接 AC,若∠ A=30°,PC=3,则 BP的长为 . 5图 28-2216.如图 28-23所示, PA,PB为☉ O的两条切线, A,B为切点,∠ P=80°,则圆周角∠ ACB= 度 . 图 28-2317.如图 28-24,PA,PB,CD分别为☉ O的切线,切点分别为 A,B,E,其中 CD⊥ PB于点 D,交 PA于点 C.若 CD=3,PD=4,则☉ O的半径为 . 图 28-2418.[2018·金华、丽水] 如图 28-25,在 Rt△ ABC中,点 O在斜边 AB上,以 O为圆心, OB的长为半径作圆,分别与BC,AB相交于点 D,E,连接 AD.已知∠ CAD=∠ B.(1)求证: AD是☉ O的切线;(2)若 BC=8,tanB= ,求☉ O的半径 .12图 28-25619.[2018·南充] 如图 28-26,C是☉ O上一点,点 P在直径 AB的延长线上,☉ O的半径为 3,PB=2,PC=4.(1)求证: PC是☉ O的切线;(2)求 tan∠ CAB的值 .图 28-26720.[2018·成都] 如图 28-27,在 Rt△ ABC中,∠ C=90°,AD平分∠ BAC交 BC于点 D,O为 AB上一点,经过点 A,D的☉ O分别交 AB,AC于点 E,F,连接 OF交 AD于点 G.(1)求证: BC是☉ O的切线;(2)设 AB=x,AF=y,试用含 x,y的代数式表示线段 AD的长;(3)若 BE=8,sinB= ,求 DG的长 .513图 28-2721.[2013·包头] 如图 28-28,已知在△ ABP中, C是 BP边上一点,∠ PAC=∠ PBA,☉ O是△ ABC的外接圆, AD是☉ O的直径,且与 BP交于点 E.(1)求证: PA是☉ O的切线;(2)过点 C作 CF⊥ AD,垂足为 F,延长 CF交 AB于点 G,若 AG·AB=12,求 AC的长;(3)在满足(2)的条件下,若 AF∶FD= 1∶ 2,GF=1.求☉ O的半径及 sin∠ ACE的值 .8图 28-2822.[2015·包头] 如图 28-29,AB是☉ O的直径, D是 上的一点,且∠ BDE=∠ CBE,BD与 AE相交于点 F.⏜AE(1)求证: BC是☉ O的切线;(2)若 BD平分∠ ABE,求证: DE2=DF·DB;(3)在(2)的条件下,延长 ED,BA交于点 P,若 PA=AO,DE=2,求 PD的长和☉ O的半径 .9图 28-29|拓展提升|23.如图 28-30,在正方形 ABCD中, E为 AD的中点, AF⊥ BE交 BE于点 G,交 CD于点 F,连接 CG并延长交 AD于点 H.下列结论:① CG=CB;② = ;③ = ;④以 AB为直径的圆与 CH相切于点 G.其中正确的是 .(填写所有正确结论的HEBC14 EGGF1310序号) 图 28-3011参考答案1.C 2.A 3.B4.C 5.D 6.B7.C [解析] ∵点 I是△ ABC的内心,∴ AI,CI是△ ABC的角平分线,∴∠ AIC=90°+ ∠ B=124°,∴∠ B=68°.∵四边形12ABCD是☉ O的内接四边形,∴∠ CDE=∠ B=68°.故选 C.8.A9.B10. = 125 125 12511.50 [解析] ∠ A=20°,由圆周角定理,得∠ O=2∠ A=40°,因为 BC与☉ O相切,所以 OB⊥ BC,∠ OBC=90°,所以 Rt△OBC中,∠ OCB=90°-∠ O=50°.12.44 [解析] 如图,连接 OB.∵ OA=OB,∴∠ OBA=∠ OAB=22°,∴∠ AOB=136°.∵ OC⊥ OA,∴∠ AOC=90°,∴∠ COB=46°.∵ CB是☉ O的切线,∴∠ OBC=90°,∴∠ OCB=90°-46°=44°.13.60 [解析] 如图,连接 OA,12∵四边形 ABOC是菱形,∴ BA=BO.∵ AB与☉ O相切于点 D,∴ OD⊥ AB.∵ D是 AB的中点,∴ OD是 AB的垂直平分线,∴ OA=OB,∴△ AOB是等边三角形,∴∠ AOD= ∠ AOB=30°.12同理∠ AOE=30°,∴∠ DOE=∠ AOD+∠ AOE=60°,故答案为 60.14.5 [解析] 连接 OB,根据切线的性质可知 OB⊥ AB,设☉ O的半径为 r,然后根据勾股定理可得 r2+122=(r+8)2,解得r=5.15. 16.130317.218.解:(1)证明:如图,连接 OD.13∵ OB=OD,∴∠3 =∠ B.∵∠ B=∠1,∴∠3 =∠1 .在 Rt△ ACD中,∠1 +∠2 =90°,∴∠3 +∠2 =90°,∴∠4 =180°-(∠2 +∠3) =180°-90°=90°,∴ OD⊥ AD.∵ OD是☉ O的半径,∴ AD是☉ O的切线 .(2)设☉ O的半径为 r.在 Rt△ ABC中, AC=BC·tanB=8× =4,12∴ AB= = =4 ,AC2+BC2 42+82 5∴ OA=4 -r.5在 Rt△ ACD中,tan∠1 =tanB= ,12∴ CD=AC·tan∠1 =4× =2,12∴ AD2=AC2+CD2=42+22=20.在 Rt△ ADO中, OA2=OD2+AD2,∴(4 -r)2=r2+20,5解得 r= .32 5故☉ O的半径是 .32 519.解:(1)证明:如图,连接 OC.∵☉ O的半径为 3,∴ OC=OB=3.14又∵ PB=2,∴ OP=5.在△ OCP中, OC2+PC2=32+42=52=OP2,∴△ OCP为直角三角形,∠ OCP=90°,∴ OC⊥ PC.∵ OC是☉ O的半径,∴ PC是☉ O的切线 .(2)如图,过点 C作 CD⊥ OP于点 D,则∠ ODC=∠ OCP=90°.∵∠ COD=∠ POC,∴△ OCD∽△ OPC,∴ = = ,ODOCOCOPCDPC∴ OD= = , = ,OC2OP95CD435∴ CD= ,∴ AD=OA+OD= ,125 245∴在 Rt△ CAD中,tan∠ CAB= = .CDAD1220.[解析] (1)连接 OD,根据同圆半径相等及角平分线条件得到∠ DAC=∠ ODA,得 OD∥ AC,切线得证;(2)连接 EF,DF,根据直径所对的圆周角为直角,证明∠ AFE=90°,可得 EF∥ BC,因此∠ B=∠ AEF,再利用同弧所对的圆周角相等可得∠ B=∠ ADF,从而证明△ ABD∽△ ADF,可得 AD与 AB,AF的关系;(3)根据∠ AEF=∠ B,利用三角函数,分别在 Rt△ DOB和 Rt△ AFE中求出☉ O的半径和 AF,代入(2)的结论中,求出 AD,再利用两角对应相等,证明△ OGD∽△ FGA,再利用对应边成比例,求出DG∶AG 的值,即可求得 DG的长 .解:(1)证明:如图,连接 OD.15∵ OA=OD,∴∠ OAD=∠ ODA.∵ AD平分∠ BAC,∴∠ OAD=∠ DAC,∴∠ DAC=∠ ODA,∴ OD∥ AC,∴∠ ODB=∠ C=90°,∴ OD⊥ BC.∵ OD为☉ O的半径,∴ BC是☉ O的切线 .(2)如图,连接 EF,DF.∵ AE为☉ O的直径,∴∠ AFE=90°,∴∠ AFE=∠ C=90°,∴ EF∥ BC,∴∠ B=∠ AEF.∵∠ ADF=∠ AEF,∴∠ B=∠ ADF.又∵∠ OAD=∠ DAC,∴△ ABD∽△ ADF,∴ = ,∴ AD2=AB·AF,∴ AD= .ABADADAF xy(3)设☉ O的半径为 r,在 Rt△ DOB中,sin B= = ,ODOB513∴ = ,解得 r=5,∴ AE=10.rr+8513在 Rt△ AFE中,sin∠ AEF=sinB= ,AFAE∴ AF=10× = ,5135013∴ AD= = .18×501330131316∵∠ ODA=∠ DAC,∠ DGO=∠ AGF,∴△ OGD∽△ FGA,∴ = = ,DGAGODAF1310∴ = ,∴ DG= .DGAD-DG1310 30231321.解:(1)证明:如图,连接 CD.∵ AD是☉ O的直径,∴∠ ACD=90°,∴∠ CAD+∠ ADC=90°.∵∠ PAC=∠ PBA,∠ ADC=∠ PBA,∴∠ PAC=∠ ADC,∴∠ CAD+∠ PAC=90°,∴ PA⊥ OA.∵ OA是☉ O的半径,∴ PA是☉ O的切线 .(2)由(1)知 PA⊥ AD.又∵ CF⊥ AD,∴ CF∥ PA,∴∠ GCA=∠ PAC.又∵∠ PAC=∠ PBA,∴∠ GCA=∠ PBA,而∠ CAG=∠ BAC,∴△ CAG∽△ BAC,∴ AC2=AG·AB.∵ AG·AB=12,∴ AC2=12,∴ AC=2 .3(3)设 AF=x,∵ AF∶FD= 1∶ 2,∴ FD=2x,∴ AD=AF+FD=3x.17在 Rt△ ACD中,∵ CF⊥ AD,∴ AC2=AF·AD,即 12=3x2,∴ x=2(负值已舍去),∴ AF=2,AD=6,∴☉ O的半径为 3.在 Rt△ AFG中,∵ AF=2,GF=1,∴根据勾股定理,得AG= = = .AF2+GF2 22+12 5由(2)知, AG·AB=12,∴ AB= = .12AG125 5如图,连接 BD.∵ AD是☉ O的直径,∴∠ ABD=90°.在 Rt△ ABD中,∵sin∠ ADB= ,AD=6,AB= ,ABAD 125 5∴sin∠ ADB= .25 5∵∠ ACE=∠ ACB=∠ ADB,∴sin∠ ACE= .25 522.解:(1)证明:∵ AB是☉ O的直径,∴∠ AEB=90°,∴∠ EAB+∠ EBA=90°.∵∠ BDE=∠ EAB,∠ BDE=∠ CBE,∴∠ EAB=∠ CBE,∴∠ ABE+∠ CBE=90°,∴ CB⊥ AB.∵ AB是☉ O的直径,∴ BC是☉ O的切线 .(2)证明:∵ BD平分∠ ABE,18∴∠ ABD=∠ DBE,∴ = ,⏜AD⏜DE∴∠ DEA=∠ DBE.又∵∠ EDF=∠ BDE,∴△ DEF∽△ DBE,∴ = ,DEDBDFDE∴ DE2=DF·DB.(3)如图,连接 AD,OD.∵ OD=OB,∴∠ ODB=∠ OBD.又∵∠ EBD=∠ OBD,∴∠ EBD=∠ ODB,∴ OD∥ BE,∴ = .PDPEPOPB∵ PA=AO,∴ PA=AO=OB,∴ = ,POPB23∴ = ,∴ = .PDPE23 PDPD+DE23∵ DE=2,∴ PD=4.∵∠ PDA+∠ ADE=180°,∠ ABE+∠ ADE=180°,∴∠ PDA=∠ ABE.∵ OD∥ BE,∴∠ AOD=∠ ABE,∴∠ PDA=∠ AOD.∵∠ P=∠ P,∴△ PDA∽△ POD,∴ = .PDPOPAPD设 OA=x,∴ PA=x,PO=2x,19∴ = ,∴2 x2=16,x=2 (负值已舍去),42xx4 2∴ OA=2 .即 PD的长为 4,☉ O的半径为 2 .2 223.①②③④1课时训练(二十九) 与圆有关的计算|夯实基础|1.半径为 6 的圆的内接正六边形的边长是 ( )A.2 B.4 C.6 D.82.[2018·淄博] 如图 29-8,☉ O 的直径 AB=6,若∠ BAC=50°,则劣弧 AC 的长为 ( )图 29-8A.2π B.8π3C. D.3π4 4π33.[2016·包头] 120°的圆心角所对的弧长是 6π,则此弧所在圆的半径是 ( )A.3 B.4 C.9 D.184.[2017·包头样题二] 在半径为 10 的圆中,一条弧的长度为 5π,则此弧所对的圆心角是 ( )A.45° B.90° C.135° D.180°5.[2017·攀枝花] 如图 29-9,△ ABC 内接于☉ O,∠ A=60°,BC=6 ,则 的长为 ( )3⏜BC图 29-9A.2π B.4π C.8π D.12π6.[2015·青山区一模] 如图 29-10,在三角板 ABC 中,∠ ACB=90°,∠ B=30°,AC=2 ,三角板 ABC 绕直角顶点 C 逆32时针旋转,当点 A 的对应点 A'落在 AB 边上时即停止转动,则点 B 转过的路径长为 ( )图 29-10A. π B. π C.2π D.3π32 43 37.[2018·包头样题一] 如图 29-11,半径为 3 的☉ O 中有弦 AB,以 AB 为折痕对折,劣弧恰好经过圆心 O,则 的长⏜AOB为( )图 29-11A.π B.2πC.3π D.4π8.已知扇形的半径为 2,圆心角为 120°,则此扇形的面积为 ( )A. B. C.π D.π 3 2π3 4π39.若扇形的面积为 3π,圆心角为 60°,则该扇形的半径为 ( )A.3 B.9 C.2 D.33 210.已知扇形的弧长为 2π,半径为 4,则此扇形的面积为 ( )A.4π B.8π C.6π D.5π11.[2018·成都] 如图 29-12,在▱ ABCD 中,∠ B=60°,☉ C 的半径为 3,则图中阴影部分的面积是 ( )3图 29-12A.π B.2π C.3π D.6π12.[2017·昆区一模] 如图 29-13,AB 为☉ O 的切线,切点为 B,连接 AO,与☉ O 交于点 C,BD 为☉ O 的直径,连接 CD.若∠ A=30°,☉ O 的半径为 2,则图中阴影部分的面积为 ( )图 29-13A. - B. -34π3 3 4π3 3C.π - D. -32π3 313.[2017·天水] 如图 29-14 所示, AB 是☉ O 的直径,弦 CD⊥ AB,垂足为 E,∠ BCD=30°,CD=4 ,则 S 阴影 等于 ( )3图 29-14A.2π B. π83C. π D. π43 3814.[2014·包头] 如图 29-15,在正方形 ABCD 中,对角线 BD 的长为 ,若将 BD 绕点 B 旋转后,点 D 落在 BC 延长线2上的点 D'处,点 D 经过的路径为 ,则图中阴影部分的面积是 ( )⏜DD'4图 29-15A. -1 B. -π 2 π 212C. - D.π -2π 41215.[2018·广安] 如图 29-16,已知☉ O 的半径是 2,点 A,B,C 在☉ O 上,若四边形 OABC 为菱形,则图中阴影部分的面积为 ( )图 29-16A. π -2 B. π -23 3 23 3C. π -2 D. π -43 3 43 316.[2018·东河区二模] 如图 29-17,将半径为 2,圆心角为 120°的扇形 OAB 绕点 A 逆时针旋转 60°,点 O,B 的对应点分别为 O',B',连接 BB',则图中阴影部分的面积是 ( )图 29-17A. B.2 -2π3 3π 3C.2 - D.4 -32π3 32π317.[2018·包头样题三] 某工件形状如图 29-18 所示,圆弧 BC 的度数为 60°,AB=6 cm,点 B 到点 C 的距离等于5AB,∠ BAC=30°,则工件的面积等于 ( )图 29-18A.4π cm 2 B.6π cm2C.8π cm 2 D.10π cm218.[2015·包头] 已知圆内接正三角形的边心距为 1,则这个三角形的面积为 ( )A.2 B.33 3C.4 D.63 319.[2016·包头样题] 如图 29-19,圆内接正六边形 ABCDEF 的边心距为 2 ,则 的长为 ( )3⏜AB图 29-19A. π B. π C. π D. π43 23 34 3220.[2018·青山区二模] 如图 29-20,正六边形 ABCDEF 内接于☉ O,半径为 4,则这个正六边形的边心距 OM 和 的长⏜BC分别为 ( )图 29-20A.2, B.2 ,ππ 3 36C. , D.2 ,32π3 34π321.[2016·包头样题] 已知正六边形外接圆的周长为 12π,则这个正六边形的面积为 ( )A.72 B.54 C.48 D.363 3 3 322.[2018·连云港] 一个扇形的圆心角是 120°,它的半径是 3 cm,则扇形的弧长为 cm. 23.[2018·温州] 已知扇形的弧长为 2π,圆心角为 60°,则它的半径为 . 24.[2018·东河区二模] 时钟的分针长 6 cm,经过 20 分钟,它的针尖转过的弧长是 cm. 25.[2017·安顺] 如图 29-21,一块含有 30°角的三角板 ABC,在水平桌面上绕点 C 按顺时针方向旋转到△ A'B'C'的位置,若 BC=12 cm,则顶点 A 从开始到结束所经过的路径长为 cm. 图 29-2126.[2018·重庆 B 卷] 如图 29-22,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,以点 B 为圆心,以 AB 为半径画弧,交对角线 BD 于点 E,则图中阴影部分的面积是 (结果保留 π) . 图 29-2227.[2018·青岛] 如图 29-23,在 Rt△ ABC 中,∠ B=90°,∠ C=30°,O 为 AC 上一点, OA=2,以 O 为圆心,以 OA 为半径的圆与 CB 相切于点 E,与 AB 相交于点 F,连接 OE,OF,则图中阴影部分的面积是 . 图 29-2328.[2018·宜宾] 刘徽是中国古代卓越的数学家之一,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,即用内接或外切正7多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积,设圆 O 的半径为 1,若用圆 O 的外切正六边形的面积来近似估计圆 O 的面积, S= .(结果保留根号) 29.[2018·衡阳] 如图 29-24,☉ O 是△ ABC 的外接圆, AB 为直径,∠ BAC 的平分线交☉ O 于点 D,过点 D 作 DE⊥ AC 分别交 AC,AB 的延长线于点 E,F.(1)求证: EF 是☉ O 的切线;(2)若 AC=4,CE=2,求 的长度 .(结果保留 π)⏜BD图 29-24|拓展提升|30.[2017·济宁] 如图 29-25,在 Rt△ ABC 中,∠ ACB=90°,AC=BC=1.将 Rt△ ABC 绕 A 点逆时针旋转 30°后得到Rt△ ADE,点 B 经过的路径为 ,则图中阴影部分的面积是 ( )⏜BD8图 29-25A. B.π 6 π 3C. - D.π 212 1231.[2018·包头样题二] 如图 29-26,四边形 ABCD 是菱形,∠ A=60°,AB=6,扇形 EBF 的半径为 6,圆心角为 60°,则圆中阴影部分的面积是 . 图 29-269参考答案1.C 2.D 3.C 4.B5.B [解析] 如图,连接 OB,OC,∵∠ A=60°,∴∠ BOC=120°.∵ BC=6 ,∴ OB=OC=6,则 = =4π .故选 B.3⏜BC120π ×61806.C 7.B 8.D 9.D 10.A11.C [解析] ∵四边形 ABCD 为平行四边形,∴ AB∥ CD,∴∠ B+∠ C=180°.∵∠ B=60°,∴∠ C=120°,∴阴影部分的面积 = =3π .故选 C.120π×3236012.A13.B [解析] 由 AB 是☉ O 的直径,弦 CD⊥ AB,得 E 为 CD 的中点, DE= CD=2 .又∠ BCD=30°,∴∠ BOD=60°,12 3OD=2 ÷sin60°=4,OE=BE= OB=2,∴△ ODE≌△ BCE,S 阴影 =S 扇形 DOB= = π,故选 B.312 60π×423608314.C15.C [解析] 如图所示 .连接 AC,OB 交于点 D,∵四边形 OABC 是菱形,∴ AC⊥ BD,AO=AB,AC=2AD,BO=2DO.∵ AO=BO,∴ AO=BO=AB,∴△ ABO 是等边三角形,则∠ AOB=60°.同理∠ BOC=60°,∴∠ AOC=120°.10∵ AO=2,DO=1,在 Rt△ ADO 中, AD= .3可知 BO=2,AC=2 ,3∴ S 扇形 AOC= = π, S 菱形 OABC= ×2×2 =2 .120π×2236043 12 3 3则阴影部分的面积 =S 扇形 AOC-S 菱形 OABC= π -2 .43 316.C 17.B 18.B 19.A 20.D 21.B22.2π [解析] 由弧长公式,得 =2π(cm),故答案为 2π .120π×318023.6 [解析] 由扇形的弧长公式 l= ,得 2π = ,所以 r=6.nπ r180 60πr18024.4π25.16π [解析] 本题主要考查旋转的性质及弧长公式,熟练掌握旋转的性质,得出点 A 所经过的路径即为以点 C 为圆心、 CA 长为半径的圆中,120°的圆心角所对的弧是解题的关键 .∵∠ BAC=30°,∠ ABC=90°,且 BC=12 cm,∴∠ ACA'=∠ BAC+∠ ABC=120°,AC=2BC=24 cm,由题意知点 A 所经过的路径长是以点 C 为圆心、 CA 长为半径的圆中 120°的圆心角所对的弧长,∴其路径长为 =16π(cm) .120·π ·2418026.8-2π [解析] ∵正方形 ABCD 的边长为 4,∴∠ BAD=90°,∠ ABD=45°,AB=AD=4,∴ S 阴影 =SRt△ ABD-S 扇形 ABE= ×4×4- =8-2π .12 45π×4236027. -732 4π328.2 [解析] 如图,根据题意可知 OH=1,∠ BOC=60°,311∴△ OBC 为等边三角形,∴ =tan∠ BOH,BHOH∴ BH= ,∴ S=12× ×1× =2 .33 33 12 3故答案为 2 .329.解:(1)证明:如图,连接 OD,交 BC 于点 G.∵ OA=OD,∴∠ OAD=∠ ODA.∵ AD 平分∠ BAC,∴∠ OAD=∠ DAE,∴∠ DAE=∠ ODA,∴ OD∥ AE.∵ DE⊥ AE,∴ OD⊥ EF.∵ OD 是☉ O 的半径,∴ EF 是☉ O 的切线 .(2)∵ AB 为☉ O 的直径,∴∠ ACB=90°=∠ E,∴ BC∥ EF.12又∵ OD∥ AE,∴四边形 CEDG 是平行四边形,∴ DG=CE=2.∵ OD⊥ EF,BC∥ EF,∴ OG⊥ BC,∴ CG=BG.∵ OA=OB,∴ OG= AC=2,12∴ OB=OD=4,∴∠ OBG=30°,∴∠ BOD=60°,∴ 的长 = π ×4= π .⏜BD 60180 4330.A [解析] 阴影部分的面积 =△ ADE 的面积 +扇形 DAB 的面积 -△ ABC 的面积,由旋转可得△ ADE 与△ ABC 全等,由此可得其面积也相等,阴影部分的面积就是扇形 DAB 的面积,根据扇形面积公式“ S= ”计算即可 .nπ r236031.6π -9 3