2019高考数学二轮复习 专题六 算法、复数、推理与证明、概率与统计教案（打包5套）理.zip

1第一讲 算法、复数、推理与证明年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析Ⅰ卷 复数运算及模的计算·T 1复数的除法运算·T 1Ⅱ卷程序框图问题·T 72018Ⅲ卷 复数的乘法运算·T 2循环结构程序框图的判断条件问题·T 8复数的概念与命题真假判断·T 3Ⅰ卷推理问题·T 12循环结构程序框图的结果输出问题·T 8复数的除法运算·T 1Ⅱ卷推理问题·T 7循环结构程序框图的输入值的判断·T 72017Ⅲ卷复数的模的求法·T 2循环结构程序框图的输出功能·T 9Ⅰ卷复数相等的充要条件、复数的模·T 2循环结构程序框图的输出功能(以秦九韶算法为背景)·T 82016Ⅱ卷复数的几何意义·T 11.程序框图是每年高考的必考内容，主要考查循环结构的程序框图的输出功能以及判断框内循环体结束条件的填充，多为选择题或填空题，试题难度不大；2.对复数的考查，难度一般为容易，常在选择题或填空题的前两题的位置呈现．一般考查三个方面：一是复数的概念，如实部、虚部、模、共轭复数等；二是复数的四则运算；三是复数的几何意义．3.推理与证明考查频次较低.2推理问题·T 15循环结构程序框图的输出功能·T 7Ⅲ卷复数的基本运算·T 2复数授课提示：对应学生用书第60页[悟通——方法结论]1．复数 z＝ a＋ bi(a， b∈R)的分类(1)z是实数⇔ b＝0；(2)z是虚数⇔ b≠0；(3)z是纯虚数⇔ a＝0且 b≠0.2．共轭复数复数 a＋ bi(a， b∈R)的共轭复数是 a－ bi(a， b∈R)．3．复数的四则运算法则(1)(a＋ bi)±(c＋ di)＝( a±c)＋( b±d)i；(2)(a＋ bi)(c＋ di)＝( ac－ bd)＋( bc＋ ad)i；(3)(a＋ bi)÷(c＋ di)＝ ＋ i(a， b， c， d∈R)．ac＋ bdc2＋ d2 bc－ adc2＋ d2提醒：记住以下结论，可提高运算速度(1)(1±i)2＝±2i；(2) ＝i；(3) ＝－i；(4) ＝ b－ ai；(5)i 4n＝1，i 4n＋1＋ i1－ i 1－ i1＋ i a＋ bii1＝i，i 4n＋2 ＝－1，i 4n＋3 ＝－i( n∈N)．[全练——快速解答]1．(2018·高考全国卷Ⅰ)设 z＝ ＋2i，则| z|＝( )1－ i1＋ iA．0 B.12C．1 D. 2解析：∵ z＝ ＋2i＝ ＋2i＝ ＋2i＝i，1－ i1＋ i 1－ i21＋ i1－ i － 2i2∴| z|＝1.3故选C.答案：C2．(2017·高考全国卷Ⅲ)设复数 z满足(1＋i) z＝2i，则| z|＝( )A. B.12 22C. D．22解析：法一：由(1＋i) z＝2i得 z＝ ＝1＋i，2i1＋ i∴| z|＝ .2故选C.法二：∵2i＝(1＋i) 2，∴由(1＋i) z＝2i＝(1＋i) 2，得 z＝1＋i，∴| z|＝ .2故选C.答案：C3．(2017·高考全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：p1：若复数 z满足 ∈R，则 z∈R；1zp2：若复数 z满足 z2∈R，则 z∈R；p3：若复数 z1， z2满足 z1z2∈R，则 z1＝ 2；zp4：若复数 z∈R，则 ∈R.z其中的真命题为( )A． p1， p3 B． p1， p4C． p2， p3 D． p2， p4解析：设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)， z1＝ a1＋ b1i(a1， b1∈R)， z2＝ a2＋ b2i(a2， b2∈R)．对于 p1，若 ∈R，即 ＝ ∈R，则 b＝0⇒ z＝ a＋ bi＝ a∈R，所以 p1为真命题．1z 1a＋ bi a－ bia2＋ b2对于 p2，若 z2∈R，即( a＋ bi)2＝ a2＋2 abi－ b2∈R，则 ab＝0.当 a＝0， b≠0时， z＝ a＋ bi＝ bi∉R，所以 p2为假命题．对于 p3，若 z1z2∈R，即( a1＋ b1i)(a2＋ b2i)＝( a1a2－ b1b2)＋( a1b2＋ a2b1)i∈R，则 a1b2＋ a2b1＝0.而 z1＝ 2，即 a1＋ b1i＝ a2－ b2i⇔a1＝ a2， b1＝－ b2.因为 a1b2＋ a2b1＝0⇒ / za1＝ a2， b1＝－ b2，所以 p3为假命题．对于 p4，若 z∈R，即 a＋ bi∈R，则 b＝0⇒ ＝ a－ bi＝ a∈R，所以 p4为真命题．z故选B.答案：B44．(2017·高考天津卷)已知 a∈R，i为虚数单位，若 为实数，则 a的值为________a－ i2＋ i．解析：∵ a∈R， ＝ ＝ ＝ － i为实数，∴－a－ i2＋ i a－ i2－ i2＋ i2－ i 2a－ 1－ a＋ 2i5 2a－ 15 a＋ 25＝0，∴ a＝－2.a＋ 25答案：－2复数的概念及运算问题的解题技巧(1)与复数有关的代数式为纯虚数的问题，可设为 mi(m∈R且 m≠0)，利用复数相等求解．(2)与复数模、共轭复数、复数相等有关的问题，可设 z＝ a＋ bi(a， b∈R)，利用待定系数法求解．算法授课提示：对应学生用书第61页[悟通——方法结论]算法的两种基本逻辑结构(1)循环结构分为当型和直到型两种．(2)当型循环在每次执行循环体前对控制循环的条件进行判断，当条件满足时执行循环体，不满足时则停止．(3)直到型循环在执行了一次循环体后，对控制循环的条件进行判断，当条件不满足时执行循环体，满足则停止．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)执行如图所示的程序框图，如果输入的 a＝－1，则输出的 S＝( )5A．2 B．3C．4 D．5解析：当 K＝1时， S＝0＋(－1)×1＝－1， a＝1，执行 K＝ K＋1后， K＝2；当 K＝2时， S＝－1＋1×2＝1， a＝－1，执行 K＝ K＋1后， K＝3；当 K＝3时， S＝1＋(－1)×3＝－2， a＝1，执行 K＝ K＋1后， K＝4；当 K＝4时， S＝－2＋1×4＝2， a＝－1，执行 K＝ K＋1后， K＝5；当 K＝5时， S＝2＋(－1)×5＝－3， a＝1，执行 K＝ K＋1后， K＝6；当 K＝6时， S＝－3＋1×6＝3，执行 K＝ K＋1后， K＝7＞6.输出 S＝3.结束循环．故选B.答案：B2．(2017·高考全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，为使输出 S的值小于91，则输入的正整数 N的最小值为( )A．5 B．4C．3 D．2解析：假设 N＝2，程序执行过程如下：t＝1， M＝100， S＝0，61≤2， S＝0＋100＝100， M＝－ ＝－10，t＝2，100102≤2， S＝100－10＝90， M＝－ ＝1，t＝3，－ 10103＞2，输出 S＝90＜91.符合题意．∴ N＝2成立．显然2是最小值．故选D.答案：D3．(2018·高考全国卷Ⅱ)为计算 S＝1－ ＋ － ＋…＋ － ，设计了如图所示的程12 13 14 199 1100序框图，则在空白框中应填入( )A． i＝ i＋1 B． i＝ i＋2C． i＝ i＋3 D． i＝ i＋4解析：把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下.循环次数 ① ② ③ …○50 N 0＋110＋ ＋11 130＋ ＋ ＋11 13 15… 0＋ ＋ ＋ ＋…＋11 13 15 199T 0＋120＋ ＋12 140＋ ＋ ＋12 14 16… 0＋ ＋ ＋ ＋…＋12 14 16 1100S 1－121－ ＋ －12 13 141－ ＋ － ＋ －12 13 14 15 16… 1－ ＋ － ＋…＋ －12 13 14 199 1100因为 N＝ N＋ ，由上表知 i是1→3→5，…，所以 i＝ i＋2.1i故选B.答案：B4．(2018·西安八校联考)如图是求样本 x1， x2，…， x10的平均数 的程序框图，则空x白框中应填入的内容为( )7A． S＝ S＋ xn B． S＝ S＋xnnC． S＝ S＋ n D． S＝ S＋xn10解析：由题可知，该程序的功能是求样本 x1， x2，…， x10的平均数 ，由于“输出 x x”的前一步是“ ＝ ”，故循环体的功能是累加各样本的值，故应为 S＝ S＋ xn.xSn答案：A解答程序框图(流程图)问题的方法(1)首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构，特别是循环结构，在累加求和、累乘求积、多次输入等有规律的科学计算中，都有循环结构．(2)准确把握控制循环的变量，变量的初值和循环条件，弄清在哪一步结束循环；弄清循环体和输入条件、输出结果．(3)对于循环次数比较少的可逐步写出，对于循环次数较多的可先依次列出前几次循环结果，找出规律．推理与证明授课提示：对应学生用书第62页[悟通——方法结论]8两种合情推理的思维过程(1)归纳推理的思维过程：→ →试 验 、 观 察 概 括 、 推 广 猜 测 一 般 结 论(2)类比推理的思维过程：→ →试 验 、 观 察 联 想 、 类 推 猜 测 新 的 结 论[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A．乙可以知道四人的成绩B．丁可以知道四人的成绩C．乙、丁可以知道对方的成绩D．乙、丁可以知道自己的成绩解析：依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.答案：D2．(2018·日照模拟)在平面几何中有如下结论：若正三角形 ABC的内切圆面积为 S1，外接圆面积为 S2，则 ＝ .推广到空间几何体中可以得到类似结论：若正四面体 ABCD的内S1S2 14切球体积为 V1，外接球体积为 V2，则 ＝________.V1V2解析：设正四面体 ABCD的棱长为 a，高为 h，四个面的面积均为 S，内切球半径为 r，外接球半径为 R，则由4× Sr＝ Sh，得 r＝ h＝ × a＝ a.13 13 14 14 63 612由相似三角形的性质可得 R＝ a，64所以 ＝ 3＝ .V1V2 (rR) 127答案：1273．根据下面一组等式：s1＝1，s2＝2＋3＝5，9s3＝4＋5＋6＝15，s4＝7＋8＋9＋10＝34，s5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，s6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，……可得 s1＋ s3＋ s5＋…＋ s2n－1 ＝________.解析： n＝1时，结果为 s1＝1＝1 4；n＝2时，结果为 s1＋ s3＝1＋15＝16＝2 4；n＝3时，结果为 s1＋ s3＋ s5＝16＋65＝81＝3 4；……由此可以推知 s1＋ s3＋ s5＋…＋ s2n－1 ＝ n4.答案： n4合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先把已知的部分个体适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．授课提示：对应学生用书第148页一、选择题1．(2018·福州四校联考)如果复数 z＝ ，则( )2－ 1＋ iA． z的共轭复数为1＋i B． z的实部为1C．| z|＝2 D． z的实部为－1解析：∵ z＝ ＝ ＝ ＝－1－i，∴ z的实部为－1，故选D.2－ 1＋ i 2－ 1－ i－ 1＋ i－ 1－ i － 2－ 2i2答案：D2．(2018·辽宁五校联考)执行如图所示的程序框图，如果输入的 x＝－10，则输出的 y10＝( )A．0 B．1C．8 D．27解析：开始 x＝－10，满足条件 x≤0， x＝－7；满足条件 x≤0， x＝－4，满足条件 x≤0， x＝－1；满足条件 x≤0， x＝2，不满足条件 x≤0，不满足条件 y＝2 3＝8.故输出的 y＝8.故选C.答案：C3．i是虚数单位，则复数i(2 018－i)在复平面内对应的点位于( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：复数i(2 018－i)＝1＋2 018i，在复平面内对应的点为(1,2 018)，故选A.答案：A4．(2018·广州模拟)若复数 z满足(1＋2i) z＝1－i，则| z|＝( )A. B.25 35C. D.105 10解析：法一：由(1＋2i) z＝1－i，可得 z＝ ＝ ＝ ＝－1－ i1＋ 2i 1－ i1－ 2i1＋ 2i1－ 2i 1－ 2i－ i－ 25 15－ i，所以| z|＝ ＝ ，选C.35 1＋ 95 105法二：由(1＋2i) z＝1－i可得|(1＋2i) z|＝|1－i|，即|1＋2i|| z|＝|1－i|，得到 |5z|＝ ，故 |z|＝ ，选C.2105答案：C5．(2018·南宁模拟)甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子11．已知：丙的年龄比知识分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是( )A．甲是工人，乙是知识分子，丙是农民B．甲是知识分子，乙是农民，丙是工人C．甲是知识分子，乙是工人，丙是农民D．甲是农民，乙是知识分子，丙是工人解析：由“甲的年龄和农民不同”和“农民的年龄比乙小”可以推得丙是农民，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比知识分子大”，可知甲是知识分子，故乙是工人．所以选C.答案：C6．(2018·沈阳模拟)已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的 x的值为( )A．－3 B．－3或9C．3或－9 D．－9或－3解析：当输出的 y＝0时，若 x≤0，则 y＝( )x－8＝0，解得 x＝－3，若 x＞0，则 y＝2－12log3x＝0，解得 x＝9，两个值都符合题意，故选B.答案：B7．(2018·长春模拟)已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是( )12A．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 017项和B．求首项为1，公差为2的等差数列的前2 018项和C．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和D．求首项为1，公差为4的等差数列的前1 010项和解析：由程序框图可得 S＝1＋5＋9＋…＋4 033，故该算法的功能是求首项为1，公差为4的等差数列的前1 009项和．故选C.答案：C8．(2018·山西八校联考)已知 a， b∈R，i为虚数单位，若3－4i 3＝ ，则 a＋ b等2－ bia＋ i于( )A．－9 B．5C．13 D．9解析：由3－4i 3＝ 得，3＋4i＝ ，即( a＋i)(3＋4i)＝2－ bi，(3 a－4)＋(4 a2－ bia＋ i 2－ bia＋ i＋3)i＝2－ bi，则Error!解得Error!故 a＋ b＝－9，故选A.答案：A9．(2018·石家庄模拟)当 n＝4时，执行如图所示的程序框图，则输出的 S的值为( )13A．9 B．15C．31 D．63解析：执行程序框图， k＝1， S＝1； S＝3， k＝2； S＝7， k＝3； S＝15， k＝4； S＝31， k＝5＞4，退出循环．故输出的 S＝31，故选C.答案：C10．(2018·西安八校联考)如图给出的是计算 ＋ ＋ ＋…＋ ＋ 的值的程序12 14 16 12 014 12 016框图，其中判断框内应填入的是( )A． i≤2 014? B． i≤2 016?C． i≤2 018? D． i≤2 020?解析：依题意得， S＝0， i＝2； S＝0＋ ， i＝4；…； S＝0＋ ＋ ＋…＋ ＋12 12 14 12 014 12 016， i＝2 018不满足，输出的 S＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋ ，所以题中的判断框内应填入的是“ i12 14 16 12 014 120 16≤2 016”．答案：B11．(2018·重庆模拟)我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤．问本持金几何．”其意思为：今有人持金出五关，第1关收税金为持金的 ，第2关收税金为剩余金的 ，第3关收税金为剩余金的 ，第4关收税金为剩余金的12 13 14 15，第5关收税金为剩余金的 ，5关所收税金之和，恰好重1斤．问此人总共持金多少．则在16此问题中，第5关收税金( )A. 斤 B. 斤120 125C. 斤 D. 斤130 13614解析：假设原来持金为 x，则第1关收税金 x；第2关收税金 (1－ )x＝ x；第3关12 13 12 12×3收税金 (1－ － )x＝ x；第4关收税金 (1－ － － )x＝ x；第5关收税金 (114 12 16 13×4 15 12 16 112 14×5 16－ － － － )x＝ x.依题意，得 x＋ x＋ x＋ x＋ x＝1，12 16 112 120 15×6 12 12×3 13×4 14×5 15×6即(1－ )x＝1， x＝1，解得 x＝ ，所以 x＝ × ＝ .故选B.16 56 65 15×6 15×6 65 125答案：B12．(2018·惠州调研)《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“ ”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字 “0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名 符号 表示的二进制数 表示的十进制数坤 000 0艮 001 1坎 010 2巽 011 3依次类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号为“ ”，其表示的十进制数是( )A．33 B．34C．36 D．35解析：由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦的符号“ ”表示的二进制数为100010，转化为十进制数为0×2 0＋1×2 1＋0×2 2＋0×2 3＋0×2 4＋1×2 5＝34.故选B.答案：B二、填空题13．若 (a， b∈R)与(2－i) 2互为共轭复数，则 a－ b＝________.a＋ bii解析： ＝ ＝ b－ ai，(2－i) 2＝3－4i，因为这两个复数互为共轭复数，所a＋ bii ia＋ bii2以 b＝3， a＝－4，所以 a－ b＝－4－3＝－7.答案：－714．(2018·昆明模拟)将数列{ an}中的所有项按每一行比上一行多1项的规则排成如下数阵：a1a2， a315a4， a5， a6a7， a8， a9， a10……若第11行左起第1个数为 am，则 m＝________.解析：要求这个数阵第11行左起的第1个数是这个数列中的第几项，只需求出这个数阵的前10行共有几项即可．因为第1行有1项，且每一行都比上一行多1项，所以前10行共有1＋2＋3＋…＋10＝ ＝55项，所以 m＝56.10×1＋ 102答案：5615．在学习等差数列这一节时，可以这样得到等差数列的通项公式：设等差数列{ an}的首项为 a1，公差为 d，根据等差数列的定义，可以得到 a2－ a1＝ d， a3－ a2＝ d，…， an－ an－1 ＝ d，将以上 n－1个式子相加，即可得到 an＝ a1＋( n－1) d.“斐波那契数列”是数学史上一个著名的数列，在“斐波那契数列”{ an}中，令 a1＝1， a2＝1， a3＝2，…， an＋2 ＝ an＋1 ＋an(n∈N *)，当 a2 018＝ t时，根据上述方法可知数列{ an}的前2 016项和是________．解析：由题意知， a3－ a2＝ a1， a4－ a3＝ a2，…， a2 018－ a2 017＝ a2 016，将以上2 016个式子相加，可得 a2 018－ a2＝ a1＋ a2＋…＋ a2 016＝ S2 016.因为 a2 018＝ t，所以 S2 016＝ t－1.故答案为 t－1.答案： t－116．(2018·重庆模拟)某学生的素质拓展课课表由数学、物理和体育三门学科组成，且各科课时数满足以下三个条件：①数学课时数多于物理课时数；②物理课时数多于体育课时数；③体育课时数的两倍多于数学课时数．则该学生的素质拓展课课表中课时数的最小值为________．解析：法一：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为 x， y， z，则由题意，得Error!则该学生的素质拓展课课表中的课时数为 x＋ y＋ z.设 x＋ y＋ z＝ p(x－ y)＋ q(y－ z)＋ r(2z－ x)＝( p－ r)x＋(－ p＋ q)y＋(－ q＋2 r)z，比较等式两边的系数，得Error! 解得 p＝4， q＝5， r＝3，则 x＋ y＋ z＝4( x－ y)＋5( y－ z)＋3(2 z－ x)≥4＋5＋3＝12，所以该学生的素质拓展课课表中的课时数的最小值为12.法二：设该学生的素质拓展课课表中的数学、物理、体育的课时数分别为 x， y， z，则2z＞ x＞ y＞ z.由题意，知 z的最小值为3，由此易知 y的最小值为4， x的最小值为5，故该学生的素质拓展课课表中的课时数 x＋ y＋ z的最小值为12.答案：121第三讲 概率年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析及学科素养Ⅰ卷 几何概型·T 102018 Ⅱ卷 古典概型·T82017 Ⅰ卷 几何概型·T 22016 Ⅰ卷 几何概型求概率·T 4命题分析高考对古典概型与几何概型考查一般为选择题，多考查互斥事件、对立事件与几何概型的计算．学科素养主要是通过古典概率的求法考查学生的数学抽象，数学建模及数据分析的学科素养.几何概型授课提示：对应学生用书第67页[悟通——方法结论]几何概型的两个基本特征(1)基本事件的无限性、等可能性．(2)其事件的概率为 P(A)＝ ，一般要用数形结合法求解．构 成 事 件 A的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 试 验 的 全 部 结 果 所 构 成 的 区 域 长 度 面 积 或 体 积 [全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，正方形 ABCD内的图形来自中国古代的太极图. 正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )2A. B.14 π8C. D.12 π4解析：不妨设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形的内切圆的半径为1，面积为π.由于正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，所以黑色部分的面积为 ，故此点取自黑色部分的概率为 ＝ ，故选B.π2 π24 π8答案：B2．(2018·高考全国卷Ⅰ)如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形 ABC的斜边 BC，直角边 AB， AC.△ ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p1， p2， p3，则( )A． p1＝ p2 B． p1＝ p3C． p2＝ p3 D． p1＝ p2＋ p3解析：∵ S△ ABC＝ AB·AC，以 AB为直径的半圆的面积为 π· 2＝ AB2，12 12 (AB2) π8以 AC为直径的半圆的面积为 π· 2＝ AC2，12 (AC2) π8以 BC为直径的半圆的面积为 π· 2＝ BC2，12 (BC2) π8∴ SⅠ ＝ AB·AC， SⅢ ＝ BC2－ AB·AC，12 π8 12SⅡ ＝ －(π8AB2＋ π8AC2) (π8BC2－ 12AB·AC)＝ AB·AC.12∴ SⅠ ＝ SⅡ .由几何概型概率公式得 p1＝ ， p2＝ .SⅠS总 SⅡS总∴ p1＝ p2.故选A.答案：A3．(2018·福州四校联考)如图，在圆心角为90˚的扇形 AOB中，以圆心 O为起点在 A 上B3任取一点 C作射线 OC，则使得∠ AOC和∠ BOC都不小于30˚的概率是( )A. B.13 23C. D.12 16解析：记事件T是“作射线 OC，使得∠ AOC和∠ BOC都不小于30˚”，如图，记 A 的三等分点为 M， N，连接 OM， ON，则∠ AON＝∠ BOMB＝∠ MON＝30˚，则符合条件的射线 OC应落在扇形 MON中，所以 P(T)＝＝ ＝ ，故选A.∠ MON∠ AOB 30˚90˚ 13答案：A几何概型的判断关键是注意事件发生的种数具有无限性、等可能性，否则不为几何概型，同时要注意分清是面积型、长度型，还是角度型．古典概型授课提示：对应学生用书第67页[悟通——方法结论]古典概型的两个基本特征(1)基本事件的有限性、等可能性．(2)其事件的概率为 P(A)＝＝ .事 件 A中 所 含 的 基 本 事 件 数试 验 的 基 本 事 件 总 数 mn4[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A. B. C. D.110 15 310 25解析：依题意，记两次取得卡片上的数字依次为 a， b，则一共有25个不同的数组( a， b)，其中满足 ab的数组共有10个，分别为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，因此所求的概率为 ＝ ，选D.1025 25答案：D2.近期“共享单车”在全国多个城市持续升温，某移动互联网机构对使用者进行了调查，得到了使用者对常见的八个品牌的“共享单车”的满意度指数，并绘制出茎叶图(如图所示)．(1)求出这组数据的平均数和中位数；(2)某用户从满意度指数超过82的品牌中随机选择两个品牌使用，求所选两个品牌的满意度指数均超过88的概率．解析：(1)这组数据的平均数 ＝x＝83.875.3×70＋ 3×80＋ 2×90＋ 4＋ 7＋ 8＋ 3＋ 5＋ 9＋ 1＋ 48将这组数据按从小到大的顺序排列，易知这组数据最中间的两个数为83,85，则其平均数为 ＝84，故这组数据的中位数为84.83＋ 852(2)满意度指数超过82的品牌有五个，其满意度指数分别为83,85,89,91,94，依次记为a， b， c， d， e，从中任选两个的选法为{ a， b}，{ a， c}，{ a， d}，{ a， e}，{ b， c}，{ b，d}，{ b， e}，{ c， d}，{ c， e}，{ d， e}，共10种；满意度指数超过88的有三个，分别为 c， d， e，从中任选两个的选法为{ c， d}，{ c， e}，{ d， e}，共3种．故所选两个品牌的满意度指数均超过88的概率 P＝ ＝0.3.310对于较复杂的古典概型问题，若直接求解比较困难，可利用逆向思维，先求其对立事件的概率，进而可得所求事件的概率.5概率与统计的综合问题授课提示：对应学生用书第68页[悟通——方法结论](2017·高考全国卷Ⅲ)(12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．的概率．1估 计 六 月 份 这 种 酸 奶 一 天 的 需 求 量 不 超 过 300瓶 ❷(2)设六月份一天销售这种 (单位：元)．当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出 Y的所有可能值，并估计 Y大于零的概率．[学审题]条件信息 想到方法 注意什么信息❶中频率分布表 表中最高气温与天数的对应关系信息❷中估计概率 利用频率与概率关系进行估计信息❸中酸奶的利润 想到进货成本与售价1.读表中数据要准确．2.注意条件中未售出的酸奶要当天全部降价处理[规范解答] (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，(2分)由表格数据知，最高气温低于25的频率为 ＝0.6，2＋ 16＋ 3690(4分)所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6. 6(5分)(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温不低于25，则 Y＝6×450－4×450＝900；若最高气温位于区间[20,25)，则 Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； (7分)若最高气温低于20，则 Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100.所以 Y的所有可能值为900,300，－100. (10分)Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8，36＋ 25＋ 7＋ 490因此 Y大于零的概率的估计值为0.8. (12分)解决概率与统计综合问题的一般步骤[练通——即学即用](2018·广州五校联考)某市为庆祝北京夺得2022年冬奥会举办权，围绕“全民健身促健康、同心共筑中国梦”主题开展全民健身活动．组织方从参加活动的群众中随机抽取120名群众，按他们的年龄分组：第1组[20,30)，第2组[30,40)，第3组[40,50)，第4组[50,60)，第5组[60,70]，得到的频率分布直方图如图所示．7(1)若电视台记者要从抽取的群众中选一人进行采访，估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率；(2)已知第1组群众中男性有3名，组织方要从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，求至少有1名女性群众的概率．解析：(1)设第1组[20,30)的频率为 f1，则由题意可知，f1＝1－(0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝0.05.被采访人恰好在第1组或第4组的频率为0.05＋0.020×10＝0.25.∴估计被采访人恰好在第1组或第4组的概率为0.25.(2)第1组[20,30)的人数为0.05×120＝6.∴第1组中共有6名群众，其中女性群众共3名．记第1组中的3名男性群众分别为 A， B， C,3名女性群众分别为 x， y， z，从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队包含( A， B)，( A， C)，( A， x)，( A， y)，( A， z)，( B， C)，( B， x)，( B， y)，( B， z)，( C， x)，( C， y)，( C， z)，( x， y)，( x， z)，( y， z)，共15个基本事件．至少有一名女性群众包含( A， x)，( A， y)，( A， z)，( B， x)，( B， y)，( B， z)，( C， x)，( C， y)，( C， z)，( x， y)，( x， z)，( y， z)，共12个基本事件．∴从第1组中随机抽取2名群众组成志愿者服务队，至少有1名女性群众的概率 P＝ ＝1215 45.授课提示：对应学生用书第152页一、选择题1．(2018·高考全国卷Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( )A．0.3 B．0.4C．0.6 D．0.7解析：由题意可知不用现金支付的概率为1－0.45－0.15＝0.4.故选B.答案：B2．(2018·云南模拟)在正方形 ABCD内随机生成 n个点，其中在正方形 ABCD内切圆内的点共有 m个，利用随机模拟的方法，估计圆周率π的近似值为( )8A. B.mn 2mnC. D.4mn 6mn解析：依题意，设正方形的边长为2 a，则该正方形的内切圆半径为 a，于是有 ≈ ，π a24a2 mn即π≈ ，即可估计圆周率π的近似值为 .4mn 4mn答案：C3．(2018·沧州联考)已知函数 f(x)＝ ，在区间(－1,4)上任取一点，则使 f′( x)＞0x2ex的概率是( )A. B.12 25C. D.13 16解析： f′( x)＝ ，由 f′( x)＞0可得 f′( x)＝ ＞0，解得0＜ x＜2，根据几2x－ x2ex 2x－ x2ex何概型的概率计算公式可得所求概率 P＝ ＝ .2－ 04－ － 1 25答案：B4．在区间[0,1]上随意选择两个实数 x， y，则使 ≤1成立的概率为( )x2＋ y2A. B.π2 π4C. D.π3 π5解析：如图所示，试验的全部结果构成正方形区域，使得 ≤1成x2＋ y2立的平面区域为以坐标原点 O为圆心，1为半径的圆的 与 x轴正半轴， y轴正14半轴围成的区域，由几何概型的概率计算公式得，所求概率 P＝ ＝ .π41 π4答案：B5．已知向量 a＝( x， y)， b＝(1，－2)，从6张大小相同分别标有号码1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取两张， x， y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足 a·b＞0的概率是( )A. B.112 349C. D.15 16解析：设( x， y)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有6×6＝36个， a·b＞0，即 x－2 y＞0，满足 x－2 y＞0的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)，共6个，所以所求概率 P＝ ＝ .636 16答案：D6．(2018·湖南五校联考)在矩形 ABCD中， AB＝2 AD，在 CD上任取一点 P，△ ABP的最大边是 AB的概率是( )A. B.22 32C. －1 D. －12 3解析：分别以 A， B为圆心， AB的长为半径画弧，交 CD于 P1， P2，则当 P在线段 P1P2间运动时，能使得△ ABP的最大边是 AB，易得＝ －1，即△ ABP的最大边是 AB的概率是 －1.P1P2CD 3 3答案：D7．(2018·天津六校联考)连掷两次骰子分别得到点数 m， n，则向量 a＝( m， n)与向量 b＝(－1,1)的夹角 θ ＞90˚的概率是 ( )A. B.512 712C. D.13 12解析：连掷两次骰子得到的点数( m， n)的所有基本事件为(1,1)，(1,2)，…，(6,6)，共36个．∵( m， n)·(－1,1)＝－ m＋ n＜0，∴ m＞ n.符合要求的事件为(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，…，(5,4)，(6,1)，…，(6,5)，共15个，∴所求概率 P＝ ＝ .1536 512答案：A8．由不等式组Error!确定的平面区域记为 Ω 1，不等式组Error!确定的平面区域记为 Ω2，在 Ω 1中随机取一点，则该点恰好在 Ω 2内的概率为( )10A. B.18 14C. D.34 78解析：由题意作图，如图所示， Ω 1的面积为 ×2×2＝2，图中阴影部分的面积为2－12 12× ×1＝ ，则所求的概率 P＝ ＝ .12 74 742 78答案：D二、填空题9．(2018·长沙模拟)在棱长为2的正方体 ABCD­A1B1C1D1中，点 O为底面 ABCD的中心，在正方体 ABCD­A1B1C1D1内随机取一点 P，则点 P到点 O的距离大于1的概率为________．解析：由题意，在正方体中与点 O距离等于1的是个半球面， V正 ＝2 3＝8， V半球 ＝ × π12 43×13＝ π，23＝ ＝ ，∴所求概率 P＝1－ .V半 球V正 2π8×3 π12 π12答案：1－π1210．如图，在等腰直角△ ABC中，过直角顶点 C作射线 CM交 AB于 M，则使得 AM小于 AC的概率为________．解析：当 AM＝ AC时，△ ACM为以 A为顶点的等腰三角形，∠ ACM＝ ＝67.5˚ .180˚－ 45˚2当∠ ACM＜67.5˚时， AM＜ AC，所以 AM小于 AC的概率P＝ ＝ ＝ .∠ ACM的 度 数∠ ACB的 度 数 67.5˚90˚ 34答案：3411．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球 A1， A2和1个白球 B的甲箱与装有2个红球 a1， a2和2个白球 b1， b2的乙箱中，各11随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖，则中奖的概率是________．解析：由题意，所有可能的结果是{ A1， a1}，{ A1， a2}，{ A1， b1}，{ A1， b2}，{ A2， a1}，{ A2， a2}，{ A2， b1}，{ A2， b2}，{ B， a1}，{ B， a2}，{ B， b1}，{ B， b2}，共12种，其中摸出的2个球都是红球的结果为{ A1， a1}，{ A1， a2}，{ A2， a1}，{ A2， a2}，共4种，所以中奖的概率为 P＝ ＝ .412 13答案：1312．一只受伤的候鸟在如图所示(直角梯形 ABCD)的草原上飞，其中 AD＝3， CD＝2， BC＝5，它可能随机落在该草原上任何一处(点)，若落在扇形沼泽区域(图中的阴影部分) CDE以外候鸟能生还，则该候鸟生还的概率为________．解析：直角梯形 ABCD的面积 S1＝ ×(3＋5)×2＝8，扇形 CDE的面积 S2＝ π×2 2＝π，12 14根据几何概型的概率公式，得候鸟生还的概率 P＝ ＝ ＝1－ .S1－ S2S1 8－ π8 π8答案：1－π8三、解答题13．(2018·宝鸡模拟)为了解我市的交通状况，现对其6条道路进行评估，得分分别为5,6,7,8,9,10.规定评估的平均得分与全市的总体交通状况等级如下表：评估的平均得分 (0,6) [6,8)[8,10]全市的总体交通状况等级 不合格 合格 优秀(1)求本次评估的平均得分，并参照上表估计我市的总体交通状况等级；(2)用简单随机抽样的方法从这6条道路中抽取2条，它们的得分组成一个样本，求该样本的平均数与总体的平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．解析：(1)6条道路的平均得分为 ×(5＋6＋7＋8＋9＋10)＝7.5，∴该市的总体交通状16况等级为合格．(2)设 A表示事件“样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5”．从6条道路中抽取2条的得分组成的所有基本事件为(5,6)，(5,7)，(5,8)，(5,9)，(5,1210)，(6,7)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，(7,10)，(8,9)，(8,10)，(9,10)，共15个基本事件．事件 A包括(5,9)，(5,10)，(6,8)，(6,9)，(6,10)，(7,8)，(7,9)，共7个基本事件．∴ P(A)＝ .715故该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过0.5的概率为 .71514．(2018·西安八校联考)从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[55,65)，[65,75)，[75,85]内的频率之比为4∶2∶1.(1)求这些产品质量指标值落在区间[75,85]内的频率；(2)用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任意抽取2件产品，求这2件产品都在区间[45,65)内的概率．解析：(1)设质量指标值落在区间[75,85]内的频率为 x，则质量指标值落在区间[55,65)，[65,75)内的频率分别为4 x,2x.依题意得(0.004＋0.012＋0.019＋0.030)×10＋4 x＋2 x＋ x＝1，解得 x＝0.05.所以质量指标值落在区间[75,85]内的频率为0.05.(2)由(1)得，质量指标值落在区间[45,55)，[55,65)，[65,75)内的频率分别为0.3,0.2,0.1.用分层抽样的方法在区间[45,75)内抽取一个容量为6的样本，则在区间[45,55)内应抽取6× ＝3件，记为 A1， A2， A3；0.30.3＋ 0.2＋ 0.1在区间[55,65)内应抽取6× ＝2件，记为 B1， B2；在区间[65,75)内应抽0.20.3＋ 0.2＋ 0.1取6× ＝1件，记为 C.0.10.3＋ 0.2＋ 0.1设“从样本中任意抽取2件产品，这2件产品都在区间[45,65)内”为事件 M，则所有的基本事件有：( A1， A2)，( A1， A3)，( A1， B1)，( A1， B2)，( A1， C)，( A2， A3)，( A2， B1)，( A2， B2)，( A2， C)，( A3， B1)，( A3， B2)，( A3， C)，( B1， B2)，( B1， C)，( B2， C)，共15种，13事件 M包含的基本事件有：(A1， A2)，( A1， A3)，( A1， B1)，( A1， B2)，( A2， A3)，( A2， B1)，( A2， B2)，( A3， B1)，(A3， B2)，( B1， B2)，共10种，所以这2件产品都在区间[45,65)内的概率 P＝ ＝ .1015 2315．(2018·长沙模拟)为了打好脱贫攻坚战，某贫困县农科院针对玉米种植情况进行调研，力争有效地改良玉米品种，为农民提供技术支援．现对已选出的一组玉米的茎高进行统计，获得茎叶图如图(单位：厘米)，设茎高大于或等于180厘米的玉米为高茎玉米，否则为矮茎玉米.(1)列出2×2列联表，并判断是否可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为抗倒伏与玉米矮茎有关？(2)为了改良玉米品种，现采用分层抽样的方法从抗倒伏的玉米中抽出5株，再从这5株玉米中选取2株进行杂交试验，则选取的植株均为矮茎的概率是多少？附：P(K2≥ k0) 0.10 0.05 0.010 0.001k0 2.706 3.841 6.635 10.828K2＝ ，其中 n＝ a＋ b＋ c＋d.nad－ bc2a＋ bc＋ da＋ cb＋ d解析：(1)根据统计数据得2×2列联表如下：抗倒伏 易倒伏 总计矮茎 15 4 19高茎 10 16 26总计 25 20 45由于 K2的观测值 k＝ ≈7.287 ＞6.635，因此可以在犯错误45×15×16－ 4×10219×26×25×20的概率不超过0.01的前提下，认为抗倒状与玉米矮茎有关．(2)由题意得，抽到的高茎玉米有2株，设为 A， B，抽到的矮茎玉米有3株，设为 a， b，c，从这5株玉米中取出2株的取法有 AB， Aa， Ab， Ac， Ba， Bb， Bc， ab， ac， bc，共10种，1其中均为矮茎的选取方法有 ab， ac， bc，共3种，因此选取的植株均为矮茎的概率是 .310