2018-2019学年高中数学 第1章 计数原理学案（打包10套）新人教B版选修2-3.zip

11.1 基本计数原理课时目标 1.通过实例，理解掌握分类加法计数原理与分步乘法计数原理.2.会利用两个原理解决一些简单的实际问题．1．分类加法计数原理做一件事，完成它有 n 类办法，在第一类办法中有 m1种不同的方法，在第二类办法中有 m2种不同的方法……在第 n 类办法中有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__________________种不同的方法．2．分步乘法计数原理做一件事，完成它需要分成 n 个步骤，做第一个步骤有 m1种不同的方法，做第二个步骤有 m2种不同的方法……做第 n 个步骤有 mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝__________________种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题．区别在于：分类加法计数原理针对的是________问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事，分步乘法计数原理针对的是________问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事．一、选择题1．从甲地到乙地，每天有直达汽车 4 班，从甲地到丙地，每天有 5 个班车，从丙地到乙地，每天有 3 个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有( )A．12 种 B．19 种 C．32 种 D．60 种2．有一排 5 个信号的显示窗，每个窗可亮红灯、可亮绿灯、可不亮灯，则共可以出的不同信号有( )A．2 5种 B．5 2种 C．3 5种 D．5 3种3．二年级(1)班有学生 56 人，其中男生 38 人，从中选取 1 名男生和 1 名女生作代表参加学校组织的社会调查团，则选取代表的方法种数为( )A．94 B．2 128 C．684 D．564．集合 P＝{ x,1}， Q＝{ y,1,2}，其中 x， y∈{1,2，…，9}且 PQ，把满足上述条件的一对有序整数( x， y)作为一个点，则这样的点的个数是( )A．9 B．14 C．15 D．2125．有 4 名高中毕业生报考大学，有 3 所大学可供选择，每人只能填报一所大学，则这4 名高中毕业生报名的方案数为( )A．12 B．7 C．3 4 D．4 36．某地政府召集 5 家企业的负责人开会，其中甲企业有 2 人到会，其余 4 家企业各有1 人到会，会上有 3 人发言，则这 3 人来自 3 家不同企业的可能情况的种数为( )A．14 B．16 C．20 D．48二、填空题7．在由 0,1,3,5 所组成的没有重复数字的四位数中，能被 5 整除的数共有________个．8．将一个三棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使每一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可使用，则不同染色的方法种数为________．9．加工某个零件分三道工序，第一道工序有 5 人，第二道工序有 6 人，第三道工序有4 人，从中选 3 人每人做一道工序，则选法共有________种．三、解答题10．某外语组有 9 人，每人至少会英语和日语中的一门，其中 7 人会英语，3 人会日语，现要从中选出会英语和日语的各一人，共有多少种不同的选法？11．用 0,1,2,3,4,5 可以组成多少个无重复数字的比 2 000 大的四位偶数？3能力提升12．现有 6 名同学去听同时进行的 5 个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，则不同选法的种数是( )A．5 6 B．6 5C. D．6×5×4×3×25×6×5×4×3×2213．书架的第一层有 6 本不同的数学书，第二层有 6 本不同的语文书，第三层有 5 本不同的英语书．(1)从这些书中任取 1 本，有多少种不同的取法？(2)从这些书中任取 1 本数学书，1 本语文书，1 本英语书共 3 本书的不同的取法有多少种？(3)从这些书中任取 3 本，并且在书架上按次序排好，有多少种不同的排法？用两个计数原理解决具体问题时，首先要分清“分类”还是“分步” ，其次要清楚“分类”或“分步”的具体标准，在“分类”时要遵循“不重、不漏”的原则，在“分步”时要正确设计“分步”的程序，注意步与步之间的连续性；有些题目中“分类”与“分步”同时进行，可以“先分类后分步”或“先分步后分类” ．第一章 计数原理41．1 基本计数原理答案知识梳理1． m1＋ m2＋…＋ mn2． m1×m2×…×mn3．分类 分步作业设计1．B [从甲地到乙地有两类方案：甲地直达乙地，甲地经丙地到乙地，共有4＋3×5＝19(种)方法．]2．C [一个窗有 3 种可能情况(红、绿、不亮)，每个窗出现一种情况的方法种数为3×3×3×3×3＝3 5(种)，即为表示的不同信号．]3．C [男生为 38 人，女生为 18 人，第 1 步从男生 38 人中任选 1 人，有 38 种不同的选法；第二步从女生 18 人中任选 1 人，有 18 种不同的选法．只有上述两步完成后，才能完成从男生中和女生中各选 1 名代表这件事，根据分步乘法计数原理共有 38×18＝684(种)选取代表的方法．]4．B [当 x＝2 时， y 可取 3,4,5,6,7,8,9，共 7 个点；当 x＝ y 时， y 可取 3,4,5,6,7,8,9，共 7 个点．∴这样的点共有 7＋7＝14(个)．]5．C [4 名高中毕业生报考 3 所大学，可分 4 步，每步有 3 种选择，则这 4 名高中毕业生报名的方案数为 3×3×3×3＝3 4.]6．B [按题意分成两类：第一类：甲企业有 1 人发言，有 2 种情况，另两个发言人出自其余 4 家企业，有 6 种情况，由分步乘法计数原理知有 2×6＝12(种)情况；第二类：3 人全来自其余 4 家企业，有 4 种情况．综上可知，共有 N＝12＋4＝16(种)情况．]7．10解析 先考虑个位和千位上的数，个位数字是 0 的有 3×2×1＝6(个)，个位数字是 5的有 2×2×1＝4(个)，所以共有 10 个．8．1205解析 如右图，若先染 A 有 5 种色可选， B 有 4 种色可选， C 有 3 种色可选， D 有 2 种色可选，则不同染色方法共有 5×4×3×2＝120(种)．9．12010．解 依题意得既会英语又会日语的有 7＋3－9＝1(人)，6 人只会英语，2 人只会日语．第一类：从只会英语的 6 人中选一人有 6 种方法，此时选会日语的有 2＋1＝3(种)方法．由分步乘法计数原理可得 N1＝6×3＝18(种)．第二类：从既会英语又会日语的 1 人中选有 1 种方法，此时选会日语的有 2 种方法．由分步乘法计数原理可得 N2＝1×2＝2(种)．综上，由分类加法计数原理可知，不同选法共有 N＝ N1＋ N2＝18＋2＝20(种)．11．解 完成这件事有三类方法：第一类是用 0 做结尾的比 2 000 大的 4 位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，只有 2,3,4,5 可以选择，有 4 种选法；第二步，选取百位上的数字，除 0和千位上已选定的数字以外，还有 4 个数字可供选择，有 4 种选法；第三步，选取十位上的数字，还有 3 种选法．依据分步乘法计数原理，这类数的个数有 4×4×3＝48(个)；第二类是用 2 做结尾的比 2 000 大的 4 位偶数，它可以分三步去完成：第一步，选取千位上的数字，除去 2,1,0，只有 3 个数字可以选择，有 3 种选法；第二步，选取百位上的数字，在去掉已经确定的首尾两数字之后，还有 4 个数字可供选择，有 4 种选法；第三步，选取十位上的数字，还有 3 种选法．依据分步乘法计数原理，这类数的个数有3×4×3＝36(个)；第三类是用 4 做结尾的比 2 000 大的 4 位偶数，其步骤同第二类，可得有 36 个．对以上三类结论用分类加法计数原理，可得所求无重复数字的比 2 000 大的四位偶数有 48＋36＋36＝120(个)．12．A [每位同学可自由选择 5 个讲座中的其中 1 个讲座，故 6 名同学的安排可分 6步进行，每步均有 5 种选择，因此共有 56种不同选法．]13．解 (1)因为共有 17 本书，从这些书中任取 1 本，共有 17 种取法．(2)分三步：第一步，从 6 本不同的数学书中取 1 本，有 6 种取法；第二步，从 6 本不同的语文书中取 1 本，有 6 种取法；第三步：从 5 本不同的英语书中取 1 本，有 5 种取法．由分步乘法计数原理知，取法总数为 N＝6×6×5＝180(种)．(3)实际上是从 17 本书中任取 3 本放在三个不同的位置上，完成这个工作分三个步骤，第一步：从 17 本不同的书中取 1 本，放在第一个位置，有 17 种方法；第二步：从剩余 16 本不同的书中取 1 本，放在第二个位置，有 16 种方法；6第三步：从剩余 15 本不同的书中取 1 本，放在第三个位置，有 15 种方法；由分步乘法计数原理知，排法总数为 N＝17×16×15＝4 080(种)．11.2.1 排列课时目标 1.了解排列与排列数的意义，能根据具体问题，写出符合要求的排列.2.能利用树形图写出简单问题中的所有排列.3.掌握排列数公式，并能利用它计算排列数．(这是本节的重点，要掌握好．)4.掌握解决排列应用题的基本思路和常用方法．1．排列(1)定义：一般地，从 n 个不同元素中取出 m(m≤ n)个元素，按照____________排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列．(2)相同排列：若两个排列相同，则两个排列的________完全相同，并且元素的____________也相同．2．排列数(1)定义：从 n 个不同元素中取出 m(m≤ n)个元素的________________，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，用符号________表示．(2)排列数公式：A ＝________________________＝ ；特别地，A ＝ n×(n－1)mnn！n－ m！ n×…×3×2×1＝ n！，( m， n∈N ＋ ，且 m≤ n)，0！＝1.一、选择题1．下列问题属于排列问题的是( )①从 10 个人中选 2 人分别去种树和扫地；②从 10 个人中选 2 人去扫地；③从班上 30 名男生中选出 5 人参加某项活动；④从数字 5,6,7,8 中任取两个不同的数作幂运算．A．①④ B．①② C．③④ D．①③④2．若从 6 名志愿者中选出 4 人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，则选派方案共有( )2A．180 种 B．360 种 C．15 种 D．30 种3． A、 B、 C 三地之间有直达的火车，需要准备的车票种数是( )A．6 B．3 C．2 D．14．5 名同学排成一排照相，不同排法的种数是( )A．1 B．5 C．20 D．1205．给出下列四个关系式：① n！＝ ②A ＝ nAn＋ 1！n＋ 1 mn m－ 1n－③A ＝ ④A ＝mnn！n－ m！ m－ 1n－ n－ 1！m－ n！其中正确的个数为( )A．1 B．2 C．3 D．46．某班上午要上语文、数学、体育和外语 4 门课，又体育老师因故不能上第一节和第四节，则不同排课方案的种数是( )A．24 B．22 C．20 D．12二、填空题7．5 个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有________种．8．从 1～9 的 9 个数字中任取 5 个数组成没有重复数字的五位数，且个位、百位、万位上必须是奇数的五位数的个数为________．9．记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照，要求排成一排，2 位老人相邻但不排在两端，则不同的排法共有________种．三、解答题10．用 0、1、2、3、4 五个数字：(1)可组成多少个五位数；(2)可组成多少个无重复数字的五位数；(3)可组成多少个无重复数字的且是 3 的倍数的三位数；(4)可组成多少个无重复数字的五位奇数．311．7 名师生站成一排照相留念，其中老师 1 人，男学生 4 人，女学生 2 人，在下列情况下，各有多少种不同站法？(1)两名女生必须相邻而站；(2)4 名男生互不相邻；(3)若 4 名男生身高都不等，按从高到低的顺序站；(4)老师不站中间，女生不站两端．能力提升12．由 1、2、3、4、5 组成没有重复数字且 1、2 都不与 5 相邻的五位数的个数是( )A．36 B．32 C．28 D．2413．从数字 0,1,3,5,7 中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0？其中有实数根的方程又有多少个？1．排列问题的本质是“元素”占“位置”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个位置上或某个位置不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊位置．42．处理元素“相邻” “不相邻”或“元素定序”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法” ，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再“松绑” ，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法” ，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．1．2 排列与组合1．2.1 排列答案知识梳理1．(1)一定的顺序 (2)元素 排列顺序2．(1)所有排列的个数 A (2) n(n－1)( n－2)…( n－ m＋1)mn作业设计1．A2．B [选派方案种数为 6 选 4 的排列数，即 A ＝360.]463．A4．D5．C [式子①②③正确，④错误．]6．D [分两步排课：体育有两种排法；其他科目有 A 种排法，∴共有 2×A ＝12(种)排3 3课方案．]7．72解析 先排另外 3 人，有 A 种排法，甲、乙插空，有 A 种排法．∴不同的排法共有3 24A ·A ＝6×12＝72(种)．3 248．1 800解析 先排个位、百位、万位数字有 A 种，另两位有 A 种排法，35 26∴共有 A ·A ＝1 800(个)．35 269．960解析 排 5 名志愿者有 A 种不同排法，由于 2 位老人相邻但不排在两端，所以在这 55名志愿者的 4 个空档中插入 2 位老人(捆绑为 1 个元素)有 A ·A 种排法．所以共有 A ·A14 2 5·A ＝960(种)不同的排法．14 210．解 (1)各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知，共有54×5×5×5×5＝2 500(个)．(2)方法一 先排万位，从 1,2,3,4 中任取一个有 A 种填法，其余四个位置四个数字14共有 A 种，故共有 A ·A ＝96(个)．4 14 4方法二 先排 0，从个、十、百、千位中任选一个位置将 0 填入有 A 种方法，其余四14个数字全排有 A 种方法，故共有 A ·A ＝96(个)．4 14 4(3)构成 3 的倍数的三位数，各个位上数字之和是 3 的倍数，按取 0 和不取 0 分类：①取 0，从 1 和 4 中取一个数，再取 2 进行排列，先填百位有 A 种方法，其余全排有12A 种方法，故有 2A ·A ＝8(种)方法．2 12 2②不取 0，则只能取 3，从 1 或 4 中任取一个，再取 2，然后进行全排列为 2A ＝12(种)方3法，所以共有 8＋12＝20(个)．(4)考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从 1、3 中选一个填入个位有 A 种填法，然12后从剩余 3 个非 0 数中选一个填入万位，有 A 种填法，包含 0 在内还有 3 个数在中间三位13置上全排列，排列数为 A ，故共有 A ·A ·A ＝36(个)．3 12 13 311．解 (1)2 名女生站在一起有站法 A 种，视为一个元素与其余 5 人全排列，有 A2种排法，所以有不同站法 A ·A ＝1 440(种)．6 2 6(2)先站老师和女生，有站法 A 种，再在老师和女生站位的间隔(含两端)处插入男生，3每空一人，则插入方法有 A 种，所以共有不同站法 A ·A ＝144(种)．4 3 4(3)7 人全排列中，4 名男生不考虑身高顺序的站法有 A 种，而由高到低有从左到右和4从右到左的不同，所以共有不同站法 2· ＝420(种)．A7A4(4)中间和两端是特殊位置，可分类求解如下：①老师站在两端之一，另一端由男生站，有 A ·A ·A 种站法；12 14 5②两端全由男生站，老师站除两端和正中的另外 4 个位置之一，有 A ·A ·A 种站法，24 14 4所以共有不同站法 A ·A ·A ＋A ·A ·A ＝960＋1 152＝2 112(种)．12 14 5 24 14 412．A [如果 5 在两端，则 1、2 有三个位置可选，排法为 2×A A ＝24(种)；如果 5232不在两端，则 1、2 只有两个位置可选，排法有 3×A A ＝12(种)，故可组成符合要求的五22位数的个数为 24＋12＝36.]13．解 要确定一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0，分 2 步完成：第 1 步：确定 a，只能从 1,3,5,7 中取一个，有 A 种取法；14第 2 步：确定 b， c，可从剩下的 4 个数字中任取 2 个，有 A 种取法．24由分步乘法计数原理，可组成 A ·A ＝48(个)不同的一元二次方程．14 24一元二次方程 ax2＋ bx＋ c＝0( a≠0)要有实数根必须满足 b2－4 ac≥0，分 2 类：第 1 类：当 c＝0 时， a， b 可以从 1,3,5,7 中任取 2 个数字，有 A 种取法；246第 2 类：当 c≠0 时，由 b2－4 ac≥0 知， b 只能取 5 或 7，当 b 取 5 时， a， c 只能取 1,3这两个数，有 A 种取法；当 b 取 7 时， a， c 可取 1,3 这两个数或 1,5 这两个数，有 2A2种取法．因此 c≠0 时，有 A ＋2A (种)取法．2 2 2由分类加法计数原理，有实数根的一元二次方程有 A ＋A ＋2A ＝18(个)．24 2 211.2.2 组合课时目标 1.理解组合的概念，理解排列数 A 与组合数 C 之间的联系.2.理解并掌握mn mn组合数的两个性质，能够准确地运用组合数的两个性质进行化简、计算和证明.3.掌握排列、组合的一些常见模型和解题方法．1．组合一般地，从 n 个________元素中，任意________________________________，叫做从n 个不同元素中任取 m 个元素的一个组合．2．组合数与组合数公式组合数定义从 n 个不同元素中取出 m(m≤ n)个元素的________________，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数表示法乘积形式C ＝____________________mn组合数公式 阶乘形式C ＝________mn性质C ＝____________；mnC ＝________＋________mn＋ 1备注① n， m∈N *且 m≤ n②规定 C ＝10n3.排列与组合(1)两者都是从 n 个不同元素中取出 m(m≤ n)个元素；(2)排列与元素的顺序________，组合与元素的顺序________．一、选择题1．从 5 人中选 3 人参加座谈会，则不同的选法有( )A．60 种 B．36 种 C．10 种 D．6 种2．已知平面内 A、 B、 C、 D 这 4 个点中任何 3 点不共线，则由其中每 3 点为顶点的所2有三角形的个数为( )A．3 B．4 C．12 D．243．某施工小组有男工 7 人，女工 3 人，现要选 1 名女工和 2 名男工去支援另一施工队，则不同的选法有( )A．C 种 B．A 种310 310C．A ·A 种 D．C ·C 种13 27 13 274．房间里有 5 个电灯，分别由 5 个开关控制，若至少开一个灯用以照明，则不同的开灯方法种数为( )A．32 B．31 C．25 D．105．某单位拟安排 6 位员工在今年 6 月 4 日至 6 日值班，每天安排 2 人，每人值班 1天．若 6 位员工中的甲不值 4 日，乙不值 6 日，则不同的安排方法共有( )A．30 种 B．36 种 C．42 种 D．48 种6．12 名同学合影，站成了前排 4 人后排 8 人．现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( )A．C A B．C A2823 286C．C A D．C A2826 2825二、填空题7．某校从 8 名教师中选派 4 名教师同时去 4 个边远地区支教(每地 1 人)，其中甲和乙不同去，甲和丙只能同去或同不去，则不同的选派方案共有________种．8．有 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1,2,3,4 的蓝色卡片，从这 8 张卡片中取出 4 张排成一行．如果取出的 4 张卡片所标的数字之和等于 10，则不同的排法共有________种．9．若对∀ x∈ A，有 ∈ A，就称 A 是“具有伙伴关系”的集合，则集合1xM＝{－1,0，，，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．1312三、解答题10．假设在 100 件产品中有 3 件是次品，从中任意抽取 5 件，求下列抽取方法各有多少种？(1)没有次品；(2)恰有 2 件是次品；(3)至少有 2 件是次品．311．车间有 11 名工人，其中 5 名是钳工，4 名是车工，另外 2 名老师傅既能当车工又能当钳工，现要在这 11 名工人里选派 4 名钳工，4 名车工修理一台机床，问有多少种选派方法？能力提升12．将 5 位志愿者分成三组，其中两组各 2 人，另一组 1 人，分赴世博会的三个不同场馆服务，则不同的分配方案有________种．13．有 12 名划船运动员，其中 3 人只会划左舷，4 人只会划右舷，其余 5 人既会划左舷又会划右舷，现在要从这 12 名运动员中选出 6 人平均分在左、右舷划船参加比赛，问有多少种不同的选法？4解答组合应用题的总体思路1．整体分类．对事件进行整体分类，从集合的意义讲，分类要做到各类的并集等于全集，以保证分类的不遗漏，任意两类的交集等于空集，以保证分类的不重复，计算结果时，使用分类加法计数原理．2．局部分步．整体分类以后，对每一类进行局部分步，分步要做到步骤连续，以保证分步的不遗漏，同时步骤要独立，以保证分步的不重复，计算每一类的相应结果时，使用分步乘法计数原理．3．考察顺序．区别排列与组合的重要标志是“有序”与“无序” ，无序的问题用组合解答，有序的问题用排列解答．4．辩证地看待“元素”与“位置” ．排列、组合问题中的元素与位置没有严格的界定标准，哪些事件看成元素或位置，随解题者的思维方式的变化而变化，要视具体情况而定．有时“元素选位置” ，问题解决得简捷，有时“位置选元素” ，效果会更好．1．2.2 组合答案知识梳理1．不同 取出 m(m≤ n)个元素合成一组2．所有不同组合的个数 C mnC C C 1nn－ 1n－ 2…n－ m＋ 1m！ n！m！ n－ m！ n－ mn mn m－ 1n3．(2)有关 无关作业设计1．C [所求为 5 选 3 的组合数 C ＝10(种)．]352．B3．D [每个被选的人都无角色差异，是组合问题．分 2 步完成：第 1 步，选女工，有 C 种选法；135第 2 步，选男工，有 C 种选法；27故有 C ·C 种不同选法．]13 274．B [因为开灯照明只与开灯的多少有关，而与开灯的先后顺序无关，这是一个组合问题．开 1 个灯有 C 种方法，开 2 个灯有 C 种方法，……5 个灯全开有 C 种方法，根据分15 25 5类加法计数原理，不同的开灯方法有 C ＋C ＋…＋C ＝31(种)．]15 25 55．C [若甲在 6 日值班，在除乙外的 4 人中任选 1 人在 6 日值班有 C 种选法，然后144 日、5 日有 C C 种安排方法，共有 C C C ＝24(种)安排方法；242 14242若甲在 5 日值班，乙在 4 日值班，余下的 4 人有 C C C ＝12(种)安排方法；14132若甲、乙都在 5 日值班，则共有 C C ＝6(种)安排方法．242所以总共有 24＋12＋6＝42(种)安排方法．]6．C [从后排 8 人中选 2 人，有 C 种选法，这 2 人插入前排 4 人中且保证其他人的28相对顺序不变，则先向前排 4 人中(5 个空档)插入 1 人，有 5 种插法，余下的 1 人则要插入前排 5 人中(6 个空档)，有 6 种插法，即 2 人共有 A 种插法，所以共有 C A 种不同调26 2826整方法．]7．600解析 可以分情况讨论：①甲、丙同去，则乙不去，有 C ·A ＝240(种)选法；②甲、25 4丙同不去，乙去，有 C ·A ＝240(种)选法；③甲、乙、丙都不去，有 A ＝120(种)选法，35 4 45所以共有 600 种不同的选派方案．8．432解析 分 3 类：第 1 类，当取出的 4 张卡片分别标有数字 1,2,3,4 时，不同的排法有C ·C ·C ·C ·A 种；12 12 12 12 4第 2 类，当取出的 4 张卡片分别标有数字 1,1,4,4 时，不同的排法有 C ·C ·A 种；2 2 4第 3 类，当取出的 4 张卡片分别标有数字 2,2,3,3 时，不同的排法有 C ·C ·A 种．2 2 4故满足题意的所有不同的排法共有C ·C ·C ·C ·A ＋C ·C ·A ＋C ·C ·A ＝432(种)．12 12 12 12 4 2 2 4 2 2 49．15解析 具有伙伴关系的元素组有－1；1； ，2； ，3，共 4 组，所以集合 M 的所有非12 13空子集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为C ＋C ＋C ＋C ＝15.14 24 34 410．解 (1)没有次品的抽法就是从 97 件正品中抽取 5 件的抽法，共有 C ＝64 446 597024(种)．6(2)恰有 2 件是次品的抽法就是从 97 件正品中抽取 3 件，并从 3 件次品中抽 2 件的抽法，共有 C C ＝442 320(种)．39723(3)至少有 2 件是次品的抽法，按次品件数来分有两类：第一类，从 97 件正品中抽取 3 件，并从 3 件次品中抽取 2 件，有 C C 种．39723第二类，从 97 件正品中抽取 2 件，并将 3 件次品全部抽取，有 C C 种．2973按分类加法计数原理有 C C ＋C C ＝446 976(种)．39723 297311．解 设 A， B 代表 2 名老师傅．A， B 都不在内的选派方法有 C ·C ＝5(种)；45 4A， B 都在内且当钳工的选派方法有 C ·C ·C ＝10(种)；2 25 4A， B 都在内且当车工的选派方法有 C ·C ·C ＝30(种)；2 45 24A， B 都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有 C ·A ·C ·C ＝80(种)；2 2 35 34A， B 有一人在内且当钳工的选派方法有 C ·C ·C ＝20(种)；12 35 4A， B 有一人在内且当车工的选派方法有 C ·C ·C ＝40(种)；12 45 34所以共有 5＋10＋30＋80＋20＋40＝185(种)选派方法．12．90解析 分成 3 组有 ＝15(种)分法．分赴世博会三个场馆有 A ＝6(种)方法，C25·C23·C1A2 3∴共有 15×6＝90(种)．13．解 设集合 A＝{只会划左舷的 3 个人}， B＝{只会划右舷的 4 个人}， C＝{既会划左舷又会划右舷的 5 个人}．先分类，以集合 A 为基准，划左舷的 3 个人中，有以下几类情况：① A 中有 3 人；② A中有 2 人； C 中有 1 人；③ A 中有 1 人， C 中有 2 人；④ C 中有 3 人．第①类，划左舷的人已选定，划右舷的人可以在 B∪ C 中选 3 人，即有 C 种选法．因39是分步问题，所以有 C ·C 种选法．第②类，划左舷的人在 A 中选 2 人，有 C 种选法，3 39 23在 C 中选 1 人，有 C 种选法，划右舷的在 B∪ C 中剩下的 8 个人中选 3 人，有 C 种选15 38法．因是分步问题，所以有 C ·C ·C 种选法．类似地，第③类，有 C ·C ·C 种选法，23 15 38 13 25 37第④类有 C ·C ·C 种选法．03 35 36所以一共有 C ·C ＋C ·C ·C ＋C ·C ·C ＋C ·C ·C ＝84＋840＋1 3 39 23 15 38 13 25 37 03 35 36050＋200＝2 174 种选法．11.3.1 二项式定理课时目标 1.掌握二项式定理，掌握通项公式.2.弄清二项式系数与展开式中某项系数的联系和区别.3.能够用二项式定理进行有关的计算和证明．1．二项式定理(1)二项展开式：( a＋ b)n＝________________________________________，叫做二项式定理．(2)(a＋ b)n的二项展开式共有________项，其中各项的系数________(r＝0,1,2，…， n)叫做展开式的二项式系数．2．二项展开式的通项(a＋ b)n的二项展开式中的____________叫做二项展开式的通项，用 Tr＋1 表示，即Tr＋1 ＝____________.一、选择题1．(2 x＋3 y)8展开式的项数为( )A．8 B．9 C．10 D．72．1－2C ＋4C －8C ＋16C ＋…＋(－2) n·C 等于( )1n 2n 3n 4n nA．1 B．－1 C．(－1) n D．3 n3．在( x2－ )5的二项展开式中，含 x4的项的系数是( )1xA．－10 B．10 C．－5 D．54．( － )10的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是( )x13xA．0 B．2 C．4 D．65．如果(3 x2－ )n的展开式中含有非零常数项，则正整数 n 的最小值为( )2x3A．3 B．5 C．6 D．106．(1＋ )6(1＋ )10展开式的常数项为( )3x14xA．1 B．46 C．4 245 D．4 2462二、填空题7．( － )6的展开式中， x3的系数为________．xy yx8．已知(1＋ kx2)6(k 是正整数)的展开式中， x8的系数小于 120，则 k＝________.9．(1＋ x＋ x2)(x－ )6的展开式中的常数项为______．1x三、解答题10．求 230－3 除以 7 的余数．11．已知( － )n(n∈N *)的展开式中第 5 项的系数与第 3 项的系数的比是 10∶1，x2x2(1)证明展开式中没有常数项；(2)求展开式中含 x 的项．32能力提升12．若( x－ )9的展开式中 x3的系数是－84，则 a＝________.ax13．若( ＋ )n的展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含 x 的一次x124x幂的项；(2)展开式中所有 x 的有理项．31．通项公式 Tr＋1 ＝C an－ rbr(n∈N ＋ ， r＝0,1,2，…， n)中含有 a， b， n， r， Tr＋1 五rn个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素，在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题(如判断和计算二项展开式中的特殊项)．2．运用二项式定理可以解决一些多项式化简、整除问题、近似计算问题等．1．3 二项式定理1．3.1 二项式定理答案知识梳理1．(1)C an＋C an－1 b＋…＋C an－ rbr＋…＋C bn(n∈N ＋ ) (2) n＋1 C0n 1n rn n rn2．C an－ rbr C an－ rbrrn rn作业设计1．B2．C [1－2C ＋4C －8C ＋16C ＋…＋(－2) n·C ＝(1－2) n＝(－1) n.]1n 2n 3n 4n n3．B [∵( x2－ )5的二项展开式的通项1xTr＋1 ＝C (x2)5－ r(－ )r＝C ·(－1) rx10－3 rr51x r5令 10－3 r＝4，∴ r＝2.∴ x4的系数是 C (－1) 2＝10.]254．B [ Tr＋1 ＝C x ·(－ )r·x－ rr1010－ r2 13＝C (－ )r·x .r1013 10－ 3r2若是正整数指数幂，则有 为正整数，10－ 3r24∴ r 可以取 0,2，∴项数为 2.]5．B [因为 Tr＋1 ＝C (3x2)n－ r(－2 x－3 )r＝(－2) r·3n－ r·C x2n－5 r，则 2n－5 r＝0，即rn rn5r＝2 n，所以Error! 或Error!….故 n 的最小值为 5.]6．D [(1＋ )6的展开式有 7 项，通项为 Tr＋1 ＝C ( )r＝C x (r＝0,1,2，…，6)；3x r63x r6r3(1＋ )10的展开式有 11 项，通项为 Ts＋1 ＝C ( )s＝C x－ (s＝0,1,2，…，10)；14x s10 14x s10 s4(1＋ )6(1＋ )10的展开式有 77 项，通项为 C x C x－ ＝C C x ，由 4r－3 s＝03x14x r6r3s10 s4 r6s104r－ 3s12得Error! 或Error!或Error!.故常数项为 1＋C C ＋C C ＝4 246.]36410 68107．15解析 设含有 x3项为第( r＋1)项，则 Tr＋1 ＝C ·( )6－ r·( )r6xy － yxr＝C ·x6－ r·y ·(－ y)r·x－ ＝C ·x6－ r－ ·y ·(－ y)r，r6r－ 62 r2 r6 r2 r－ 62令 6－ r－ ＝3，即 r＝2，r2∴ T3＝C ·x3· ·y2＝C ·x3，系数为 C ＝ ＝15.261y2 26 26 6×528．1解析 x8是(1＋ kx2)6的展开式的第 5 项， x8的系数为 C k4＝15 k4，由已知，得4615k4120，即 k48，又 k 是正整数，故 k＝1.9．－5解析 (1＋ x＋ x2)(x－ )61x＝(1＋ x＋ x2)[C x6(－ )0＋C x5(－ )1＋C x4·(－ )2＋C x3(－ )3＋C x2(－ )061x 16 1x 26 1x 36 1x 46 1x4＋C x(－ )5＋C x0(－ )6]＝(1＋ x＋ x2)·(x6－6 x4＋15 x2－20＋ － ＋ )，所以常数561x 6 1x 15x2 6x4 1x6项为 1×(－20)＋ x2· ＝－5.15x210．解 2 30－3＝(2 3)10－3＝8 10－3＝(7＋1) 10－3＝C 710＋C 79＋…＋C 7＋C －301 10 910 10＝7(C 79＋C 78＋…＋C )－201 10 910＝7(C 79＋C 78＋…＋C )－7＋5.01 10 9105∴余数为 5.11．(1)证明 由题意知第 5 项的系数为 C ·(－2) 4，4n第 3 项的系数为 C ·(－2) 2，2n则 ＝ ，C4n·－ 24C2n·－ 22 101解得 n＝8，或 n＝－3(舍去)．通项公式 Tr＋1 ＝C ( )8－ r·(－ )rr8 x2x2＝C (－2) r·x .r88－ 5r2若 Tr＋1 为常数项，当且仅当 ＝0，即 5r＝8，且 r∈N，这是不可能的，所以展开8－ 5r2式中没有常数项．(2)解 由(1)知，展开式中含 x 的项需 ＝ ，32 8－ 5r2 32则 r＝1，故展开式中含 x 的项为 T2＝－16 x .32 3212．1解析 由 Tr＋1 ＝C ·x9－ r·(－ )r＝(－ a)rC x9－2 r，令 9－2 r＝3，则 r＝3，即(－ a)r9ax r93C ＝－84，解得 a＝1.3913．解 由已知条件得：C ＋C · ＝2C · ，0n 2n122 1n 12解得 n＝8 或 n＝1(舍去)．(1)Tr＋1 ＝C ( )8－ r( )r＝C ·2－ r·x4－ r，r8 x124x r8 34令 4－ r＝1，得 r＝4，34∴含 x 的一次幂的项为 T4＋1 ＝C ·2－4 ·x＝ x.48358(2)令 4－ r∈Z( r≤8)，则只有当 r＝0,4,8 时，对应的项才是有理项，有理项分别为：34T1＝ x4， T5＝ x， T9＝ .358 1256x2