2019高考数学二轮复习 专题五 解析几何能力训练（打包4套）理.zip

1第一讲 直线与圆一、选择题1． “ab＝4”是“直线 2x＋ ay－1＝0 与直线 bx＋2 y－2＝0 平行”的( )A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件解析：因为两直线平行，所以斜率相等，即－ ＝－ ，可得 ab＝4，又当 a＝1， b＝42a b2时，满足 ab＝4，但是两直线重合，故选 C.答案：C2．已知圆( x－1) 2＋ y2＝1 被直线 x－ y＝0 分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之3比为( )A．1∶2 B．1∶3C．1∶4 D．1∶5解析：( x－1) 2＋ y2＝1 的圆心为(1,0)，半径为 1.圆心到直线的距离 d＝ ＝ ，所11＋ 3 12以较短弧所对的圆心角为 ，较长弧所对的圆心角为 ，故两弧长之比为 1∶2，故选 A.2π3 4π3答案：A3．(2018·临沂模拟)已知直线 3x＋ ay＝0( a＞0)被圆( x－2) 2＋ y2＝4 所截得的弦长为2，则 a的值为( )A. B.2 3C．2 D．22 3解析：由已知条件可知，圆的半径为 2，又直线被圆所截得的弦长为 2，故圆心到直线的距离为 ，即 ＝ ，得 a＝ .369＋ a2 3 3答案：B4．(2018·济宁模拟)已知圆 C过点 A(2,4)， B(4,2)，且圆心 C在直线 x＋ y＝4 上，若直线 x＋2 y－ t＝0 与圆 C相切，则 t的值为( )A．－6±2 B．6±25 5C．2 ±6 D．6±45 5解析：因为圆 C过点 A(2,4)， B(4,2)，所以圆心 C在线段 AB的垂直平分线 y＝ x上，又圆心 C在直线 x＋ y＝4 上，联立Error!，解得 x＝ y＝2，即圆心 C(2,2)，圆 C的半径 r＝＝2. 又直线 x＋2 y－ t＝0 与圆 C相切，所以 ＝2，解得 2－ 2 2＋  2－ 4 2|2＋ 4－ t|52t＝6±2 .5答案：B5．(2018·南昌第一次模拟)如图，在平面直角坐标系 xOy中，直线 y＝2 x＋1 与圆x2＋ y2＝4 相交于 A， B两点，则 cos∠ AOB＝( )A. B．－510 510C. D．－910 910解析：因为圆 x2＋ y2＝4 的圆心为 O(0,0)，半径为 2，所以圆心 O到直线 y＝2 x＋1 的距离 d＝ ＝ ，所以弦长| AB|＝2 ＝2 .|2×0－ 0＋ 1|22＋  － 1 2 15 22－ (15)2 195在△ AOB中，由余弦定理得 cos∠ AOB＝ ＝ ＝－ .|OA|2＋ |OB|2－ |AB|22|OA|·|OB| 4＋ 4－ 4×1952×2×2 910答案：D6．(2018·合肥第一次教学质量检测)设圆 x2＋ y2－2 x－2 y－2＝0 的圆心为 C，直线 l过(0,3)与圆 C交于 A， B两点，若| AB|＝2 ，则直线 l的方程为( )3A．3 x＋4 y－12＝0 或 4x－3 y＋9＝0B．3 x＋4 y－12＝0 或 x＝0C．4 x－3 y＋9＝0 或 x＝0D．3 x－4 y＋12＝0 或 4x＋3 y＋9＝0解析：当直线 l的斜率不存在时，计算出弦长为 2 ，符合题意；3当直线 l的斜率存在时，可设直线 l的方程为 y＝ kx＋3，由弦长为 2 可知，圆心到3该直线的距离为 1，从而有 ＝1，解得 k＝－ ，综上，直线 l的方程为 x＝0 或|k＋ 2|k2＋ 1 343x＋4 y－12＝0，故选 B.答案：B7．已知圆 O： x2＋ y2＝1，点 P为直线 ＋ ＝1 上一动点，过点 P向圆 O引两条切线x4 y2PA， PB， A， B为切点，则直线 AB经过定点( )3A．( ， ) B．( ， )12 14 14 12C．( ，0) D．(0， )34 34解析：因为点 P是直线 ＋ ＝1 上的一动点，所以设 P(4－2 m， m)．x4 y2因为 PA， PB是圆 x2＋ y2＝1 的两条切线，切点分别为 A， B，所以 OA⊥ PA， OB⊥ PB，所以点 A， B在以 OP为直径的圆 C上，即弦 AB是圆 O和圆 C的公共弦．因为圆心 C的坐标是(2－ m， )，且半径的平方 r2＝ ，所以圆 C的方m2  4－ 2m 2＋ m24程为( x－2＋ m)2＋( y－ )2＝ ，①m2  4－ 2m 2＋ m24又 x2＋ y2＝1，②所以②－①得，(2 m－4) x－ my＋1＝0，即公共弦 AB所在的直线方程为(2 x－ y)m＋(－4 x＋1)＝0，所以由Error!得Error!所以直线 AB过定点( ， )．故选 B.14 12答案：B8．若过点 A(1,0)的直线 l与圆 C： x2＋ y2－6 x－8 y＋21＝0 相交于 P， Q两点，线段PQ的中点为 M， l与直线 x＋2 y＋2＝0 的交点为 N，则| AM|·|AN|的值为( )A．5 B．6C．7 D．8解析：圆 C的方程化成标准方程可得( x－3) 2＋( y－4) 2＝4，故圆心为 C(3,4)，半径为2，则可设直线 l的方程为 kx－ y－ k＝0( k≠0)，由Error!得 N ，又直线(2k－ 22k＋ 1， － 3k2k＋ 1)CM与 l垂直，得直线 CM的方程为 y－4＝－ (x－3)．1k由Error!得 M ，(k2＋ 4k＋ 3k2＋ 1 ， 4k2＋ 2kk2＋ 1)则| AM|·|AN|＝ .(k2＋ 4k＋ 3k2＋ 1 － 1)2＋ (4k2＋ 2kk2＋ 1)2＝ × × ＝6.故选 B.(2k－ 22k＋ 1－ 1)2＋ (－ 3k2k＋ 1)2 2|2k＋ 1|1＋ k2 1＋ k2 31＋ k2|2k＋ 1|答案：B二、填空题9．(2018·高考全国卷Ⅰ)直线 y＝ x＋1 与圆 x2＋ y2＋2 y－3＝0 交于 A， B两点，则4|AB|＝________.解析：由 x2＋ y2＋2 y－3＝0，得 x2＋( y＋1) 2＝4.∴圆心 C(0，－1)，半径 r＝2.圆心 C(0，－1)到直线 x－ y＋1＝0 的距离 d＝ ＝ ，∴| AB|＝2 ＝2|1＋ 1|2 2 r2－ d2＝ 2 .4－ 2 2答案：2 210．(2018·江苏三市三模)在平面直角坐标系 xOy中，已知点 A(0，－2)，点B(1，－1)， P为圆 x2＋ y2＝2 上一动点，则 的最大值是________．|PB||PA|解析：设动点 P(x， y)，令 ＝ t(t＞0)，则 ＝ t2，整理得，|PB||PA|  1－ x 2＋  － 1－ y 2 － x 2＋  － 2－ y 2(1－ t2)x2＋(1－ t2)y2－2 x＋(2－4 t2)y＋2－4 t2＝0，(*)易知当 1－ t2≠0 时，(*)式表示一个圆，且动点 P在该圆上，又点 P在圆 x2＋ y2＝2 上，所以点 P为两圆的公共点，两圆方程相减得两圆公共弦所在直线 l的方程为 x－(1－2 t2)y－2＋3 t2＝0，所以圆心(0,0)到直线 l的距离 d＝ ≤ ，解得 0＜ t≤2，所以 的|－ 2＋ 3t2|1＋  1－ 2t2 2 2 |PB||PA|最大值为 2.答案：2三、解答题11．已知圆 C过点 P(1,1)，且圆 C与圆 M：( x＋2) 2＋( y＋2) 2＝ r2(r＞0)关于直线x＋ y＋2＝0 对称．(1)求圆 C的方程；(2)设 Q为圆 C上的一个动点，求 · 的最小值．PQ→ MQ→ 解析：(1)设圆心 C(a， b)，则Error!解得Error!则圆 C的方程为 x2＋ y2＝ r2，将点 P的坐标代入得 r2＝2，故圆 C的方程为 x2＋ y2＝2.(2)设 Q(x， y)，则 x2＋ y2＝2，· ＝( x－1， y－1)·( x＋2， y＋2)＝ x2＋ y2＋ x＋ y－4＝ x＋ y－2，PQ→ MQ→ 令 x＝ cos θ ， y＝ sin θ ，2 2则 · ＝ x＋ y－2＝ (sin θ ＋cos θ )－2＝2sin －2，PQ→ MQ→ 2 (θ ＋ π4)5所以 · 的最小值为－4.PQ→ MQ→ 12．已知圆 C： x2＋ y2＋2 x－4 y＋3＝0.(1)若圆 C的切线在 x轴和 y轴上的截距相等，求此切线的方程；(2)从圆 C外一点 P(x1， y1)向该圆引一条切线，切点为 M， O为坐标原点，且有|PM|＝| PO|，求使| PM|取得最小值时点 P的坐标．解析：(1)圆 C的标准方程为( x＋1) 2＋( y－2) 2＝2.①当此切线在两坐标轴上的截距为零时，设此切线方程为 y＝ kx，由 ＝ ，得 k＝2± ，|k＋ 2|1＋ k2 2 6∴此切线方程为 y＝(2± )x.6②当此切线在两坐标轴上的截距不为零时，设此切线方程为 x＋ y－ a＝0，由＝ ，得| a－1| ＝2，即 a＝－1 或 a＝3.|－ 1＋ 2－ a|2 2∴此切线方程为 x＋ y＋1＝0 或 x＋ y－3＝0.综上，此切线方程为 y＝(2＋ )x或 y＝(2－ )x或 x＋ y＋1＝0 或 x＋ y－3＝0.6 6(2)由| PO|＝| PM|，得| PO|2＝| PM|2＝| PC|2－| CM|2，即 x ＋ y ＝( x1＋1) 2＋( y1－2)21 212－2，整理得 2x1－4 y1＋3＝0，即点 P在直线 l：2 x＋4 y＋3＝0 上，当| PM|取最小值时，| PO|取最小值，此时直线 PO⊥ l，∴直线 PO的方程为 2x＋ y＝0.解方程组Error!得Error!故使| PM|取得最小值时，点 P的坐标为 .(－310， 35)13．已知过抛物线 C： y2＝2 px(p＞0)的焦点，斜率为 2 的直线交抛物线于 A(x1， y1)2和 B(x2， y2)(x1＜ x2)两点，且| AB|＝ .92(1)求抛物线 C的方程；(2)若抛物线 C的准线为 l，焦点为 F，点 P为直线 m： x＋ y－2＝0 上的动点，且点 P的横坐标为 a，试讨论当 a取不同的值时，圆心在抛物线 C上，与直线 l相切，且过点 P的圆的个数．解析：(1)直线 AB的方程是 y＝2 (x－ )，代入 y2＝2 px，得 4x2－5 px＋ p2＝0，所以2p2x1＋ x2＝ ，5p4由抛物线的定义得| AB|＝ x1＋ x2＋ p＝ ＝ ，∴ p＝2，9p4 92∴抛物线 C的方程是 y2＝4 x.6(2)法一：由(1)知 l： x＝－1， F(1,0)．∵所求圆的圆心在抛物线上，且与 l相切，则圆过焦点 F，又圆过点 P，∴圆心在 PF的中垂线上，设 P(a,2－ a)，则 PF的中点坐标为( ， )，当 a≠1， a≠2 时 kPF＝a＋ 12 2－ a2，∴ PF的中垂线方程为 y＝ (x－ )＋ ，化简得2－ aa－ 1 a－ 1a－ 2 a＋ 12 2－ a2y＝ x＋ ①.a－ 1a－ 2 － 2a2＋ 4a－ 32 a－ 2圆的个数即中垂线与抛物线的交点个数，将 x＝ 代入①得y24y2－ y＋ ＝0，a－ 14 a－ 2 － 2a2＋ 4a－ 32 a－ 2Δ ＝1－4· · ＝1＋ ＝a－ 14 a－ 2 － 2a2＋ 4a－ 32 a－ 2  a－ 1  2a2－ 4a＋ 32 a－ 2 2＝ ＝ .2 a－ 2 2＋ 2a3－ 6a2＋ 7a－ 32 a－ 2 2 2a3－ 4a2－ a＋ 52 a－ 2 2  a＋ 1  2a2－ 6a＋ 52 a－ 2 2∴当 a＝－1 时，交点有 1个，圆有 1个；当 a＜－1 时，交点有 0个，圆有 0个；当 a＞－1，且 a≠1， a≠2 时，交点有 2个，圆有 2个．而当 a＝2 时，易验证有 2个交点，圆有 2个；当 a＝1 时，易知交点有 1个，圆有 1个．综上所述，当 a＜－1 时，圆有 0个；当 a＝±1 时，圆有 1个；当 a＞－1，且 a≠1 时，圆有 2个．法二：设圆心 Q(x0， y0)(y ＝4 x0)， P(a,2－ a)，由于准线 l： x＝－1，20故若存在圆 Q满足条件，则 r＝| PQ|＝ ，且 x0－ a 2＋  y0＋ a－ 2 2r＝ x0＋1，∴( x0－ a)2＋( y0＋ a－2) 2＝( x0＋1) 2，即 a2＋ y ＋2( a－2) y0＋( a－2) 2＝(2＋2 a)x0＋1＝(2＋2 a) －1，20y204整理得(1－ a)y ＋(4 a－8) y0＋4 a2－8 a＋6＝0 (*)，20当 a＝1 时，(*)式即－4 y0＋2＝0，有 1个解．当 a≠1 时，(*)式中 Δ ＝(4 a－8) 2－4(1－ a)(4a2－8 a＋6)＝16 a3－32 a2－8 a＋40＝8( a＋1)(2 a2－6 a＋5)，∵2 a2－6 a＋5＝2( a－ )2＋ ＞0，32 12∴当 a＞－1 且 a≠1 时， Δ ＞0，(*)式有 2个解；当 a＝－1 时， Δ ＝0，(*)式有 1个解；7当 a＜－1 时， Δ ＜0，(*)式无解．综上，当 a＜－1 时，圆有 0个；当 a＝±1 时，圆有 1个；当 a＞－1，且 a≠1 时，圆有 2个．1第三讲 圆锥曲线的综合应用 第一课时 圆锥曲线的最值、范围、证明问题1．(2018·成都模拟)在平面直角坐标系 xOy中，已知△ ABC的两个顶点 A， B的坐标分别为(－1,0)，(1,0)，且 AC， BC所在直线的斜率之积等于－2，记顶点 C的轨迹为曲线E.(1)求曲线 E的方程；(2)设直线 y＝ kx＋2(0＜ k＜2)与 y轴相交于点 P，与曲线 E相交于不同的两点Q， R(点 R在点 P和点 Q之间)，且 ＝ λ ，求实数 λ 的取值范围．PQ→ PR→ 解析：(1)设 C(x， y)．由题意，可得 · ＝－2( x≠±1)，yx－ 1 yx＋ 1∴曲线 E的方程为 x2＋ ＝1( x≠±1)．y22(2)设 R(x1， y1)， Q(x2， y2)．联立，得Error!消去 y，可得(2＋ k2)x2＋4 kx＋2＝0，∴ Δ ＝8 k2－16＞0，∴ k2＞2.又 0＜ k＜2，∴ ＜ k＜2.2由根与系数的关系得， x1＋ x2＝－ ， ①4k2＋ k2x1x2＝ . ②22＋ k2∵ ＝ λ ，点 R在点 P和点 Q之间，PQ→ PR→ ∴ x2＝ λx 1(λ ＞1)． ③联立①②③，可得 ＝ . 1＋ λ  2λ 8k22＋ k2∵ ＜ k＜2，2∴ ＝ ∈(4， )，8k22＋ k2 82k2＋ 1 163∴4＜ ＜ ， 1＋ λ  2λ 163∴ ＜ λ ＜3，且 λ ≠1.13∵ λ ＞1，∴实数 λ 的取值范围为(1,3)．22．(2018·武汉调研)已知抛物线 C： x2＝2 py(p＞0)和定点 M(0,1)，设过点 M的动直线交抛物线 C于 A， B两点，抛物线 C在 A， B处的切线的交点为 N.(1)若 N在以 AB为直径的圆上，求 p的值；(2)若△ ABN的面积的最小值为 4，求抛物线 C的方程．解析：设直线 AB： y＝ kx＋1， A(x1， y1)， B(x2， y2)，将直线 AB的方程代入抛物线 C的方程得 x2－2 pkx－2 p＝0，则 x1＋ x2＝2 pk， x1x2＝－2 p. ①(1)由 x2＝2 py得 y′＝ ，则 A， B处的切线斜率的乘积为 ＝－ ，xp x1x2p2 2p∵点 N在以 AB为直径的圆上，∴ AN⊥ BN，∴－ ＝－1，∴ p＝2.2p(2)易得直线 AN： y－ y1＝ (x－ x1)，直线 BN： y－ y2＝ (x－ x2)，x1p x2p联立，得Error!结合①式，解得Error!即 N(pk，－1)．|AB|＝ |x2－ x1|＝ ＝ ，1＋ k2 1＋ k2 x1＋ x2 2－ 4x1x2 1＋ k24p2k2＋ 8p点 N到直线 AB的距离 d＝ ＝ ，|kxN＋ 1－ yN|1＋ k2 |pk2＋ 2|1＋ k2则△ ABN的面积 S△ ABN＝ ·|AB|·d＝ ≥2 ，当 k＝0 时，取等号，12 p pk2＋ 2 3 2p∵△ ABN的面积的最小值为 4，∴2 ＝4，∴ p＝2，故抛物线 C的方程为 x2＝4 y.2p3．(2018·山西四校联考)如图，圆 C与 x轴相切于点 T(2,0)，与 y轴正半轴相交于两点 M、 N(点 M在点 N的下方)，且| MN|＝3.(1)求圆 C的方程；(2)过点 M任作一条直线与椭圆 ＋ ＝1 相交于两点 A、 B，连接 AN、 BN，求证：x28 y24∠ ANM＝∠ BNM.解析：(1)设圆 C的半径为 r(r＞0)，依题意，圆心 C的坐标为(2， r)．∵| MN|＝3，∴ r2＝ 2＋2 2，解得 r2＝ .(32) 254∴圆 C的方程为( x－2) 2＋ 2＝ .(y－52) 2543(2)证明：把 x＝0 代入方程( x－2) 2＋ 2＝ ，(y－52) 254解得 y＝1 或 y＝4，即点 M(0,1)、 N(0,4)．①当 AB⊥ x轴时，可知∠ ANM＝∠ BNM＝0˚.②当 AB与 x轴不垂直时，可设直线 AB的方程为 y＝ kx＋1.联立方程Error!，消去 y得，(1＋2 k2)x2＋4 kx－6＝0.设直线 AB交椭圆于 A(x1， y1)、 B(x2， y2)两点，则 x1＋ x2＝ ， x1x2＝ .－ 4k1＋ 2k2 － 61＋ 2k2∴ kAN＋ kBN＝ ＋ ＝ ＋ ＝ .y1－ 4x1 y2－ 4x2 kx1－ 3x1 kx2－ 3x2 2kx1x2－ 3 x1＋ x2x1x2若 kAN＋ kBN＝0，则∠ ANM＝∠ BNM.∵2 kx1x2－3( x1＋ x2)＝ ＋ ＝0，－ 12k1＋ 2k2 12k1＋ 2k2∴∠ ANM＝∠ BNM.4．(2018·德州模拟)已知 C为圆( x＋1) 2＋ y2＝8 的圆心， P是圆上的动点，点 Q在圆的半径 CP上，且有点 A(1,0)和 AP上的点 M，满足 · ＝0， ＝2 .MQ→ AP→ AP→ AM→ (1)当点 P在圆上运动时，求点 Q的轨迹方程；(2)若斜率为 k的直线 l与圆 x2＋ y2＝1 相切，与(1)中所求点 Q的轨迹交于不同的两点 F， H， O是坐标原点，且 ≤ · ≤ 时，求 k的取值范围．34 OF→ OH→ 45解析：(1)由题意知 MQ是线段 AP的垂直平分线，所以| CP|＝| QC|＋| QP|＝| QC|＋| QA|＝2 ＞| CA|＝2，2所以点 Q的轨迹是以点 C， A为焦点，焦距为 2，长轴长为 2 的椭圆，2所以 a＝ ， c＝1， b＝ ＝1，2 a2－ c2故点 Q的轨迹方程是 ＋ y2＝1.x22(2)设直线 l： y＝ kx＋ t， F(x1， y1)， H(x2， y2)，直线 l与圆 x2＋ y2＝1 相切⇒ ＝1⇒ t2＝ k2＋1.|t|k2＋ 1联立，得Error!⇒(1＋2 k2)x2＋4 ktx＋2 t2－2＝0，Δ ＝16 k2t2－4(1＋2 k2)(2t2－2)＝8(2 k2－ t2＋1)＝8 k2＞0⇒ k≠0，x1＋ x2＝ ， x1x2＝ ，－ 4kt1＋ 2k2 2t2－ 21＋ 2k2所以 ·OF→ OH→ ＝ x1x2＋ y1y24＝(1＋ k2)x1x2＋ kt(x1＋ x2)＋ t2＝ ＋ kt ＋ t2 1＋ k2  2t2－ 21＋ 2k2 － 4kt1＋ 2k2＝ － ＋ k2＋1 1＋ k2 2k21＋ 2k2 4k2 k2＋ 11＋ 2k2＝ ，1＋ k21＋ 2k2所以 ≤ ≤ ⇒ ≤ k2≤ ⇒ ≤| k|≤ ，34 1＋ k21＋ 2k2 45 13 12 33 22所以－ ≤ k≤－ 或 ≤ k≤ .22 33 33 22故 k的取值范围是[－ ，－ ]∪[ ， ]．22 33 33 221第三讲 圆锥曲线的综合应用 第二课时 圆锥曲线的定点、定值、存在性问题1．(2018·云南师大附中质检)已知椭圆 C的焦点在 x轴上，离心率等于 ，且过点255.(1，255)(1)求椭圆 C的标准方程；(2)过椭圆 C的右焦点 F作直线 l交椭圆 C于 A， B两点，交 y轴于 M点，若＝ λ 1 ， ＝ λ 2 ，求证： λ 1＋ λ 2为定值．MA→ AF→ MB→ BF→ 解析：(1)设椭圆 C的方程为＋ ＝1( a＞ b＞0)，x2a2 y2b2则Error!∴ a2＝5， b2＝1，∴椭圆 C的标准方程为 ＋ y2＝1.x25(2)证明：设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， M(0， y0) ，又易知 F点的坐标为(2,0)．显然直线 l存在斜率，设直线 l的斜率为 k，则直线 l的方程是 y＝ k(x－2)，将直线 l的方程代入椭圆 C的方程中，消去 y并整理得(1＋5 k2)x2－20 k2x＋20 k2－5＝0，∴ x1＋ x2＝ ， x1x2＝ .20k21＋ 5k2 20k2－ 51＋ 5k2又∵ ＝ λ 1 ， ＝ λ 2 ，将各点坐标代入得 λ 1＝ ， λ 2＝ ，MA→ AF→ MB→ BF→ x12－ x1 x22－ x2∴ λ 1＋ λ 2＝ ＋x12－ x1 x22－ x2＝2 x1＋ x2 － 2x1x24－ 2 x1＋ x2 ＋ x1x2＝ ＝－10，2(20k21＋ 5k2－ 20k2－ 51＋ 5k2)4－ 2·20k21＋ 5k2＋ 20k2－ 51＋ 5k2即 λ 1＋ λ 2为定值．22．(2018·贵阳一模)过抛物线 C： y2＝4 x的焦点 F且斜率为 k的直线 l交抛物线 C于 A， B两点，且| AB|＝8.(1)求 l的方程；(2)若 A关于 x轴的对称点为 D，求证：直线 BD恒过定点，并求出该点的坐标．解析：(1)易知点 F的坐标为(1,0)，则直线 l的方程为 y＝ k(x－1)，代入抛物线方程y2＝4 x得 k2x2－(2 k2＋4) x＋ k2＝0，由题意知 k≠0，且[－(2 k2＋4)] 2－4 k2·k2＝16( k2＋1)＞0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，∴ x1＋ x2＝ ， x1x2＝1，2k2＋ 4k2由抛物线的定义知| AB|＝ x1＋ x2＋2＝8，∴ ＝6，∴ k2＝1，即 k＝±1，2k2＋ 4k2∴直线 l的方程为 y＝±( x－1)．(2)由抛物线的对称性知， D点的坐标为( x1，－ y1)，直线 BD的斜率 kBD＝ ＝y2＋ y1x2－ x1＝ ，y2＋ y1y24－ y214 4y2－ y1∴直线 BD的方程为 y＋ y1＝ (x－ x1)，4y2－ y1即( y2－ y1)y＋ y2y1－ y ＝4 x－4 x1，21∵ y ＝4 x1， y ＝4 x2， x1x2＝1，∴( y1y2)2＝16 x1x2＝16，21 2即 y1y2＝－4( y1， y2异号)，∴直线 BD的方程为 4(x＋1)＋( y1－ y2)y＝0，恒过点(－1,0)．3．(2018·南宁模拟)已知抛物线 C： y2＝ ax(a＞0)上一点 P(t， )到焦点 F的距离为122t.(1)求抛物线 C的方程；(2)抛物线 C上一点 A的纵坐标为 1，过点 Q(3，－1)的直线与抛物线 C交于 M， N两个不同的点(均与点 A不重合)，设直线 AM， AN的斜率分别为 k1， k2，求证： k1k2为定值．解析：(1)由抛物线的定义可知| PF|＝ t＋ ＝2 t，则 a＝4 t，a4由点 P(t， )在抛物线上，得 at＝ ，12 14∴ a× ＝ ，则 a2＝1，a4 14由 a＞0，得 a＝1，3∴抛物线 C的方程为 y2＝ x.(2)∵点 A在抛物线 C上，且 yA＝1，∴ xA＝1.∴ A(1,1)，设过点 Q(3，－1)的直线的方程为 x－3＝ m(y＋1)，即 x＝ my＋ m＋3，代入 y2＝ x得 y2－ my－ m－3＝0.设 M(x1， y1)， N(x2， y2)，则 y1＋ y2＝ m， y1y2＝－ m－3，∴ k1k2＝ ·y1－ 1x1－ 1 y2－ 1x2－ 1＝y1y2－  y1＋ y2 ＋ 1m2y1y2＋ m m＋ 2  y1＋ y2 ＋  m＋ 2 2＝－ ，12∴ k1k2为定值．4．(2018·福州四校联考)已知椭圆 C： ＋ ＝1( a＞ b＞0)的两个焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，短轴的一个端点为 P，△ PF1F2内切圆的半径为 ，设过点 F2的直线 l被椭圆 C截得b3的线段为 RS，当 l⊥ x轴时，| RS|＝3.(1)求椭圆 C的标准方程；(2)在 x轴上是否存在一点 T，使得当 l变化时，总有 TS与 TR所在直线关于 x轴对称？若存在，请求出点 T的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)由内切圆的性质，得 ×2c×b＝ ×(2a＋2 c)× ，得 ＝ .12 12 b3 ca 12将 x＝ c代入 ＋ ＝1，得 y＝± ，所以 ＝3.x2a2 y2b2 b2a 2b2a又 a2＝ b2＋ c2，所以 a＝2， b＝ ，3故椭圆 C的标准方程为 ＋ ＝1.x24 y23(2)当直线 l垂直于 x轴时，显然 x轴上任意一点 T都满足 TS与 TR所在直线关于 x轴对称．当直线 l不垂直于 x轴时，假设存在 T(t,0)满足条件，设 l的方程为 y＝ k(x－1)，R(x1， y1)， S(x2， y2)．联立方程，得Error!得(3＋4 k2)x2－8 k2x＋4 k2－12＝0，由根与系数的关系得Error!①，其中 Δ ＞0 恒成立，由 TS与 TR所在直线关于 x轴对称，得 kTS＋ kTR＝0(显然 TS， TR的斜率存在)，4即 ＋ ＝0 ②.y1x1－ t y2x2－ t因为 R， S两点在直线 y＝ k(x－1)上，所以 y1＝ k(x1－1)， y2＝ k(x2－1)，代入②得＝k x1－ 1  x2－ t ＋ k x2－ 1  x1－ t x1－ t  x2－ t k[2x1x2－  t＋ 1  x1＋ x2 ＋ 2t] x1－ t  x2－ t＝0，即 2x1x2－( t＋1)( x1＋ x2)＋2 t＝0 ③，将①代入③得 ＝ ＝0 ④，8k2－ 24－  t＋ 1 8k2＋ 2t 3＋ 4k23＋ 4k2 6t－ 243＋ 4k2则 t＝4，综上所述，存在 T(4,0)，使得当 l变化时，总有 TS与 TR所在直线关于 x轴对称．1第二讲 椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质一、选择题1．(2018·广西南宁模拟)双曲线 － ＝1 的渐近线方程为( )x225 y220A． y＝± x B． y＝± x45 54C． y＝± x D． y＝± x15 255解析：在双曲线 － ＝1 中， a＝5， b＝2 ，而其渐近线方程为 y＝± x，∴其渐x225 y220 5 ba近线方程为 y＝± x，故选 D.255答案：D2．已知椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1( m＞0)，如果直线 y＝ x 与椭圆的一个交点 M 在 xx216 y2m2 22轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F，则 m 的值为( )A．2 B．2 2C．8 D．2 3解析：根据已知条件得 c＝ ，则点 在椭圆16－ m2 (16－ m2，22 16－ m2)＋ ＝1( m＞0)上，∴ ＋ ＝1，可得 m＝2 .x216 y2m2 16－ m216 16－ m22m2 2答案：B3．(2018·张掖模拟)双曲线 － ＝1( a＞0， b＞0)的渐近线与圆 x2＋( y－2) 2＝1 相x2a2 y2b2切，则双曲线的离心率为( )A. B. C．2 D．32 3解析：双曲线 － ＝1 的渐近线与圆 x2＋( y－2) 2＝1 相切，则圆心(0,2)到直线x2a2 y2b2bx－ ay＝0 的距离为 1，所以 ＝1，即 ＝1，所以双曲线的离心率 e＝ ＝2，故选 C.2aa2＋ b2 2ac ca答案：C4．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆 C： ＋ ＝1( ab0)的左、右顶点分别为x2a2 y2b2A1、 A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx－ ay＋2 ab＝0 相切，则 C 的离心率为( )2A. B. C. D.63 33 23 13解析：以线段 A1A2为直径的圆的圆心为坐标原点 O(0,0)，半径为 a.由题意，圆心到直线 bx－ ay＋2 ab＝0 的距离为 ＝ a，即 a2＝3 b2.又 e2＝1－ ＝ ，所以 e＝ .2aba2＋ b2 b2a2 23 63答案：A5．已知双曲线 － ＝1( a＞0， b＞0)的焦距为 4 ，渐近线方程为 2x±y＝0，则双x2a2 y2b2 5曲线的方程为( )A. － ＝1 B. － ＝1x24 y216 x216 y24C. － ＝1 D. － ＝1x216 y264 x264 y216解析：易知双曲线 － ＝1( a＞0， b＞0)的焦点在 x 轴上，所以由渐近线方程为x2a2 y2b22x±y＝0，得 ＝2，因为双曲线的焦距为 4 ，所以 c＝2 ，结合 c2＝ a2＋ b2，可得ba 5 5a＝2， b＝4，所以双曲线的方程为 － ＝1，故选 A.x24 y216答案：A6．(2018·长春模拟)已知 O 为坐标原点，设 F1， F2分别是双曲线 x2－ y2＝1 的左、右焦点， P 为双曲线上任意一点，过点 F1作∠ F1PF2的平分线的垂线，垂足为 H，则| OH|＝( )A．1 B．2C．4 D.12解析：不妨设 P 在双曲线的左支，如图，延长 F1H 交 PF2于点 M，由于 PH 既是∠ F1PF2的平分线又垂直于 F1M，故△PF1M 为等腰三角形，| PF1|＝| PM|且 H 为 F1M 的中点，所以 OH为△ MF1F2的中位线，所以| OH|＝ |MF2|＝ (|PF2|－| PM|)12 12＝ (|PF2|－| PF1|)＝1.故选 A.12答案：A7．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线 C： － ＝1( a＞0， b＞0)的离心率为 ，则x2a2 y2b2 2点(4,0)到 C 的渐近线的距离为( )A. B．223C. D．2322 2解析：由题意，得 e＝ ＝ ， c2＝ a2＋ b2，得 a2＝ b2.又因为 a＞0， b＞0，所以ca 2a＝ b，渐近线方程为 x±y＝0，点(4,0)到渐近线的距离为 ＝2 ，42 2故选 D.答案：D8．(2018·石家庄一模)已知直线 l： y＝2 x＋3 被椭圆 C： ＋ ＝1( a＞ b＞0)截得的x2a2 y2b2弦长为 7，有下列直线：① y＝2 x－3；② y＝2 x＋1；③ y＝－2 x－3；④ y＝－2 x＋3.其中被椭圆 C 截得的弦长一定为 7 的有( )A．1 条 B．2 条C．3 条 D．4 条解析：易知直线 y＝2 x－3 与直线 l 关于原点对称，直线 y＝－2 x－3 与直线 l 关于 x轴对称，直线 y＝－2 x＋3 与直线 l 关于 y 轴对称，故由椭圆的对称性可知，有 3 条直线被椭圆 C 截得的弦长一定为 7.选 C.答案：C9．(2018·洛阳模拟)设双曲线 C： － ＝1 的右焦点为 F，过 F 作双曲线 C 的渐近x216 y29线的垂线，垂足分别为 M， N，若 d 是双曲线上任意一点 P 到直线 MN 的距离，则 的值d|PF|为( )A. B.34 45C. D．无法确定54解析：双曲线 C： － ＝1 中， a＝4， b＝3， c＝5，右焦点 F(5,0)，渐近线方程为x216 y29y＝± x.不妨设 M 在直线 y＝ x 上， N 在直线 y＝－ x 上，则直线 MF 的斜率为－ ，其方34 34 34 43程为 y＝－ (x－5)，设 M(t， t)，代入直线 MF 的方程，得 t＝－ (t－5)，解得 t＝ ，43 34 34 43 165即 M( ， )．由对称性可得 N( ，－ )，所以直线 MN 的方程为 x＝ .设 P(m， n)，则165 125 165 125 165d＝| m－ |， － ＝1，即 n2＝ (m2－16)，则| PF|＝ ＝ |5m－16|.故165 m216 n29 916  m－ 5 2＋ n2 144＝ ＝ ，故选 B.d|PF||m－ 165|14|5m－ 16| 45答案：B10．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线 C： y2＝4 x 的焦点为 F，过点(－2,0)且斜率为的直线与 C 交于 M， N 两点，则 · ＝( )23 FM→ FN→ A．5 B．6 C．7 D．8解析：由题意知直线 MN 的方程为 y＝ (x＋2)，23联立直线与抛物线的方程，得Error!解得Error! 或Error!不妨设 M 为(1,2)， N 为(4,4)．又∵抛物线焦点为 F(1,0)，∴ ＝(0,2)， ＝(3,4)，FM→ FN→ ∴ · ＝0×3＋2×4＝8.FM→ FN→ 故选 D.答案：D11．(2018·广西五校联考)已知点 F1， F2分别是双曲线 － ＝1( a＞0， b＞0)的左、x2a2 y2b2右焦点，过 F2且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 M， N 两点，若 · 1＞0，则该双曲线MF1→ NF→ 的离心率 e 的取值范围是( )A．( ， ＋1) B．(1， ＋1)2 2 2C．(1， ) D．( ，＋∞)3 3解析：设 F1(－ c,0)， F2(c,0)，依题意可得 － ＝1，得到 y＝ ，c2a2 y2b2 b2a不妨设 M ， N ，(c，b2a) (c， － b2a)则 1· 1＝ · ＝4 c2－ ＞0，MF→ NF→ (－ 2c， － b2a) (－ 2c， b2a) b4a2得到 4a2c2－( c2－ a2)2＞0，即 a4＋ c4－6 a2c2＜0，故 e4－6 e2＋1＜0，5解得 3－2 ＜ e2＜3＋2 ，2 2又 e＞1，所以 1＜ e2＜3＋2 ，2解得 1＜ e＜1＋ 2答案：B12．(2018·南昌模拟)抛物线 y2＝8 x 的焦点为 F，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)是抛物线上的两个动点，若 x1＋ x2＋4＝ |AB|，则∠ AFB 的最大值为( )233A. B.π 3 3π4C. D.5π6 2π3解析：由抛物线的定义可得| AF|＝ x1＋2，| BF|＝ x2＋2，又 x1＋ x2＋4＝ |AB|，233得| AF|＋| BF|＝ |AB|，233所以| AB|＝ (|AF|＋| BF|)．32所以 cos∠ AFB＝|AF|2＋ |BF|2－ |AB|22|AF|·|BF|＝|AF|2＋ |BF|2－ [32(|AF|＋ |BF|)]22|AF|·|BF|＝14|AF|2＋ 14|BF|2－ 32|AF|·|BF|2|AF|·|BF|＝ － ≥ ×2 － ＝－ ，而 0＜∠ AFB＜π，18(|AF||BF|＋ |BF||AF|) 34 18 |AF||BF|·|BF||AF| 34 12所以∠ AFB 的最大值为 .2π3答案：D二、填空题13．(2018·成都模拟)已知双曲线 － ＝1( a＞0)和抛物线 y2＝8 x 有相同的焦点，x2a2 y22则双曲线的离心率为________．解析：易知抛物线 y2＝8 x 的焦点为(2,0)，所以双曲线 － ＝1 的一个焦点为(2,0)，x2a2 y22则 a2＋2＝2 2，即 a＝ ，所以双曲线的离心率 e＝ ＝ ＝ .2ca 22 2答案： 2614．(2018·武汉调研)双曲线 Γ ： － ＝1( a＞0， b＞0)的焦距为 10，焦点到渐近y2a2 x2b2线的距离为 3，则 Γ 的实轴长等于________．解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线 y＝ x，即 ax－ by＝0 的距离为ab＝ ＝ b＝3，所以 a＝4,2 a＝8.|5b|a2＋ b2 5bc答案：815．(2018·唐山模拟)过抛物线 y2＝2 px(p＞0)的焦点 F 作直线交抛物线于 A， B 两点，若| AF|＝2| BF|＝6，则 p＝________.解析：设 AB 的方程为 x＝ my＋ ， A(x1， y1)， B(x2， y2)，且 x1＞ x2，将直线 AB 的方程p2代入抛物线方程得 y2－2 pmy－ p2＝0，所以 y1y2＝－ p2,4x1x2＝ p2.设抛物线的准线为 l，过A 作 AC⊥ l，垂足为 C，过 B 作 BD⊥ l，垂足为 D，因为| AF|＝2| BF|＝6，根据抛物线的定义知，| AF|＝| AC|＝ x1＋ ＝6，| BF|＝| BD|＝ x2＋ ＝3，所以 x1－ x2＝3， x1＋ x2＝9－ p，p2 p2所以( x1＋ x2)2－( x1－ x2)2＝4 x1x2＝ p2，即 18p－72＝0，解得 p＝4.答案：416．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)设 A， B 是椭圆 C： ＋ ＝1 长轴的两个端点．若 Cx23 y2m上存在点 M 满足∠ AMB＝120°，则 m 的取值范围是________．解析：当 0＜ m＜3 时，焦点在 x 轴上，要使 C 上存在点 M 满足∠ AMB＝120°，则 ≥tan 60°＝ ，即 ≥ ，ab 3 3m 3解得 0＜ m≤1.当 m＞3 时，焦点在 y 轴上，要使 C 上存在点 M 满足∠ AMB＝120°，则 ≥tan 60°＝ ，即 ≥ ，解得 m≥9.ab 3 m3 3故 m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)．答案：(0,1]∪[9，＋∞)三、解答题17．(2018·辽宁五校联考)已知椭圆 C： ＋ ＝1( a＞ b＞0)的左、右焦点分别为x2a2 y2b2F1， F2，上顶点为 B，若△ BF1F2的周长为 6，且点 F1到直线 BF2的距离为 b.(1)求椭圆 C 的方程；7(2)设 A1， A2是椭圆 C 长轴的两个端点， P 是椭圆 C 上不同于 A1， A2的任意一点，直线A1P 交直线 x＝ m 于点 M，若以 MP 为直径的圆过点 A2，求实数 m 的值．解析：(1)由题意得 F1(－ c,0)， F2(c,0)， B(0， b)，则 2a＋2 c＝6，①直线 BF2的方程为 bx＋ cy－ bc＝0，所以 ＝ b，即 2c＝ a，②|－ bc－ bc|c2＋ b2又 a2＝ b2＋ c2，③所以由①②③可得 a＝2， b＝ ，3所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.x24 y23(2)不妨设 A1(－2,0)， A2(2,0)， P(x0， y0)，则直线 A1P 的方程为 y＝ (x＋2)，y0x0＋ 2所以 M(m， (m＋2))，y0x0＋ 2又点 P 在椭圆 C 上，所以 y ＝3(1－ )，20x204若以 MP 为直径的圆过点 A2，则 A2M⊥ A2P， · ＝0，A2M→ A2P→ 所以( m－2， (m＋2))·( x0－2， y0)＝( m－2)( x0－2)＋ (m＋2)＝( m－2)y0x0＋ 2 y20x0＋ 2(x0－2)＋ (m＋2)＝( x0－2)( m－ )＝0.3 1－ x204x0＋ 2 14 72又点 P 不同于点 A1， A2，所以 x0≠±2，所以 m＝14.18．(2018·福州模拟)抛物线 C： y＝2 x2－4 x＋ a 与两坐标轴有三个交点，其中与 y 轴的交点为 P.(1)若点 Q(x， y)(1＜ x＜4)在 C 上，求直线 PQ 斜率的取值范围；(2)证明：经过这三个交点的圆 E 过定点．解析：(1)由题意得 P(0， a)(a≠0)， Q(x,2x2－4 x＋ a)(1＜ x＜4)，故 kPQ＝ ＝2 x－4，2x2－ 4x＋ a－ ax因为 1＜ x＜4，所以－2＜ kPQ＜4，所以直线 PQ 的斜率的取值范围为(－2,4)．(2)证明：法一： P(0， a)(a≠0)．8令 2x2－4 x＋ a＝0，则 Δ ＝16－8 a＞0， a＜2，且 a≠0，解得 x＝1± ，4－ 2a2故抛物线 C 与 x 轴交于 A(1－ ，0)， B(1＋ ，0)两点．4－ 2a2 4－ 2a2故可设圆 E 的圆心为 M(1， t)，由| MP|2＝| MA|2，得 12＋( t－ a)2＝( )2＋ t2，解得 t＝ ＋ ，4－ 2a2 a2 14则圆 E 的半径 r＝| MP|＝ .1＋  14－ a2 2所以圆 E 的方程为( x－1) 2＋( y－ － )2＝1＋( － )2，a2 14 14 a2所以圆 E 的一般方程为 x2＋ y2－2 x－( a＋ )y＋ ＝0，12 a2即 x2＋ y2－2 x－ y＋ a( － y)＝0.12 12由Error! 得Error!或Error!故圆 E 过定点(0， )，(2， )．12 12法二： P(0， a)(a≠0)，设抛物线 C 与 x 轴的两个交点分别为 A(x1,0)， B(x2,0)，圆 E的一般方程为 x2＋ y2＋ Dx＋ Fy＋ G＝0，则Error!因为 x1， x2是方程 2x2－4 x＋ a＝0，即 x2－2 x＋ ＝0 的两根，a2所以 x －2 x1＋ ＝0， x －2 x2＋ ＝0，21a2 2 a2所以 D＝－2， G＝ ，a2所以 F＝ ＝－( a＋ )，－ G－ a2a 12所以圆 E 的一般方程为 x2＋ y2－2 x－( a＋ )y＋ ＝0，12 a2即 x2＋ y2－2 x－ y＋ a( － y)＝0.12 12由Error! 得Error!或Error!故圆 E 过定点(0， )，(2， )．12 1219．(2018·广州模拟)如图，在直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： ＋ ＝1( a＞ b＞0)的y2a2 x2b29上焦点为 F1，椭圆 C 的离心率为 ，且过点(1， )．12 263(1)求椭圆 C 的方程；(2)设过椭圆 C 的上顶点 A 的直线 l 与椭圆 C 交于点 B(B 不在 y 轴上)，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 x 轴交于点 H，若 · ＝0，且| MO|＝| MA|，求直线 l 的方程．F1B→ F1H→ 解析：(1)因为椭圆 C 的离心率为 ，所以 ＝ ，即 a＝2 c.12 ca 12又 a2＝ b2＋ c2，所以 b2＝3 c2，即 b2＝ a2，所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.34 y2a2 x234a2把点(1， )代入椭圆 C 的方程中，解得 a2＝4.263所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1.y24 x23(2)由(1)知， A(0,2)，设直线 l 的斜率为 k(k≠0)，则直线 l 的方程为 y＝ kx＋2，由Error! 得(3 k2＋4) x2＋12 kx＝0.设 B(xB， yB)，得 xB＝ ，－ 12k3k2＋ 4所以 yB＝ ，－ 6k2＋ 83k2＋ 4所以 B( ， )．－ 12k3k2＋ 4 － 6k2＋ 83k2＋ 4设 M(xM， yM)，因为| MO|＝| MA|，所以点 M 在线段 OA 的垂直平分线上，所以 yM＝1，因为 yM＝ kxM＋2，所以 xM＝－ ，即 M(－ ，1)．1k 1k设 H(xH,0)，又直线 HM 垂直于直线 l，所以 kMH＝－ ，即 ＝－ .1k 1－ 1k－ xH 1k所以 xH＝ k－ ，即 H(k－ ，0)．1k 1k又 F1(0,1)，所以 ＝( ， )， ＝( k－ ，－1)．F1B→ － 12k3k2＋ 4 4－ 9k23k2＋ 4 F1H→ 1k10因为 · ＝0，所以 ·(k－ )－ ＝0，F1B→ F1H→ － 12k3k2＋ 4 1k 4－ 9k23k2＋ 4解得 k＝± .263所以直线 l 的方程为 y＝± x＋2.263