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- 2019高考数学二轮复习专题一集合常用逻辑用语不等式函数与导数第一讲集合常用逻辑用语能力训练理201812192110.doc--点击预览
- 2019高考数学二轮复习专题一集合常用逻辑用语不等式函数与导数第三讲基本初等函数函数与方程及函数的应用能力训练理201812192101.doc--点击预览
- 2019高考数学二轮复习专题一集合常用逻辑用语不等式函数与导数第二讲函数的图象与性质能力训练理20181219295.doc--点击预览
- 2019高考数学二轮复习专题一集合常用逻辑用语不等式函数与导数第五讲导数的应用一能力训练理201812192107.doc--点击预览
- 2019高考数学二轮复习专题一集合常用逻辑用语不等式函数与导数第六讲导数的应用二能力训练理20181219298.doc--点击预览
- 2019高考数学二轮复习专题一集合常用逻辑用语不等式函数与导数第四讲不等式能力训练理201812192104.doc--点击预览
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1第一讲 集合、常用逻辑用语一、选择题1.(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合 A={ x|x2- x-2>0},则∁ RA=( )A.{ x|-1< x<2} B.{ x|-1≤ x≤2}C.{ x|x<-1}∪{ x|x>2} D.{ x|x≤-1}∪{ x|x≥2}解析:∵ x2- x-2>0,∴( x-2)( x+1)>0,∴ x>2 或 x<-1,即 A={ x|x>2 或x<-1}.在数轴上表示出集合 A,如图所示.由图可得∁ RA={ x|-1≤ x≤2}.故选 B.答案:B2.(2017·高考山东卷)设函数 y= 的定义域为 A,函数 y=ln(1- x)的定义域4- x2为 B,则 A∩ B=( )A.(1,2) B.(1,2]C.(-2,1) D.[-2,1)解析:由题意可知 A={ x|-2≤ x≤2}, B={ x|x0,则( )A.命题綈 q:∀ x∈R, x2≤0 为假命题B.命题綈 q:∀ x∈R, x2≤0 为真命题C.命题綈 q:∃ x0∈R, x ≤0 为假命题20D.命题綈 q:∃ x0∈R, x ≤0 为真命题20解析:全称命题的否定是将“∀”改为“∃” ,然后再否定结论.又当 x=0 时, x2≤0成立,所以綈 q 为真命题.答案:D6.(2018·郑州四校联考)命题“若 ab,则 a+ cb+ c”的否命题是( )A.若 a≤ b,则 a+ c≤ b+ cB.若 a+ c≤ b+ c,则 a≤ bC.若 a+ cb+ c,则 abD.若 ab,则 a+ c≤ b+ c解析:命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定,所以题中命题的否命题为“若a≤ b,则 a+ c≤ b+ c”,故选 A.答案:A7.(2018·石家庄模拟)“ x1”是“ x2+2 x0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析:由 x2+2 x0,得 x0 或 x1”是“ x2+2 x0”的充分不必要条件.答案:A8.已知集合 A={ x|x2≥4}, B={ m}.若 A∪ B= A,则 m 的取值范围是( )A.(-∞,-2) B.[2,+∞)C.[-2,2] D.(-∞,-2]∪[2,+∞)解析:因为 A∪ B= A,所以 B⊆A,即 m∈ A,得 m2≥4,所以 m≥2 或 m≤-2.答案:D9.(2018·石家庄模拟)已知 a, b∈R,下列四个条件中,使“ ab”成立的必要不充分条件是( )A. ab-1 B. ab+1C.| a||b| D.2 a2b3解析:由 ab-1 不一定能推出 ab,反之由 ab 可以推出 ab-1,所以“ ab-1”是“ab”的必要不充分条件.故选 A.答案:A10.已知命题 p:“ x=0”是“ x2=0”的充要条件,命题 q:“ x=1”是“ x2=1”的充要条件,则下列命题为真命题的是( )A. p∧ q B.(綈 p)∨ qC. p∧(綈 q) D.(綈 p)∧ q解析:易知命题 p 为真命题, q 为假命题,根据复合命题的真值表可知 p∧(綈 q)为真命题.答案:C11.(2018·济宁模拟)已知命题 p:“ x0),且 P(02”是“ x2-3 x+20”的充分不必要条件解析:由复合命题的真假性知, p、 q 中至少有一个为真命题,则 p∨ q 为真,故选项C 错误.答案:C二、填空题13.设命题 p:∀ a0, a≠1,函数 f(x)= ax- x- a 有零点,则綈 p:________.解析:全称命题的否定为特称(存在性)命题,綈 p:∃ a00, a0≠1,函数 f(x)= a - x- a0没有零点.x0答案:∃ a00, a0≠1,函数 f(x)= a - x- a0没有零点x014.设全集 U={( x, y)|x∈R, y∈R},集合 M=Error!, P={( x, y)|y≠ x+1},则∁U(M∪ P)=________.解析:集合 M={( x, y)|y= x+1,且 x≠2, y≠3},所以 M∪ P={( x, y)4|x∈R, y∈R,且 x≠2, y≠3},则∁ U(M∪ P)={(2,3)}.答案:{(2,3)}15.已知 A={ x|x2-3 x+20}, B={ x|1xa},若 A⊆B,则实数 a 的取值范围是________.解析:因为 A={ x|x2-3 x+20}={ x|1x2}⊆B,所以 a≥2.答案:[2,+∞)16.若关于 x 的不等式| x- m|2 成立的充分不必要条件是 2≤ x≤3,则实数 m 的取值范围是________.解析:由| x- m|2 得-2 x- m2,即 m-2 xm+2.依题意有集合{ x|2≤ x≤3}是{x|m-2 xm+2}的真子集,于是有Error!,由此解得 1m4,即实数 m 的取值范围是(1,4).答案:(1,4)1第三讲 基本初等函数、函数与方程及函数的应用一、选择题1.函数 y= ax+2 -1( a0 且 a≠1)的图象恒过的点是( )A.(0,0) B.(0,-1)C.(-2,0) D.(-2,-1)解析:令 x+2=0,得 x=-2,所以当 x=-2 时, y= a0-1=0,所以y= ax+2 -1( a0 且 a≠1)的图象恒过点(-2,0).答案:C2.设 a=log 3 2, b=ln 2, c= ,则( )A. cba B. abcC. acb D. bac解析:因为 eac.故选 D.1512答案:D3.(2018·长郡中学模拟)下列函数在其定义域上既是增函数又是奇函数的是( )A. f(x)=sin xB. f(x)= x3+1C. f(x)=log 2( + x)x2+ 1D. f(x)=1- 2x1+ 2x解析:依题意,对于选项 A,注意到 f(0)= f(π),因此函数 f(x)=sin x 在其定义域上不是增函数;对于选项 B,注意到 f(x)的定义域为 R,但 f(0)=1≠0,因此函数 f(x)= x3+1 不是奇函数;对于选项 C,注意到 f(x)的定义域是 R,且 f(- x)=log 2( - x)x2+ 1=log 2 =-log 2( + x)=- f(x),因此 f(x)是奇函数,且 f(x)在 R 上是增1x2+ 1+ x x2+ 1函数;对于选项 D,注意到 f(x)= =-1+ 在 R 上是减函数.故选 C.1- 2x1+ 2x 21+ 2x答案:C4.函数 f(x)=|log 2 x|+ x-2 的零点个数为( )A.1 B.2C.3 D.42解析:函数 f(x)=|log 2 x|+ x-2 的零点个数,就是方程|log 2 x|+ x-2=0 的根的个数.令 h(x)=|log 2 x|, g(x)=2- x,画出两函数的图象,如图.由图象得 h(x)与 g(x)有2 个交点,∴方程|log 2 x|+ x-2=0 的解的个数为 2.答案:B5.(2018·河南适应性测试)函数 y= ax- a(a0, a≠1)的图象可能是( )解析:由函数 y= ax- a(a0, a≠1)的图象过点(1,0),得选项 A、B、D 一定不可能;C 中 00 且 a≠1.故 a 的取值范围是(0,1)∪(1,+∞). 故选 C.答案:C10.(2018·高考全国卷Ⅲ)设 a=log 0.20.3, b=log 2 0.3,则( )A. a+ b< ab<0 B. ab< a+ b<0C. a+ b<0< ab D. ab<0< a+ b解析:∵ a=log 0.20.3>log 0.21=0, b=log 20.3<log 21=0,∴ ab<0.∵ = + =log 0.30.2+log 0.32=log 0.30.4,a+ bab 1a 1b∴1=log 0.30.3>log 0.30.4>log 0.31=0,∴0< <1,∴ ab< a+ b<0.a+ bab故选 B.答案:B11.若函数 f(x)=Error!的图象上有且仅有两对点关于原点对称,则实数 a 的取值范围是( )A. B. ∪(1,e)(0,1e) (0, 1e)C.(1,+∞) D.(0,1)∪(1,+∞)解析:若函数 f(x)的图象上有且仅有两对点关于原点对称,则函数 y=- ax+ a, x0的图象与 y= xln x 的图象有且只有两个交点,函数 y=- ax+ a, x0 的图象与函数y= xln x 的图象均过点(1,0) .当 01 时,函数 y= xln x 的导数 y′1.故当 a≤0 或 a=1 时,函数 y=- ax+ a, x0 的图象与函数 y= xln x 的图象有且只有一个交点,所以使得y=- ax+ a, x0 的图象与函数 y= xln x 的图象有且只有两个交点的实数 a 的取值范围是(0,1)∪(1,+∞).故选 D.4答案:D12.如图,有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆,垂直于 x 轴的直线 l: x= t(0≤ t≤ a)经过原点 O 向右平行移动, l 在移动过程中扫过平面图形的面积为 y(图中阴影部分).若函数 y= f(t)的大致图象如图,那么平面图形的形状不可能是( )解析:选项 A,B,D, l 在移动过程中扫过平面图形的面积为 y,在中线位置前,都是先慢后快,然后相反.选项 C,后面是直线增加,不满足题意.答案:C二、填空题13.(2018·高考全国卷Ⅰ)已知函数 ƒ(x)=log 2(x2+ a).若 ƒ(3)=1,则a=________.解析:∵ ƒ(x)=log 2(x2+ a)且 ƒ(3)=1,∴1=log 2(9+ a),∴9+ a=2,∴ a=-7.答案:-714.若幂函数 y=( m2-3 m+3)· x(m-2)( m+1) 的图象不经过原点,则实数 m 的值为________.解析:由Error!解得 m=1 或 2,经检验 m=1 或 2 都适合.答案:1 或 215.若函数 y= |1- x|+ m 的图象与 x 轴有公共点,则实数 m 的取值范围是(12)________.解析:∵|1- x|≥0,∴0 |1- x|≤1,(12)由题意得 0- m≤1,即-1≤ m0.答案:[-1,0)16.某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本 Q(单位:元/(100 kg))与上市时间 t(单位:天)的数据如下表:时间 t(单位:天) 60 100 180种植成本 Q(单位:元/(100 kg)) 116 84 116根据上表数据,从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系: Q= at+ b, Q= at2+ bt+ c, Q= a·bt, Q= a·logb t.利用你选取的函数,求得:西红柿种植成本最低时的上市天数是________;最低种植5成本是________元/(100 kg).解析:因为随着时间的增加,种植成本先减少后增加,而且当 t=60 和 t=180 时种植成本相等,再结合题中给出的四种函数关系可知,种植成本与上市时间的变化关系应该用函数 Q= a(t-120) 2 + m 描述.将表中两组数据(60,116)和(100,84)代入,可得Error! 解得Error!所以 Q=0.01( t-120) 2+80.故当上市天数为 120 时,种植成本取到最低值 80 元/(100 kg).答案:120 801第二讲 函数的图象与性质一、选择题1.下列四个函数: ① y=3- x;② y=2 x-1 (x0);③ y= x2+2 x-10;④ y=Error!其中定义域与值域相同的函数的个数为( )A.1 B.2C.3 D.4解析:① y=3- x 的定义域和值域均为 R,② y=2 x-1 (x0)的定义域为(0,+∞),值域为 ,③ y= x2+2 x-10 的定义域为 R,值域为[-11,+∞),④ y=Error!的定(12, + ∞ )义域和值域均为 R,所以定义域与值域相同的函数是①④,共有 2 个,故选 B.答案:B2.设定义在 R 上的奇函数 y= f(x)满足对任意的 x∈R,都有 f(x)= f(1- x),且当x∈[0, ]时, f(x)= (x+1),则 f(3)+ f(- )的值为( )12 32A.0 B.1C.-1 D.2解析:由于函数 f(x)是奇函数,所以 f(x)= f(1- x)⇒f(x)=- f(x+1)⇒ f(x+1)=- f(x)⇒f(x+2)= f(x),所以 f(3)= f(1)= f(1-1)= f(0)=0, f(- )= f( )= 32 12=-1.所以 f(3)+ f(- )=-1.32 32答案:C3.函数 f(x)=1+ln 的图象大致是( )(x2+ 2)解析:因为 f(0)=1+ln 20,即函数 f(x)的图象过点(0,ln 2),所以排除A、B、C,选 D.答案:D4.(2017·高考天津卷)已知奇函数 f(x)在 R 上是增函数, g(x)= xf(x).若a= g(-log 2 5.1), b= g(20.8), c= g(3),则 a, b, c 的大小关系为( )A. a0 时, f(x)f(0)=0,当 x1x20 时, f(x1)f(x2)0,∴ x1f(x1)x2f(x2),∴ g(x)在(0,+∞)上单调递增,且 g(x)= xf(x)是偶函数,∴ a= g(-log 2 5.1)= g(log2 5.1).易知 20, f(x)单调递增.又当 x0, g(1)=ln 1- =-1ln 1=0.又 f(x1)= g(x2)=0,所以 0f(1)0, g(x1)12 2ef(x),则 x 的取值范围是( )A.(-∞,-2)∪(1,+∞)B.(-∞,1)∪(2,+∞)C.(-2,1)D.(1,2)解析:因为 g(x)是定义在 R 上的奇函数,且当 x0 时,- x0 时, g(x)=ln(1+ x),则函数 f(x)=Error!作出函数 f(x)的图象,如图:由图象可知 f(x)=Error!在(-∞,+∞)上单调递增.因为 f(2- x2)f(x),所以 2- x2x,解得-20 的解集是( )A.(-2,0)∪(0,2) B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.(-∞,-2)∪(0,2) D.(-2,0)∪(2,+∞)解析:由 0,得 x1),都有 f(x-2)≤ g(x),则 m 的取值范围是( )A.(1,2+ln 2) B.(2,72+ ln 2)5C.(ln 2,2] D.(1,72+ ln 2]解析:作出函数 y1=e |x-2| 和 y= g(x)的图象,如图所示,由图可知当 x=1 时, y1= g(1),又当 x=4 时, y1=e 24 时,由ex-2 ≤4e 5- x,得 e2x-7 ≤4,即 2x-7≤ln 4,解得 x≤ +ln 2,又72m1,∴1 m≤ +ln 2.72答案:D二、填空题13.设 f(x)是周期为 2 的奇函数,当 0≤ x≤1 时, f(x)=2 x(1- x),则f =________.(-52)解析:由题意得 f = f = f =- f =- .(-52) (2- 52) (- 12) (12) 12答案:-1214.若函数 f(x)= x(x-1)( x+ a)为奇函数,则 a=________.解析:法一:因为函数 f(x)= x(x-1)( x+ a)为奇函数,所以 f(- x)=- f(x)对 x∈R恒成立,所以- x·(- x-1)(- x+ a)=- x(x-1)( x+ a)对 x∈R 恒成立,所以 x(a-1)=0 对 x∈R 恒成立,所以 a=1.法二:因为函数 f(x)= x(x-1)( x+ a)为奇函数,所以 f(-1)=- f(1),所以-1×(-1-1)×(-1+ a)=-1×(1-1)×(1+ a),解得 a=1.答案:115.已知函数 f(x)=Error!的值域为 R,则实数 a 的取值范围是________.解析: 当 x≥1 时, f(x)=2 x-1 ≥1,∵函数 f(x)=Error!的值域为 R,∴当 x1 时,(1-2 a)x+3 a 必须取遍(-∞,1)内的所有实数,则Error!解得 0≤ a< .12答案: [0,12)16.如图放置的边长为 1 的正方形 PABC 沿 x 轴滚动,点 B 恰好经过原点,设顶点 P(x, y)的轨迹方程是 y= f(x),则对函数 y= f(x)有下列判断:①函数 y= f(x)是偶函数;②对任意的 x∈R,都有f(x+2)= f(x-2);③函数 y= f(x)在区间[2,3]上单调递减;④函数 y= f(x)在区间[4,6]6上是减函数.其中判断正确的序号是________.解析:如图,从函数 y= f(x)的图象可以判断出,图象关于 y 轴对称,每 4 个单位图象重复出现一次,在区间[2,3]上,随 x 增大,图象是往上的,在区间[4,6]上图象是往下的,所以①②④正确,③错误.答案:①②④1第五讲 导数的应用(一)一、选择题1.曲线 y=e x在点(2,e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( )A. e2 B.2e 2 C.e 2 D.94 e22解析:由题意可得 y′=e x,则所求切线的斜率 k=e 2,则所求切线方程为 y-e 2=e 2(x-2).即 y=e 2x-e 2,∴ S= ×1×e2= .12 e22答案:D2.(2018·西宁一检)设曲线 y= 在点(3,2)处的切线与直线 ax+ y+1=0 垂直,x+ 1x- 1则 a=( )A.-2 B.2C.- D.12 12解析:由 y′= 得曲线在点(3,2)处的切线斜率为- ,又切线与直线- 2 x- 1 2 12ax+ y+1=0 垂直,则 a=-2.答案:A3.(2018·北京模拟)曲线 f(x)= xln x 在点(1, f(1))处的切线的倾斜角为( )A. B.π 6 π 4C. D.π 3 π 2解析:因为 f(x)= xln x,所以 f′( x)=ln x+ x· =ln x+1,所以 f′(1)=1,所1x以曲线 f(x)= xln x 在点(1, f(1))处的切线的倾斜角为 .π 4答案:B4.已知函数 f(x)= x2-5 x+2ln x,则函数 f(x)的单调递增区间是( )A. 和(1,+∞) B.(0,1)和(2,+∞)(0,12)C. 和(2,+∞) D.(1,2)(0,12)2解析:函数 f(x)= x2-5 x+2ln x 的定义域是(0,+∞),令 f′( x)=2 x-5+ =2x= 0,解得 02,故函数 f(x)的单调递增区间是2x2- 5x+ 2x x- 2 2x- 1x 12和(2,+ ∞).(0,12)答案:C5.函数 f(x)在定义域 R 内可导,若 f(x)= f(2- x),且当 x∈(-∞,1)时,( x-1)f′( x)0,所以函数 f(x)在(-∞,1)上是单调递增函数,所以 a= f(0)0).设 g(x)= ,则x2ex- 2xexx4 (- 2x2+ 1x) x- 2 (exx- k)x2 exxg′( x)= ,则 g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. x- 1 exx2∴ g(x)在(0,+∞)上有最小值,为 g(1)=e,结合 g(x)= 与 y= k 的图象可知,要exx满足题意,只需 k≤e.答案:A8.已知函数 f(x)=ln x- nx(n0)的最大值为 g(n),则使 g(n)- n+20 成立的 n 的取值范围为( )A.(0,1) B.(0,+∞)C. D.(0,14) [12, + ∞ )解析:易知 f(x)的定义域为(0,+∞),f′( x)= - n(x0, n0),1x当 x∈ 时, f′( x)0;(0,1n)当 x∈ 时, f′( x)h(1)=0,故使 g(n)- n+20 成立的 n 的取值范围为(0,1),故选 A.答案:A二、填空题49.(2018·高考全国卷Ⅱ)曲线 y=2ln( x+1)在点(0,0)处的切线方程为________.解析:∵ y=2ln( x+1),∴ y′= .令 x=0,得 y′=2,由切线的几何意义得切线2x+ 1斜率为 2,又切线过点(0,0),∴切线方程为 y=2 x.答案: y=2 x10.(2016·高考全国卷Ⅲ)已知 f(x)为偶函数,当 x≤0 时, f(x)=e - x-1 - x,则曲线 y= f(x)在点(1,2)处的切线方程是________.解析:设 x0,则- x0 时, f′( x)=e x-1 +1,∴ f′(1)=e 1-1 +1=1+1=2.∴曲线 y= f(x)在点(1,2)处的切线方程为 y-2=2( x-1),即 2x- y=0.答案:2 x- y=011.(2018·太原二模)若函数 f(x)=sin x+ ax 为 R 上的减函数,则实数 a 的取值范围是________.解析:∵ f′( x)=cos x+ a,由题意可知, f′( x)≤0 对任意的 x∈R 都成立,∴ a≤-1,故实数 a 的取值范围是(-∞,-1].答案:(-∞,-1]12.(2018·新乡一模)设 x1, x2是函数 f(x)= x3-2 ax2+ a2x 的两个极值点,若x10, f(x)为(-∞,+∞)上的增函数,所以函数 f(x)无极值.②当 a0 时,令 f′( x)=0,得 ex= a,即 x=ln a. x∈(-∞,ln a)时, f′( x)0,所以 f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,故 f(x)在 x=ln a 处取得极小值,且极小值为 f(ln a)=ln a,无极大值.综上,当 a≤0 时,函数 f(x)无极值;当 a0 时, f(x)在 x=ln a 处取得极小值 ln a,无极大值.14.(2018·福州质检)已知函数 f(x)= aln x+ x2- ax(a∈R).(1)若 x=3 是 f(x)的极值点,求 f(x)的单调区间;(2)求 g(x)= f(x)-2 x 在区间[1,e]上的最小值 h(a).解析:(1) f(x)的定义域为(0,+∞),f′( x)= +2 x- a= ,ax 2x2- ax+ ax因为 x=3 是 f(x)的极值点,所以 f′(3)= =0,解得 a=9,18- 3a+ a3所以 f′( x)= = ,2x2- 9x+ 9x 2x- 3 x- 3x所以当 03 时, f′( x)0;32当 x3 时, f′( x)0.32所以 f(x)的单调递增区间为 ,(3,+∞),单调递减区间为 .(0,32) (32, 3)(2)g(x)= aln x+ x2- ax-2 x,则 g′( x)= -2= .2x2- ax+ ax 2x- a x- 1x令 g′( x)=0,得 x= 或 x=1.a2①当 ≤1,即 a≤2 时, g(x)在[1,e]上为增函数,a2h(a)min= g(1)=- a-1;②当 1 e,即 2a2e 时, g(x)在 上为减函数,在 上为增函数,a2 [1, a2) (a2, e]h(a)min= g = aln - a2- a;(a2) a2 14③当 ≥e,即 a≥2e 时, g(x)在[1,e]上为减函数,a26h(a)min= g(e)=(1-e) a+e 2-2e.综上, h(a)min=Error!1第六讲 导数的应用(二)1.(2018·山西八校联考)已知函数 f(x)= x-1- aln x(a∈R), g(x)= .1x(1)当 a=-2 时,求曲线 y= f(x)在 x=1 处的切线方程;(2)若 a0,∴ f(x)在(0,1]上单调递增,易知 g(x)ax= 在(0,1]上单调递减,1x不妨设 x1, x2∈(0,1],且 x1g(x2),∴ f(x2)- f(x1)f(x2)+ .4x1 4x2令 h(x)= f(x)+ ,则当 x1h(x2),∴ h(x)在(0,1]上单调递减,4x∴ h′( x)=1- - = ≤0 在(0,1]上恒成立,ax 4x2 x2- ax- 4x2∴ x2- ax-4≤0 在(0,1]上恒成立,等价于 a≥ x- 在(0,1]上恒成立,4x∴只需 a≥( x- )max.4x∵ y= x- 在(0,1]上单调递增,∴ ymax=-3,∴-3≤ a0.1- xax(1)求 a的取值范围;(2)若 b0,试证明 0,2所以 ax-1≥0,即 x≥ ,1a所以 ≤1,即 a≥1.1a故 a的取值范围为[1,+∞).(2)证明:因为 b0, a≥1,所以 1,a+ bb又 f(x)= +ln x在(1,+∞)上是增函数,1- xax所以 f f(l),即 +ln 0,(a+ bb )1- a+ bba·a+ bb a+ bb化简得 - .12解析:(1)由已知得, f(x)= x(ln x- x),当 x=1 时, f(x)=-1,f′( x)=ln x+1-2 x,当 x=1 时, f′( x)=-1,所以所求切线方程为y+1=-( x-1),即 x+ y=0.(2)证明:由已知条件可得 f′( x)=ln x+1-2 ax有两个不同的零点,且两零点的左、右两侧附近的函数值符号相反,令 f′( x)= h(x), 则 h′( x)= -2 a(x0),1x若 a≤0,则 h′( x)0, h(x)单调递增, f′( x)不可能有两个零点;若 a0,3令 h′( x)=0 得 x= ,可知 h(x)在(0, )上单调递增,在( ,+∞)上单调递减,12a 12a 12a令 f′( )0,解得 0 , f′( )=-2ln a+1- 0,所以 0f(1)=- a- .124.(2018·南宁二中、柳州一中联考)已知函数 f(x)=ln x- ax2+(2- a)x.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)设 f(x)的两个零点分别是 x1, x2,求证: f′( ) 0,则 f(x)在(0,+∞)上单调递增;②当 a0时,若 x∈(0, ),则 f′( x)0,若 x∈( ,+∞),则 f′( x)0,且 f(x)在(0, )上单调递增,在( ,+∞)上单调递减,不1a 1a妨设 0 ⇔x1+ x2 ,故要证 f′( ) 即x1+ x22 x1+ x22 1a 2a x1+ x22 2a可.构造函数 F(x)= f(x)- f( - x), x∈(0, ),2a 1a4F′( x)= f′( x)-[ f( - x)]′= f′( x)+ f′( - x)= =2a 2a 2ax ax- 2 + 2x 2- ax,2 ax- 1 2x 2- ax∵ x∈(0, ),∴ F′( x)= 0,∴ F(x)在(0, )上单调递增,1a 2 ax- 1 2x 2- ax 1a∴ F(x) - x1,∴ x1+ x2 ,得证.2a 1a 2a 2a1第四讲 不等式一、选择题1.已知互不相等的正数 a, b, c 满足 a2+ c2=2 bc,则下列等式中可能成立的是( )A. abc B. bacC. bca D. cab解析:若 ab0,则 a2+ c2b2+ c2≥2 bc,不符合条件,排除 A,D;又由 a2- c2=2 c(b- c)得 a- c 与 b- c 同号,排除 C;当 bac 时, a2+ c2=2 bc 有可能成立,例如:取 a=3, b=5, c=1.故选 B.答案:B2.已知 ba0, a+ b=1,则下列不等式中正确的是( )A.log 3a0 B.3 a- b0 可得 log3alog31,所以 a1,这与 ba0, a+ b=1 矛盾,所以 A 不正确;对于 B,由 3a- ba0, a+ b=1 矛盾,所以 B 不正确;对于 C,由 log2a+log 2ba0, a+ b=12 ,所以 aba0, a+ b=1,所以 3 3×2 =6, 所以 D 不正确,故选 C.(ba+ ab) ba×ab答案:C3.在 R 上定义运算: x y= x(1- y).若不等式( x- a)( x- b)0 的解集是(2,3),则 a+ b=( )A.1 B.2C.4 D.8解析:由题知( x- a)( x- b)=( x- a)[1-( x- b)]0,即( x- a)[x-( b+1)]f(1)的解集是( )A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞)C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3)解析:由题意得, f(1)=3,所以 f(x)f(1),即 f(x)3.当 x3,解得-33,解得 x3 或 0≤ x0)的解集为( x1, x2),则x1+ x2+ 的最小值是( )ax1x2A. B.63 233C. D.433 263解析:∵关于 x 的不等式 x2-4 ax+3 a20)的解集为( x1, x2),4∴ Δ =16 a2-12 a2=4 a20,又 x1+ x2=4 a, x1x2=3 a2,∴ x1+ x2+ =4 a+ =4 a+ ≥2 = ,当且仅当 a= 时取等号.ax1x2 a3a2 13a 4a·13a 433 36∴ x1+ x2+ 的最小值是 .ax1x2 433答案:C11.某旅行社租用 A, B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行, A, B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆,则租金最少为( )A.31 200 元 B.36 000 元C.36 800 元 D.38 400 元解析:设租用 A 型车 x 辆, B 型车 y 辆,目标函数为 z=1 600x+2 400y,则约束条件为Error!作出可行域如图中阴影部分所示,可知目标函数过点 A(5,12)时,有最小值 zmin=36 800(元).答案:C12.(2018·淄博模拟)已知点 P(x, y)∈{( x, y)|Error!M(2,-1),则 · (O 为坐OM→ OP→ 标原点)的最小值为( )A.-2 B.-4C.-6 D.-8解析:由题意知 =(2,-1), =( x, y),设 z= · =2 x- y,显然集合{( x, y)OM→ OP→ OM→ OP→ |Error!对应不等式组Error! 所表示的平面区域.作出该不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示,由图可知,当目标函数 z=2 x- y 对应的直线经过点 A 时, z 取得最小值.由Error!得 A(-2,2),所以目标函数的最小值 zmin=2×(-2)-2=-6,即 · 的最小值为-6,故选 C.OM→ OP→ 答案:C二、填空题513.(2018·青岛模拟)若 a0, b0,则( a+ b)· 的最小值是________.(2a+ 1b)解析:( a+ b) =2+ + +1=3+ + ,因为 a0, b0,所以( a+ b)(2a+ 1b) 2ba ab 2ba ab≥3+2 =3+2 ,当且仅当 = ,即 a= b 时等号成立.所以所求最小(2a+ 1b) 2ba×ab 2 2ba ab 2值为 3+2 .2答案:3+2 214.(2018·高考全国卷Ⅱ)若 x, y 满足约束条件Error!则 z= x+ y 的最大值为________.解析:由不等式组画出可行域,如图(阴影部分), x+ y 取得最大值⇔斜率为-1 的直线 x+ y= z(z 看做常数)的横截距最大,由图可得直线 x+ y= z 过点 C 时 z 取得最大值.由Error! 得点 C(5,4),∴ zmax=5+4=9.答案:915.(2018·石家庄模拟)若 x, y 满足约束条件Error!则 z= 的最小值为y- 2x+ 3________.解析:作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示,因为目标函数 z= 表示区域内的点与点 P(-3,2)连线的斜率.由图y- 2x+ 3知当可行域内的点与点 P 的连线与圆相切时斜率最小.设切线方程为 y-2= k(x+3),即 kx- y+3 k+2=0,则有 =2,解得|3k+ 2|k2+ 1k=- 或 k=0(舍去),所以 zmin=- .125 125答案:-12516.已知 ab1,且 2logab+3log ba=7,则 a+ 的最小值为________.1b2- 1解析:令 logab= t,由 ab1 得 0t1,2logab+3log ba=2 t+ =7,得 t= ,即3t 12logab= , a= b2,所以 a+ = a-1+ +1≥2 +1=3,当且仅当12 1b2- 1 1a- 1 a- 1 ·1a- 1a=2 时取等号. 故 a+ 的最小值为 3.1b2- 16答案:3
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