（遵义专版）2019中考数学高分一轮复习 第一部分 教材同步复习 第六章 圆试题+课件（打包9套）.zip

1第一部分 第六章 课时 221．如图， AB是半圆的直径， O为圆心， C是半圆上的点. D是 上的点．若AC︵ ∠ D＝110°，则∠ AOC的度数为( B )A．110° B．140°C．130° D．100°【解析】连接 BC，∵∠ D＝110°，∴∠ ABC＝180°－110°＝70°，∴∠ AOC＝2×70°＝140°.2．如图， AB为⊙ O的直径，弦 CD⊥ AB于点 E.已知 CD＝6， EB＝1，则⊙ O的半径为__5__.【解析】如答图，连接 OC，∵ AB为⊙ O的直径， AB⊥ CD，∴ CE＝ DE＝ CD＝ ×6＝3. 12 12设⊙ O的半径为 x，则 OC＝ x， OE＝ OB－ BE＝ x－1，在 Rt△ OCE中， OC2＝ OE2＋ CE2，即x2＝( x－1) 2＋3 2，答图解得 x＝5，∴⊙ O的半径为 5.1第一部分 第六章 课时 22命题点一 垂径定理及其推论1．(2017·遵义)如图， AB是⊙ O的直径， AB＝4，点 M是 OA的中点，过点 M的直线与⊙ O交于 C， D两点．若∠ CMA＝45°，则弦 CD的长为__ ____.14【解析】连接 OD，作 OE⊥ CD于 E，如答图所示，则 CE＝ DE，∵ AB是⊙ O的直径，AB＝4，点 M是 OA的中点，∴ OD＝ OA＝2， OM＝1. ∵∠ OME＝∠ CMA＝45°，∴△ OEM是等腰直角三角形，∴ OE＝ OM＝ . 在 Rt△ ODE中，由勾股定理得22 22DE＝ ＝ ，∴ CD＝2 DE＝ .22－  22 2 142 14答图命题点二 圆周角定理及其推论2．(2015·遵义)如图，△ ABC中， AB＝ AC，以 AB为直径作⊙ O，交 BC于点 D，交 CA的延长线于点 E，连接 AD， DE.(1)求证： D是 BC的中点；(2)若 DE＝3， BD－ AD＝2，求⊙ O的半径；(3)在(2)的条件下，求弦 AE的长．(1)证明：∵ AB是⊙ O的直径， ∴ AD⊥ BC. ∵ AB＝ AC，∴ BD＝ DC，即 D是 BC的中点．2(2)解：∵ AB＝ AC，∴∠ B＝∠ C.∵∠ B＝∠ E, ∴∠ E＝∠ C，∴ BD＝ DC＝ DE＝3.∵ BD－ AD＝2，∴ AD＝1.在 Rt△ ABD中，AB＝ ＝ ，AD2＋ BD2 10∴⊙ O的半径为 .102(3)解：∵ AB＝ AC＝ ， BD＝ DC＝3，10∴ BC＝6.∵△ ABC∽△ DEC，∴ ＝ ，ACDC BCEC∴ AC·EC＝ DC·BC, ∴ ·EC＝3×6，10∴ EC＝ ，9510∴ AE＝ EC－ AC＝ － ＝ .9510 10 4510教材同步复习第一部分 第六章 圆课时 22 圆及其相关性质 • 1．圆的有关概念2知识要点 · 归纳知识点一 圆的有关概念及性质圆 心 半径 等于 3线 段 圆 心 长 半径 • 【 注意 】 圆 的位置由 ⑧ _________确定， 圆 的大小由⑨ ___________________确定．• (1)过 一点和两点均可作无数个 圆 ； (2)过 不在同一直 线 上的三点确定一个 圆 ， “ 确定 ” 指的是有且只有的意思； (3)过 四点或四点以上作 圆：当各点中每两点 连线 的垂直平分 线 相交于一点 时 ， 过 各点的 圆 有一个， 圆 心 为 各垂直平分 线 的交点，否 则过 各点的 圆 不存在．4圆 心 半径的 长 度 • 2． 圆的有关性质• (1)轴对 称性： 圆 是 轴对 称 图 形，任何一条 ⑩ _________所在的直线都是圆的对称轴．• (2)中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是 ⑪ ____________.• (3)圆具有旋转不变性，即圆绕着它的圆心旋转 ⑫ ____________角度，都能与原来的图形重合．5直径 圆 心 任意 • 【 夯实基础 】• 1．在以下所给的命题中：• ① 直径是弦； ② 长度相等的弧是等弧； ③ 圆中最长的弦是直径； ④ 半圆是弧，但弧不一定是半圆，其中正确的个数为 ( )• A． 1 B． 2• C． 3 D． 4• 2．下列说法错误的是 ( )• A．圆是对称图形 B．三点确定一个圆• C．半径相等的两个圆是等圆 D．每个圆都有无数条对称轴6C B • 1．定理7知识点二 圆周角定理及其推论一半 • 【 注意 】 (1)在运用 圆 周角定理 时 ，一定要注意 “ 在同 圆 或等 圆 中 ”这 一条件； (2)一条弦 对应 两条弧， 对应 两个 圆 周角且 这 两个 圆 周角互 补 ； (3)一条弧只 对应 一个 圆 心角，却 对应 无数个 圆 周角．• 【 易错警示 】 由于圆中一条弦对应两段弧，故若题干中并未明确弦对应哪段弧，而要求圆中一段弦对应的圆周角的度数时，就要分情况讨论，图形如下：8• 2． 推论9相等 直角 直径 ∠2 90° 10• 3．如 图 ， AB是 ⊙ O的直径， C， D是 ⊙ O上两点，分 别连接 AC， BC， CD， OD.若 ∠ DOB＝ 140° ， 则 ∠ ACD＝ ( )• A． 20° B． 30°• C． 40° D． 70°11A • 4．如 图 ， AB是 ⊙ O的直径， BC是 ⊙ O的弦．若 ∠ OBC＝ 60° ， 则 ∠ BAC＝ _____________.1230° 1330° 14知识点三 圆内接四边形及其性质互 补 内 对 角 ∠ A 15A 16知识点四 弧、弦、圆心角的关系相等 相等 相等 相等 相等 相等 • 【 注意 】 (1)如果两个 圆 心角、两条弧或两条弦中有一 组 量相等 ，那么它 们 所 对应 的其余各 组 量也分 别 相等； (2)弦心距、半径、弦的一半构成的直角三角形，常用于求未知 线 段的 长 或角的大小． 为 构造 这个直角三角形，常 连 接半径或作弦心距，利用勾股定理求未知 线 段 长．1718A 19知识点五 垂径定理及其推论平分 平分 垂直 平分 • 【 易错提示 】 由于 圆 内两条平行弦可以在 圆 心的同 侧 或异 侧 ，故若 题干中并未 给 出两条平行弦的位置，而要求 圆 中两条平行弦 间 的距离 时，就要分情况 讨论 ，再利用垂径定理 进 行 计 算， 图 形如下：20• 【 注意 】 在使用垂径定理的推 论时 注意 “ 弦非直径 ” 这 一条件，因 为所有的直径互相平分，但互相平分的直径不一定垂直．弦的垂直平分线经过圆 心，并且平分弦所 对 的两条弧；平分弦所 对 的一条弧的直径，垂直于弦，并且平分弦所 对 的另一条弧； 圆 的两条平行弦所 夹 的弧相等．2122D • 9．如 图 ， ⊙ O的半径 为 13，弦 AB的 长 度是 24， ON⊥ AB，垂足 为 点 N，则 ON＝ ___________.235 • 【 例 1】 (2018·张 家界 )如 图 ， AB是 ⊙ O的直径，弦CD⊥ AB于点 E， OC＝ 5 cm， CD＝ 8 cm，则 AE＝ ( )• A． 8 cm B． 5 cm• C． 3 cm D． 2 cm24重难点 · 突破考点 1 垂径定理及其推论 (重点 )A • 【 思路点拨 】 根据垂径定理可得出 CE的长，在 Rt△ OCE中，利用勾股定理可得出 OE的长，再利用 AE＝ AO＋ OE即可求解．25• 有关垂径定理的 问题 通常需要构造直角三角形， 计 算未知 线 段的 长 度或角度，常 连 接半径或弦心距，利用勾股定理求解． 2627考点 2 圆周角定理及其推论 (高频考点 )• 【 解答 】 (1)如答图 1，点 P即为所求的点．• (2)由 (1)可知， PA＋ PB的最小值为 A′ B的长．• 如答图 2，分别连接 OA′ ， OB， OA.• ∵ A点关于 MN的对称点为 A′ ， ∠ AMN＝ 30° ， • ∴∠ AON＝ ∠ A′ ON＝ 2∠ AMN＝ 2×30° ＝ 60°.2829• 利用 轴对 称知 识 解决最小 值 ， 结 合 圆 周角性 质 定理及推 论 ， 综 合解决 问题 ． 301第一部分 第六章 课时 231．如图，在△ ABC 中，点 I 是内心，∠ A＝76°，则∠ BIC 的大小为( C )A．114° B．122°C．128° D．132°2．如图，△ ABC 是⊙ O 的一个内接三角形， AB＋ AC＝9， E 是△ ABC 的内心， AE 的延长线交⊙ O 于点 D，且 OE⊥ AD.当△ ABC 的形状变化时，边 BC 的长度是__4.5__.解：连接 CE， DC， BD，如答图，答图∵ E 是△ ABC 的内心，∴∠ BAD＝∠ CAD，∠ ACE＝∠ BCE.由圆周角定理得，∠ BAD＝∠ BCD，∠ DEC＝∠ DAC＋∠ ACE，∠ DCE＝∠ BCD＋∠ BCE，∴∠ DEC＝∠ DCE，∴ DE＝ DC.∵ OE⊥ AD，∴ AE＝ DE，∴ AD＝2 CD.∵∠ BAD＝∠ CAD，∠ ABC＝∠ ADC，∴△ ABH∽△ ADC，∴ ＝ ＝2, ∴ AB＝2 BH，ABBH ADDC同理， AC＝2 CH，∴ AB＋ AC＝2 BC＝9，∴ BC＝4.5.3．如图，在△ ABC 中，以 AC 为直径作⊙ O 交 AB 于点 D，直线 BC 与⊙ O 相切， C 为切2点，连接 CD.(1)求证：∠ A＝∠ BCD；(2)求证： DC2＝ BD·DA；(3)若 M 为线段 BC 上一点，试问当点 M 在什么位置时，直线 DM 与⊙ O 相切？并说明理由．(1)证明：∵ AC 为⊙ O 的直径，∴∠ ADC＝90°.∵直线 BC 与⊙ O 相切， C 为切点，∴∠ BCA＝90°，∴∠ A＋∠ DCA＝90°.∵∠ ACB＝90°，∴∠ BCD＋∠ ACD＝90°，∴∠ A＝∠ BCD.(2)证明：∵∠ DCB＝∠ A，∠ ADC＝∠ BDC＝90°，∴△ CDB∽△ ADC，∴ ＝ ，CDAD BDCD∴ DC2＝ BD·DA.(3)解：当 MC＝ MD(或点 M 是 BC 的中点)时，直线 DM 与⊙ O 相切．理由：连接 DO，如答图，∵ DO＝ CO，∴∠1＝∠2.答图∵ DM＝ CM，∴∠4＝∠3.∵∠2＋∠4＝90°，∴∠1＋∠3＝90°.又∵ OD 为⊙ O 的半径，∠ ODM＝90°， ∴直线 DM 与⊙ O 相切．1第一部分 第六章 课时 23命题点一 切线的性质与判定1．(2016·遵义)如图，△ ABC 中，∠ BAC＝120°， AB＝ AC＝6. P 是底边 BC 上的一个动点( P 与 B， C 不重合)，以 P 为圆心， PB 为半径的⊙ P 与射线 BA 交于点 D，射线 PD 交射线CA 于点 E.(1)若点 E 在线段 CA 的延长线上，设 BP＝ x， AE＝ y，求 y 关于 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围；(2)当 BP＝2 时，试说明射线 CA 与⊙ P 是否相切；3(3)连接 PA，若 S△ APE＝ S△ ABC，求 BP 的长．18解：(1)过 A 作 AF⊥ BC 于 F，过 P 作 PH⊥ AB 于 H，如答图 1.∵∠ BAC＝120°， AB＝ AC＝6，∴∠ B＝∠ C＝30°. ∵ PB＝ PD，∴∠ PDB＝∠ B＝30°， CF＝ AC·cos30°＝6× ＝3 ，∴∠ ADE＝30°，32 3∴∠ DAE＝∠ CPE＝60°.∴∠ CEP＝90°，∴ CE＝ AC＋ AE＝6＋ y，∴ PC＝ ＝ .∵ BC＝6 ，∴ PB＋ CP＝ x＋ ＝6 ，∴ y＝CEsin60°23 6＋ y3 3 23 6＋ y3 3－ x＋ 3. ∵ BD＝2 BH＝ x＜6，∴ x＜2 ，∴ x 的取值范围是 0＜ x＜2 .32 3 3 3(2)∵ BP＝2 ，∴ CP＝4 ，∴ PE＝ PC＝2 ＝ PB，∴射线 CA 与⊙ P 相切．3 312 3(3)当 D 点在线段 BA 上时，连接 AP，如答图 1.∵ S△ABC＝ BC·AF＝ ×6 ×3＝9 ，∴ S△ APE＝ AE·PE＝ y· ×(6＋ y)＝ S△ ABC＝ ，解得12 12 3 3 12 12 33 18 938y＝ ，代入 y＝－ x＋3，得 x＝4 － .63－ 62 32 3 21当 D 点在 BA 的延长线上时，如答图 2， PC＝ EC＝ (6－ y)，233 2332∴ PB＋ CP＝ x＋ (6－ y)＝6 ，∴ y＝ x－3. ∵∠ PEC＝90°，233 3 32∴ PE＝ ＝ ＝ (6－ y)，EC3 AC－ AE3 33答图∴ S△ APE＝ AE·PE＝ y· (6－ y)＝ S△ ABC＝ .12 12 33 18 938解得 y＝ 或 ，代入 y＝ x－3，得 x＝3 或 5 .32 92 32 3 3综上， BP 的长为 4 － 或 3 或 5 .3 21 3 3命题点二 三角形的外接圆与内切圆2．(2016·遵义)如图，矩形 ABCD 中， AB＝4， BC＝3，连接 AC，⊙ P 和⊙ Q 分别是△ABC 和△ ADC 的内切圆，则 PQ 的长是( B )A． B． 52 5C． D．252 2【解析】∵四边形 ABCD 为矩形，∴△ ACD≌△ CAB，∴⊙ P 和⊙ Q 的半径相等. 在 Rt△ ABC 中， ∵ AB＝4， BC＝3，∴ AC＝ ＝5，AB2＋ BC2∴⊙ P 的半径 r＝ ＝ ＝1.AB＋ BC－ AC2 4＋ 3－ 52如答图，连接 PQ，过点 Q 作 QE∥ BC，过点 P 作 PE∥ AB 交 QE 于点 E，则∠ QEP＝90°，3答图∵在 Rt△ QEP 中， QE＝ BC－2 r＝3－2＝1，EP＝ AB－2 r＝4－2＝2，∴ PQ＝ ＝ ＝ .QE2＋ EP2 12＋ 22 53．(2014·遵义)如图，直角梯形 ABCD 中， AB∥ CD，∠ DAB＝90°，且∠ ABC＝60°，AB＝ BC，△ ACD 的外接圆⊙ O 交 BC 于 E 点，连接 DE 并延长，交 AC 于 P 点，交 AB 延长线于F.(1)求证： CF＝ DB；(2)当 AD＝ 时，试求 E 点到 CF 的距离．3(1)证明：如答图，连接 AE，答图∵∠ ABC＝60°， AB＝ BC，∴△ ABC 为等边三角形．∵ AB∥ CD，∠ DAB＝90°，∴∠ ADC＝∠ DAB＝90°，∴ AC 为⊙ O 的直径，∴∠ AEC＝90°，即 AE⊥ BC，∴ BE＝ CE.∵ CD∥ BF，∴∠ DCE＝∠ FBE.在△ DCE 和△ FBE 中，Error!∴△ DCE≌△ FBE(ASA), ∴ DE＝ FE，∴四边形 BDCF 为平行四边形，∴ CF＝ DB.(2)解：如答图，作 EH⊥ CF 于 H，∵△ ABC 为等边三角形，4∴∠ BAC＝60°，∴∠ DAC＝30°.在 Rt△ ADC 中， AD＝ ，3∴ DC＝ AD＝1， AC＝2 CD＝2，33∴ AB＝ AC＝2， BF＝ CD＝1，∴ AF＝3.在 Rt△ ABD 中， BD＝ ＝ ，AD2＋ AB2 7在 Rt△ ADF 中， DF＝ ＝2 ，AD2＋ AF2 3∴ CF＝ BD＝ ， EF＝ DE＝ DF＝ .712 3∵ AE⊥ BC，∴∠ CAE＝∠ BAE＝30°，∴∠ EDC＝∠ CAE＝30°.而∠ DCA＝∠ BAC＝60°，∴∠ DPC＝90°.在 Rt△ DPC 中， DC＝1，∠ CDP＝30°，∴ PC＝ DC＝ .12 12∵∠ HFE＝∠ PFC，∴Rt△ FHE∽Rt△ FPC，∴ ＝ ，即 ＝ ，∴ EH＝ ，EHPC FEFC EH12 37 2114即 E 点到 CF 的距离为 .2114教材同步复习第一部分 第六章 圆课时 23 与圆有关的位置关系 • 1．点与圆的位置关系• 点与 圆 的位置关系有三种，分 别 是点在 圆 外，点在 圆 上和点在 圆 内．如 图 ， 设 ⊙ O的半径为 r，则有：• (1)点在圆外 ⇔① __________，如点 A；• (2)点在圆上 ⇔d2＝ r，如点 B；• (3)点在 ② ________⇔d3r 知识点一 与圆有关的位置关系圆 内 • 2．直线与圆的位置关系• (1)直 线 与 圆 的位置关系有三种，分 别 是相交，相切，相离．• (2)根据 圆 心到直 线 的距离可以判断直 线 与 圆 的位置关系．• 设 r是 ⊙ O的半径， d是圆心 O到直线 l的距离，则直线 l与 ⊙ O的位置关系与 d， r的关系如下表：34＝ • 【 夯实基础 】• 1．若 ⊙ O的半径为 5 cm， OA＝ 4 cm，则点 A与 ⊙ O的位置关系，是________________.• 2．在平面直角坐标系 xOy中，若点 P(3,4)在 ⊙ O内，则 ⊙ O的半径 r的取值范围为 _________.• 3．若一条直线与圆有公共点，则该直线与圆的位置关系是______________.• 4．点 A在 ⊙ O上， ⊙ O的半径为 8，点 A到直线 l的距离为 16，则直线 l与⊙ O的位置关系是 ______________.5点 A在 ⊙ O内 r＞ 5 相交或相切 相切或相离 • 1．切线的性质• (1)圆 的切 线 ⑤ __________过切点的半径．• (2)经过圆心且垂直于切线的直线经过 ⑥ ________.• (3)经过切点且垂直于切线的直线经过 ⑦ ________.• 2． 切线的判定• (1)设 d表示圆心到直线的距离， r表示圆的半径，若 d＝ r，则直线与圆相切．• (2)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．• (3)如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线．6垂直于 知识点二 切线的性质和判定切点 圆 心 • 3．切线判定的常用方法• (1)当直 线 与 圆 未 说 明有公共点 时 ，采用判定 (2)证 明直 线 与 圆 相切，需要 过圆 心作直 线 的垂 线 段， 证 明 圆 心到直 线 的距离等于 圆 的半径，简记为 “ 作垂直， 证 相等 ” ．• (2)当 题 中明确指明了已知直 线 和 圆 有公共点 时 ，采用判定 (1)证 明相切，先 连 接 圆 心和已知的公共点，再 证 明 这 条半径和直 线 垂直， 简记为 “ 连 半径， 证 垂直 ” ．• (3)要 证 明直 线 与 圆 有公共点，且存在 连 接公共点的半径，此 时 可直接根据 “ 经过 直径的一端，并且垂直于 这 条直径的直 线 是 圆 的切 线 ”来 证 明，口 诀 是 “ 见 半径， 证 垂直 ” ．7• 【 注意 】 要判定一条直 线 是 圆 的切 线 关 键 是看直 线 和 圆 有无公共点：(1)有公共点， 连 接 圆 心和 圆 与直 线 的公共点得半径，再 证 它 们 互相垂直； (2)无公共点， 则过圆 心作出直 线 的垂 线 ，再 证 此垂 线 段等于圆 的半径．8• *4.切线长及定理• (1)定 义 ： 经过圆 外一点作 圆 的一条切 线 ， 这 一点与切点之 间 的 线 段长 度叫做点到 圆 的切 线长 ．如 图 ， 线 段 PA， PB为 点 P到 ⊙ O的切线长．• (2)定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．如图， PA， PB分别切 ⊙ O于 A， B两点，那么 PA＝ PB， ∠ APO＝ ∠ BPO.9• 【 夯实基础 】• 5．下列直线，能判定是圆的切线的是 ( )• A．过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线• B．点 A在直线 l上， ⊙ O的半径是 R，若 OA＝ R，则 l是 ⊙ O的切线• C．若 OC是半径， OC⊥ l，则直线 l是 ⊙ O的切线• D．若直线 l与 ⊙ O有唯一公共点，则 l是 ⊙ O的切线10D • 6．如 图 ， AB和 ⊙ O相切于点 B， ∠ AOB＝ 60° ， 则 ∠ A的大小 为 ( )• A． 15° B． 30°• C． 45° D． 60°11B 12知识点三 三角形的外接圆与内切圆 13名称 外接圆 内切圆性质 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 三角形的内心到三角形三条边的距离相等角度关系 ∠ BOC＝ ⑧ _____∠ A ∠ BOC＝ 90°＋ ⑨ ______∠ A画法作三角形任意两边的垂直平分线，其交点即为圆心 O，以圆心 O到任一顶点距离为半径作 ⊙ O即可作三角形任意两角的平分线，其交点即为圆心 O，过 O点作任一边的垂线确定半径作 ⊙ O即可2 • 【 注意 】 圆 中常用的 辅 助 线 ： (1)有弦，可作弦心距，与弦的一半、半径构成直角三角形； (2)有直径， 寻 找直径所 对 的 圆 周角， 这 个角是直角； (3)有切点， 连 接切点与 圆 心， 这 条 线 段是半径且垂直于切 线； (4)有内心，可作 边 的垂 线 ，垂 线过 内心且垂直平分 这 条 边 ．14• 【 夯实基础 】• 7．如图， ⊙ O是 △ ABC的内切圆，若 ∠ ABC＝ 70° ， ∠ ACB＝ 40° ，则∠ BOC＝ _________.15125° • 8．如 图 ， ⊙ O是 △ ABC的外接 圆 ，直径 AD＝ 4， ∠ ABC＝ ∠ DAC， 则 AC＝ ______.16• 【 例 1】 (2018·苏 州 )如 图 ， AB是 ⊙ O的直径，点 C在⊙ O上， AD垂直于过点 C的切线，垂足为 D， CE垂直 AB，垂足为 E.延长 DA交 ⊙ O于点 F，连接 FC， FC与 AB相交于点 G，连接 OC.• (1)求证： CD＝ CE；• (2)若 AE＝ GE，求证： △ CEO是等腰直角三角形．17重难点 · 突破考点 1 切线的性质与判定 (高频考点 )• 【 思路点拨 】 (1)连接 AC，根据切线的性质和已知可得 AD∥ OC，得∠ DAC＝ ∠ CAO，根据 AAS证明 △ CDA≌△ CEA，可得结论；• (2)证法一：根据 △ CDA≌△ CEA，得 ∠ DCA＝ ∠ ECA，由等腰三角形三线合一得 ∠ F＝ ∠ ACE＝ ∠ DCA＝ ∠ ECG，在直角三角形中得 ∠ F＝ ∠ DCA＝∠ ACE＝ ∠ ECG＝ 22.5° ，可得结论；• 证法二：设 ∠ F＝ x，则 ∠ AOC＝ 2∠ F＝ 2x，根据平角的定义得 ∠ DAC＋∠ EAC＋ ∠ OAF＝ 180° ，则 3x＋ 3x＋ 2x＝ 180，可得结论．18• 【 解答 】 (1)证明：如答图，连接 AC，• ∵ CD是 ⊙ O的切线， ∴ OC⊥ CD.• ∵ AD⊥ CD，• ∴∠ DCO＝ ∠ D＝ 90° ，• ∴ AD∥ OC，• ∴∠ DAC＝ ∠ ACO.• ∵ OC＝ OA， ∴∠ CAO＝ ∠ ACO，• ∴∠ DAC＝ ∠ CAO.• ∵ CE⊥ AB， ∴∠ CEA＝ 90°.• ∵ AC＝ AC， ∴△ CDA≌△ CEA(AAS)，• ∴ CD＝ CE.19答 图 • (2)证 法一：如答 图 ， 连 接 BC，• ∵△ CDA≌△ CEA， ∴∠ DCA＝ ∠ ECA.• ∵ CE⊥ AG， AE＝ EG，• ∴ CA＝ CG， ∴∠ ECA＝ ∠ ECG.• ∵ AB是 ⊙ O的直径， ∴∠ ACB＝ 90°.• ∵ CE⊥ AB， ∴∠ ACE＝ ∠ B.• ∵∠ B＝ ∠ F， ∴∠ F＝ ∠ ACE＝ ∠ DCA＝ ∠ ECG.• ∵∠ D＝ 90° ， ∴∠ DCF＋ ∠ F＝ 90° ，• ∴∠ F＝ ∠ DCA＝ ∠ ACE＝ ∠ ECG＝ 22.5° ，• ∴∠ AOC＝ 2∠ F＝ 45° ，• ∴△ CEO是等腰直角三角形．20• 证 法二： 设 ∠ F＝ x， 则 ∠ AOC＝ 2∠ F＝ 2x，• ∵ AD∥ OC， ∴∠ OAF＝ ∠ AOC＝ 2x，• ∴∠ CGA＝ ∠ OAF＋ ∠ F＝ 3x.• ∵ CE⊥ AG， AE＝ EG， ∴ CA＝ CG，• ∴∠ EAC＝ ∠ CGA，• ∴∠ DAC＝ ∠ EAC＝ ∠ CGA＝ 3x.• ∵∠ DAC＋ ∠ EAC＋ ∠ OAF＝ 180° ，• ∴ 3x＋ 3x＋ 2x＝ 180， x＝ 22.5° ，• ∴∠ AOC＝ 2x＝ 45° ，• ∴△ CEO是等腰直角三角形．21• 【 思路点拨 】 (1)根据等腰三角形的性质，可得 ∠ CAO＝ ∠ BAO，根据角平分线的性质，可得 OD＝ OE，由切线的判定，即可求证； (2)在Rt△ AOB中，根据余弦值，可求得 OB的长，由勾股定理可得 OA的长，根据三角形的面积公式即可求得 OE的长．22• 【 解答 】 (1)证明：如答图，作 OE⊥ AB于点 E，连接 OD， OA.• ∵ AB＝ AC，点 O为 BC的中点，• ∴∠ CAO＝ ∠ BAO.• ∵ AC与半圆 O相切于点 D， ∴ OD⊥ AC.• ∵ OE⊥ AB， ∴ OD＝ OE.• ∴ OE是半圆 O的半径，• ∴ AB是半圆 O所在圆的切线．23答 图 24• 关于切 线 的判定与性 质 及相关 计 算，一般是 连 接 圆 心和切点的 线 段，从而 转 化到三角形中，利用全等三角形的判定与性 质 、 圆 周角定理、勾股定理、三角形内角和定理以及等腰三角形和等腰直角三角形的判定与性 质 等知 识 求解．解 题时 注意掌握数形 结 合思想的 应 用． 2526考点 2 三角形的外接圆与内切圆 (高频考点 )D 27答 图 • 【 例 4】 如 图 ， Rt△ ABC的两条直角边 AC＝ 5， BC＝ 12， ⊙ O是 △ ABC 的内切圆，切点分别为 D， E， F，则 ⊙ O的半径为 _____.282 【 思路点拨 】 连接 OE， OD， OF，易得 AB＝ 13，四边形 OECF为正方形，再由切线长定理即可求得 ⊙ O的半径．• 【 解答 】 如答图，连接 OE， OD， OF，• ∵ Rt△ ABC的两条直角边 AC＝ 5， BC＝ 12，• ∴ 由勾股定理得 AB＝ 13，设 ⊙ O的半径为 r.• ∵⊙ O是 △ ABC 的内切圆，切点分别为 D， E， F，• ∴ OE＝ OD＝ OF＝ r，四边形 OECF为正方形，• ∴ CE＝ CF＝ r，由切线长定理得，• BD＝ BE， AD＝ AF， CE＝ CF.• ∴12 － r＋ 5－ r＝ 13, 解得 r＝ 2.29答 图 • 理解掌握三角形外接 圆 ，三角形外心，三角形内切 圆 ，三角形内心定义 和特点是解决 这类问题 的关 键 ． 301第一部分 第六章 课时 241．如图，在纸上剪下一个圆和一个扇形的纸片，使之恰好能围成一个圆锥模型．若圆的半径为 r，扇形的圆心角等于 120°，则围成的圆锥模型的高为( B )A． r B．2 r2C． r D．3 r10【解析】∵圆的半径为 r, ∴扇形的弧长等于底面圆的周长 2π r.设圆锥的母线长为R，则 ＝2π r, 解得 R＝3 r.根据勾股定理得圆锥的高为 2 r，故选 B．120π R180 22．如图，在▱ ABCD 中，∠ B＝60°，⊙ C 的半径为 6，则图中阴影部分的面积是( A )A．12π B．15πC．18π D．20π【解析】∵在平行四边形 ABCD 中， AB∥ DC，∴∠ B＋∠ C＝180°，∴∠ C＝180°－60°＝120°，∴阴影部分的面积为 ＝12π.120π ×623603．一块等边三角形的木板，边长为 2，现将木板沿水平线翻滚(如图)，那么 B 点从开始至结束所走过的路径长度为( B )A． B． 3π2 8π3C．4 D．2＋3π2【解析】∵ BC＝ AB＝ AC＝2，∠ BCB′＝120°，∴ B 点从开始至结束所走过的路径长度为 2× ＝ ，故选 B．120π ×2180 8π321第一部分 第六章 课时 24命题点一 弧长的相关计算1．(2016·遵义)如图，半圆的圆心为 O，直径 AB的长为 12， C为半圆上一点，∠ CAB＝30°， 的长是( D )AC︵ A．12π B．6π C．5π D．4π【解析】如答图，连接 OC．∵∠ CAB＝30°，∴∠ BOC＝2∠ CAB＝60°，∴∠ AOC＝120°.又∵ AB＝12，∴ OA＝6，∴ 的长是 ＝4 π .AC120π ×6180命题点二 扇形面积的相关计算2．(2015·遵义)如图，在圆心角为 90°的扇形 OAB中，半径 OA＝2 cm， C为 的中AB︵ 点， D， E分别是 OA， OB的中点，则图中阴影部分的面积为__ π ＋ － ___cm2.12 22 12【解析】如答图，连接 OC，过 C点作 CF⊥ OA于点 F.答图∵ OA＝2 cm， C为 的中点， D， E分别是 OA， OB的中点，AB︵ 2∴ OD＝ OE＝1 cm， OC＝2 cm，∠ AOC＝ 45°，∴ CF＝ cm.2∴ S 空白 ACD＝ S 扇形 OAC－ S△ OCD＝ － × 1× ＝( π － )cm2，45π ×22360 12 2 12 22S△ ODE＝ OD·OE＝ cm2，12 12∴ S 阴影 ＝ S 扇形 OAB－ S 空白 ACD－ S△ ODE＝ －( π － )－ ＝ π － π ＋ － ＝(90π ×22360 12 22 12 12 22 12π ＋ － ) cm2.12 22 12命题点三 圆锥的相关计算3．(2018·遵义)若要用一个底面直径为 10，高为 12的实心圆柱体，制作一个底面和高分别与圆柱底面半径和高相同的圆锥，则该圆锥的侧面积为( B )A．60π B．65π C．78π D．120π【解析】由题意可得，圆锥的底面半径为 5，母线长为 ＝13，该圆锥的侧面122＋ 52积为 π×5×13＝65π.4．(2017·遵义)已知圆锥的底面面积为 9π cm2，母线长为 6 cm，则圆锥的侧面积是( A )A．18π cm 2 B．27π cm 2C．18 cm 2 D．27 cm 2【解析】∵圆锥的底面积为 9π cm 2，∴圆锥的底面半径为 3 cm，周长为 6π cm.∵母线长为 6 cm，∴侧面积为 ×6π×6＝18π cm 2.125．(2014·遵义)有一圆锥，它的高为 8 cm，底面半径为 6 cm，则这个圆锥的侧面积是！！！__60π__###cm 2.(结果保留 π)【解析】圆锥的母线长为 ＝10 cm，圆锥的底面周长为 2π r＝12π cm，圆锥62＋ 82的侧面积为 lR＝ ×12π×10＝60π cm 2.12 12教材同步复习第一部分 第六章 圆课时 24 与圆有关的计算 知识要点 · 归纳知识点一 弧长及扇形面积的相关计算 2πr πr2 2• 【注意】 (1)如果 题 目中没有明确 给 出精确度，可用含 “ π ” 的数表示弧 长 ；• (2)应 区分弧、弧 长这 两个概念，弧 长 相等的弧不一定是等弧．3C D 4知识点二 圆柱、圆锥的相关计算r2＋ h2＝ l2 5• 【注意】 (1)圆锥 的母 线 与展开后所得扇形的半径相等； (2)圆锥 的底面周 长 与展开后所得扇形的弧 长 相等．62πrh 2πrh A 9 5 7• 1． 规则图形： 如果所求面积的图形是规则扇形、圆环、特殊四边形等，可直接利用公式计算．• 如：圆环 S环 ＝ π R2－ π r2. 8知识点三 阴影部分的面积计算• 2． 不规则图形• 求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：9S△ AOB S△ AOB • (1)加减转化法：将图形适当分割，将阴影部分的面积看成是规则图形面积的和或差．如图 1， S阴影 ＝ S△ AOC－ S扇形 AOB.10图 1 • (2)等面积转化法：通过等面积转化，将不规则阴影部分的面积转化为规则图形的面积来计算．等面积转化主要有两种：一种是三角形的同底等高 (或等底等高 )转化，如图 2，可将阴影部分的面积转化为扇形的面积计算；另一种是将圆心角未知的多个小扇形拼成一个圆心角已知的大扇形进行计算，如图 3， ⊙ A与 ⊙ B半径相同，可将两个小扇形转化为四分之一圆来计算．11图 2 图 3• (3)变换转化法：利用图形在平移、旋转、对称变换前后面积不变的性质，可将不规则阴影部分的面积转化为规则图形的面积进行计算．如图 4，三角形经对称、旋转变换后所得阴影部分的面积等同于一个扇形的面积．12图 4 • (4)整体转化法：当整个图形由较多规则图形组成时，如果整个图形除阴影部分外可以彻底分割成规则图形，另外，当阴影部分也参与分割时，整个图形也能彻底分割成规则图形，那么利用两种不同分割方式对整个图形的面积计算，可以建立方程来求解阴影部分面积．如图 5，S阴影 ＋ S扇形 CBC′ ＋ S△ ABC＝ S△ A′ BC′ ＋ S扇形 A′ BA.13图 5 A 14A 15• 8．如图，半圆 O的直径 AE＝ 4，点 B， C， D均在半圆上 . 若 AB＝ BC， CD＝ DE，连接 OB， OD，则图中阴影部分的面积为 ______.16π 17知识点四 正多边形和圆中心 外接圆 距离 圆心角 181920A 21• 10．如图， ⊙ O是正五边形 ABCDE的外接圆，半径为 R，这个正五边形的边长为 a，边心距为 r，则下列关系式错误的是 ( )• A． R2－ r2＝ a2• B． a＝ 2Rsin36°• C． a＝ 2rtan36°• D． r＝ Rcos36°22A • 【例 1】 如图， AB是 ⊙ O的弦， AB＝ 6，点 C是 ⊙ O上的一个动点，且 ∠ ACB＝ 30°. 若点 M， N分别是 AB， BC的中点，则当 MN值最大时，弧 AB的长为 _______.23重难点 · 突破考点 1 弧长的相关计算 (重点 )2π 【思路点拨】 解题关键是当 AC最大时 MN最大 . 当 AC为 ⊙ O的直径时， AC有最大值，算出此时弧 AB的长．答图 24• 类 似极 值问题• 本 题 从 MN最大 值 确定 AC最大 值 ， 进 而求半径 长 ，再利用 圆 周角定理求圆 心角，最后利用弧 长 公式解决 问题 ． 25考点 2 扇形面积的相关计算 (重点 )• 【思路点拨】 设 AC与 ⊙ O相交于点 G，由图可得， S阴影 ＝ S△ ABC－ S扇形 OGF－S△ OAF, 依次计算 S△ ABC， S扇形 OGF和 S△ OAF，即可求解．26答图 27• 本 题 考 查 扇形面 积 的 计 算，涉及含 30度角的直角三角形的性 质 ，勾股定理，切 线 的性 质 ，扇形的面 积 公式等知 识 ， 综 合程度 较 高．根据扇形面 积 公式以及三角形面 积 公式即可求出答案． 28• 【例 3】 若圆锥的侧面积等于其底面积的 3倍，则该圆锥侧面展开图所对应扇形圆心角的度数为 ( )• A． 60° B． 90° • C． 120° D． 180°• 【思路点拨】 根据圆锥的侧面积等于其底面积的 3倍，及圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥的底面周长列等式，即可求解．29考点 3 圆锥的相关计算 (高频考点 )C 30