1、目标定位 1.会处理电场中的平衡问题.2.会处理电场力与牛顿第二定律结合的综合问题一、电场力作用下的平衡1共点力的平衡条件：物体不受力或所受外力的合力为零2处理平衡问题常用的数学知识和方法有直角三角形、相似三角形和正交分解法选取研究对象时，要注意整体法和隔离法的灵活运用例 1 如图 1 所示，光滑水平面上相距为 L 的 A、B 两个带正电小球，电荷量分别为 4Q和 Q.要在它们之间引入第三个带电小球 C，使三个小球都只在电场力相互作用下而处于平衡，求：图 1(1)小球 C 带何种电荷？(2)C 与 A 之间的距离 x 为多大？(3)C 球的电荷量 q 为多大？解析 (1)要使三个小球都只在电场
2、力相互作用下而处于平衡，且 A、B 为两个带正电小球，故小球 C 带负电荷(2)对 C，设 C 与 A 之间的距离为 x，则： ，解得： x L.4kQqx2 kQq（L x）2 23(3)对 A 球，由平衡条件知， ，解得：q Q.4kQqx2 4kQ2L2 49答案 (1)小球 C 带负电荷 (2) L (3) Q23 49同一直线上的三个自由点电荷都处于平衡状态时，电荷间 的关系为：“两同夹异” 、“两大夹小”、“近小远大” 例 2 如图 2 所示，真空中两个相同的小球带有等量同种电荷，质量均为 m，分别用绝缘细线悬挂于绝缘天花板上同一点，平衡时，B 球偏离竖直方向 角，A 球竖直且与墙
3、壁接触，此时 A、B 两球位于同一高度且相距 L.求：图 2(1)每个小球带的电荷量 q；(2)B 球所受绳的拉力 T.(3)墙壁对 A 球的弹力 N.解析 (1)对 B 球受力分析如图所示：B 球受三个力且处于平衡状 态，其中重力与库仑力的合力大小等于绳子拉力的大小，方向与 绳子拉力方向相反，由图可知：F 库 mgtan ，kq2L2解得：qL .mgtan k(2)由 B 球的受力分析知，T .mgcos (3)分析 A 球的受力情况知 NF 库 k q2L2结合得 Nmgtan .答案 (1)L (2) (3) mgtan mgtan k mgcos 二、两等量电荷电场线的特点等量同种点
4、电荷和等量异种点电荷的电场线的比较比较项目 等量同种点电荷 等量异种点电荷电场线分布图连线中点 O 处的场强 为零连线上 O 点场强最小，指向负电荷一方连线上的场强大小(从左到右 ) 沿连线先变小，再变大 沿连线先变小，再变大沿中垂线由 O 点向外场强大小O 点最小，向外先变大后变小O 点最大，向外逐渐减小关于 O 点对称的 A 与 A、B与 B的场强等大反向 等大同向例 3 如图 3 所示，a、b 两点处分别固定有等量异种点电荷Q 和Q ，c 是线段 ab 的中心，d 是 ac 的中点，e 是 ab 的垂直平分线上的一点，将一个正点电荷先后放在 d、c、e 点，它所受的电场力分别为 Fd、F
5、 c、F e，则下列说法中正确的是( )图 3AF d、F c、F e的方向都是水平向右BF d、F c的方向水平向右，F e的方向竖直向上CF d、F e的方向水平向右，F c0DF d、F c、F e的大小都相等解析 根据场强叠加原理，等量异种点电荷连线及中垂线上的电场线分布如图所示，d、c、e三点场强方向都是水平向右，正点 电荷在各点所受电场力方向与 场强方向相同可得 A 正确，B、C 错误；连线 上场强由 a 到 b 先减小后增大，中垂线上由 O 到无穷远处逐渐减小，因此 O点场强是连线上最小的(但不 为 0)，是中垂 线上最大的，故 FdF cF e，故 D 错误答案 A三、电场线与
6、运动轨迹1物体做曲线运动的条件：合力在轨迹曲线的内侧，速度方向沿轨迹的切线方向2由轨迹的弯曲情况结合电场线确定电场力的方向；由电场力和电场线的方向可判断电荷的正负；由电场线的疏密程度可确定电场力的大小，再根据牛顿第二定律 Fma 可判断运动电荷加速度的大小例 4 如图 4 所示，实线为电场线(方向未画出) ，虚线是一带电的粒子只在电场力的作用下，由 a 到 b 的运动轨迹，轨迹为一条抛物线下列判断正确的是( )图 4A电场线 MN 的方向一定是由 N 指向 MB带电粒子由 a 运动到 b 的过程中速度一定逐渐减小C带电粒子在 a 点的速度一定小于在 b 点的速度D带电粒子在 a 点的加速度一定
7、大于在 b 点的加速度解析 由于该粒子只受电场力作用且做曲线运动，物体所受外力指向轨迹内侧，所以粒子所受电场力一定是由 M 指向 N，但是由于粒子的 电荷性质不清楚，所以电场线的方向无法确定，故 A 错误；粒子从 a 运动到 b 的过程中，电场力与速度成锐角，粒子做加速运动，速度增大，故 B 错误， C 正确； b 点的电场线比 a 点的密，所以带电粒子在 a 点的加速度小于在 b 点的加速度，故 D 错误，故选 C.答案 C电场线决定力(或加速度)的方向， 轨迹显示速度的方向，注意电场力的方向指向轨迹内侧针对训练 一带负电荷的质点，在电场力作用下沿曲线 abc 从 a 运动到 c，已知质点的
8、速率是递减的关于 b 点电场强度 E 的方向，下列图示中可能正确的是(虚线是曲线在 b 点的切线)( )答案 D解析 负电荷所受的电场力与电场强度方向相反，曲 线运 动中质点所受的合力(本题是电场力)方向指向轨迹的凹侧所以正确 选项是 D.四、电场力与牛顿第二定律的结合例 5 如图 5 所示，光滑斜面倾角为37，一带正电的小物块质量为 m，电荷量为 q，置于斜面上，当沿水平方向加如图所示的匀强电场时，带电小物块恰好静止在斜面上，从某时刻开始，电场强度变化为原来的 ，(sin 12370.6，cos 370.8，g 10 m/s 2)求：图 5(1)原来的电场强度；(2)小物块运动的加速度；(3
9、)小物块 2 s 末的速度和 2 s 内的位移解析 (1)对小物块受力分析如图所示，小物块静止于斜面上，则 mgsin 37qE cos 37，E .mgtan 37q 3mg4q(2)当场强变为原来的 时，小物块受到的合外力 F 合 mg sin 37 qEcos 370.3mg，又 F 合12 12ma，所以 a3 m/s 2，方向沿斜面向下(3)由运动学公式得 vat 32 m/s 6 m/sx at2 322 m6 m.12 12答案 (1) (2)3 m/s2，方向沿斜面向下3mg4q(3)6 m/s 6 m应用牛顿运动定律求解带电体在电场中的加速运动问题，与在力学中的应用完全一致：
10、做好受力情况分析和运动过程分析；列牛顿运动定律方程和运动学方程，只是多分析了一个电场力1(电场力作用下的平衡)( 多 选)两个通电小球带电后相互排斥，如图 6 所示两悬线跟竖直方向各有一个夹角 、 ，且两球在同一水平面上两球质量用 m 和 M 表示，所带电荷量用q 和 Q 表示若已知 ，则一定有关系( )图 6A两球一定带同种电荷Bm 一定小于 MCq 一定大于 QDm 受到的电场力一定大于 M 所受的电场力答案 AB2(电场力作用下的平衡)如图 7 所示，光滑绝缘水平面上有三个带电小球 A、B、C (可视为点电荷)，三小球在一条直线上均处于静止状态，则以下判断正确的是( )图 7AA 对 B
11、 的电场力一定是引力BA 对 B 的电场力可能是斥力CA 的电荷量可能比 B 少DC 的电荷量一定比 B 少答案 A解析 三小球在一条直线上处 于静止状态， 则 A、C 一定是同种电荷，A、 B 一定是异种电荷，即“两同夹异” ，另外，A 和 C 的电荷量一定大于 B 的电荷量，即“两大夹小” ，选项 A 正确3(两等量电荷电场的特点)(多选)如图 8 所示，两个带等量负电荷的小球 A、B(可视为点电荷)，被固定在光滑的绝缘水平面上，P、N 是小球 A、B 连线的水平中垂线上的两点，且POON.现将一个电荷量很小的带正电的小球 C(可视为质点) 由 P 点静止释放，在小球 C向 N 点运动的过
12、程中，下列关于小球 C 的说法可能正确的是 ( )图 8A速度先增大，再减小B速度一直增大C加速度先增大再减小，过 O 点后，加速度先减小再增大D加速度先减小，再增大答案 AD解析 在 AB 的中垂 线上，从无穷远处到 O 点， 电场强度先变大后变小，到 O 点变为零，故正电荷受电场力沿连线的中垂线运动时，电荷的加速度先变 大后变小，速度不断增大，在 O 点加速度变为零，速度达到最大；由 O 点到无穷远处时，速度变化情况与另一侧速度的变化情况具有对称性如果 P、N 相距很近，加速度则先减小，再增大4(电场线与运动轨迹)( 多选 )一带电粒子从电场中的 A 点运动到 B 点，轨迹如图 9 中虚线
13、所示不计粒子所受重力，则( )图 9A粒子带正电荷B粒子加速度逐渐减小CA 点的速度大于 B 点的速度D粒子的初速度不为零答案 BCD解析 带电粒子所受合外力(即电场力) 指向轨迹内侧，知 电场 力方向向左，粒子带负电荷，故A 项错误根据 EAE B，知 B 项正确粒子从 A 到 B 受到的电场力为阻力，C 项正确由图可知，粒子从 A 点运动到 B 点，速度逐渐减小，故粒子在 A 点速度不为零，D 正确5(电场力与牛顿第二定律的结合) 如图 10 所示，用一条绝缘轻绳悬挂一个带电小球，小球质量为 1.0102 kg，所带电荷量为2.010 8 C现加一水平方向的匀强电场，平衡时绝缘绳与竖直方向
14、成 30角，绳长 L0.2 m ，取 g10 m/s 2，求：图 10(1)这个匀强电场的电场强度大小(2)突然剪断轻绳，小球做什么运动？加速度大小和方向如何？答案 (1) 107 N/C (2) 做匀加速直线运动36m/s2 与绳子拉力方向相反2033解析 (1)根据共点力平衡得，qEmgtan 30解得 E 107 N/C.36(2)突然剪断轻绳，小球受重力和电场力作用，做初速度为零的匀加速直线运动F 合 mamgcos 30a m/s22033加速度方向与绳子拉力方向相反.题组一 电场强度及矢量的叠加1(多选) 如图所示，下列为电场中某点的电场强度 E 与放在该点处的试探电荷 q 及所受
15、电场力 F 之间的函数关系图像，其中正确的是( )答案 AD解析 电场中某点的电场强度与试探电荷无关，所以 A 正确，B 错误；由 FqE 知， Fq 图像为过原点的倾斜直线，故 D 正确， C 错误2. (多 选) 如图 1 所示，金属板带电荷量为Q ，质量为 m 的金属小球带电荷量为q，当小球静止后，悬挂小球的绝缘细线与竖直方向间的夹角为 ，小球与金属板中心 O 恰好在同一条水平线上，且距离为 L.下列说法正确的是( )图 1AQ 在小球处产生的场强为 E1kQL2BQ 在小球处产生的场强为 E1mgtan qCq 在 O 点产生的场强为 E2kqL2Dq 在 O 点产生的场强为 E2mg
16、tan Q答案 BC解析 金属板不能看做点电荷，在小球 处产生的场强不能用 E 计算，故 A 错误；根据小kQr2球处于平衡得小球受电场力 Fmg tan ，由 E1 得：E 1 ，B 正确；小球可看做点电Fq mgtan q荷，在 O 点产生的场强 E2 ，C 正确；根据牛顿第三定律知金属板受到小球的电场力大小kqL2为 Fmgtan ，但金属板不能看做 试探电荷，故不能用 E 求场强， D 错误故 选 B、C.Fq3如图 2 所示，A、B、C、D、E 是半径为 r 的圆周上等间距的五个点，在这些点上各固定一个点电荷，除 A 点处的电荷量为q 外，其余各点处的电荷量均为q，则圆心 O 处(
17、)图 2A场强大小为 ，方向沿 OA 方向kqr2B场强大小为 ，方向沿 AO 方向kqr2C场强大小为 ，方向沿 OA 方向2kqr2D场强大小为 ，方向沿 AO 方向2kqr2答案 C解析 A 处放一个q 的点电荷与在 A 处同时放一个q 和2q 的点电荷的效果相当因此可以认为 O 处的场强是五个 q 和一个2q 的点电荷产生的场强合成的，五个q 处于对称位置上，在圆心 O 处产生的合场强为 0，所以 O 点的场强相当于2q 在 O 处产生的场强故选 C.题组二 电场线、运动轨迹4如图 3 为真空中两点电荷 A、B 形成的电场中的一簇电场线，该电场线关于虚线对称，O 点为 A、B 点电荷连
18、接的中点，a、b 为其连线的中垂线上对称的两点，则下列说法正确的是( )图 3AA、B 可能带等量异号的正、负电荷BA、B 可能带不等量的正电荷Ca、b 两点处无电场线，故其电场强度可能为零D同一试探电荷在 a、b 两点处所受电场力大小相等，方向一定相反答案 D解析 根据题图中的电场线分布可知，A、 B 带等量的正电 荷，选项 A、B 错误；a、 b 两点处虽然没有画电场线，但其电场强 度一定不为零， 选项 C 错误；由题图可知，a、b 两点处电场强度大小相等，方向相反，同一试探电荷在 a、b 两点处所受电场力大小相等，方向一定相反，选项 D 正确5(多选) 用电场线能很直观、很方便地比较电场
19、中各点场强的强弱如图 4 甲是等量异种点电荷形成电场的电场线，图乙是电场中的一些点：O 是电荷连线的中点，E、F 是连线中垂线上相对 O 对称的两点， B、C 和 A、D 也相对 O 对称则 ( )图 4AB、C 两点场强大小和方向都相同BA、D 两点场强大小相等，方向相反CE、O、F 三点比较，O 点场强最弱DB、O、C 三点比较，O 点场强最弱答案 AD解析 根据等量异种点电荷的 电场特点可知：两电荷连线上各点的场强方向向右且大小关于O 点对称，中点场强最小，向两 侧场强逐渐增大两 电荷连线中垂线上各点的场强方向相同，都向右，且大小关于 O 点对称，中点 场强最大，向两 侧场强逐渐减小故
20、A、D 正确6. (多选 )如图 5 所示，实线表示匀强电场中的电场线，一带电粒子 (不计重力)经过电场区域后的轨迹如图中虚线所示，a、b 是轨迹上的两点，关于粒子的运动情况，下列说法中可能的是( )图 5A该粒子带正电荷，运动方向为由 a 至 bB该粒子带负电荷，运动方向为由 a 至 bC该粒子带正电荷，运动方向为由 b 至 aD该粒子带负电荷，运动方向为由 b 至 a答案 BD7(多选) 如图 6 所示的电场中，虚线为某带电粒子只在电场力作用下的运动轨迹， a、b、c是轨迹上的三个点，则( )图 6A粒子一定带正电B粒子一定是从 a 点运动到 b 点C粒子在 c 点加速度一定大于在 b 点
21、加速度D粒子在电场中 c 点的速度一定大于在 a 点的速度答案 AC解析 曲线运动的物体，合力指向运 动轨迹的内侧，由此可知，带电粒子受到的电场力的方向为沿着电场线向左，所以粒子 带正电， A 正确；粒子不一定是从 a 点沿轨迹运动到 b 点，也可能从 b 点沿轨迹运动到 a 点， B 错误；由电场线的分布可知，粒子在 c 点所受的力较大，加速度一定大于在 b 点的加速度， C 正确；若粒子从 c 运动到 a，电场力与速度成锐角，则粒子做加速运动；若粒子从 a 运动到 c，电场力与速度成钝角， 则 粒子做减速运动，故在 c 点的速度一定小于在 a 点的速度，D 错误；故选 A、C.8(多选)
22、如图 7 所示，在负点电荷 Q 的电场中，a、b 两点位于 Q 为圆心的同一圆周上，a、c 两点位于同一条电场线上，则以下说法中正确的是( )图 7Aa、b 两点场强大小相等B同一试探电荷在 a、b 两点所受电场力相同Ca、c 两点场强大小关系为 EaE cDa、c 两点场强方向相同答案 AD解析 负点电荷形成的电场中，各点的 场强方向都由该点指向 场源电荷， a、c 两点在同一条电场线上，因此两点的场强方向相同，即选项 D 正确；场强大小可以根据电场线的疏密程度加以判定，由于 c 处电场线比 a 处密，故 a、c 两点场强大小关系为 EcE a，C 项错误；a、b 两点处在同一圆周上，电场线
23、疏密程度相同，因此 a、b 两点场强大小相等，但方向不同，放同一试探电荷在 a、b 两点所受电场 力大小相等，方向不同，故 A 项正确，B 项错误题组三 带电体在电场中的平衡和加速9在雷雨云下沿竖直方向的电场强度为 104 V/m.已知一半径为 1 mm 的雨滴在此电场中不会下落，取重力加速度大小为 10 m/s2，水的密度为 103 kg/m3.该雨滴携带的电荷量的最小值约为( )A210 9 C B410 9 CC610 9 C D810 9 C答案 B解析 带电雨滴在电场力和重力作用下保持静止，根据平衡条件，电场力和重力必然等大反向，即 mgEq，则 q C4109 C.mgE 43r3
24、gE 103433.1410 91010410如图 8 所示，三个点电荷 q1、q 2、q 3 固定在同一直线上，q 2 与 q3 间距离为 2r，q 1 与 q2间距离为 r，每个电荷所受静电力的合力均为零，由此可以判定，三个电荷的电荷量之比为( )图 8A(9) 4 (36) B9436C(3)2(6) D326答案 A解析 分别取三个点电荷为研究对象，由于三个点 电荷只在静 电力(库仑力)作用下保持平衡，所以这三个点电荷不可能是同种电荷， 这样可立即排除 B、D 选项，故正确选项只可能在A、C 中若 选 q2为研究对象，由库仑定律知 k k 知：q 34q 1.选项 A 恰好满足此关q1
25、q2r2 q2q3（2r）2系，显然正确选项为 A.11如图 9 所示，在光滑绝缘的水平面上，三个带电小球 a、b 和 c 分别位于边长为 L 的正三角形的三个顶点上a、b 带正电，电荷量均为 q，c 带负电整个系统置于方向水平的匀强电场中已知静电力常量为 k，若三个小球均处于静止状态，试求该匀强电场的场强以及c 的带电荷量图 9答案 2q3kqL2解析 设 c 小球 带电荷量为 Q，以 c 小球为研究对象进行受力分析，根据平衡条件得 a、b 对c 的合力与匀强电场对 c 的力等大反向，即 2 cos 30EQ；kqQL2所以匀强电场场强的大小为 .以 a 小球为研究对象进行受力分析，根据平衡
26、条件得 b、c3kqL2对 a 的合力与匀强电场对 a 的力等大反向即： cos 60.kqqL2 kQqL2所以 c 球的带电荷量为 Q2q.12如图 10 所示，在一条直线上有两个相距 0.4 m 的点电荷 A、B，A 带电荷量Q，B 带电荷量9Q.现在 A、B 所在的直线上引入第三个点电荷 C，恰好使三个点电荷处于平衡状态，问：C 应带什么性质的电荷？应放于何处？所带电荷量为多少？图 10答案 负电 A 的左边 0.2 m 处 Q94解析 根据平衡条件判断，C 应带负电荷，放在 A 的左边且和 AB 在一条直线上设 C 带电荷量为 q，与 A 点相距为 x，由平衡条件：以 A 为研究对象
27、，则 k k qQAx2 QAQBr2以 C 为研究对象，则 k k qQAx2 qQB（r x）2联立解得 x r0.2 m，q Q12 94故 C 应带负电荷，放在 A 的左边 0.2 m 处， 带电荷量为 Q.9413如图 11 所示，有一水平向左的匀强电场，场强为 E1.2510 4 N/C，一根长 L1.5 m、与水平方向的夹角 37的光滑绝缘细直杆 MN 固定在电场中，杆的下端 M 固定一个带电小球 A，电荷量 Q4.5 106 C；另一带电小球 B 穿在杆上可自由滑动，电荷量q1.0106 C，质量 m1.010 2 kg.将小球 B 从杆的上端 N 由静止释放，小球 B 开始运
28、动( 静电力常量 k9.010 9 Nm2/C2，取 g10 m/s 2，sin 370.6，cos 370.8) 求：图 11(1)小球 B 开始运动时的加速度为多大？(2)小球 B 的速度最大时，与 M 端的距离 r 为多大？答案 (1)3.2 m/s 2 (2)0.9 m解析 (1)如图所示，开始运 动时小球 B 受重力、 库仑力、杆的弹力和电场力，沿杆方向运动，由牛顿第二定律得 mgsin qEcos ma.解得：kQqL2agsin ，代入数据解得：a3.2 m/s 2.kQqL2m qEcos m(2)小球 B 速度最大时合力为零，即 mgsin qEcos 0kQqr2解得：r ，kQqmgsin qEcos 代入数据解得：r0.9 m.
