1、第一章电工技术基础,家用电器的使用、电气设备的运行，都必须有电流作用；产生电流的一个必要条件，就是要构成闭合电路。本章主要介绍直流电路和单相、三相交流电路的基本电学量、基本定律及基本分析计算方法。这些内容是电工学的重要理论基础，也是以后学习变压器、电机以及建筑供电、照明等各种电路、电器的工作原理和分析计算的基础。,11直 流 电 路,111电路的基本概念,1 电路的组成 电路是电流的通路，是由若干电气设备与器件为了实现某一功能按一定方式组合而成的。实际电路的组成方式多种多样，但通常由电源(或信号源)、负载和中间环节3部分组成，如图11所示,图1-1电路示意图,(1) 电源 电源是指电路中供给电
2、能的装置，如图1-1中的发电机G。电源的作用是将其他形式的能量转换为电能，如电池将化学能转换为电能，发电机将机械能转换为电能等。它们是推动电路中电流流动的原动力。,(2) 负载 负载是指用电设备，它的作用是将电能转换为其他形式的能量，如电灯将电能转换为光能，电炉将电能转换为热能，电动机将电能转换为机械能，扬声器将电能转换为声能等。,(3) 中间环节 中间环节是连接电源和负载的部分，用来传输、分配、控制电能，如变压器、输电线、放大器、开关等。 电路可分为内电路和外电路。对于电源来说，电源内部的电路称为内电路，负载和中间环节称为外电路。,在电工技术中，为了分析问题方便，可以将实际器件抽象成理想化的
3、模型，用一些规定的图形符号表示实际器件，将实际电路用电路模型表示。例如，图1-2(a)给出手电筒的实际电路，其电路元件有干电池、灯泡、开关和导线;图1-2(b)给出其电路模型，干电池用电动势E表示，内电阻用R0表示，灯泡用电阻R表示，开关用无接触电阻的理想开关S表示。由于金属导线的电阻相对于负载电阻来说很小，一般可以忽略不计，即认为它是理想导线。,图1-2实际电路与电路模型,(4) 电路的作用 电路通常有两个作用：一是用来传递或转换电能，例如，发电厂的发电机将热能、水能等转换为电能，通过变压器、输电线等输送到建筑工地，在那里电能又被转换为机械能(如搅拌机)、光能(如照明)等；二是用来实现信息的
4、传递和处理，例如，电视机接收天线把载有语言、音乐、图像信息的电磁波接收后转换为相应的电信号，而后通过电路将信号进行传递和处理，送到显像管和喇叭(负载)，将原始信息再现出来。,根据电路中使用的电源不同，电路可分为直流电路和交流电路。如果电路中电源电压是恒定不变的，该电路称为直流电路；如果电源电压随时间交替变化，称为交流电路。,2 电路的基本物理量 (1) 电流 在电场力作用下，电荷在电路中有规则地定向运动，形成了电流。电流的大小是用单位时间内通过导体某一截面的电荷量量度的，它称为电流强度i(简称电流)。设在dt时间内，通过导体某一截面S的电荷量为dQ，则电流强度为i=dQ/dt (1-1),通常
5、规定，正电荷的移动方向为电流的正方向，而自由电子移动方向与电流的方向相反。大小和方向都不随时间变化的电流称为直流电流，简称直流。电流强度用符号I表示。电流强度I与电荷量Q的关系式为 I = Q/t (1-2),在国际单位制中，电流强度的单位为A(安培)，即每秒内通过导体截面的电量为1C(库仑)时，则电流为1A。在计量较小的电流时，电流强度的单位是mA(毫安)和A(微安)。它们的关系为 1A=103mA=106A,把大小和方向都随时间周期性变化且在一周期内平均值为零的电流称为交流电流，简称交流。生活和生产中使用的电流就是正弦交流电流。周期性变化，但在一个周期内的平均值不等于零的电流称为脉动电流。
6、电子技术中常用的脉冲控制信号就是脉动电流。,在分析、计算较复杂电路时，开始往往难以判断电路中电流的实际方向。通常可以事先任意选定某一方向作为电流的正方向也称参考方向，把电流看成代数量进行计算。如果计算后该电流值为正值，说明电流的实际方向与参考方向相同；反之，电流值为负值，则电流的实际方向与参考方向相反，如图1-3所示。,图1-3电流的参考方向与实际方向,(2) 电势与电压 1) 电势。电荷在电场或电路中具有一定的能量，电场力将单位正电荷从某一点沿任意路径移到参考点所做的功称为该点的电势或电位。 就像人们以海平面作为衡量物体所处高度的参考点一样，计算电势也必须有一个参考点才能确定它的具体数值。参
7、考点的电势一般规定为零，高于参考点的电势为正，低于参考点的电势为负。,在电工学中通常以大地的电势为零。有些用电设备为了使用安全，将机壳与大地相连，称为接地。,2) 电压。电路中某两点间的电势之差称为电压。例如，A、B两点的电势分别为UA、UB，则两点之间的电压为 UAB=UAUB(1-3) 在直流电路中，电场力把电荷Q从A点移到B点所做的功为 WAB=QUAB=Q(UAUB) (1-4),在国际单位制中，电势、电压的单位是V(伏特)，简称伏。电场力将1C正电荷从A点移到B点所做的功为1J(焦耳)时，A、B两点之间的电压为1V。电压的单位还有V、mV和kV。它们的关系为 1 kV=103V 1
8、V=103 mV=106V 与电流一样，电压也分为直流电压、交流电压。在分析与计算电路时，通常把电势降低的方向作为电压的参考方向，把电压看成代数量进行计算。,(3) 电动势 从电源的外电路看，正电荷在电场力的作用下，从高电势向低电势移动，形成了电流，即电源使电荷移动做功。为了使电流维持下去，电源必须依靠其他非电场力(如电池的化学能)把正电荷从电源的低电势端(负极)移到高电势端(正极)。将单位正电荷从电源的负极移到正极所做的功，称为电源的电动势，用符号E表示 E=W/Q(1-5) 电动势的单位也是V。,电动势是衡量电源做功能力的一个物理量，这和前面所述的电压是衡量电场力做功的能力是相似的。它们的
9、区别在于电场力能够在外电路中把正电荷从高电势端(正极)移向低电势端(负极)，电压正方向规定为自高电势端指向低电势端，是电势降低的方向；电动势能把电源内部的正电荷从低电势端(负极)移向高电势端，电动势的正方向规定为在电源内部自低电势端指向高电势端，也就是电势升高的方向。,(4) 电阻与电阻率 电阻表示物体阻碍电流通过的能力。电阻的符号为R或r，电阻的单位是(欧姆)，简称欧。较大的单位是k(千欧)和M(兆欧)。它们的关系为1 k=103 1M=106,导体的电阻不仅和导体的材料种类有关，而且还和导体的尺寸有关。实验证明，同一材料的导体电阻和导体长度L成正比，和导体的截面积S成反比，即 R=L/S
10、(1-6) 式中：L的单位为m；S的单位为mm2；R的单位为；叫做导体的电阻率，单位是 mm2m。例如，铜的电阻率=0.0175mm2m，铝的电阻率=0.029mm2m，电阻的倒数G=1/R称为电导，是表示物体导电能力的一个物理量，电导的单位是1，或称为西门子(S)，简称西。,(5) 电功率与电能 电路中电流通过用电设备时，电能将转换成其他形式的能量而做功。单位时间内电流所做的功称为电功率，简称功率，用符号P示。设在dt时间内电路转换的电能为dW，则有 P=dW/dt (1-7) 在t1t2的一段时间内电流做的功W为 W=t2t1pdt (1-8),在国际单位制中，电功率的单位是W(瓦特)，简
11、称瓦，还可采用kW(千瓦)和mW(毫瓦)表示。它们的关系是 1kW=103W1W=103mW 在直流电路中用电设备的电功率P与电源的电压U、通过的电流I及负载电阻的关系可用式(1-9)表示 P=UI=I2R=U2/R (1-9),用电设备工作一定时间t之后消耗的电能W可用式(110)表示 W=Pt(1-10) 当功率的单位用kW(千瓦)、时间的单位用h(小时)表示时，电能的单位为kWh(千瓦时)，习惯上称度。一般电度表的计量单位都以度表示。kWh与J的换算关系为 1kWh=3.6106J,3 电路的工作状态 已经知道电路由电源、负载和中间环节三个基本部分组成的。在实际各工作中，由于连接方式不同
12、，电路的工作状态常有空载(开路)、短路和负载(通路)情况。下面以最简单的直流电路为例介绍在三种工作状态下的电流、电压和功率方面的特征。,(1) 空载状态 在图1-4(a)电路中，当开关打开时，外电路与电源断开，电路处于空载(开路)状态。电路的电流为零，电源的内阻压降IR0也等于零，这时电源的端电压U(也称空载电压)等于电源的电动势E，负载电阻R不消耗功率。处于空载状态时电路具有下列特征：I=0U=EPE=0 P=0,图1-4电路的工作状态,(2) 短路状态 在图1-4(b)电路中，负载电阻R为零时或者由于某种原因电源两端被导线直接联通时，电流不通过负载电阻而直接流回电源，电路处于短路状态。电路
13、短路时，外电路电阻R为零，电源端电压U也为零，电源电动势全部降在电源的内阻R0上。一般电源内阻R0很小，因此电路电流就很大，称为短路电流，用IS表示。处于短路时电路具有下列特征：U=0 IS=E/R0PE=I2SR0 P=0,电路短路时，短路电流很大，容易损坏电源和造成严重事故，所以应该尽力预防。一般情况下，短路是由于电气设备和线路的绝缘损坏或者接线错误引起的。为了避免短路故障造成的损失，通常在电源引入处接入熔断器或自动断路器，在电路出现短路故障时快速切断电源，以避免重大损失。,对于实际的电气设备，为了让其取得最好的技术及经济效能，制造厂家对其性能、使用条件等都用一些技术数据加以规定，这些规定
14、的技术数据称为电气设备的额定值，如额定电压、额定电流、额定功率等。如果电气设备按照额定值运行，则称电路处于额定工作状态(满载运行)，它是负载状态的一个特例。 为使电气设备长期、安全工作，使用者必须按照制造厂家给定的额定值条件来使用设备，绝不允许超过额定值运行。,112电路的基本定律,1 欧姆定律 (1) 一段电路的欧姆定律 当电阻两端加上电压时，电阻中就会有电流通过，如图15(a)所示。实验证明：在一段没有电动势而只有电阻的电路中，电流I的大小与电阻R两端的电压U高低成正比，与电阻值R的大小成反比。这就是一段电路的欧姆定律。此定律可用式(1-11)表示：I=U/R(1-11),图1-5欧姆定律
15、,欧姆定律表示电压、电流和电阻三者之间的变化关系，只要知道其中任意两个量，就可以求出第三个量。如果R与电压和电流无关，是常数，这个电阻就是线性电阻。线性电阻的伏安特性如图1-6所示。,图1-6线性电阻的伏安特性,(2) 闭合电路欧姆定律 以直流发电机或蓄电池等作电源供电给负载的电路如图1-5(b)所示。图中电源的电动势为E，电源的内阻为R0，E与R0构成了电源的内电路，如图中虚线所框的部分，负载电阻只是电源的外电路。外电路和内电路共同组成了闭合电路。闭合电路的计算，仍可用欧姆定律进行：I=E/(R+R0) (1-12)E=IR+IR0=U+IR0U=E-IR0 (1-13),式(1-12)、式
16、(1-13)就是闭合电路欧姆定律的表达式。式中IR0称为电源的内部压降(或称内阻压降)，U称为电源的端电压。当电路闭合时，电源的端电压U等于电源的电动势E减去内部压降IR0。电流愈大，则电源的端电压下降得愈多。表示它们关系的曲线，称为电源的外特性曲线，如图1-7所示。 一般情况下，电路的负载电阻总是比电源的内阻大得多。因而电源的内部压降IR0总是比电源的端电压U要小得多，因此电源的电动势与电源端电压接近相等，即UE。,图1-7电源的外特性曲线,如果将式(1-13)各项乘以I，则得到功率平衡式：UI=EI-I2R0P=PE-P0 (1-14)或PE=P+P0 (1-15) 由式(1-15)可见，
17、电源产生的电功率PE等于负载消耗的电功率P与电源内阻R0上消耗的电功率P0之和。它完全符合能量守恒定律。,图1-8例1-1附图,【例1-1】如图1-8所示，电源的电动势E=12V，电源的内阻R0=0.5，负载电阻R=10。当开关K合上后，试求：(1)流过电流表的电流I、电阻R两端的电压U和消耗的电功率P、电源的内部压降U0和内阻消耗的功率P0各为多大?(2)当R=0时，电路中的I、U、P、U0及P0各为多大?(3)当R=时，电路中的I、U、P、U及P0各为多大?,解：(1) I=E/(R+R0)=12/(10+0.5)=1.14 (A) U=IR=1.1410=11.4 (V) P=I2R=(
18、1.14) 210=13 (W) U0=IR0=1.140.5=0.57 (V) P0=I2R0=(1.14) 20.5=0.65 (W),(2) 当R=0时，外电路处于短路状态，此时有 I=E/(R+R0)=E/R0=12/0.5=24 (A) U=IR=0 P=I2R=0 U0=IR0=240.5=12 (V) P=I2R0=2420.5=288 (W),(3) 当R=时，外电路处于开路状态，此时有I=0 U=E=12VP=0U0=0 P0=0 由上述计算可以看到，因电源内阻一般比较小。当负载电阻等于零时，通过电源的电流很大，在电源内阻上的电压降和消耗功率都将很大。,2 焦耳定律 当电流通
19、过电炉的电阻丝时，电炉会发热。电流通过任何导体时，就有部分电能转换为内能，提高了导体的热量。把这种由电能转化为内能而放出热量的现象，叫做电流的热效应。实验证明，电流通过导体时所产生的热量Q与电流I的平方、导体本身的电阻R以及通电时间t成正比。这个关系称为焦耳定律，可用式(1-16)表示： Q=I2Rt(1-16),当电流I单位为A、电阻单位为、时间单位为s时，热量的单位为J(焦耳)。相当于 电阻为1的导体中通过1A的电流时每秒钟产生的热量。 电流的热效应可以为人们服务，但某些场合却是有害的。如在变压器、电机等电气设备中，电流通过线圈时产生的热量会使这些设备的温度升高，如果散热条件不好，严重时可
20、能烧坏设备。,为了使电气设备能安全、经济地运行，就必须对电压、电流和功率等参数值给予一定限制。电气设备在安全工作时所能允许承受的最大工作电压、电流和功率等数值，称为额定电压、额定电流、额定功率。,【例1-2】加在内阻r=2.00的电动机上的电压为110V，通过电动机的电流为5.00A，求：(1) 电动机消耗的电功率P；(2) 通电10min电动机产生的热量；(3) 电动机的效率。 解：(1) 负载是非纯电阻电路，电功率为 P=UI=1105.00W=550W,(2) 电动机消耗的电热功率为 PQ=I2r=5.0022.00W=50.0W 电动机产生的热量为 Q=PQt=I2rt=50.0600
21、=30 000.0(J) (3) 电动机将电能转化为机械能的功率 PJ=PPQ=(55050)W=500W 效率为 =PJ/P=0.91=91,3 基尔霍夫定律 基尔霍夫定律是进行电路分析的基本定律，它又分为电流定律(KCL)和电压定律(KVL)两条定律。前者适用于节点，说明电路中各电流之间的约束关系；后者适用于回路，说明电路各部分电压之间的约束关系。为了便于介绍基尔霍夫定律，这里，首先结合图1-9介绍几个术语。,图1-9基尔霍夫定律,支路：没有分支的电路称为支路。图1-9中共有3条支路，分别是bad、bcd和bed。 节点：3条或3条以上支路的交点称为节点。图1-9中共有两个节点，它们是b点
22、和d点。 回路：电路中任意一个闭合路径称为回路。回路由一条或多条支路组成。图1-9中共有3个回路，分别是abeda、abcda和cdedc。,网孔：回路平面上不含支路的回路叫网孔。图1-9中有两个网孔，分别是abcda和cbedc。 注意回路abeda中含有支路bcd，因此它不是网孔。,(1) 基尔霍夫电流定律 基尔霍夫电流定律(KCL)是用来确定电路中连接同一节点的各支路电流间关系的定律，它的内容是：对于电路中任一节点，在任一时刻流入节点的电流之和等于流出该节点的电流之和，即流经任意一个节点上的电流的代数和恒等于零。 对于图19所示电路中的节点b，有 I1+I2=I3,假定流入节点电流取正，
23、流出节点电流取负，有 I1+I2I3=0 I=0 基尔霍夫电流定律是电流连续性的表现，是电路中的一个普遍适用的定律，即不管电路是线性的还是非线性的，也不管各支路上接的是什么样的元器件，它都适用。 KCL不仅能适用于电路的节点，还可以推广应用到电路中任意假设的闭合面。如图1-10所示的晶体管，同样有IcIbIe=0,【例1-3】图1-11所示电路中，已知I1=0.2A，I2=-0.3A，I3=-0.1A，I4=-0.7A，求I5。 解：由KCL可得 I1I2+I3+I4I5=0 即 I5= I1I2+I3+I4I5 =0.2(0.3)+(0.1)+(0.7)=-0.3(A),图1-10基尔霍夫电
24、流定律,图1-11例1-3附图,(2) 基尔霍夫电压定律 基尔霍夫电压定律(KVL)是用来确定回路中各部分电压之间关系的定律，它的内容是：对于电路中的任一回路，从回路中任意一点出发沿该回路绕行一周，则在此方向上的电势上升之和等于电势下降之和。 在图19中，沿abcda回路顺时针方向绕行一周，可列出下面的电压方程： -U1+U3U4+U2=0或 U1+U4=U2+U3即 U=0,因此，基尔霍夫电压定律还可表示为：对于电路中任一回路，沿该回路绕行一周，各部分电压的代数和恒等于零。在列方程时，电压、电流的参考方向与回路绕行方向一致时取正号，相反时取负号。电动势的参考方向与回路绕行方向一致时取负号，相
25、反时取正号。,【例1-4】如图1 12所示电路中，求I1、I2、I3、I4和U。 解：根据KCL，对节点a可得 I16+10=0 即 I1=106=4(A),对节点b可得 I1+2+I2=0 即 I2=-I12=-4-2=-6(A) 对节点c可得 -I24+I3=0 即 I3=I2+4=-6+4=-2(A) ,图1-12例1-4附图,对节点d可得 -I3-10+I4=0即 I4=I3+10=-2+10=8(A) 根据KVL可得 -E-I2R1U+10R2=0 即 U=10R2EI2R1=10212(6)1=14(V),113直流电路的计算,1 支路电流法 支路电流法是分析、计算复杂电路的一个基
26、本方法。该方法以电路中各支路电流为待求量，根据基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律分别列出电流和电压方程，而后求解得出各支路电流。,支路电流法的解题步骤如下： 1) 标出各支路电流的参考方向及回路的绕行方向，如果不能确定电流的实际方向，可先假定一个方向，根据计算出的电流值的正负，可判别电流实际方向。 2) 根据基尔霍夫电流定律列出各节点的电流方程。如果电路中有n个节点，则列出n-1个独立电流方程。,3) 根据基尔霍夫电压定律列出回路的电压方程。如果电路中有n个节点、m条支路，则需要m个独立方程才能解出各支路电流，而电流方程已经列出了n1个，所以回路电压方程应当有m-(n1)个。通常，选取电路的网
27、孔作为回路，列出的方程定为独立方程。 4) 求解联立方程组，得出各支路电流。 下面以例题的形式，对以上解题步骤予以说明。,【例1-5】图1-13所示电路中，已知E1=16V，E2=10V，R1=2，R2=10，R3=5，试求各支路电流I1、I2、I3。 解：图中有2个节点a和b，各支路电流的参考方向如图1-13所示，由KCL列出(2-1)1个节点电流方程为 I1+I2-I3=0 根据图中电路的网孔数列出电压方程： 对网孔1可得-E1+E2I2R2+I1R1=0 对网孔2可得-E2+I3R3+I2R2=0,图1-13,将已知数据代入上述方程，解联立方程组： I1+I2I3=0 -16+1010I
28、2+2I1=0 -10+5I3+10I2=0 I1=2.375A I2=-0.125A I3=2.25A,2 戴维南定理 对于一个复杂的电路，有时只需要计算其中某一条支路的电流如图1-14(a)中的电流I4，此时可以将这条支路划出，而把其余部分看作一个有源二端网络。如图1-14(a)所示。中点画线框住的部分，就可以用一个内部标以“N”的方框代替，等效为如图1-14(b)所示的电路。,所谓有源二端网络，就是指具有两个出线端的内含独立电源的部分电路。不含独立电源的二端网络则称为无源二端网络。有源二端网络对外电(如图中的R4支路)路的作用可以用一个等效电压源代替，戴维南定理说明了这方面的问题。,图1
29、-14有源二端网络,戴维南定理可表述为：任何一个线性有源二端网络图1-15(a)对外电路的作用都可以用一个理想电压源E和内阻R0图1-15(b)来等效代替，其中电压的电动势E等于有源二端网络两端点间的开路电压U0，R0等于该二端网络中所有独立电源不作用时无源二端网络的等效电阻。独立电源不作用是指恒流源开路、恒压源用短路线代替。E的极性与开路电压U0的极性一致。,图1-15戴维南定理的图,【例1-6】计算图1-16(a)所示电路中的I。 解：计算有源二端网络的开路电压U0。将电阻Ra断开，得到如图1-16(b)所示的有源二端网络。图(b)中： I1=E/（R1+R2）=10/（4+6）=1(A)
30、I2=E/（R3+R4）=10/（8+2）=1(A) 则 U0=E1=I1R2I2R4=1612=4(V),图1-16例1-6附图,求无源二端网络的等效电阻Rab，将电压源短路，如图1-16(c)所示： Rab=R0=R1R2/（R1+R2）+R3R4/（R3+R4）=46/（4+6）+28/（2+8）=4() 按戴维南定理画出等效电压源电路如图1-16(d)所示，将Ra接上，得 I=E1/（R0+Ra）=4/（4+8）=0.33(A),12单相正弦交流电路,在生产及日常生活中，交流电应用最广泛。交流电与直流电相比具有很多优点：交流电比较容易产生和获得；交流电可以利用变压器实现电压的升高或降低
31、从而便于输送电能；交流发电机在结构和工艺上比直流发电机简单，便于制造大容量的发电机，成本也低；交流电动机比直流电动机结构简单，容易维护。,交流电是指大小和方向随时间变化的电压或电流。随时间按正弦规律变化的电动势、电压和电流称为正弦交流电。通常所说的交流电也就指的是正弦交流电。实际上，正弦交流电只是交流电的一种特例。所谓正弦交流电路是指含有正弦交流电源的线性电路。 本节主要介绍交流电的基本概念和表示方法，正弦交流电路的分析与计算，以及各种交流电路中的电流、电压、功率的关系。,121正弦交流电的基本概念,正弦交流电的大小、方向均随时间变化，所以，在分析、计算交流电路时，为了确定出电路中各处电压、电
32、流在任一瞬间的实际方向，就要预先设定一个正方向(参考方向)，并且用箭头在电路中标出。,当电压、电流的实际方向与参考方向一致时其值为正，相应的波形画在横坐标轴(时间坐标轴)上方；若实际方向与参考方向相反其值为负，相应的波形画在横坐标轴下方。,图1-17(a)所示电路中，电流按正弦规律变化，当其参考方向如图所示时，电流随时间变化的波形如图1-17(b)所示，即在0t1时间间隔内，电流实际方向与参考方向一致，为正电流；在t1t2时间间隔内，电流的实际方向与参考方向相反，为负电流。前者又称为正半周电流，后者称为负半周电流。,图1-17正弦电流的波形图,为了描述正弦交流电信号的大小、方向及变化的快慢等，
33、采用了相应的正弦物理量：幅度、周期、频率和相位。,1 周期、频率、角频率 交流信号变化一次所需的时间称为周期，以T表示，其单位是s(秒)，还有用ms(毫秒)，s(微秒)计量时间的。1s内信号重复变化的次数称为频率，以f表示，其单位是Hz(赫兹)，还有用kHz(千赫兹)、MHz(兆赫兹)计量频率的： 1 MHz=103 kHz=106 Hz 由周期与频率的定义可以得到如下关系式： f=1/T ,频率是反映交流电变化快慢的一个量。我国和大多数其他国家规定电力标准频率为50Hz，周期为0.02s。日本、美国采用60 Hz。其他不同的领域使用不同的频率，中频电源的是5008000 Hz，收音机中波段的
34、频率是5301600 Hz，通信手机的频率是10 MHz。,正弦交流电每秒内变化的电角度称为角频率，用表示，单位是弧度每秒(rads)，也表示正弦交流电变化的快慢。因为一周期经过的角度2rad(360)，故角频率与频率、周期的关系为 =2f=2T 若f=50Hz，则=2f=314rads。,2 瞬时值、最大值、有效值 对于图115(b)所示的正弦交流电流，可以用数学表达式表示成 i(t)=Im sint (1-17) 式(1-17)称为正弦交流电流i的瞬时值表达式，它随时间改变，通常用小写英文字母表示。,以i、u、e分别表示电流、电压、电动势的瞬时值。式(1-17)中的Im为正弦交流电流的最大
35、值，它反映该正弦量变化的幅度(又称峰值)，不随时间变化。通常用大写英文字母加下脚标表示。如Im、Um、Em分别表示交流电流、交流电压、交流电动势的最大值。,周期性变化的电流、电压的瞬时值都随时间变化，它们的任何一个瞬时值只能表示其某一时刻的大小。如何表示它们平均效果的大小呢?如用最大值表示，显然夸大了它们的作用，用零值表示又取消了它们的作用，如用平均值，像正弦波这样一类重要的周期波在一个周期内的平均值是为零的。显然，这些表示都是不合适的。为了确切地衡量周期性变化的电流、电压效应的大小，引入了有效值的概念。,在电工技术中，交流电流的有效值是从电流热效应来定义的，交流电流i通过电阻R在一个周期内产
36、生的热量如与某一直流电流I通过同一电阻R在同一时间了内所产生的热量相等时，则称这一直流电流I的数值是交流电流i的有效值。常以大写英文字母表示有效值。,根据这一定义，交流电流i在时间T内通过电阻R产生的热量为Q1=T0Ri2dt 某直流电流I在同一时间了内通过同一电阻R产生的热量为Q2=I2RT 由Q1=Q2可得 T0Ri2dt=I2RT 则交流电流有效值的表达式为 I=(T0Ri2dt/T)1/2 (1-18),由式(1-18)可以看出，交流电流的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内的平均值的开方。 同理，可得周期电压的有效值表达式 U=1/TT0u2dt (1-19) 若把式(117)代入
37、式(1-18)，则有 I=1/TT0(Im sint)2dt=1/TT0Im2 (1-cos2t)dt=1/21/2Im=0.707 Im(1-20),式(1-20)表明：正弦交流电流的有效值等于其最大值乘以0.707，而与其频率和相位无关。知道了有效值就可以计算出最大值，即Im=21/2I=1.414 I(1-21) 同理，正弦交流电压和正弦交流电动势相应有 U=Um/21/2，E=Em/21/2 (1-22),图1-18初相位不为零的正弦波,应当注意：式(1-18)和式(1-19)是计算交流电(正弦或非正弦)有效值的一般公式，而式(1-20)、式(1-21)、式(1-22)只适用于计算正弦
38、交流电。 在交流电路中，用电压表、电流表测量出来的电压、电流值一般情况下均为有效值。通常，工作在交流电路中的电器设备的额定电压、额定电流值也是有效值。元器件在交流电路中工作时，其耐压值应当按交流电压的最大值进行考虑。,【例1-7】有效值为220V的正弦电压，最大值Um=? 解：Um=21/2U=1.414220=311(V),3 相位、初相位、相位差 (1) 相位、初相位 图1-18所示的正弦交流电流信号，其数学表达式为 i(t)=Im sin(t+)(1-23) 式(1-23)中，(t+)称为正弦量的相位，也称相位角，它反映了正弦量的变化进程。相位角(t+)中的是t=0时的相位，称为初相位，
39、简称初相。相位和初相位的单位都是rad(弧度)或(度)。,正弦交流电的最大值、角频率、初相位是构成正弦交流电的三要素。也就是说，知道了正弦交流电的最大值、角频率和初相位，就能将这个正弦交流电的函数式或波形图完全确定下来。在正弦交流电的相位角中加上2，或减去2，其函数值不变。所以，对于同一个时间起点而言，初相位的绝对值可以小于，也可大于，一般而言，规定-。,因此，当t=0时，如果正弦交流电的函数值为正，即sin0，则初相位是一个正角；反之，如果正弦交流电的函数值为负，即sin0，则初相位是一个负角。,(2) 相位差 同频率的正弦量，其初相位和最大值不一定相同。例如，图1-19所示电路，其输入端的
40、电压和电流分别为 u=Umsin(t+u)i=Im sin(t+i) u、i的初相位分别为u和i，u与i的相位差为 =(t+u)-(t+i)=u-i(1-24),图1-19不同相位的同频率的正弦交流电,由此可见，同频率正弦交流电的相位之差等于它们的初相位之差，与时间无关，是个固定值。如果时间起点选择不同，则电压的初相和电流的初相将随着改变，但相位差不变。,设u、i两个正弦交流量的频率相同，相位差为=u-i，若0，说明ui，则u比i先达到最大值(或零点)，称电压u超前电流i一个相位角，或称电流i滞后于电压u一个相位角，超前与滞后是相对的，是指它们到达正最大值的顺序。若0，说明电压u滞后于电流i一
41、个相位角。若=0，表示u=i，即u与i同相位，简称同相。若=，则称它们反相。图1-20(a)、(b)分别画出了同相和反相的正弦波。,图1-20同相和反相的正弦波,【例1-8】正弦电压u的初相=30，t=0时，u=155.5V。(1) 试写出该电压的瞬时值的表达式；(2) 计算t=0。01s时的电压瞬时值；(3) 计算该电压的有效值。 解：(1) 已知u=155.5V=Um sin30，所以 Um=155.5/sin30=311(V) 该电压的瞬时值的表达式为 u=311sin(t +30)(V),(2) t=0.01s时的电压瞬时值为 u=311sin(250t+30)V=311sin(250
42、0.01+30) =-311sin30=-155.5(V) (3) 该电压的有效值为U=311/21/2=220(V),122正弦交流电的相量表示法,前面介绍了正弦交流电的两种表示方法：正弦三角函数表达式和正弦波形表示法。这两种表示正弦量的方法比较直观，前者能较好地反映交流电的三要素，后者能较好地反映信号随时间变化的关系。,但是，当对正弦交流电路进行分析时，会遇到一系列频率相同的正弦量的计算问题，而用上述的三角函数表达式和波形图进行计算是很烦琐的。为了简化交流电路的计算， 简单而有效的方法是用相量表示正弦量。这种相量表示法的基础是复数。,图1-21复平面的矢量,1. 复数及其运算 在数学中已经
43、知道，复数A可以用复平面上的一个有向线段来表示，如图1-21所示。其长度r称为模，与横轴的夹角称为辐角。A在实轴上的投影为a，在虚轴上的投影为b。A可表示为 Aajb (代数式) Arcosjrsin (三角函数式) Arej (指数式) Ar (极坐标式)以上为复数的几种表达形式。,利用以下关系式：arcosbrsintan1(b/a)(欧拉公式),几种形式之间可进行互换。其中，j是虚数的单位(数学中用i表示，而电工技术中i已用来表示电流，故用j表示)。 进行复数的四则运算时，一般加、减运算用复数的代数式，其实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减)；乘、除运算用复数的极坐标式，两复数相乘，
44、模相乘，辐角相加；两复数相除，模相除，辐角相减。,j190 1/jj190 j21 所以当一个复数乘上j时，模不变，辐角增大90；当一个复数除以j时，模不变，辐角减小90。,2 正弦量的相量表示法 因为频率、有效值和初相位三个要素可以确定一个正弦量，而在一个线性正弦交流电路中，只要电源的频率是单一的，则电路中所有电流、电压的频率都与电源频率相同。这样，就可把频率这个要素作为已知量处理，而只需根据有效值和初相位两个要素就可确定一个正弦量。若用复数的模表示正弦量的大小(有效值)，用复数的辐角表示正弦量的初相位，则这一个复数就可用来表示一个正弦量。表示正弦量的复数称为相量。,相量用在大写字母上方打“
45、”的方式表示。其相应的复数式称为正弦量的相量式，在复平面上画出的相量的图形称为相量图。画相量图时，实轴、虚轴可以省去，如 i1421/2sin(t60)A i2621/2sin(t30)A,图1-22正弦电流的相量图,其相量式为 I1=460I2=6-30 其相量图如图1-22所示。 需要注意的是，复数只能用来表示一个正弦量，而不等于正弦量，所以复数与正弦量之间不能划等号。下面的写法是错误的： U=22021/2sin(t +60)=22060A,把正弦量表示成相量的真正价值在于简化正弦交流电路的计算。因为几个同频率正弦量经加、减后仍为同频率正弦量，所以，几个同频率正弦量的和(差)的相量等于它
46、们的相量和(差)。因此，在正弦交流电路中，相量是满足基尔霍夫定律的。,3 基尔霍夫定律的相量形式 基尔霍夫定律不仅适用于直流电路，对任意波形的交流电路来讲，在任一瞬间也是适用的。基尔霍夫电流定律和电压定律的一般形式为 i(t)=0 (1-25)u(t)=0 (1-26),在正弦交流(线性)电路中，由于电路中的各电量均为同频率的正弦量，故基尔霍夫定律也可用相量表达式来表示，其形式为 I=0 (1-27)U=0 (1-28) 式(1-27)表明：流出(或流入)任一节点的电流有效值相量之和等于零。式(1-28)表明：沿任一回路的电压有效值相量之和等于零。,【例1-9】试计算2个串联交流电压的总电压。
47、这2个电压分别为U1=10060V，U2=60-36V。 解：先写出2个电压的三角函数表达式为 U1 =100cos60+j100sin60=50+j86.6(V),U2=60cos(36)+j60sin(36) =48.54-j35.27(V) 求和U=U1+U2=50+48.54+j(86.6-35.27)=98.54+j50.23(V) 把结果转换成极坐标形式为 U=(98.542+50.232)1/2=110.65 =tan-1(50.23/98.54)=30U=110.6530,若将正弦量表示成相量图进行计算时，几个同频率正弦量的和与差，可通过在相量图上求相量和、相量差的方式得到所求正弦量的有效值和初相位。,图1-23例1-10附图,【例1-10】已知i1=1021/2sin(t+90)A，i2=1021/2sintA，(1) 用相量图表示两正弦量。(2) 用相量图计算：i3=i1+i2，i4=i1i2。 解：相量图如图123所示，从中可以得到 3=tan110/10=45 4=18045=135 所以 i3=20sin(t+45) (A)i4=20sin(t+135) (A),
