1、第 三 章 高阶谱估计3.1 累量及高阶谱3.2 高阶谱估计3.3 有色噪声背景下的频率估计3.4 高阶谱的应用3.1 累量与高阶谱(Cumulants and Higher Order Spectral 简记 ： HOS)3.1.1、 累量的定义1、 随机变量的特征函数和矩函数 为 的特征函数。其中 为 概率密度函数 第二特征函数：对于高斯分布的随机变量，n 其特征函数为 :令则根据公式：则矩函数的定义2、累量的定义对于随机矢量其阶数为 的累量为n 当时 ,其 n阶累量可记为 :高阶矩与高阶累量的关係 (M-C公式 ):对于零均值随机变量 ,三阶以下的矩与累量相等 ,而3、平稳随机过程的累量
2、对于零均值实平稳随机过程 x(n),其k阶矩 (k阶相关函数 )和 k阶累量分别为 : 为方差为斜度为峭度当 时 ,特别称4、高斯过程的累量单个高斯随机变量 维 零均 值 高斯随机矢量其方差矩阵为其中令联合概率密度函数为则特征函数为：显然，与单个变量类似，由于第二特征函数仅为的二阶多项式，大于二阶的导函数必然为零。n 对于任何高斯随机过程x(n)的阶次高于二的 k阶累量恒等于零 ,即 这是高阶累量作为数学工具 ,抑制高斯噪声的基础因此有如下结论：n 高斯过程的高阶矩只取决于二阶矩 ,也就是高阶矩不提供比二阶矩更多的信息 .n 与某一高斯过程具有相同二阶矩的任意随机过程 ,其 k2的高阶累量是衡
3、量该过程偏离高斯分布的量度 .3.1.2、 累量的性质n 常量乘积的线性 n 各随机变量的对称性 若 x和 y统计独立 ,则此性质说明 :两统计独立的随机过程之和的累量等于各累量之和 .所以 ,非高斯信号与独立高斯噪声之和的 k(k2)阶累量就等于信号的累量 .即累量可抑制高斯噪声 .n n 两统计独立的随机向量的组合向量的累量恒为零 .即若 x与 y统计独立 ,则推论 :如果 w(t)是独立同分布过程 (I.I.d),则其累量为 函数 .即3.1.3、 高阶谱1、 定义 ： 假定随机过程 x(n)的 k阶累量是绝对可和的，则其 k阶谱是 k阶累量的 (k-1)维富里叶变換，即 当 k=3时
4、,三阶谱 (双谱 ),并特别记为：。 四阶谱 (三谱 ) ：高阶谱的逆变換公式为： 高斯过程的 k2的 k阶谱恒为零； 非高斯的、广义白噪声过程 (I.I.d.)的高阶谱为平坦谱，即n 高阶谱一般为复函数 ,即可表示相位信息(常数 )n 两种特殊的高阶谱：2、 高阶谱的对称性 :n高阶谱是以 2为周期的多维周期函数 ,即包含全部信息的主值周期 ,一般指下述区域 : n 高阶谱具有对称性 (源于累量的对称性 ),以双谱为例此外 ,对于实信号还应满足共轭对称性 ,即所以 ,双谱共有 12个对称区域 (如图所示 )n 综合考虑周期性与对称性 ,双谱的主值区域为 :3.2 高阶谱估计从己知一段样本序列
5、 x(1),x(2),.,x(N)出发 ,进行高阶谱估计的方法 ,与功率谱估计类似 ,也可分为非参数法和参数法两大类。3.2.1、 非参数法谱估计1、基本思路：假定 n=N+1范围内 ,样本值x(n)=0,由高阶谱的定义直接构造谱估计式。2、优缺奌：非参数法高阶谱估计的优点是简单、易于实现、可以使用 FFT算法。但与功率谱估计的传统方法一样，它存在以下三个主要问题： 频谱泄漏 ：平稳随机过程的样本序列应为双边无限序列，在非参数法高阶谱估计中假定 n=N+1时 x(n)恒等于零，必将导致矩函数的估计结果被 “截尾 ”，与传统的功率谱估计方法类似，这将在所估计的高阶谱中产生 “频谱泄漏 ”。为改善高阶谱估计的性能，减少 “频谱泄漏 ”，必须对矩函数估计值进行适当的加窗处理。
