1、第 15 讲 圆锥曲线的方程与性质1.2017全国卷 已知双曲线 C: - =1(a0,b0)的一条渐近线方程为 y= x,且与椭圆 +2222 52 212=1 有公共焦点,则 C 的方程为 ( )23A. - =1B. - =128210 2425C. - =1 D. - =12524 2423试做 命题角度 考查圆锥曲线的定义(1)定性:确定圆锥曲线的类型,确定焦点的位置,从而设出标准方程.(2)列方程(组):用待定系数法列出椭圆、双曲线或抛物线中关于 a,b,c 或 p 的方程(组).(3)得到结果.注意: 要考虑到圆锥曲线的焦点无法确定的情况.2.(1)2018全国卷 设 F1,F2
2、 是双曲线 C: - =1(a0,b0)的左、右焦点,O 是坐标原点,过2222F2 作 C 的一条渐近线的垂线 ,垂足为 P.若|PF 1|= |OP|,则 C 的离心率为 ( )6A. B.2 C. D.5 3 2(2)2018全国卷 已知 F1,F2 是椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点,A 是 C 的左顶点,点2222P 在过 A 且斜率为 的直线上,PF 1F2 为等腰三角形,F 1F2P=120,则 C 的离心率为 ( )36A. B. C. D.23 12 13 14(3)2018全国卷 已知 F1,F2 是椭圆 C 的两个焦点,P 是 C 上的一点,若 PF1PF 2,
3、且PF 2F1=60,则 C 的离心率为 ( )A.1- B.2- C. D. -132 3 3-12 3试做 命题角度 离心率关键一:利用已知条件和椭圆、双曲线的定义或性质列出关于 a,b,c 的方程或不等式,求出 的值或取值范围.关键二:双曲线离心率的取值范围为 (1,+),椭圆离心率的取值范围为(0,1).3.(1)2016全国卷 以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A,B 两点,交 C 的准线于 D,E 两点,已知|AB|=4 ,|DE|=2 ,则 C 的焦点到准线的距离为 ( )2 5A.2 B.4 C.6 D.8(2)2013全国卷 设抛物线 C:y2=2px(p0)的焦点为
4、 F,点 M 在 C 上,|MF|=5.若以 MF 为直径的圆过点(0,2),则 C 的方程为 ( )A.y2=4x 或 y2=8x B.y2=2x 或 y2=8xC.y2=4x 或 y2=16x D.y2=2x 或 y2=16x试做 命题角度 圆与抛物线的综合问题关键一:利用抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离转换成抛物线上的点到准线的距离.关键二:注意圆的相关性质的应用 .4.(1)2018全国卷 设抛物线 C:y2=4x 的焦点为 F,过点(-2,0) 且斜率为 的直线与 C 交于23M,N 两点,则 = ( )A.5 B.6 C.7 D.8(2)2018全国卷 已知双曲线 C: -
5、y2=1,O 为坐标原点,F 为 C 的右焦点,过 F 的直线与 C23的两条渐近线的交点分别为 M,N.若OMN 为直角三角形,则|MN|= ( )A. B.3 C.2 D.432 3(3)2016全国卷 已知 O 为坐标原点,F 是椭圆 C: + =1(ab0)的左焦点,A,B 分别为 C2222的左、右顶点,P 为 C 上一点 ,且 PFx 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M,与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点,则 C 的离心率为( )A. B. C. D.13 12 23 34试做 命题角度 直线与圆锥曲线的位置关系(1)问题一般为求点的坐标、斜率、
6、弦长、方程及圆锥曲线的某个性质.(2)关键一:圆锥曲线的定义.关键二:构建直线与圆锥曲线的方程组 .关键三:用好平面几何性质.小题 1 圆锥曲线的定义与标准方程1 (1)已知双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线的方程是 y= x,且它的一个焦点在抛物线2222 3y2=24x 的准线上,则双曲线的方程是 ( )A. - =1 B. - =12362108 2108236C. - =1 D. - =129227 22729(2)已知椭圆 C: + =1(ab0)的左、右焦点分别为 F1,F2,左、右顶点分别为 M,N,过 F2 的直2222线 l 交 C 于 A,B 两点 (异于 M,N)
7、,AF 1B 的周长为 4 ,且直线 AM 与 AN 的斜率之积为- ,323则椭圆 C 的方程为 ( )A. + =1 B. + =121228 21224C. + =1 D. +y2=12322 23听课笔记 【考场点拨】待定系数法求圆锥曲线的标准方程应紧扣“三步曲”:(1)定位 :焦点在哪个坐标轴上.(2) 设方程.(3)定量.易失分点有: 双曲线定义中忽略“绝对值” 致错 ,椭圆与双曲线的关系式弄混.【自我检测】1.设椭圆 C: +y2=1 的左焦点为 F,直线 l:y=kx(k0)与椭圆 C 交于 A,B 两点,则|AF|+|BF|的值24是( )A.2 B.2 3C.4 D.4 3
8、2.双曲线 C: - =1(a0,b0)的左、右焦点分别为 F1,F2,以线段 F1F2 为直径的圆交双曲线 C2222的一条渐近线于点(3, ),则双曲线 C 的方程为( )3A. - =1 B.x2- =12329 23C. - =1 D. -y2=12923 233.过抛物线 y2=4x 的焦点 F 的直线 l 与抛物线交于 A,B 两点,若 A,B 两点的横坐标之和为 ,103则|AB|= . 4.双曲线 C: -y2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过 F1 的直线交双曲线 C 的左支于 A,B 两点,则24|AF2|+|BF2|的最小值为 . 小题 2 圆锥曲线的几何性质2 (
9、1)设 F 为抛物线 C:y2=3x 的焦点,过点 F 且倾斜角为 30的直线交抛物线 C 于 A,B 两点,O 为坐标原点,则OAB 的面积为 ( )A. B.343 94C. D.983 6332(2)已知 F 是椭圆 E: + =1(ab0)的左焦点,经过原点的直线 l 与椭圆 E 交于 P,Q 两点,若2222|PF|=2|QF|,且PFQ=120,则椭圆 E 的离心率为 ( )A. B.13 12C. D.33 22听课笔记 【考场点拨】圆锥曲线性质的注意点:(1)椭圆离心率的取值范围为(0,1),双曲线离心率的取值范围为(1,+);(2)双曲线 - =1(a0,b0)的渐近线方程为
10、 y= x;(3)由方程求解性质时,方程一定要2222 化为标准形式.【自我检测】1.已知双曲线 - =1(b0)的右焦点与抛物线 y2=12x 的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐2422近线的距离等于( )A. 5B.3C.5D.4 22.设抛物线 y2=8x 的焦点为 F,准线为 l,P 为抛物线上一点,PAl,A 为垂足.若直线 AF 的斜率为- ,则|PF|= ( )3A.4 B.63C.8 D.163.设 F1,F2 是椭圆 C: + =1 的两个焦点,若椭圆 C 上存在点 M 满足F 1MF2=120,则 m 的取222值范围是( )A. 8,+)(0,12B.(0,1 8,+)C
11、. 4,+)(0,12D.(0,14, +)4.已知焦点在 x 轴上的双曲线 C 的左焦点为 F,右顶点为 A,若线段 FA 的垂直平分线与双曲线 C 没有公共点,则双曲线 C 的离心率的取值范围是 . 小题 3 圆锥曲线与圆、直线的综合问题3 (1)过双曲线 - =1(a0,b0)的左焦点 F 作直线交双曲线的两条渐近线于 A,B 两点,若2222B 为线段 FA 的中点 ,且 OBFA(O 为坐标原点),则双曲线的离心率为 ( )A. B.2 3C.2 D. 5(2)设抛物线 y2=2x 的焦点为 F,过点 M( ,0)的直线与抛物线相交于 A,B 两点(A 在第一象限), 与3抛物线的准
12、线相交于点 C,|BF|=2,则 = . 听课笔记 【考场点拨】圆锥曲线与圆、直线的综合问题的注意点:(1)注意使用圆锥曲线的定义;(2)引入参数,注意构建直线与圆锥曲线的方程组;(3)注意用好平面几何性质.【自我检测】1.若双曲线 - =1(a0)的一条渐近线与直线 y= x 垂直,则此双曲线的实轴长为 ( )2229 13A.2 B.4C.18 D.362.已知椭圆 + =1(ab0)的左焦点为 F1,过点 F1 作倾斜角为 30的直线 l 与圆 x2+y2=b2 相2222交所得的弦长为 b,则椭圆的离心率为 ( )3A. B.12 22C. D.34 323.双曲线 C: - =1(a
13、0,b0)的离心率为 2,其渐近线与圆(x-a )2+y2= 相切,则该双曲线的方程2222 34为 . 4.已知 F 为抛物线 E:y2=2px(p0)的焦点,过点 F 作倾斜角为 30的直线 l 与抛物线 E 交于A,B 两点,过 A,B 向 E 的准线作垂线,垂足分别为 C,D,设 CD 的中点为 M,则|MF|= . 第 15 讲 圆锥曲线的方程与性质典型真题研析1.B 解析 (1) 双曲线的一条渐近线方程为 y= x, = .52 52又 椭圆 + =1 与双曲线有公共焦点, c=3,则 a2+b2=c2=9 .21223由 解得 a=2,b= ,故双曲线 C 的方程为 - =1.5
14、24252.(1)C (2)D (3)D 解析 由题易知|PF 2|=b,|OP|=a.过 P 向 x 轴作垂线,垂足为 E,可知|PE|= ,|F2E|= ,所以|PF 1|2= + =( |OP|)2=6a2,从而可得 e= . 2 ()2(2-2)2 6 3(2)由题意知 A(-a,0),过 A 且斜率为 的直线方程为 y= (x+a),设 P(x0,y0),则有 y0= (x0+a) .36 36 36又PF 1F2 为等腰三角形,且F 1F2P=120,所以 = =tan 30= , = =tan 60=100+ 33 2 00- .联立 ,消去 x0,y0,得 = ,即 C 的离心
15、率为 .314 14(3)在直角三角形 PF1F2 中, PF1PF 2,PF 2F1=60,|F1F2|=2c, |PF2|=c,|PF1|= c.由椭圆3的定义得 c+c=2a, C 的离心率 e= = = -1,故选 D.3 23+1 33.(1)B (2)C 解析 设抛物线方程为 y2=2px(p0),点 A 在第一象限,点 D 在第二象限.根据抛物线的对称性可得点 A 的纵坐标为 2 ,代入抛物线方程得 x= ,即点 A ,2 .易知点 D24 4 2- , ,由于点 A,D 都在以坐标原点为圆心的圆上,所以 +8= +5,解得 p=4,此即为抛物线2 5 162 24的焦点到准线的
16、距离.(2)抛物线焦点为 F ,0 ,由抛物线的定义,设 M 5- , ,设 N 点坐标为(0,2) .2 2 2(5-2)因为圆过点 N(0,2),故 NFNM =-1,2-2 2(5-2)-25-2设 =t,则 式可化为 t2-4 t+8=0t=2 p2-10p+16=0p=2 或 p=8.(5-2) 2 24.(1)D (2)B (3)A 解析 (1)过点(- 2,0)且斜率为 的直线方程为 y= (x+2),由23 23解得 或 不妨记 M(1,2),N(4,4),抛物线的焦点为 F(1,0),所=23(+2),2=4, =1,=2 =4,=4.以 =(0,2)(3,4)=8.(2)由
17、双曲线方程知 a= ,b=1,则 F(2,0).不妨设过点 F 的直线垂直渐近线 x- y=0 于 M,交3 3渐近线 x+ y=0 于 N.在 RtOMF 中,MOF= 30,|OF|=2,所以|OM|= .在 RtOMN 中,3 3MON=60, |OM|= ,所以|MN|=3.3(3)设 M(-c,y0),则 AM 所在直线方程为 y= (x+a),令 x=0,得 E 0, .BM 所在直线方程0-+ 0-+为 y= (x-a),令 x=0,得 y= .由题意得 = ,解得 a=3c,故离心率 e= = .0- -0- -0-12 0-+ 13考点考法探究小题 1例 1 (1)C (2)
18、C 解析 (1) 双曲线 - =1(a0,b0)的一条渐近线的方程是 y= x,2222 3且它的一个焦点在抛物线 y2=24x 的准线 x=-6 上, 解得=3,2=2+2=36, =3,=33, 双曲线的方程为 - =1.29227(2)由AF 1B 的周长为 4 及椭圆的定义,可知|AF 1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=4a=4 ,3 3解得 a= ,则 M(- ,0),N( ,0).3 3 3设点 A(x0,y0),由直线 AM 与 AN 的斜率之积为- ,可得 =- .23 00+3 00- 3 23即 =- ( -3) ,20 2320又因为 + =1,所以 =b2 ,2
19、03202 20 (1-203)由 得 b2=2,所以椭圆 C 的方程为 + =1.2322【自我检测】1.C 解析 设椭圆的右焦点为 F2,连接 AF2,BF2,因为|OA|=|OB|,|OF|=|OF 2|,所以四边形 AFBF2 是平行四边形,所以|BF|=|AF 2|,所以|AF|+|BF|=|AF|+|AF 2|=2a=4.2.C 解析 由以线段 F1F2 为直径的圆交 C 的渐近线于点(3, ),3得 c= =2 ,所以 a2+b2=12 .9+3 3由点(3, )在双曲线的渐近线上,得双曲线的渐近线的方程为 y= x,即 = .333 33由 得 a2=9,b2=3,所以双曲线
20、C 的方程为 - =1,故选 C.29233. 解析 抛物线上的点到焦点的距离等于该点到准线的距离,则|AB|=x A+xB+2= .163 1634.9 解析 由双曲线的定义知|AF 2|+|BF2|=|AF1|+2a+|BF1|+2a=|AB|+4a +4a=2 +8=9,22 12故|AF 2|+|BF2|的最小值为 9.小题 2例 2 (1)B (2)C 解析 (1)设 A(x1,y1),B(x2,y2).由 y2=3x,得 2p=3,即 p= ,则 F .32 (34,0)由题知直线 AB 的方程为 y= ,33(-34)即 x= y+ .334联立 得 4y2-12 y-9=0,2
21、=3,=3+34, 3则 y1+y2=3 ,y1y2=- ,394 SOAB=SOAF+SOFB= |y1-y2|=1234= = .38(1+2)2-41238 (33)2+994(2)在PQF 中,设|PF|=2|QF|= 2t,P(x1,y1),则 Q(-x1,-y1),设椭圆的右焦点为 F2,易知四边形PFQF2 是平行四边形 ,所以FPF 2=60.在PF 2F 中,由余弦定理得|F2F|2=(2t)2+t2-22ttcos 60=3t2=4c2.由椭圆定义得|PF|+|PF 2|=2a=3t,则 a2=3c2,所以椭圆E 的离心率 e= .33【自我检测】1.A 解析 因为抛物线
22、y2=12x 的焦点坐标为(3,0),所以 4+b2=9,解得 b2=5,所以双曲线的方程为 - =1,2425所以其渐近线方程为 y= x,52所以双曲线的焦点到其渐近线的距离为 = ,故选 A.|53-0|5+4 52.C 解析 抛物线方程为 y2=8x, 焦点 F(2,0),准线 l 的方程为 x=-2, 直线 AF 的斜率为- , 直线 AF 的方程为 y=- (x-2),3 3由 可得点 A 的坐标为( -2,4 ).=-2,=- 3(-2), 3 PAl, 点 P 的纵坐标为 4 ,代入抛物线方程,得点 P 的坐标为(6,4 ),3 3 |PF|=|PA|=6-(-2)=8.3.A
23、 解析 根据椭圆的性质可知,当点 M 在短轴的顶点时,F 1MF2 最大,设椭圆的一个短轴的顶点为 A,要使得椭圆 C 上存在点 M 满足F 1MF2=120,则F 1AF2120,即OAF 260(O 为坐标原点),当 m2 时, =cosOAF 2cos 60,即 ,解得 m8;|2| 212当 00,b0),由题知 F(-c,0),A(a,0),2222 线段 FA 的垂直平分线与双曲线 C 没有公共点, -a,即 3ac,-2 离心率 e= 0)的左、右焦点,P 是抛物线y2=8ax 与双曲线的一个交点,若|PF 1|+|PF2|=12,则抛物线的准线方程为 ( )A.x=-4 B.x
24、=-3C.x=-2 D.x=-1解析 C 由题得双曲线的方程为 - =1,所以 c2=a2+3a2=4a2,所以 c=2a,22232所以双曲线的右焦点和抛物线的焦点重合.由题得 所以|PF 2|=6-a.|1|+|2|=12,|1|-|2|=2,联立双曲线的方程和抛物线的方程得 3x2-8ax-3a2=0,解得 x=- (舍)或 x=3a.3由抛物线的定义得 6-a=3a-(-2a),所以 a=1,所以抛物线的准线方程为 x=-2,故选 C.例 2 配例 1 使用 已知椭圆 + =1(ab0)的左焦点为 F1(-2,0),过点 F1 的倾斜角为 30的2222直线 l 与圆 x2+y2=b2
25、 相交所得的弦长为 b,则椭圆的标准方程为 ( )3A. + =1 B. + =12824 2824C. + =1 D. + =1216212 216212解析 B 由左焦点为 F1(-2,0),可得 c=2,即 a2-b2=4,过点 F1 的倾斜角为 30的直线 l 的方程为 y= (x+2),33圆心(0,0)到直线 l 的距离 d= =1,233+9由直线 l 与圆 x2+y2=b2 相交所得的弦长为 b,3可得 2 = b,解得 b=2,则 a=2 ,2-1 3 2故椭圆的标准方程为 + =1,故选 B.2824例 3 配例 2 使用 已知椭圆 E: + =1(ab0)的右焦点为 F,
26、短轴的一个端点为 M,直线2222l:5x-12y=0 交椭圆 E 于 A,B 两点,若|AF|+|BF|= 6,且点 M 到直线 l 的距离不小于 ,则椭圆 E1213的离心率的取值范围是 ( )A. B.(0,223 (0,89C. D.223,1) 89,1)解析 A 如图所示 ,设 F为椭圆的左焦点,连接 AF,BF,则四边形 AFBF是平行四边形,所以 6=|AF|+|BF|=|AF|+|AF|=2a,所以 a=3.取 M(0,b),因为点 M 到直线 l 的距离不小于 ,所以 ,1213 |-12|52+1221213解得 b1,所以 e= = = , 1-22 1-19223所以椭圆 E 的离心率的取值范围是 ,故选 A.(0,223例 4 配例 3 使用 已知双曲线 - =1(a0,b0)的离心率为 ,其一条渐近线被圆(x-m)2222 22+y2=4(m0)截得的弦长为 2 ,则实数 m 的值为 ( )2A.3 B.1C. D.22解析 D 由题可知 c= a,则 a=b,故渐近线方程为 y=x.圆(x-m) 2+y2=4(m0)的圆心为( m,0),2半径为 2,可得圆心到渐近线的距离 d= ,则渐近线被圆截得的弦长为 2 =2 ,解得|2 4-22 2m=2(-2 舍去),故选 D.
