1、第 20讲 坐标系与参数方程1.2016全国卷 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的参数方程为 (t 为参数,=,=1+a0).在以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线 C2:= 4cos .(1)说明 C1是哪一种曲线,并将 C1的方程化为极坐标方程;(2)直线 C3的极坐标方程为 = 0,其中 0满足 tan 0=2,若曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上,求 a.试做 2.2017全国卷 在直角坐标系 xOy 中,直线 l1的参数方程为 (t 为参数),直线=2+,=l2的参数方程为 (m 为参数) .设 l1与 l2的交点为 P,当 k 变化时, P 的轨迹为曲
2、线 C.=2+,= (1)写出 C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 ,设 l3: (cos + sin )- =0,M 为2l3与 C 的交点,求 M 的极径 .试做 命题角度 坐标系与参数方程(1)利用 x= cos ,y= sin 以及 2=x2+y2可将极坐标方程与直角坐标方程互化 .(2)化参数方程为普通方程的关键是消参,可以利用加减消元法、平方消元法、代入法等 .在参数方程与普通方程的互化过程中,必须使两种方程中的 x,y 的取值范围保持一致 .(3)解决极坐标问题的一般思路: 将曲线的极坐标方程联立,再根据限制条件求出极坐标; 在对极坐标的意义
3、和应用不太熟悉的时候,可将极坐标方程化为直角坐标方程, 求出交点坐标,再将其化为极坐标 .(4)解决坐标系与参数方程中求曲线交点、距离、线段长等几何问题时, 一般方法是先分别化为普通方程或直角坐标方程后再求解,也可直接利用极坐标的几何意义求解, 解题时要结合题目自身特点,灵活选择方程的类型 .解答 1极坐标与简单曲线的极坐标方程1 在平面直角坐标系 xOy 中,已知直线 l:x+ y=5 ,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴3 3建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 = 4sin .(1)求直线 l 的极坐标方程和圆 C 的直角坐标方程;(2)射线 OP:= ( 0) 与圆 C 的交点
4、为 O,A,与直线 l 的交点为 B,求线段 AB 的长 .6听课笔记 【考场点拨】将直角坐标方程化为极坐标方程时,只要运用公式 x= cos 及 y= sin ,直接代入并化简即可;将极坐标方程化为直角坐标方程时,常用极坐标方程两边同乘(或同除以) ,将极坐标方程构造成含有 sin , cos , 2的形式,然后利用公式代换化简得到直角坐标方程 .【自我检测】以平面直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的长度单位 .曲线 C 的极坐标方程是 2= .161+32(1)求曲线 C 的直角坐标方程;(2)设曲线 C 与 x 轴正半轴及 y 轴正
5、半轴交于点 M,N,在第一象限内任取曲线 C 上一点 P,求四边形 OMPN 面积的最大值 .解答 2简单曲线的参数方程2 已知曲线 C 的极坐标方程是 - 4sin = 0,以极点为原点, 极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线 l 过点 M(1,0),倾斜角为 .34(1)求曲线 C 的直角坐标方程与直线 l 的参数方程;(2)设直线 l 与曲线 C 交于 A,B 两点,求 |MA|+|MB|的值 .听课笔记 【考场点拨】高考中直线参数方程问题的注意点:(1)利用直线的参数方程 (t 为参数)中参数的几何意义求解时, 若 A,B 为直=0+,=0+线上两点,其对应的参数分别为 t
6、1,t2,线段 AB 的中点为 M,点 M 所对应的参数为 t0,P(x0,y0),则以下结论在解题中经常用到: t 0= ;|AB|=|t 2-t1|;|PA|PB|=|t 1t2|.1+22(2)用参数方程的几何意义解题时,参数方程必须是标准形式,即满足参数 t 前面的系数的平方和等于 1,否则会出现错误 .【自我检测】在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 t 为参数, 0,) .以坐标原点=1+,=3+,为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,圆 C 的极坐标方程为 = 8sin + .6(1)求圆 C 的圆心的直角坐标;(2)设点 P(1, ),若直线 l 与圆 C
7、 交于 A,B 两点,求证: |PA|PB|为定值, 并求出该定值 .3解答 3极坐标与参数方程的综合应用3 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1: ( 为参数),在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极=3,=轴的极坐标系中,曲线 C2: (cos - sin )=4.(1)写出曲线 C1的普通方程和 C2的直角坐标方程;(2)若曲线 C1上有一动点 M,曲线 C2上有一动点 N,求 |MN|最小时 M 点的坐标 .听课笔记 【考场点拨】高考中利用参数解题的几点应用:(1)在圆锥曲线截直线的弦长问题中的应用 .这类问题通常是过某一定点作一直线与圆锥曲线相交于 A,B 两点,所求问题与定点到 A
8、,B 两点的距离有关 ,主要利用定点在直线 AB 上以及参数 t 的几何意义,结合根与系数的关系进行处理 .(2)解决中点问题 .可利用 t0= 结合 t 的几何意义去解决 .1+22(3)与直线有关的最值、范围问题 .这类问题主要是线段的两个端点在圆锥曲线上, 求相应的最大值和最小值问题 .解决此类问题时可以先利用参数方程中的参数去表示,然后利用三角函数的相关知识求解 .【自我检测】以平面直角坐标系的原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,并在两种坐标系中取相同的长度单位 .曲线 C1的极坐标方程为 sin2- 4cos = 0,曲线 C2的参数方程为( 为参数) .=1+2
9、,=2 (1)求曲线 C1的直角坐标方程及曲线 C2的普通方程;(2)已知点 P ,0 ,直线 l 的参数方程为 (t 为参数),设直线 l 与曲线 C1 交于 M,N12 =12+22,=22 两点,求 + 的值 .1| 1|模块七 选考模块第 20讲 坐标系与参数方程典型真题研析1.解:(1)消去参数 t 得到 C1的普通方程 x2+(y-1)2=a2.C1是以(0,1)为圆心, a 为半径的圆 .将 x= cos ,y= sin 代入 C1的普通方程中,得到 C1的极坐标方程为 2-2 sin + 1-a2=0.(2)曲线 C1,C2的公共点的极坐标满足方程组22+12=0,=4. 若
10、0,则由方程组得 16cos2- 8sin cos + 1-a2=0,由已知 tan = 2,可得 16cos2- 8sin cos = 0,从而 1-a2=0,解得 a=-1(舍去) 或 a=1.当 a=1 时,极点也为 C1,C2的公共点,在 C3上,所以 a=1.2.解:(1)消去参数 t 得 l1的普通方程 l1:y=k(x-2),消去参数 m 得 l2的普通方程 l2:y= (x+2).1设 P(x,y),由题设得 消去 k 得 x2-y2=4(y0),=(2),=1(+2),所以 C 的普通方程为 x2-y2=4(y0) .(2)C 的极坐标方程为 2(cos2- sin2 )=4
11、(00,t20,所以 |MA|+|MB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3 .2【自我检测】解:(1)由 = 8sin + 得 2=4 sin + 4 cos ,所以圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2-6 34x-4 y=0,圆心 C 的坐标为(2,2 ).3 3(2) 证明:将 代入 x2+y2-4x-4 y=0,=1+,=3+ 3整理得 t2-(2 sin + 2cos )t-12=0,3设点 A,B 所对应的参数分别为 t1,t2,则 t1t2=-12,P (1, ),|PA| |PB|=|t1t2|=12,为定值 .3解答 3例 3 解:(1)由题知曲线 C1的普通方程为 +y2=
12、1.29由 (cos - sin )=4 及 x= cos ,y= sin 得 C2的直角坐标方程为 x-y-4=0.(2)设 M(3cos ,sin ),结合图像可知 ,|MN|的最小值即为点 M 到直线 C2的距离的最小值 . 点 M 到直线 C2的距离 d= = ,其中 tan = ,|34|2 |10(+)4|2 13 当 cos(+ )=1 时, d 最小,即 |MN|最小 .此时,3cos - sin = ,结合 sin2+ cos2= 1 可得 cos = ,sin =- .1031010 1010即此时 M 点的坐标为 ,- .91010 1010【自我检测】解:(1)因为 s
13、in2- 4cos = 0,所以 2sin2- 4 cos = 0,所以 y2=4x,即曲线 C1的直角坐标方程为 y2=4x.因为 所以( x+1)2+y2=4,即曲线 C2的普通方程为( x+1)2+y2=4.=1+2,=2, (2)将直线 l 的参数方程 代入 y2=4x,整理得 t2-4 t-4=0,=12+22,=22 2设 M,N 两点对应的参数分别为 t1,t2,则 t1+t2=4 ,t1t2=-4,2所以 + = + = = = = .1| 1| 1|1| 1|2|1|+|2|12| |12|12| (1+2)2412|12| 3备选理由 在解决取值范围问题时常用三角函数,备用
14、例 1 是对例 3 应用的一个补充 .例 1 配例 3 使用 在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 经过点 P(-3,0),其倾斜角为 ,以原点O 为极点,以 x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,且在两种坐标系中取相同的长度单位 ,已知曲线 C 的极坐标方程为 2-2 cos - 3=0.(1)若直线 l 与曲线 C 有公共点,求倾斜角 的取值范围;(2)设 M(x,y)为曲线 C 上任意一点,求 x+y 的取值范围 .解:(1)将曲线 C 的极坐标方程 2-2 cos - 3=0 化为直角坐标方程为 x2+y2-2x-3=0,直线 l 的参数方程为 (t 为参数),=3+,= 将直线 l 的参数方程代入 x2+y2-2x-3=0,整理得 t2-8tcos + 12=0, 直线 l 与曲线 C 有公共点, = 64cos2- 480, cos 或 cos - ,又 0,),32 32 的取值范围是 0, , .6 56(2)曲线 C 的直角坐标方程 x2+y2-2x-3=0 可化为( x-1)2+y2=4,其参数方程为 ( 为参数) .=1+2,=2 M (x,y)为曲线 C 上任意一点 ,x+y= 1+2cos + 2sin = 1+2 sin + ,24x+y 的取值范围是1 -2 ,1+2 .2 2
