1、基础过关1.中华人民共和国道路交通安全法第 47 条的相关规定:机动车行经人行横道时, 应当减速行驶;遇行人正在通过人行横道,应当停车让行 .下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的 5 个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为的统计数据:月份 x 1 2 3 4 5违章驾驶员人数 y 120 105 100 90 85假设每个人最多违章一次 .(1)请利用所给数据求违章驾驶员人数 y 与月份 x 之间的线性回归方程 = x+ ; (2)预测该路口 9 月份不“礼让斑马线 ”的违章驾驶员人数;(3)若从表中 3,4 月份的违章驾驶员中分别抽取 4 人和 2 人,然后再从这 6 人中任选 2 人进行交规调查
2、,求抽到的 2 人恰好在同一月份违章被抓拍的概率 . 2.北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程,为了了解学生对冰球运动的兴趣, 随机从该校一年级学生中抽取了 100 人进行调查 .调查结果显示,女生中对冰球运动有兴趣的占 ,男生中有 10 人对冰球运动没有兴趣 .23(1)完成以下 22 列联表,并判断能否有 90%的把握认为“对冰球运动是否有兴趣与性别有关”?有兴趣 没兴趣 总计男 55女总计(2)若将频率视为概率,再从该校一年级全体学生中采用随机抽样的方法每次抽取 1 名学生, 抽取 5 次,记被抽取的 5 名学生中对冰球运动有兴趣的人数为 X,若每次抽取的结果是相互独立的, 求 X 的
3、分布列、期望和方差 .附表:P(k2 k0) 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635K2= ,n=a+b+c+d.()2(+)(+)(+)(+)3.某厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量 y(g)与尺寸 x(mm)之间近似满足关系式 y=axb(a,b 为大于 0的常数) .现随机抽取 6 件合格产品,测得数据如下:尺寸 x(mm) 38 48 58 68 78 88质量 y(g) 16.8 18.8 20.7 22.4 24.0 25.5对数据初步处理后,相关统计量的值如下表:(ln xi
4、ln yi)6=1(ln xi)6=1(ln yi)6=1(ln xi)26=175.3 24.6 18.3 101.4(1)根据所给数据,求 y 关于 x 的回归方程;(2)按照某项指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间 内时为优等品 .现从抽取的 6 件合格产品中再任选 3 件,记 为取到(9,7)优等品的件数,试求随机变量 的分布列和期望 .附:对于一组数据( v1,u1),(v2,u2),(vn,un),其回归直线 = + v 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 = , = - . =1=1224.某高中政教处为了调查学生对“一带一路”的关注情况,在全校组织了“一带一路知多少”的知识问卷测
5、试, 并从中随机抽取了 12 份问卷,得到其测试成绩(百分制), 用茎叶图表示(如图 X20-1 所示) .(1)写出该样本的众数、中位数,若该校共有 3000 名学生,试估计该校测试成绩在 70 分以上的人数;(2)从所抽取的成绩在 70 分以上的学生中再随机选取 4 人,记 表示测试成绩在 80 分以上的人数, 求 的分布和数学期望 .图 X20-1能力提升5.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生,将其数学成绩(均为整数)分成六组:40, 50),50,60),90,100,并画出如图 X20-2 所示的部分频率分布直方图 .(1)求第四分组的频率,补全频率分布直方图,并估
6、计该校学生该次考试数学成绩的中位数 .(2)从被抽取的数学成绩为 70 分以上 (包括 70 分)的学生中选两人 ,求他们的成绩在同一分组的概率 .(3)从全校参加高一年级期末考试的学生中,任意抽取 4 名学生,设这 4 名学生中数学成绩为 80 分以上( 包括 80 分)的人数为 X,以被抽取的学生成绩的频率估计概率,求 X 的分布列和数学期望 .图 X20-26.新能源汽车的春天来了!2018 年 3 月 5 日上午,李克强总理做政府工作报告时表示 ,将新能源汽车车辆购置税优惠政策再延长三年,自 2018 年 1 月 1 日至 2020 年 12 月 31 日,对购置的新能源汽车免征车辆购
7、置税 .某人计划于 2019 年 5 月购买一辆某品牌新能源汽车,他从当地该品牌销售网站了解到近五个月实际销量如下表:月份 2018.12 2019.01 2019.02 2019.03 2019.04月份编号 t 1 2 3 4 5销量(万辆) 0.5 0.6 1 1.4 1.7(1)经分析,可用线性回归模型拟合当地该品牌新能源汽车实际销量 y(万辆)与月份编号 t 之间的相关关系 .请用最小二乘法求y 关于 t 的线性回归方程 = t+ ,并预测 2019 年 5 月份当地该品牌新能源汽车的销量 . (2)某地方财政部门计划根据新能源汽车的最大续航里程(新能源汽车的最大续航里程是指理论上新
8、能源汽车所装的燃料或电池所能够提供给车跑的最远里程)对购车补贴进行新一轮调整 .已知某地拟购买新能源汽车的消费群体十分庞大,某调研机构对其中的 200 名消费者的购车补贴金额的心理预期值进行了一个抽样调查,得到如下一份频数表:补贴金额预期值区间(万元)1,2) 2,3) 3,4) 4,5) 5,6) 6,7频数 20 60 60 30 20 10(i)求这 200 位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心理预期值 X 的样本方差 s2及中位数的估计值(同一区间的预期值可用该区间的中点值代替,估计值精确到 0.1);(ii)将频率视为概率,现用随机抽样的方法从该地区拟购买新能源汽车的所有消费者中
9、随机抽取 3 人, 记被抽取 3 人中对补贴金额的心理预期值不低于 3 万元的人数为 ,求 的分布列及数学期望 E( ).参考公式及数据: 回归方程 = x+ ,其中 = , = - ; tiyi=18.8. =1()()=1()2 5=1限时集训(二十)基础过关1.解:( 1)由表中数据知 , = (1+2+3+4+5)=3,15= (120+105+100+90+85)=100,15=5=15 5=1252=141515005545=8.5,= - =100+8.53=125.5, 所求线性回归方程为 =-8.5x+125.5.(2)由( 1)知,令 x=9,则 =-8.59+125.5=
10、49, 预测该路口 9 月份不“礼让斑马线”的违章驾驶员有 49 人 .(3)设抽取 3 月份的 4 位驾驶员编号分别为 A,B,C,D,4 月份的驾驶员编号分别为 e,f.从这 6 人中任选 2 人包含 AB,AC,AD,Ae,Af,BC,BD,Be,Bf,CD,Ce,Cf,De,Df,ef,共 15 个基本事件,其中抽到的 2 人恰好来自同一月份的基本事件有 7 个, 所求概率 P= .7152.解:( 1)根据已知数据得到如下 22 列联表:有兴趣 没有兴 趣 总计男 45 10 55女 30 15 45总计 75 25 100根据列联表中的数据,得到 K2的观测值 k= = 3 .03
11、0.100(45151030)255457525 10033因为 3.0302.706,所以有 90%的把握认为“对冰球运动是否有兴趣与性别有关” .(2)由列联表中的数据可知,对冰球运动有兴趣的学生的频率是 ,将频率视为概率, 则从该校一年级学生中抽取 1 名学生,该学生34对冰球运动有兴趣的概率是 .34由题意知 XB ,从而 X 的分布列为(5,34)X 0 1 2 3 4 5P 11024151024455121355124051024 2431024E(X)=np=5 = ,34154D(X)=np(1-p)=5 = .34 (134)15163.解:( 1)对 y=axb(a,b0
12、)两边取对数得 ln y=bln x+ln a.令 vi=ln xi,ui=ln yi,得 u=bv+ln a,则由所给数据得=1=122=12, =1则 =,故所求回归方程为 =e . 12(2)由 = = ,得 49x81,则当 x=58,68,78 时为优等品,即优等品有 3 件,12 12 (9,7)所以 的可能取值是 0,1,2,3,则 P(= 0)= = ,P(= 1)= = ,033336 120 132336 920P(= 2)= = ,P(= 3)= = .231336 920 330336 120 的分布列为 0 1 2 3P 120 920 920 120E( )=0 +
13、1 +2 +3 = .120 920 920 120324.解:( 1)该样本的众数为 76,中位数为 76.抽取的 12 人中,70 分以上的有 8 人,故从该校学生中任选 1 人, 其测试成绩在 70 分以上的概率约为 = ,故估计该校这次测试成绩在 70 分以上的人数为 3000 =2000.81223 23(2)由题意可得, 的可能取值为 0,1,2,3,4,则 P(= 0)= = ,044448 170P(= 1)= = = ,143448 1670835P(= 2)= = = ,242448 36701835P(= 3)= = = ,341448 1670835P(= 4)= =
14、.440448 170 的分布列为 0 1 2 3 4P 170 835 1835 835 170E( )=0 +1 +2 +3 +4 =2.170 835 1835 835 170能力提升5.解:( 1)因为各分组的频率和等于 1,所以第四分组的频率为 1-(0.025+0.0152+0.010+0.005)10=0.3.补充完整的频率分布直方图如图所示 .中位数是 70+10 =73.33,0.10.3估计该校学生这次考试数学成绩的中位数是 73.33.(2)分组70,80),80 ,90),90,100) 内的人数分别是 18,15,3,所以从成绩是 70 分以上(包括 70 分)的学生
15、中选两人,他们的成绩在同一分组的概率 P= = .218+215+23236 2970(3)由题意得 XB(4,0.3),P(X=k)= 0.3k0.74-k(k=0,1,2,3,4),4所以 X 的分布列为X 0 1 2 3 4P 0.2401 0.4116 0.2646 0.0756 0.0081E(X)=np=40.3=1.2.6.解:( 1)易知 = =3, = =1.04, 1+2+3+4+55 0.5+0.6+1+1.4+1.755=12=12+22+32+42+52=55,则 =5=1()()5=1()2 =5=155=1252=18.8531.0455532 =0.32,=1.
16、040.323=0.08,则 y 关于 t 的线性回归方程为 =0.32t+0.08,当 t=6 时, =2,即预测 2019 年 5 月份当地该品牌新能源汽车的销量约为 2 万辆 .(2)(i)根据题意,这 200 位拟购买新能源汽车的消费者对补贴金额的心里预期值 X 的平均值 ,样本方差 s2及中位数的估计值分别为=1.50.1+2.50.3+3.50.3+4.50.15+5.50.1+6.50.05=3.5,s2=(1.5-3.5)20.1+(2.5-3.5)20.3+(3.5-3.5)20.3+(4.5-3.5)20.15+(5.5-3.5)20.1+(6.5-3.5)20.05=1.7,中位数的估计值为 3+1 =3+ 3 .3.100206060 13(ii)根据给定的频数表可知,任意抽取 1 名拟购买新能源汽车的消费者, 该消费者对补贴金额的心理预期值不低于 3 万元的概率为 = ,12020035由题意可知 B , 的所有可能取值为 0,1,2,3,(3,35)则 的分布列为 0 1 2 3P 8125 36125 54125 27125E( )=3 = .3595
