1、2019 届上高二中与新余四中第二次联考高三数学（文）试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 ）1已知集合 ， ，则 （ ）0)3(2xZxAxyxBln1BAA B C De,0e, 2, )2,1(2已知复数 满足 （ 为虚数单位） ，则 的虚部为（ ）zii1zA B C D44i43设 ， ， ，则（ ）5sina3log2b32cA B C Dcabacac4中国古代数学著作算法统宗 中有这样一个问题： “三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还 ”其大
2、意为：“有一个人走了 378 里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地 ”问此人第 4 天和第 5 天共走了（ ）A60 里 B48 里 C36 里 D24 里5设 m，n 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则 mn 的一个充分不必要条件是（ ）A m ，n ， Bm，n， C m，n ， Dm ，n，6. 只蚂蚁在三边长分别为 ， ， 的三角形内自由爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的任意一个顶点的距离不超过 的概率为（ ）A. B. C. D. 7.函数 图象的大致形状是( )2()1)cosxfe8已知函数 f（x）=Asin （x+）
3、 （A0， 0）的图象与直线 y=a（0aA）的三个相邻交点的横坐标分别是 2，4，8，则 f（x）的单调递减区间是（ ）A6k，6k+3（kZ） B6k3 ，6k （k Z）C 6k，6k+3（kZ） D6k 3，6k（k Z）9一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A B 364872C D4810 已知正实数， ，满足 ，则当 取得最大值时，的最大值为（ ）312abcA. B. C. D. 11. 已知 ， ， 是双曲线 上的三个点，直线 经过原点 ， 经过右焦 ，若 ，且 ，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 12已知 是减函数，且 有三个零点，则 的
4、0),2(0,)(12xaexf bxf)(b取值范围为（ ）A B C D),1)2ln,0(e)2ln,0(),1e,l二、填空题（每题 4 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 若实数 ， 满足约朿条件 ，则 的最大值为_.14. 已知锐角三角形 ABC 中, 角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，若 ,2()ac则 的取值范围是 2sin()AB15 将正整数 分解成两个正整数的乘积有 ， ， 三种，其中 是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称 为 的最佳分解.当 且 是正整数的最佳分解时我们定义函数 ，例如 .则 的值为_ ，数列 的前 项的和为_.16. 如图，
5、四面体 ABCD 中，面 ABD 和面 BCD 都是等腰 Rt， ，且二面角 ABDC 的大小为 ，若四面体 ABCD 的顶点都2AB2ADCB 23在球 O 上，则球 O 的表面积 为 。三、解答题。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17 （本题满分 12 分）已知向量 ， ， ，设函数 .（1）求函数 的解析式及单调递增区间；（2）设， ，别为 内角 ， ， 的对边，若 ， ， 的面积为 ，求的值.18（本题满分 12 分如图，E 是以 AB 为直径的半圆上异于 A，B 的一点，矩形 AB
6、CD 所在平面垂直于该半圆所在的平面，且 AB2AD2(1)求证：EAEC；(2)设平面 ECD 与半圆弧的另一个交点为 F，EF1，求三棱锥 EADF 的体积19（本题满分 12 分近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年(365 天)内 100 天的空气中 PM25 指数的检测数据，统计结果如下：PM25指数0，50(50， 100(100，150(150，200(200，250(250，300300空气质量优 良轻微污染轻度污染中度污染中度重污染重度污染天数 4 13 18 30 9 11 15记某企业每天由空气污染造成的经济损失为 S(单位：元) ，PM25 指数为 x当 x 在区间
7、0，100 内时对企业没有造成经济损失；当 x 在区间(100 ，300内时对企业造成的经济损失成直线模型(当 PM25 指数为 150 时造成的经济损失为 500 元，当 PM25 指数为 200 时，造成的经济损失为 700 元) ；当 PM25 指数大于 300 时造成的经济损失为 2 000 元(1)试写出 S(x)的表达式；(2)试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失 S 大于 500 元且不超过 900 元的概率；(3)若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季，其中有 8 天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有 95%的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关？非重度污染
8、 重度污染 合计供暖季非供暖季合计 100附：P(K2k0) 0 25 0 15 0 10 0 05 0 025 0 010 0 005 0 001k0 1 323 2 072 2 706 3 841 5 024 6 635 7 879 10 828K2 ，其中 nab c d 20.（本小题满分 12 分）对称轴为坐标轴的椭圆 的焦点为 ， ， 在 上.（1）求椭圆 的方程；（2）设不过原点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，且直线 ， ，的斜率依次成等比数列，则当 的面积为 时，求直线 的方程.21. （本小题满分 12 分）已知函数 .（1）当 时，求证： 恒成立；（2）若关于 的方程 至
9、少有两个不相等的实数根，求实数的最小值.（二）选考题请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。22.选修 4 一 4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，直线的参数方程为 （为参数）.以原点 为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 .（1）写出圆 的直角坐标方程；（2）设直线与圆 交于 ， 两点，求弦长 .23.选修 4 一 5：不等式选讲 已知函数 ，其中 .（1）当 时，求不等式 的解集；（2）若存在 ，使得 ，求实数的取值范围.2019 届上高二中与新余四中第二次联考高三数学（文）试卷答案1-5CBCCA,6-10BBDDC, 11-12A
10、D二.填空题：13 ;14. 15 (1). 3 (2). 16, 221,1095283三.解答题：1717. 解:（1） 令 ， ，解得； ， ；所以函数 的单调递増区间为 ， .（2） ， .， ， ，即 .由 得 ，又 由余弦定理得 ，解得 .解析：(1)证明：因为矩形 ABCD平面 ABE，CB 平面 ABCD 且 CBAB，所以 CB平面 ABE，从而 AEBC，又因为在半圆 ABE 中，AB 为直径，所以AEB90，即 AEBE ，由知 AE平面 BCE，故有 EAEC(2)因为 ABCD，所以 AB平面 DCE又因为平面 DCE平面 ABEEF ，所以 ABEF，在等腰梯形 A
11、BEF 中，EF 1，AF1，AFE120 ，所以 SAEF EFAFsin 120 ，V EADFV DAEF SAEFAD 1 解：(1)依题意，可得 S(x)(2)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失 S 大于 500 元且不超过 900 元”为事件 A，由 5003841 ，所以有 95%的把握认为空气重度污染与供暖有关20. 解: （1）设椭圆 的方程为 ，由题意可得 ，又由 ，得 ，故 ，椭圆 的方程为 ；（2）设 ， .由题意直线的方程为： ，联立 得 ，化简，得 ， 直线 ， ， 的斜率依次成等比数列， ，化简，得， ，又 ， ，且由知 . 原点 到直线 的距离 .，解得 （
12、负舍）或 （负舍）.直线 的方程为： 或 .21. 解: （1）证明：当 时， ， ，令 ，所以当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减.故 ，所以 .（2） 至少有两个根，记 ，所以 ，记 ，所以 ，令 舍）所以当 ， ， 单调递减，时， ， 单调递增，所以 的最小值为，又 ，所以 时， ，又当 时， ，因此必存在唯一的 ，使得 .因此 时， ， 单调递増， ， 单调递减，时， ， 单调递増，画出 的大致图象，如图所示因此当 时， 与 至少有两个交点，所以的最小值为 .22. 解: （1）由 ，得圆 的直角坐标方程为，即（2）将直线的参数方程代入圆 的直角坐标方程，得即 ，设两交点 ， 所对应的参数分别为 ， ，从而，则23. 解:（1）当 时， ，所以 或 或 ，解得 或 ，因此不等式 的解集的 或（2） ，易知 ，由题意，知，解得 ，所以实数的取值范围是
