1、1第 18 练 概率与统计的综合问题明晰考情 1.命题角度：概率与统计知识的交汇处是高考命题的考点.2.题目难度：中档难度.考点一 古典概型与几何概型要点重组 (1)古典概型的两个特征试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件发生的可能性相等.(2)几何概型将古典概型的有限性推广到无限性，几何概型的测度包括长度、面积、角度、体积等.1.已知 A， B 两个盒子中分别装有标记为 1,2,3,4 的大小相同的四个小球，甲从 A 盒中等可能地取出 1 个球，乙从 B 盒中等可能地取出 1 个球.(1)用有序数对( i， j)表示事件“甲抽到标号为 i 的小球，乙抽到标号为 j 的小球” ，
2、试写出所有可能的事件；(2)甲、乙两人玩游戏，约定规则：若甲抽到的小球的标号比乙大，则甲胜；反之，则乙胜.你认为此游戏是否公平？请说明理由.解 (1)甲、乙两人抽到的小球的所有情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共 16 种不同的情况.(2)甲抽到的小球的标号比乙大，有(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，共 6 种情况，故甲胜的概率 P1 ，乙胜的概率为 P21 .616 38 38 58因为 ，所
3、以此游戏不公平.38 582.已知集合 A2,2， B1,1，设 M( x， y)|x A， y B，在集合 M 内随机取出一个元素( x， y).(1)求以( x， y)为坐标的点落在圆 x2 y21 内的概率；2(2)求以( x， y)为坐标的点到直线 x y0 的距离不大于 的概率.22解 (1)集合 M 内的点形成的区域面积 S8.因为圆 x2 y21 的面积 S1，故所求概率为P1 .S1S 8(2)由题意得 ，即1 x y1，形成的区域如图中阴影部分(含边界)所示，阴|x y|2 22影部分面积 S24，所以所求概率为 P .S2S 123.已知关于 x 的一元二次方程 9x26
4、ax b240， a， bR.(1)若 a 是从 1,2,3 三个数中任取的一个数， b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；(2)若 a 是从区间0,3内任取的一个数， b 是从区间0,2内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率.解 设事件 A 为“方程 9x26 ax b240 有两个不相等的实数根” ；事件 B 为“方程9x26 ax b240 有实数根”.(1)由题意知，基本事件共 9 个，即(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一个数表示 a 的取值，第二个数表示 b 的
5、取值.由 36 a236( b24)36 a236 b23640，得 a2 b24.事件 A 要求 a， b 满足条件 a2 b24，包含 6 个基本事件，即(1,2)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，则事件 A 发生的概率为 P(A) .69 23(2)a， b 的取值所构成的区域如图所示，其中 0 a3,0 b2.构成事件 B 的区域为( a， b)|0 a3,0 b2， a2 b24(如图中阴影部分(含边界)，则所求的概率为 P(B) 1 .23 14 2223 63考点二 统计与古典概型的综合方法技巧 概率与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等
6、，解题中首先要把数据分析清楚，明确频率可近似替代概率，抽象得到古典概型.把握基本事件的构成要素.4.(2018东莞模拟)近几年来， “精准扶贫”是政府的重点工作之一，某地政府对 240 户贫困家庭给予政府资金扶助，以发展个体经济，提高家庭的生活水平.几年后，一机构对这些贫困家庭进行回访调查，得到政府扶贫资金数、扶贫贫困家庭数 x(户)与扶贫后脱贫家庭数y(户)的数据关系如下：政府扶贫资金数(万元) 3 5 7 9政府扶贫贫困家庭数 x(户) 20 40 80 100扶贫后脱贫家庭数 y(户) 10 30 70 90(1)求几年来该地依靠“精准扶贫”政策的脱贫率是多少？(答案精确到 0.1%).
7、(2)从政府扶贫资金数为 3 万元和 7 万元并且扶贫后脱贫的家庭中按分层抽样抽取 8 户，再从这 8 户中随机抽取两户家庭，求这两户家庭的政府扶贫资金总和为 10 万元的概率.解 (1)几年来该地依靠“精准扶贫”政策的脱贫率是P 100%83.3%.200240(2)由题意可知，从政府扶贫资金数为 3 万元和 7 万元并且扶贫后脱贫的家庭中分别抽取 1户和 7 户，设从政府扶贫资金数为 3 万元并且扶贫后脱贫的家庭中抽取的 1 户为 A，从政府扶贫资金数为 7 万元并且扶贫后脱贫的家庭中抽取的 7 户分别为B1， B2， B3， B4， B5， B6， B7，再从这 8 户中随机抽取两户的所
8、有可能情况为( A， B1)，( A， B2)，(A， B3)，( A， B4)，( A， B5)，( A， B6)，( A， B7)，( B1， B2)，( B1， B3)，( B1， B4)，( B1， B5)，(B1， B6)，( B1， B7)，( B2， B3)，( B2， B4)，( B2， B5)，( B2， B6)，( B2， B7)，( B3， B4)，(B3， B5)，( B3， B6)，( B3， B7)，( B4， B5)，( B4， B6)，( B4， B7)，( B5， B6)，( B5， B7)，(B6， B7)，共 28 种，符合题意的情况有( A， B1)，(
9、 A， B2)，( A， B3)，( A， B4)，( A， B5)，(A， B6)，( A， B7)，共 7 种，故所求概率为 .728 1445.(2017全国)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：)有关.如果最高气温不低于 25，需求量为 500 瓶；如果最高气温位于区间20,25)，需求量为 300 瓶；如果最高气温低于 20，需求量为 200 瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
10、最高气温10,15) 15,20) 20,25) 25,30) 30,35) 35,40)天数 2 16 36 25 7 4以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450 瓶时，写出 Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率.解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶，当且仅当最高气温低于 25，由表格数据知，最高气温低于 25 的频率为 0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概2 16 3690率的估计值为
11、0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为 450 瓶时，若最高气温不低于 25，则 Y64504450900；若最高气温位于区间20,25)，则 Y63002(450300)4450300；若最高气温低于 20，则 Y62002(450200)4450100，所以， Y 的所有可能值为 900,300，100.Y 大于零当且仅当最高气温不低于 20，由表格数据知，最高气温不低于 20 的频率为0.8.36 25 7 490因此 Y 大于零的概率的估计值为 0.8.6.(2017北京)某大学艺术专业 400 名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了 100 名学生
12、，记录他们的分数，将数据分成 7 组：20,30)，30,40)，80,90，并整理得到如下频率分布直方图：5(1)从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率；(2)已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间40,50)内的人数；(3)已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.解 (1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于 70 的频率为(0.020.04)100.6，所以样本中分数小于 70 的频率为 10.60.4，所以从总体的 400 名学生中随机抽取一人，其
13、分数小于 70 的概率估计为 0.4.(2)根据题意，样本中分数不小于 50 的频率为(0.010.020.040.02)100.9，分数在区间40,50)内的人数为 1001000.955，所以总体中分数在区间40,50)内的人数估计为 400 20.5100(3)由题意可知，样本中分数不小于 70 的学生人数为(0.020.04)1010060，所以样本中分数不小于 70 的男生人数为 60 30，12所以样本中的男生人数为 30260，女生人数为 1006040，所以样本中男生和女生人数的比例为 604032，所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为 32.考点三 古典概型
14、与统计案例方法技巧 (1)回归分析和概率的交汇问题，要明确所给数据的作用，抽象出随机事件和古典概型；回归分析问题解决的关键是找到样本点，确定回归类型和回归方程.(2)独立性检验与古典概型的综合问题，要明确所要研究的分类变量，根据已知数据正确编制列联表，然后通过 K2公式计算并利用参考数据得到结论.7.(2018惠州模拟)为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从 4 月份的 30 天中随机挑选了 5 天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每 100 颗种子浸泡6后的发芽数，得到如下表格：日期 4 月 1 日 4 月 7 日 4 月 15 日 4 月 21 日 4 月 30 日
15、温差x/10 11 13 12 8发芽数y/颗23 25 30 26 16(1)从这 5 天中任选 2 天，记发芽的种子数分别为 m， n，求事件“ m， n 均不小于 25”的概率；(2)若由线性回归方程得到的估计数据与 4 月份所选 5 天的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的.请根据 4 月 7 日，4 月 15 日与 4 月 21 日这三天的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 x ，并判定所得的线性回归方程是否可靠？y b a 参考公式： ，b ni 1xi xyi yni 1xi x2ni 1xiyi nx yni 1x2i nx2 .a y b x
16、参考数据： iyi977， 434.3i 1x3i 1x2i解 (1)所有的基本事件为(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,30)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共 10 个.设“ m， n 均不小于 25”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)，共 3 个，故由古典概型概率公式得 P(A) .310(2)由题意得 12， 27,3 972,3 2432，且x11 13 123 y 25 30 263 xy xiyi977， 434.3i 1x3i 1x2i7 ，
17、b 3i 1xiyi 3x y3i 1x2i 3x2 977 972434 432 5227 123，a 52 y 关于 x 的线性回归方程为 x3，y 52且当 x10 时， y22，|2223|3.841.501814 126224263020 22552有 95%的把握认为以 40 岁为分界点对是否经常使用多媒体教学有差异.(2)由题意，得抽取 6 人，2029 岁有 2 人，分别记为 A1， A2；3039 岁有 4 人，分别记为B1， B2， B3， B4；则抽取的结果共有 15 种：( A1， A2)，( A1， B1)，( A1， B2)，( A1， B3)，(A1， B4)，(
18、 A2， B1)，( A2， B2)，( A2， B3)，( A2， B4)，(B1， B2)，( B1， B3)，( B1， B4)，( B2， B3)，( B2， B4)，( B3， B4)，设“至少有 1 人年龄在 3039 岁”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件有 14 种， P(A) ，即至少有 1 人年龄在 3039 岁的概率为 .1415 1415典例 (12 分)(2018全国)某家庭记录了未使用节水龙头 50 天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头 50 天的日用水量频数分布表日用水量0,0.1)0.1，
19、0.2)0.2，0.3)0.3，0.4)0.4，0.5)0.5，0.6)0.6，0.7)频数 1 3 2 4 9 26 59使用了节水龙头 50 天的日用水量频数分布表日用水量0,0.1)0.1，0.2)0.2，0.3) 0.3，0.4)0.4，0.5)0.5，0.6)频数 1 5 13 10 16 510(1)在下图中作出使用了节水龙头 50 天的日用水量数据的频率分布直方图；(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于 0.35m3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按 365 天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)审题路线图频 数 分 布 表
20、 计 算 频 率 频 率 分 布 直 方 图 用 频 率 估 计 概 率 节 水 后 日 用 水 量 小 于 0.35m3的 概 率 计 算 节 水 前 后 日 均 用 水 量 估 计 年 节 水 量规范解答评分标准解 (1)4 分(2)根据以上数据，该家庭使用节水龙头后 50 天日用水量小于 0.35m3的频率为0.20.110.12.60.120.050.48，8 分因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于 0.35m3的概率的估计值为 0.48.(3)该家庭未使用节水龙头 50 天日用水量的平均数为1 (0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.48.9x
21、150分该家庭使用了节水龙头后 50 天日用水量的平均数为112 (0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.35.10 分x150估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.480.35)36547.45(m 3).12 分构建答题模板第一步 审数据：根据题中图表确定统计中所需的数据，并计算频率，频率/组距等；第二步 画图表：根据所得的数据画出频率分布直方图；第三步 估分布：根据频率分布直方图估计总体的分布或其他特征.1.某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记
22、录的数分别为 x， y.奖励规则如下：若 xy3，则奖励玩具一个；若 xy8，则奖励水杯一个；其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动.(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.解 (1)用数对( x， y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间 与点集S( x， y)|xN， yN，1 x4，1 y4一一对应.因为 S 中元素的个数是 4416，所以基本事件总数 n16.记“ xy3”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件共 5 个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)，所以 P
23、(A) ，即小亮获得玩具的概率为 .516 51612(2)记“ xy8”为事件 B， “3 xy8”为事件 C.则事件 B 包含的基本事件共 6 个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4).所以 P(B) .616 38事件 C 包含的基本事件共 5 个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1).所以 P(C) .因为 ，516 38 516所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.2.(2018新余模拟)“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21 世纪海上丝绸之路”的简称.某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人
24、举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分 100 分(90 分及以上为认知程度高).现从参赛者中抽取了 x 人，按年龄分成 5 组，第一组：20,25)，第二组：25,30)，第三组：30,35)，第四组：35,40)，第五组：40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有 6 人.(1)求 x；(2)求抽取的 x 人的年龄的中位数(结果保留整数)；(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取 6人，42 人，36 人，24 人，12 人，分别记为 15 组，从这 5 个按年龄分的组和 5 个按职业分的组中每组各选派 1 人参加知识竞赛，分别代表相应组的
25、成绩，年龄组中 15 组的成绩分别为 93,96,97,94,90，职业组中 15 组的成绩分别为 93,98,94,95,90.分别求 5 个年龄组和 5 个职业组成绩的平均数和方差；以上述数据为依据，评价 5 个年龄组和 5 个职业组对“一带一路”的认知程度.解 (1)根据频率分布直方图得第一组频率为 0.0150.05， 0.05， x120.6x13(2)设中位数为 a，则 0.0150.075( a30)0.060.5， a 32，中位数为95332.(3)5 个年龄组的平均数为 1 (9396979490)94，方差为 s (1)x15 21 1522 23 20 2(4) 26.
26、5 个职业组的平均数为 2 (9398949590)94，方差为 s (1)x15 2 1524 20 21 2(4) 26.8.评价：从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度相对更稳定.3.某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中随机抽取了 n 名学生的成绩(满分100 分)作为样本，将所得分数经过分析整理后画出了频率分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污染，请据此解答下列问题：(1)求频率分布直方图中 a， b 的值，并估计此次参加厨艺大赛学生的平均成绩；(2)规定大赛成绩在80,90)的
27、学生为厨霸，在90,100的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取 2 人去参加校际之间举办的厨艺大赛，求所抽取 2 人中至少有 1 人是厨神的概率.解 (1)由题意可知，样本容量 n 40，50.012510所以 a 0.0075.34010所以 10b1(0.1250.1500.4500.075)0.2，所以 b0.02，平均成绩为 0.125550.2650.45750.15850.0759573.5.(2)由题意可知，厨霸有 0.015010406(人)，分别记为 a1， a2， a3， a4， a5， a6，厨神有 0.007510403(人)，分别记为 b1， b2， b
28、3，共 9 人，从中任意抽取 2 人共有 36 种情况：( a1， a2)，( a1， a3)，( a1， a4)，( a1， a5)，( a1， a6)，(a1， b1)，( a1， b2)，( a1， b3)，( a2， a3)，( a2， a4)，( a2， a5)，( a2， a6)，( a2， b1)，14(a2， b2)，( a2， b3)，( a3， a4)，( a3， a5)，( a3， a6)，( a3， b1)，( a3， b2)，( a3， b3)，(a4， a5)，( a4， a6)，( a4， b1)，( a4， b2)，( a4， b3)，( a5， a6)，( a
29、5， b1)，( a5， b2)，(a5， b3)，( a6， b1)，( a6， b2)，( a6， b3)，( b1， b2)，( b1， b3)，( b2， b3)，其中至少有 1 人是厨神的情况有 21 种，所以至少有 1 人是厨神的概率为 .2136 7124.(2017全国)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于 50kg，新养殖法的箱产量不低于 50kg，估计 A 的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量6.635，故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.(3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于 50kg 的直方图面积为(0.0040.0200.044)50.340.5，故新养殖法箱产量的中位数的估计值为50 52.35(kg).0.5 0.340.068
