1、1第 9 练 三角恒等变换与三角函数明晰考情 1.命题角度：常与三角恒等变换结合，考查三角函数的单调性、对称性、周期性、最值等.2.题目难度：三角函数的大题一般在解答题的第一个题，和数列问题交替考查，中低档难度.考点一 三角函数的单调性、最值问题方法技巧 类比 ysin x 的性质，将 y Asin(x )中的“ x ”看作一个整体 t，可求得函数的单调区间，注意 的符号；利用函数 y Asint 的图象可求得函数的最值(值域).1.已知向量 a(1，sin x)， b ，函数 f(x) ab cos2x.(cos(2x 3)， sinx) 12(1)求函数 f(x)的解析式及其单调递增区间；
2、(2)当 x 时，求函数 f(x)的值域.0， 3解 (1)函数 f(x) ab cos2xcos sin 2x cos2xcos2 xcos sin2 xsin12 (2x 3) 12 3 cos2x 3 1 cos2x2 12 12 ( 32sin2x 12cos2x) sin ，12 (2x 6)由 2k 2 x 2 k (kZ)， 2 6 32可得 k x k (kZ). 6 23所以 f(x)的单调递增区间为 (kZ).k 6， k 23(2)当 x 时，2 x ，0， 3 6 6， 56因此 sin ，(2x 6) 12， 1所以当 x 时，函数 f(x)的值域是 .0， 3 12
3、， 02.已知函数 f(x)sin sinx cos2x.( 2 x) 32(1)求 f(x)的最小正周期和最大值；(2)讨论 f(x)在 上的单调性. 6， 23解 (1) f(x)sin sinx cos2x( 2 x) 3cos xsinx (1cos2 x) sin2x cos2x sin ，32 12 32 32 (2x 3) 32因此 f(x)的最小正周期为 ，最大值为 .2 32(2)当 x 时，02 x ， 6， 23 3从而当 02 x ，即 x 时， f(x)单调递增； 3 2 6 512当 2 x ，即 x 时， f(x)单调递减. 2 3 512 23综上可知， f(x
4、)在 上单调递增，在 上单调递减. 6， 512 512， 233.已知 a0，函数 f(x)2 asin 2 a b，当 x 时，5 f(x)1.(2x 6) 0， 2(1)求常数 a， b 的值；(2)当 x 时，求 f(x)的最大值和最小值及相应的 x 的值.0， 4解 (1)当 x 时， 2 x ，0， 2 6 6 76 sin 1，又 a0，5 f(x)1，12 (2x 6)Error! 解得Error!(2)由 a2， b5 知， f(x)4sin 1，(2x 6)当 x 时， 2 x ，0， 4 6 6 23当 2x ，即 x 时， f(x)取得最小值5； 6 2 6当 2x ，
5、即 x0 时， f(x)取得最大值3. 6 6考点二 三角函数的图象及应用要点重组 三角函数图象的对称问题(1)y Asin(x )的对称轴为 x (kZ)，对称中心为 (kZ).k 2 (k ， 0)3(2)y Acos(x )的对称轴为 x (kZ)，对称中心为 (kZ).k (k 2 ， 0)(3)y Atan(x )的对称中心为 (kZ).(k2 ， 0)方法技巧 (1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时 A， ， b 已知)或代入图象与直线 y b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).(2)五点法：确定 值时，往往寻找“五点法”中的某一个点作为突破口.4.已
6、知函数 f(x) Asin(x )(A0， 0,00， | |0)个单位长度，得到 y g(x)的图象.若 y g(x)图象的一个对称中心为 ，求 的最小值.(512， 0)解 (1)根据表中已知数据，解得 A5， 2， .数据补全如下表： 6x 0 2 32 2x 12 3 712 56 1312Asin(x ) 0 5 0 5 0且函数表达式为 f(x)5sin .(2x 6)(2)由(1)知， f(x)5sin ，(2x 6)得 g(x)5sin .(2x 2 6)因为函数 ysin x 的图象的对称中心为( k，0)， kZ.令 2x2 k， kZ，解得 x ， kZ. 6 k2 12
7、由于函数 y g(x)的图象关于点 成中心对称，(512， 0)令 ， kZ，解得 ， kZ，k2 12 512 k2 3由 0 可知，当 k1 时， 取得最小值 . 66.已知函数 f(x)2sin( x ) 的图象与直线 y2 两相邻交点之间( 0， | |0， f(x)3 mn，且 f(x)相邻两条对称轴之间的距离为 . 2(1)若 f ， ，求 cos 的值；( 2) 34 (0， 2)(2)将函数 y f(x)的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍，纵坐标不变，然后向左平移个单位长度，得到函数 y g(x)的图象，求函数 y g(x)的单调递增区间. 6审题路线图(1)fx mn
8、数 量 积 运 算 辅 助 角 公 式 得 fx 对 称 性 周 期 性 求 出 和 差 公 式 cos(2)y fx 图 象 变 换 y gx 整 体 思 想 gx的 递 增 区 间规范解答评分标准解 f(x) mncos x sinx cos(x )cos x3cos x sinx cosx cosx3 sin . 3 分sin2 x2 3cos2 x 12 (2 x 3) 32 f(x)相邻两条对称轴之间的距离为 ， 2 T， 1， f(x)sin .(2x 3) 325 分(1)f sin ，( 2) ( 3) 32 34sin ，( 3) 34 ， ，(0， 2) 3 ( 3， 6)
9、又 sin ，( 3) 34cos . 7 分( 3) 13410cos cos ( 3 3)cos cos sin sin( 3) 3 ( 3) 3 . 9 分134 12 34 32 13 38(2)f(x)经过变换可得 g(x)sin ， 12(x 6) 32分令 2 k x 2 k， kZ， 2 6 2解得 2 k x 2 k， kZ， 3 23 g(x)的单调递增区间是 ， kZ. 14 3 2k ， 23 2k 分构建答题模板第一步 化简变形：利用辅助角公式将三角函数化成 y Asin(x ) B 的形式.第二步 整体代换：将“ x ”看作一个整体，研究三角函数性质.第三步 回顾反
10、思：查看角的范围对函数影响，评价结果的合理性，检查步骤的规范化.1.已知函数 f(x)sin ， xR.(x 3)(1)如果点 P 是角 终边上一点，求 f( )的值；(35， 45)(2)设 g(x) f(x)sin x，当 x 时，求 g(x)的最大值. 2， 2解 (1) f(x)sin xcos cos xsin sin x cosx. 3 3 12 32 P 是角 终边上一点，(35， 45)sin ，cos ，45 35 f( ) sin cos .12 32 45 12 35 32 4 331011(2)g(x) f(x)sin x sin x cosx，32 32根据辅助角公式
11、可得 g(x) sin ，3 (x 6) x ， 2， 2 x ， 6 3， 23故当 x ，即 x 时， g(x)有最大值 . 6 2 3 32.设函数 f(x) Asin(x ) ， xR 的部分图象如图(A0， 0， 20，T4 56 3 2所以 T2 ，得 1.2所以 f(x)2sin( x )，将点 代入，( 3， 2)得 2 k( kZ)， 3 2即 2 k( kZ)， 6又 ，所以 . 2 2 6所以 f(x)2sin .(x 6)(2)当 x 时， x ， 2， 2 6 3， 23所以 sin ，即 f(x) ，2.(x 6) 32， 1 3123.已知函数 f(x)4tan
12、xsin cos .( 2 x) (x 3) 3(1)求 f(x)的定义域与最小正周期；(2)讨论 f(x)在区间 上的单调性. 4， 4解 (1) f(x)的定义域为Error!.f(x)4tan xcosxcos (x 3) 34sin xcos (x 3) 34sin x (12cosx 32sinx) 32sin xcosx2 sin2x3 3sin2 x (1cos2 x)3 3sin2 x cos2x2sin .3 (2x 3)所以 f(x)的最小正周期 T .22(2)令 z2 x ，则函数 y2sin z 的单调递增区间是 ， kZ. 3 2 2k ， 2 2k 由 2 k2
13、x 2 k， kZ， 2 3 2得 k x k， kZ.12 512设 A ， BError!，易知 A B . 4， 4 12， 4所以当 x 时， f(x)在区间 上单调递增，在区间 上单调递 4， 4 12， 4 4， 12减.4.已知函数 f(x)的图象是由函数 g(x)cos x 的图象经如下变换得到：先将 g(x)图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)，再将所得到的图象向右平移 个单位长度. 2(1)求函数 f(x)的解析式，并求其图象的对称轴方程；(2)已知关于 x 的方程 f(x) g(x) m 在0,2)内有两个不同的解 ， ；求实数 m 的取值范围；证明：c
14、os( ) 1.2m2513(1)解 将 g(x)cos x 的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍(横坐标不变)得到y2cos x 的图象，再将 y2cos x 的图象向右平移 个单位长度得到 y2cos 的图象， 2 (x 2)故 f(x)2cos 2sin x.(x 2)从而函数 f(x)2sin x 图象的对称轴方程为 x k (kZ). 2(2)解 f(x) g(x)2sin xcos x sin(x )，5(25sinx 15cosx) 5其中 sin ，cos .15 25依题意知，若 sin(x ) 在0,2)内有两个不同的解 ， ，当且仅当 1，故 mm5 |m5|的取值范围是( ， ).5 5证明 因为 ， 是方程 sin(x ) m 在0,2)内的两个不同的解，5所以 sin( ) ，sin( ) .m5 m5当 0 m 时， 2 ，即 2( )；5 ( 2 )当 m0 时， 2 ，即 32( )，5 (32 )所以 cos( )cos2( )2sin 2( )12 21 1.(m5) 2m25
