1、1第 28 练 压轴小题专练(2)明晰考情 高 考 题 中 填 空 题 的 最 后 2 或 3 个 小 题 ， 往 往 出 现 逻 辑 思 维 深 刻 ， 难 度 高 档 的 题目 .考点一 与向量有关的压轴小题方法技巧 (1)以向量为载体的综合问题，要准确使用平面向量知识进行转化，最后归结为不含向量的问题.(2)平面向量常与三角函数、平面几何、解析几何等相结合，利用向量共线或数量积的知识解题.1.在 ABC 中，已知 9，sin Bcos AsinC， S ABC6， P 为线段 AB 上的点，且AB AC x y ，则 xy 的最大值为_.CP CA |CA |CB |CB |答案 3解析
2、 由题设 sinBsin( A C)sin AcosCcos AsinCsin CcosA，即 sinAcosC0，也即 cosC0， C90.又 bccosA9，故 b29，即 b3. ab6，故 a4， c5，12故建立如图所示平面直角坐标系 xCy，则 A(3,0)， B(0,4)，则由题设可知 P(x， y)，直线 AB 的方程为 1 且 x0， y0，x3 y4 12 ，即 xy3，当且仅当 x ， y2 时“”成立.x3 y4 xy12 322.已知点 O 是 ABC 内部一点，且满足 2 3 4 0，则 AOB， BOC， AOC 的面积OA OB OC 2之比为_.答案 423
3、解析 如图所示，延长 OA， OB， OC，使 OD2 OA， OE3 OB， OF4 OC，2 3 4 0，OA OB OC 0，OD OE OF 即 O 是 DEF 的重心，故 DOE， EOF， DOF 的面积相等，不妨令它们的面积均为 1，则 AOB 的面积为 ， BOC 的面积为 ， AOC 的面积为 ，故16 112 18AOB， BOC， AOC 的面积之比为 423.16 112 183.(2017江苏)如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为 1,1， ， 与 的夹角OA OB OC 2 OA OC 为 ，且 tan 7， 与 的夹角为 45.若 m n (m， nR)
4、，则 m n_.OB OC OC OA OB 答案 3解析 如图，过点 C 作 CD OB 交 OA 的延长线于点 D.设 m ， n ，则在 ODC 中有 OD m，OD OA DC OB DC n， OC ， OCD45，2由 tan 7，得 cos ，210又由余弦定理知，Error!即Error!3得 42 n m0，即 m105 n，代入得 12n249 n490，解得 n 或 n ，25 74 73当 n 时， m105 b0)， P(x， y)， A(x1， y1)，则x2a2 y2b2B ，( x1， y1)所以 1， 1，x2a2 y2b2 x21a2 y21b2两式相减得
5、，x2 x21a2 y2 y21b2所以 ，y2 y21x2 x21 b2a2所以直线 PA， PB 斜率的绝对值之和为 2 ，|y y1x x1| |y y1x x1| |y2 y21x2 x21| 2ba由题意得 1，2ba所以 a24 b24 a24 c2，即 3a24 c2，所以 e2 ，34又因为 00， yB0)，(m，14m2)则 S AMF 2m m.12又由 ， MN MF，MAMF 2 AMN 为等腰直角三角形， m21 m， m2，14 AMF 的面积为 2.8.在直角梯形 ABCD 中， AB AD， AD BC， AB BC2 AD2， E， F 分别为 BC， CD
6、 的中点，10以 A 为圆心， AD 为半径的圆交 AB 于点 G，点 P 在 AD上运动(如图).若 ，AP AE BF 其中 ， R，则 6 的取值范围是_.答案 2,2 2解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)， B(2,0)， E(2,1)， C(2,2)， D(0,1)， F .(1，32)设 P(cos ，sin )，其中 0 ，则 2(cos ，sin )， (2,1)， ，AP AE BF ( 1， 32) ，AP AE BF (cos ，sin ) (2,1) ，( 1，32)即Error!解得Error!6 2sin 2cos 2 sin ，2 ( 4)0 ，
7、 ， 2 4 4 3422 sin 2 ，2 ( 4) 2即 6 的取值范围是2,2 .29.在 ABC 中， A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，已知 a2 b2 c2 ab，且3acsinB2 sinC，则 _.3 CA CB 答案 3解析 由 a2 b2 c2 ab，得 2cosC ，即 cosC ，由 acsinB2 sinC，得3 332 3 ，由 ，得 ab2 ，所以 abcosC2 3.acsinBbc 23sinCbc sinBb sinCc 3 CA CB 3 321110.设 A， B， C 是椭圆 1( ab0)上的三个不同的点，若四边形 OABC(其中 O
8、为坐标x2a2 y2b2原点)为矩形，则该椭圆的离心率的最小值为_.答案 63解析 设点 A(x1， y1)， C(x2， y2)，因为四边形 OABC 为矩形，所以点 B(x1 x2， y1 y2)，则问题转化为方程组Error!存在实数解的问题，展开第三个方程，整理得 x1x2 .a2b22a2 b2易知直线 OA 和 OC 的斜率均存在，分别设为 k， ，由Error!1k得 x ，同理 x ，因此 2，令21a2b2a2k2 b2 2 a2b2k2a2 k2b2 a2b2a2k2 b2 a2b2k2a2 k2b2 a2b22a2 b2t k2，则关于 t 的二次方程 t2 t10 有正
9、解，即3(a2b2 b2a2) 8240，且 3 80，又 ab，所以 a23 b2，所以 e ，故椭圆的3(a2b2 b2a2) 8 (a2b2 b2a2) 63离心率的最小值为 .6311.已知平面向量 a， b 满足| a|，| b|，| a b|1,3，则 ab 的取值范围是_.答案 172， 94解析 如图，设平面内 a， b，| | a b|.OA OB AB 于是问题转化为在圆环 1 r3( r 为圆的半径)上的两点 A， B 之间的距离在1,3之间，求 的取值范围.OA OB 易知， 2 2，其中 M 为线段 AB 的中点.OA OB OM 14AB 又 1 29，故只需考虑
10、2的取值范围，显然当 A， B 位于半径为 3 的圆周上，且 AB 的AB OM 长度为 1 时， 2取得最大值，为 32 2 ，OM (12) 35412从而 2的取值范围是 0 2 ，因此 0 2 2 ，OM OM 354 94 OM 14AB 354 14从而 ，即 ab 的取值范围是 .94 OA OB 172 172， 9412.已知抛物线 C： y22 px(0 p4)的焦点为 F，点 P 为 C 上一动点， A(4,0)， B(p， p)，2且 PA 的最小值为 ，则 BF_.15答案 92解析 设 P(x， y)且 y22 px，则PA x 42 y2 x 42 2px ，x2 2p 8x 16根号下二次函数的对称轴为 x4 p(0,4)，所以在对称轴处取得最小值，即 ，4 p2 2p 84 p 16 15解得 p3 或 5(舍去)，经检验 p3 符合题意.所以抛物线方程为 y26 x， B(3,3 )，2易知点 B 在抛物线上，所以 BF3 .32 92
