1、1第 11 练 数 列明晰考情 1.命题角度：考查等差数列、等比数列基本量的计算，考查数列的通项及求和.2.题目难度：选择题中等偏下，填空题中档难度.考点一 等差数列与等比数列要点重组 (1)在等差数列中，若 m n p q(m， n， p， qN *)，则 am an ap aq.(2)若 an是等差数列，则 也是等差数列.Snn(3)在等差数列 an中， Sn， S2n Sn， S3n S2n也成等差数列.(4)在等比数列中，若 m n p q(m， n， p， qN *)，则 aman apaq.(5)在等比数列中， Sn， S2n Sn， S3n S2n也成等比数列( n 为偶数且 q
2、1 除外).1.(2018全国)记 Sn为等差数列 an的前 n 项和，若 3S3 S2 S4， a12，则 a5等于( )A.12 B.10C.10 D.12答案 B解析 设等差数列 an的公差为 d，由 3S3 S2 S4，得 3 2 a1 d4 a1 d，将 a12 代入3a133 12 d 22 12 44 12上式，解得 d3，故 a5 a1(51) d24(3)10.故选 B.2.已知 Sn是各项均为正数的等比数列 an的前 n 项和， a764， a1a5 a320，则 S5等于( )A.31 B.63C.16 D.127答案 A解析 设公比为 q(q0)， a1a5 a320，
3、 a a3200，即( a35)( a34)0，23 a30， a34， a7 a3q464， q2， a11.2 S5 31，故选 A.1 251 23.在数列 an中，若 a12，且对任意正整数 m， k，总有 am k am ak，则 an的前 n 项和Sn等于( )A.n(3n1) B.nn 32C.n(n1) D.n3n 12答案 C解析 依题意得 an1 an a1，即有 an1 an a12，所以数列 an是以 2 为首项、2 为公差的等差数列， an22( n1)2 n， Sn n(n1).n2 2n24.设 an是公比为 q 的等比数列，| q|1，令 bn an1( n1,
4、2，)，若数列 bn有连续四项在集合53，23,19,37,82中，则 6q_.答案 9解析 由题意知，数列 bn有连续四项在集合53，23，19,37,82中，说明 an有连续四项在集合54，24，18,36,81中，由于 an中连续四项至少有一项为负， q1， an的连续四项为24,36，54,81， q ，6 q9.36 24 32考点二 数列的通项与求和方法技巧 (1)已知数列的递推关系，求数列的通项时，通常利用累加法、累乘法、构造法求解.(2)利用 anError!求通项时，要注意检验 n1 的情况.5.数列 an满足 a10， 1( n2， nN *)，则 a2019等于( )11
5、 an 11 an 1A. B. C. D.12019 12018 20182019 20172018答案 C解析 数列 an满足 a10， 1( n2， nN *)，11 an 11 an 1 1，11 a1数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，11 an 1( n1) n，11 an3 2019，解得 a2019 .11 a2019 201820196.已知数列 an满足 a1a2a3an2 n2(nN *)，且对任意 nN *都有 100 且该数列的前 N 项和为 2 的整数幂.那么该款软件的激活码是( )A.440B.330C.220D.110答案 A解析 设首项为第 1 组，接
6、下来的两项为第 2 组，再接下来的三项为第 3 组，依此类推.则第 n 组的项数为 n，前 n 组的项数和为 .n1 n2由题意知， N100，令 100， n14 且 nN *，即 N 出现在第 13 组之后.n1 n25第 n 组的各项和为 2 n1，前 n 组所有项的和为 n2 n1 2 n.1 2n1 2 21 2n1 2设 N 是第 n1 组的第 k 项，若要使前 N 项和为 2 的整数幂，则 N 项的和即第 n1n1 n2组的前 k 项的和 2k1 应与2 n 互为相反数，即 2k12 n(kN *， n14)，klog 2(n3)， n 最小为 29，此时 k5，则 N 5440
7、.故选 A.291 29211.设等比数列 an满足 a1 a310， a2 a45，则 a1a2an的最大值为_.答案 64解析 由已知 a1 a310， a2 a4 a1q a3q5，两式相除得 ，a1 a3qa1 a3 105解得 q ， a18，12方法一 a24， a32， a41， a1a2a3 a1a2a3a4， a1a2an的最大值为 64.方法二 由 a1a2an8 n 12( n1) 27n，抛物线 f(n) 的对称轴为(12) n22 7n2n ， 722( 12) 72又 nN *，所以当 n3 或 4 时， a1a2an取最大值 2664.12.已知函数 f(x)3|
8、 x5|2| x2|，数列 an满足 a12， an1 f(an)， nN *.若要使数列 an成等差数列，则 a1的取值集合为_.答案 11， 112， 194解析 因为 f(x)Error!所以若数列 an成等差数列，则当 a1为直线 y x11 与直线 y x11 的交点的横坐标，即 a111 时，数列 an是以11 为首项，11 为公差的等差数列；当 f(a1) a1，即5a119 a1或 a111 a1，即 a1 或 a1 时，数列 an是以 0 为公差的等差数列，194 112因此 a1的取值集合为 11， 112， 194.61.在数列 an中， a11， a22，当整数 n1
9、时， Sn1 Sn1 2( Sn S1)都成立，则 S15等于( )A.210B.211C.224D.225答案 B解析 当 n1 时， Sn1 Sn Sn Sn1 2， an1 an2， n2， an1 an2， n2.数列 an从第二项开始组成公差为 2 的等差数列， S15 a1( a2 a15)1 14211.2 2822.已知数列 an满足： an1 an(12 an1 )， a11，数列 bn满足： bn anan1 ，则数列bn的前 2017 项的和 S2017_.答案 20174035解析 由 an1 an(12 an1 )，可得 2，1an 1 1an所以数列 是首项为 1，
10、公差为 2 的等差数列，1an故 1( n1)22 n1，所以 an .1an 12n 1又 bn anan1 ，12n 12n 1 12( 12n 1 12n 1)所以 S201712(1 13 13 15 14033 14035) .12 40344035 201740353.已知数列 an满足 a133， an1 an2 n，则 的最小值为_.ann答案 212解析 由题意，得 a2 a12，a3 a24， an an1 2( n1)， n2，累加整理可得 an n2 n33， n2，7当 n1 时， a133 也满足， n 1( nN *).ann 33n由函数 f(x) x 1( x
11、0)的单调性可知，33x的最小值为 f(5)， f(6)中较小的一个.ann又 f(6) ， f(5) ，212 535 min .(ann) 212解题秘籍 (1)利用 an Sn Sn1 寻找数列的关系，一定要注意 n2 这个条件.(2)数列的最值问题可以利用基本不等式或函数的性质求解，但要考虑最值取到的条件.1.等差数列 an的首项为 1，公差不为 0.若 a2， a3， a6成等比数列，则 an的前 6 项和为( )A.24 B.3C.3 D.8答案 A解析 由已知条件可得 a11， d0，由 a a2a6，可得(12 d)2(1 d)(15 d)，23解得 d2.所以 S661 24
12、.65 222.已知在等比数列 中，各项都是正数，且 a1， a3，2 a2成等差数列，则 等于( )an12 a9 a10a7 a8A.1 B.12 2C.32 D.322 2答案 C解析 a1， a3，2 a2成等差数列，12 a32 a12 a2，12即 a1q2 a12 a1q，又 a10， q212 q，解得 q1 或 q1 (舍).2 28 q2(1 )232 .a9 a10a7 a8 a1q81 qa1q61 q 2 23.已知数列 an满足 an1 an2， a15，则| a1| a2| a6|等于( )A.9 B.15C.18 D.30答案 C解析 由 an1 an2 可得数
13、列 an是等差数列，公差 d2，又 a15，所以 an2 n7，所以| a1| a2| a3| a4| a5| a6|53113518.4.已知两个等差数列 an和 bn的前 n 项和分别为 An和 Bn，且 ，则使得 为整数AnBn 7n 45n 3 anbn的正整数 n 的个数是( )A.2 B.3C.4 D.5答案 D解析 anbn 2an2bn2n 1a1 a2n 122n 1b1 b2n 12 A2n 1B2n 1 14n 382n 2 7n 19n 17 ，12n 1验证知，当 n1,2,3,5,11 时 为整数.anbn5.在数列 an中，已知 a1 a2 an2 n1，则 a
14、a a 等于( )21 2 2nA.(2n1) 2 B.2n 13C.4n1 D.4n 13答案 D解析 设 Sn为 an的前 n 项和， Sn a1 a2 an2 n1，当 n2 时，Sn1 2 n1 1， an2 n1(2 n1 1)2 n1 ， a 4 n1 ，当 n1 时， a11 也符合上式，2n所以 a a a .21 2 2n1 4n1 4 4n 136.设 Sn是等比数列 an的前 n 项和，若 3，则 等于( )S4S2 S6S49A.2 B.73C. D.1 或 2310答案 B解析 设 S2 k，则 S43 k，由数列 an为等比数列(易知数列 an的公比 q1)，得 S
15、2， S4 S2， S6 S4为等比数列，又 S2 k， S4 S22 k， S6 S44 k， S67 k， ，故选 B.S6S4 7k3k 737.(2018唐山模拟)设 an是任意等差数列，它的前 n 项和、前 2n 项和与前 4n 项和分别为X， Y， Z，则下列等式中恒成立的是( )A.2X Z3 Y B.4X Z4 YC.2X3 Z7 Y D.8X Z6 Y答案 D解析 根据等差数列的性质 X， Y X， S3n Y， Z S3n成等差数列， S3n3 Y3 X，又 2(S3n Y)( Y X)( Z S3n)，4 Y6 X Y X Z3 Y3 X，8 X Z6 Y.8.在数列 a
16、n中， a11， an an1 (n2，且 n N*)，则 an等于( )1nn 1A.2 B.11n 1nC. D.21n 1n 1答案 A解析 an an1 ， n2，1nn 1 a2 a1 1 ， a3 a2 ，112 12 123 12 13a4 a3 ，134 13 14an an1 ，1n 1 1n10以上各式累加得 an a11 .1n又 a11， an2 .1n当 n1 时，上式也成立，故选 A.9.公差不为 0 的等差数列 an的部分项 1k， 2a， 3k，构成等比数列，且k11， k22， k36，则 k4_.答案 22解析 根据题意可知，等差数列的 a1， a2， a6
17、项成等比数列，设等差数列的公差为 d，则有(a1 d)2 a1(a15 d)，解得 d3 a1，故 a24 a1， a616 a1，所以 4k a1( k41)(3 a1)64 a1，解得 k422.10.已知数列 an满足 a10， an1 an2 1，则 a13等于_.an 1答案 168解析 由 an1 an2 1 可知，an 1an1 1 an12 1( 1) 2，an 1 an 1 1.an 1 1 an 1又 1，故数列 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，a1 1 an 1 n，an 1 13，则 a13168.a13 111.古代数学著作九章算术有如下问题：“今有女子善织，日
18、自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的 2 倍，已知她 5 天共织布5 尺，问这个女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第 3 天所织布的尺数为_.答案 2031解析 设这个女子每天分别织布 an尺，则数列 an是等比数列，公比 q2.则 5，a125 12 1解得 a1 .531所以 a3 22 .531 203112.对于正项数列 an，定义 Hn 为 an的“光阴”值，现知某数列na1 2a2 3a3 nan的“光阴”值为 Hn ，则数列 an的通项公式为_.2n 211答案 an (nN *)2n 12n解析 由 Hn 可得na1 2a2 3a3 nana12 a23 a3 nan ，nHn nn 22所以 a1 ， a12 a23 a3( n1) an1 (n2)，32 n 1n 12得 nan ，nn 22 n 1n 12 2n 12所以 an ， n2.2n 12n又当 n1 时， a1 也满足上式，32所以 an ， nN *.2n 12n
