1、1压轴小题组合练(C)1.已知 f(x)是定义在 R上的偶函数， f(x1)为奇函数， f(0)0，当 x(0,1时， f(x)log 2x，则在区间(8,9)内满足方程 f(x)2 f 的实数 x的值为_.(12)答案 658解析 f(x1)为奇函数，则 f(x1) f( x1)，即 f(x) f(2 x).当 x(1,2)时，2 x(0,1)， f(x) f(2 x)log 2(2 x).又 f(x)为偶函数，即 f(x) f( x)， f( x) f( x2)， f(x) f(x2) f(x4)，故 f(x)是以 4为周期的函数. f(1)0，当 81时， g(x)单调递增，此时g(x)
2、 ；当 x1 时， g(x)单调递减，此时 g(x) ，32 32所以当 t 时， y g(x) t有且只有一个零点.32， 325.设 A， B分别为双曲线 1( a0， b0)的左、右顶点， P是双曲线上不同于 A， B的x2a2 y2b2一点，设直线 AP， BP的斜率分别为 m， n，则 2ln 2ln 取得最小值时，双4ba ab 12mn |m| |n|曲线的离心率为_.答案 52解析 设 A( a,0)， B(a,0), P(x0， y0)，点 P在双曲线上，得 1，x20a2 y20b23所以 kPAkPB ，y0x0 a y0x0 a y20x20 a2 b2a2即 mn ，
3、b2a2 2ln| m|2ln| n|4ba ab 12mn4 2ln ，12mn |mn|设函数 f 2ln x (x0), f ，所以 f(x)在区间 上单调递减，(x)12x (x) 2x 12x2 4x 12x2 (0， 14)在区间 上单调递增. f(x)min f ，(14， ) (14)即 mn ，又基本不等式等号成立的条件为当且仅当 a24 b2，b2a2 14所以 e .1 (ba)2 526.函数 f(x)Error!若关于 x的方程 f(x) kx k至少有两个不相等的实数根，则实数 k的取值范围为_.答案 (1，)13， 1)解析 作函数图象(如图所示)，可得直线 y
4、kx k过定点(1,0)，当 y kx k过点时，直线的斜率最小，即 k ，当直线 y kx k与 y x2 x(x0)相切时有且仅(12， 12) 13有一个交点，交点即为切点(1,0)， k y| x1 1，故当函数 f(x)与直线 y kx k至少有两个不同的交点时， k的取值范围为 (1，)，即关于 x的方程 f(x) kx k至13， 1)少有两个不相等的实数根，则实数 k的取值范围为 (1，).13， 1)7.已知函数 f(x)2 x1 a， g(x) bf(1 x)，其中 a， bR.若关于 x的不等式 f(x) g(x)的解的最小值为 2，则 a的取值范围是_.答案 (，2 (
5、14， )4解析 因为 g(x) b(2 x a)，所以 2x1 a ab，即(2 x)22 a(b1)2 x2 b0.由b2x“二次不等式与二次方程的根的关系”知，关于 2x的方程(2 x)22 a(b1)2 x2 b0 中2x的值分别为 4， ，因为 2x取正值，要想 2x最小为 4，需满足 0，即 b0.又因为b2 b24 2 a(b1)，所以 b 0，解得 a2 或 a .b2 4a 24a 1 148.在矩形 ABCD中， AB1， AD2，动点 P在以点 C为圆心且与 BD相切的圆上.若 ，则 的最大值为_.AP AB AD 答案 3解析 建立如图所示的平面直角坐标系，则 C点坐标
6、为(2,1). 设 BD与圆 C切于点 E，连结 CE，则 CE BD. CD1， BC2， BD ，12 22 5EC ，BCCDBD 25 255即圆 C的半径为 ，255 P点的轨迹方程为( x2) 2( y1) 2 .45设 P(x0， y0)，则Error!( 为参数)，而 ( x0， y0)， (0,1)， (2,0).AP AB AD (0,1) (2,0)(2 ， )，AP AB AD x01 cos ， y01 sin .12 55 255两式相加，得 1 sin 1 cos 2sin( )255 553 ，(其 中 sin 55， cos 255)当且仅当 2 k ， kZ
7、 时， 取得最大值 3.259.在 ABC中，角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，若 ABC为锐角三角形，且满足b2 a2 ac，则 的取值范围是_.1tan A 1tan B答案 (1，233)解析 方法一 原式可化为 1tan A 1tan B cos Asin A cos Bsin B sin Bcos A cos Bsin Asin Asin B.由 b2 a2 ac，得 b2 a2 ac a2 c22 accos B，即 a c2 acos B，也就是sinB Asin Asin Bsin Asin C2sin AcosB，即 sin Asin( A B)2sin Ac
8、osBsin( B A)，由于ABC为锐角三角形，所以有 A B A， 即 B 2A， 故 ， 在 锐 角 三 角 形1tan A 1tan B 1sin BABC中 ， 易 知 a，即 1，在锐角三角形 ABC中有 b2 a2c2，则 a2 a2 acc2，即 2 20，ca (ca) ca解得1 2，因此，1 2.ca ca而 1tan A 1tan B AD BDCD aa2 (c a2 )2 .11 14(ca 1)2 (1， 233)10.已知 Sn为数列 an的前 n项和， a11,3 Sn( n2) an，则 的值是1a1 1a2 1a3 1a100_.答案 200101解析 3
9、 Sn( n2) an，当 n2 时，3 Sn1 ( n1) an1 ，两式相减得 3an( n2) an( n1) an1 ，6 ，anan 1 n 1n 1 an a1 1 (n2)，当a2a1 a3a2 an 1an 2 anan 1 31 42 nn 2 n 1n 1 nn 12n1 时， 1 a1满足上式，故数列 an的通项公式为 an (nN *)， 122 nn 12 1an2 ， 2 2 2 .2nn 1 (1n 1n 1) 1a1 1a2 1a3 1a100 (11 12) (12 13) (1100 1101) 20010111.(2018江苏省高考冲刺预测卷)已知菱形 A
10、BCD的边长为 2， BAD120，点 E， F分别在边 BC， DC上， ， .若 1， ，则BE BC DF DC AE AF CE CF 23 _.答案 56解析 ，AE AB BE AB BC ，AF AD DF AD DC ( )( )AE AF AB BC AD DC 22cos 120AB AD AD BC AB DC BC DC 4 4 (22cos 120)24( )2 1， (1 ) (1 ) 2(1 )(1 ) ，CE CF CB CD 23即 ( ) ，23Error!解得 .5612.在平面直角坐标系 xOy中，直线 l1： kx y20 与直线 l2： x ky20
11、 相交于点 P，则当实数 k变化时，点 P到直线 x y40 的距离的最大值为_.答案 3 2解析 当 k0 时，点 P(2,2)到直线 x y40 的距离为 2 ；当 k0 时，解方程组Error!得27两直线交点 P的坐标为 ，(2 2k1 k2， 2 2k1 k2)所以点 P到直线 x y40 的距离为|2 2k1 k2 2 2k1 k2 4|2 ，为求得最大值，考虑正数 k，则有 ，当且仅当 k1 时取等4| k1 k2 1|2 k1 k211k k 12号，所以 3 .4| k1 k2 1|24322 213.在平面直角坐标系中，定义 d(P， Q)| x1 x2| y1 y2|为两
12、点 P(x1， y1)， Q(x2， y2)之间的“折线距离”.则下列命题中：若 A(1,3)， B(1,0)，则有 d(A， B)5；到原点的“折线距离”等于 1的所有点的集合是一个圆；若 C点在线段 AB上，则有 d(A， C) d(C， B) d(A， B)；到 M(1,0)， N(1,0)两点的“折线距离”相等的点的轨迹是直线 x0.真命题的个数为_.答案 3解析 由题意中 d(A， B)|11|30|5，所以对；中设 P(x， y)， d(P， O)| x0| y0|1，即| x| y|1，是一个正方形，错；中，由于 C点在线段 AB上，由绝对值的几何意义可知， d(A， C) d(
13、C， B) d(A， B)，所以对；中，设动点P(x， y)，则 d(M， P) d(N， P)，即| x1| y| x1| y|，解得 x0，所以对.14.已知函数 f(x)的定义域为 R，若存在常数 k，使| f(x)| |x|对所有实数都成立，k2 017则称函数 f(x)为“期望函数” ，给出下列函数： f(x) x2； f(x) xex； f(x) ； f(x) .xx2 x 1 xex 1其中函数 f(x)为“期望函数”的是_.(写出所有符合条件的函数序号)答案 解析 假设函数 f(x) x2为“期望函数” ，则| f(x)| x2| |x|，当 x0 时，k2 017k2 017
14、| x|，因此不存在 k，因此假设错误，即函数 f(x) x2不是“期望函数” ；假设函数 f(x) xex为“期望函数” ，则| f(x)| xex| |x|，当 x0 时， k2 017ex，因此k2 0178不存在 k，因此假设错误；假设函数 f(x) 为“期望函数” ，| f(x)|xx2 x 1 |x|，当 x0 时，对任意的 ，都有| f(x)| |x|成立，当 x0|x|(x 12)2 34 43 k2 017 43 k2 017时，| f(0)|0，对任意常数 k都满足，故正确；假设函数 f(x) 为“期望函数” ，xex 1|f(x)| |x|对所有实数都成立，故正确.故答案为.|x|ex 1 k2 017
