1、1第 14 练 不等式明晰考情 1.命题角度：不等式的性质， “二次函数、二次方程、二次不等式”的相互转化，基本不等式及其应用，线性规划.2.题目难度：基本不等式和三个“二次”高考中会综合考查，中高档难度；不等式的性质和线性规划为基础题，中低档难度.考点一 不等关系与不等式的性质要点重组 不等式的常用性质(1)如果 ab0， cd0，那么 acbd.(2)如果 ab0，那么 anbn(nN， n2).(3)如果 ab0，那么 (nN， n2).nanb1.若 m3 且 n2，则 M m2 n26 m4 n 的值与13 的大小关系为_.答案 M13解析 m3 且 n2， M( m3) 2( n2
2、) 21313.2.(2018无锡月考)若 P ， Q (a0)，则 P， Q 的大小关系是a 3 a 2 a 2 a 1_.答案 P0，所以(a 2 a 1) (a 3 a 2)1a 2 a 1 1a 3 a 2Pb，则 acbc；若 ab，则 ac2bc2；2若 aabb2；若 a ；1a1b若 a .baab其中真命题的序号为_.答案 解析 因为未知数 c 可以是正数、负数或零，所以无法确定 ac 与 bc 的大小，所以是假命题；因为 c20，所以只有 c20 时才正确.当 c0 时， ac2 bc2，所以是假命题；由aab； ab2，所以是真命题；由性质定理知，由 a1a，命题是真命题
3、；由 a ，命题是假命题.abba考点二 不等式的解法方法技巧 (1)解一元二次不等式的步骤一化(二次项系数化为正)，二判(看判别式 )，三解(解对应的一元二次方程)，四写(根据“大于取两边，小于取中间”写出不等式解集).(2)可化为 0(或0)型的分式不等式，转化为一元二次不等式求解 .fxgx(3)指数不等式、对数不等式可利用函数单调性求解.5.函数 y 的定义域是_.3 2x x2答案 3,1解析 要使原函数有意义，需且仅需 32 x x20.解得3 x1.故函数的定义域为3,1.6.(2018启东检测)若关于 x 的不等式2 x22 ax5 a 的解集是1，3，则实数 a 的值是_.答
4、案 2解析 因为关于 x 的不等式2 x22 ax5 a 的解集是1，3，所以2 x22 ax5 恒成立且 x22 ax5 a 的两根为 1,3，所以Error!所以 a2.7.若关于 x 的不等式 ex(x2 ax a)e a在 a，)上有解，则正数 a 的取值范围是_.答案 (0，123解析 令 f(x)e x(x2 ax a)， x a，)，不等式 ex(x2 ax a)e a在 a，)上有解，即 f(x)mine a.f( x)e xx2( a2) x2 ae x(x2)( x a)， a0，则 f( x)0 在 a，)上恒成立，则 f(x)在 a，)上单调递增，所以 f(x)min
5、f(a)e a(2a2 a)e a，所以2a2 a10，解得1 a ，又 a0，则 04x a3 恒成立的 x 的取值范围是_.答案 (，1)(3，)解析 原不等式可化为 x2 ax4 x a30，即 a(x1) x24 x30，令 f(a) a(x1) x24 x3，则函数 f(a) a(x1) x24 x3 表示直线，要使 f(a) a(x1) x24 x30 在 a0,4上恒成立，则有 f(0)0，且 f(4)0，即 x24 x30 且x210，解得 x3 或 x0， 1 0，1a 1b 1b 1a b1， a1，则 2 2 6(当且仅当 a ， b4 时等号成立)，1a 1 9b 1
6、9a 1b 1 9ab a b 1 43 的最小值为 6.1a 1 9b 110.(2018江苏盐城市阜宁中学调研)已知 2 且 b1，则 b4 a 的最小值为1a 1 1b 1_.答案 72解析 令 m ， n ，则 a 1， b 1，1a 1 1b 1 1m 1nm n2，由 b1 得， m0， n0，4b4 a 14 3 3 3 31n (1m 1) 1n 4m (1n 4m) m n2 12(mn 4nm 5) 12(24 5) 72，当且仅当 m4， n2 时等号成立. b4 a 的最小值为 .7211.已知 a0， b0，若不等式 0 恒成立，则实数 m 的最大值为_.m3a b
7、3a 1b答案 16解析 因为 a0， b0，所以由 0 恒成立，得 m (3a b)10 m3a b 3a 1b (3a 1b) 3ba恒成立.3ab因为 2 6，3ba 3ab 3ba3ab当且仅当 a b 时等号成立，所以 10 16，3ba 3ab所以 m16，即实数 m 的最大值为 16.12.(2018盐城月考)若 x0， y0，且 x y 9，则 的最大值为_.1x 4y 1x 4y答案 9 352解析 由题意并根据基本不等式可知，(x y)14 9(当且仅当 y2 x 时等号成立)，(1x 4y) yx 4xy由 x y 9，1x 4y可得( x y)9 ，(1x 4y)故 (
8、x y)9，所以 29 9，9 (1x 4y)(1x 4y) (1x 4y) (1x 4y) (1x 4y)解得 ，9 352 1x 4y 9 352故 的最大值为 .1x 4y 9 3525考点四 简单的线性规划问题方法技巧 (1)求目标函数最值的一般步骤：一画二移三求.(2)常见的目标函数截距型： z ax by；距离型： z( x a)2( y b)2；斜率型： z .y bx a13.(2018盐城调研)若变量 x， y 满足约束条件Error!则 z3 x y 的最大值为_.答案 9解析 作出可行域(阴影部分包含边界)如图所示：可知当目标函数经过点 A(2,3)时取得最大值，故最大值
9、为 9.14.设实数 x， y 满足约束条件Error!则 z 的最大值是_.yx答案 1解析 满足条件Error!的可行域如图阴影部分(包括边界)所示.z 表示可行域内的点( x， y)与(0,0)连线的斜率，yx由图可知，最大值为 kOA 1.2215.已知圆 C：( x a)2( y b)21，平面区域 ：Error!若圆心 C ，且圆 C 与 x 轴相切，则 a2 b2的最大值为_.答案 37解析 如图，由已知得平面区域 为 MNP 内部及边界.圆 C 与 x 轴相切， b1.6显然当圆心 C 位于直线 y1 与 x y70 的交点(6,1)处时，| a|max6. a2 b2的最大值
10、为 621 237.16.已知实数 x， y 满足Error!若目标函数 z2 x y 的最大值与最小值的差为 2，则实数 m 的值为_.答案 2解析 Error! 表示的可行域如图中阴影部分(包含边界)所示.将直线 l0：2 x y0 向上平移至过点 A， B 时，z2 x y 分别取得最小值与最大值.由Error! 得 A(m1， m)，由Error! 得 B(4 m， m)，所以 zmin2( m1) m3 m2，zmax2(4 m) m8 m，所以 zmax zmin8 m(3 m2)2，解得 m2.1.在区间(1,2)上不等式 x2 mx40 有解，则 m 的取值范围为_.答案 (5
11、，)解析 由题意知， m 在(1,2)上有解，(x4x)又函数 t ， x(1,2)的值域为(5，4)，(x4x) m5.2.已知 a0， b0，则 的最小值是_.b2 2a b a2ab 1答案 27解析 当 a b ab1 时， b2 2a b a2ab 1 b2 2a b a2a b a2 b2 2a b a2 1 b2 1a b2，2a 2ba b当且仅当 a b1 时等号都成立；当 a b 2，b2 2a b a2ab 1b2 2ab 1 a2ab 1 a2 b2 2ab 1 2ab 2ab 1故 的最小值是 2.b2 2a b a2ab 13.当 x(0,1)时，不等式 m 恒成立
12、，则 m 的最大值为_.41 x 1x答案 9解析 方法一 (函数法)由已知不等式可得m ，1x 41 x设 f(x) ， x(0,1).1x 41 x 1 x 4xx1 x 3x 1 x2 x令 t3 x1，则 x ， t(1,4)，t 13则函数 f(x)可转化为g(t) t (t 13 )2 t 13t 19t2 59t 49 ，9t t2 5t 4 9 (t 4t) 5因为 t(1,4)，所以 4 t 0 的解集是 ，则关于 x( ， 1)的不等式 0 的解集是_.ax bx 2答案 (1,2)解析 由题意可得 a b0，且 a0 的解集为(1,2).ax bx 24.(2018江苏南
13、京金陵中学月考)若实数 x， y 满足条件Error!则 z4 x2 y 的取值范围为_.答案 5,13解析 x， y 满足条件Error!即Error!画出可行域如图阴影部分包含边界.根据可行域可知，目标函数 z4 x2 y 在 A 点处取得最小值，在 C 点处取得最大值，A ， C ，所以 z4 x2 y 的取值范围为5,13.(12， 32) (72， 12)5.若实数 x， y 满足 xy3 x3 ，则 的最小值为_.(0 x12) 3x 1y 3答案 8解析 方法一 因为实数 x， y 满足 xy3 x3 ，所以 y 3( y3)，(0 x12) 3x所以 y3 y3 62 68，当
14、且仅当3x 1y 3 1y 3 1y 3 y 31y 3y3 ，即 y4 时取等号，此时 x ，所以 的最小值为 8.1y 3 37 3x 1y 310方法二 因为实数 x， y 满足 xy3 x3 ，所以 y 3( y3)， y3 60，(0 x12) 3x 3x所以 6 62 68，当且仅当 6 ，3x 1y 3 3x 13x 6 3x 13x 6 (3x 6)13x 6 3x 13x 6即 x 时取等号，此时 y4，所以 的最小值为 8.37 3x 1y 36.若变量 x， y 满足条件Error!则( x2) 2 y2的最小值为_.答案 5解析 如图所示，作出不等式组所表示的可行域(阴
15、影部分).设 z( x2) 2 y2，则 z 的几何意义为可行域内的点到定点 D(2,0)的距离的平方，由图象可知， C， D 两点间的距离最小，此时 z 最小，由Error! 可得Error!即 C(0,1).所以 zmin(02) 21 2415.7.已知 a0， b1， a b2，则 的最小值是_.12a 2b 1答案 92解析 2 2 ，当且仅当 12a 2b 1 (12a 2b 1)(a b 1) 12 b 12a 2ab 1 52 92 b 12a，即 b12 a，又 a b2，所以 a ， b 时取等号.2ab 1 13 538.(2018连云港检测)已知函数 f(x) ，若 a
16、1，由 ，|2a 1 1| |2b 1 1|得 12 a1 2 b1 1，2 a1 2 b1 2，2a1 2，2b 12 2b 1211所以 23 3 ，32a 12b 12 2b 12 32a 2b 34可得 2a2 b3 ， a2 b3log 2 53log 23，2533 2533即 a2 b83log 23，当且仅当 2a1 ， a b1 时等号成立，2b 12即 a2 b 的最大值为 83log 23.129.(2018江苏溧水七校联考)已知直线 ax by1(其中 a， b 为非零实数)与圆 x2 y242相交于 A， B 两点， O 为坐标原点，且 AOB ，则 的最小值为_.2
17、3 1a2 2b2答案 8解析 直线 ax by1(其中 a， b 为非零实数)与圆 x2 y24 相交于 A， B 两点，且2 AOB ，23圆心 O(0,0)到直线 ax by1 的距离2d 1，化为 2a2 b21.12a2 b2 (2a2 b2)22 42 8，当且仅当 b22 a2 时1a2 2b2 (1a2 2b2) b2a2 4a2b2 b2a24a2b2 12取等号. 的最小值为 8.1a2 2b210.在平行四边形 ABCD 中， BAD60， AB1， AD ， P 为平行四边形内一点，且2AP ，若 ( ， R)，则 的最大值为_.22 AP AB AD 2答案 63解析
18、 由题意得 ( 0， 0)，AP AB AD | |2( )2 2| |2 2| |22 AP AB AD AB AD AB AD 2| |2 2| |22 | | |cos BAD.AB AD AB AD 又 AP ， BAD60， AB1， AD ，22 2 22 2 .12 2( )2 22 22 2，2 212 2 12 ( 22 )解得( )2 ，223 ，263当且仅当 且 22 2 ，212 2即 ， 时等号成立.66 3613故 的最大值为 .26311.若不等式(1) na3 对任意的正整数 n 恒成立，则实数 a 的取值范围是( 1)n 1n 1_.答案 3，83)解析 当
19、 n 为奇数时，不等式可化为 a3 ，1n 1要使得不等式对任意正整数 n 恒成立，则 a3，当 n 为偶数时，不等式可化为 a3 ，1n 1要使得不等式对任意正整数 n 恒成立，则 a min3 ，(31n 1) 13 83综上，3 a .83即实数 a 的取值范围是 . 3，83)12.(2018连云港检测)已知实数 a， b 满足 a b1，则 的最大值是(a3 1)(b3 1)_.答案 4解析 将原式展开得到( a31)( b31) a3b3 b3 a31 a3b3 a2 ab b21 a3b323 ab1(a b) a3b33 ab2，实数 a， b 满足 a b1，则 ab ，当且
20、仅当 a b 时，取等号，14 12设 t ab ，则 y t33 t2， t ，( ，14 ( ， 14y3( t21)，函数在 上是增函数，( ， 1)在 上是减函数，( 1，14)故 y t33 t2， t 在 t1 处取得最大值 4.( ，1413.(2018江苏如东高级中学检测)已知 a, b 均为正数，且 ab a4 b，则 b2 的a216 8a 2b14最小值为_.答案 6解析 由 a， b 均为正数，且 ab a4 b，则 1，4a 1b又由 b2 b2 b22，a216 8a 2b a216 (8a 2b) a216 b 2 224，a4 (4a 1b)(a4 b) 4ba a4b当且仅当 ，即 a8， b2 时取等号，4ba a4b所以 216，当且仅当 a8， b2 时取等号，(a216 b2)(1 1) (a4 b)所以 b28，所以 b226.a216 a216
