1、1压轴小题组合练(B)1.已知函数 f(x)Error!当 x(， m时， f(x)的取值范围为16，)，则实数 m的取值范围是_.答案 2,8解析 当 x0 时， f(x)12 x x3，所以 f( x)123 x2.令 f( x)0，则 x2(正值舍去)，所以当 x(，2)时， f( x)0，此时 f(x)单调递减；当 x(2,0时，f( x)0，此时 f(x)单调递增，故函数 f(x)在 x0 时的极小值为 f(2)16.当 x0时， f(x)2 x 单调递减， f(0)0， f(8)16，因此，根据 f(x)的图象可得 m2,8.2.已知 G 是 ABC 的重心，过点 G 作直线 MN
2、 分别与 AB， AC 交于点 M， N，且 x ， yAM AB AN (x， y0)，则 3x y 的最小值是_.AC 答案 43 233解析 如图， M， N， G 三点共线， ，MG GN ( ), AG AM AN AG G 是 ABC 的重心， ( )，AG 13AB AC ( ) x ，13AB AC AB yAC 13AB AC Error!2解得(3 x1)(3 y1)1.结合图象可知 x1， y1.12 12令 3x1 m,3y1 n ，(12 m 2， 12 n 2)故 mn1， x ， y ，1 m3 1 n3故 3x y1 m m 2 ，1 n3 43 n3 43 1
3、3mn 43 233当且仅当 m ， n 时等号成立.33 33.已知函数 f(x)Error!若函数 y f(x) m 有两个不同的零点 x1， x2，且 x1 x20，当 y ax5 与y4 x2(x0，得 a2，符合题意；当y ax5 经过(2,0)时， a 也符合题意.若 a0)相切52时，设切点为( x0,5 0ex)， x00，则切线方程为 y(5 0ex) 0x(x x0)，代入点(0,5)得3x01，此时 ae，符合题意；当 y ax5 经过(ln 5,0)时， a 也符合题意.5ln 5当 a0 时，两图象有两个交点，不合题意.综上，满足条件的所有实数 a 的取值集合为. e
4、， 5ln 5， 2， 525.已知 M， N 为椭圆 1( ab0)上关于长轴对称的两点， A， B 分别为椭圆的左、右顶x2a2 y2b2点，设 k1， k2分别为直线 MA， NB 的斜率，则| k14 k2|的最小值为_.答案 4ba解析 设 M(x0， y0)， N(x0， y0)， k1 ， k2 ，y0x0 a y0x0 a ，|k1 4k2| |y0x0 a 4y0x0 a| | y0x0 a 4y0 x0 a| k14 k2| |y0x0 a 4y0 x0 a|2 4 ，y0x0 a4y0 x0 a y20a2 x20由题意得 y (a2 x )，20b2a2 20所以| k
5、14 k2|4 4 .y20a2 x20 b2a2a2 x20a2 x20 4ba6.在 ABC 中，若 sin2Asin 2Bsin 2C sin AsinB，则 sin 2Atan2B 的最大值是2_.答案 32 2解析 由正弦定理，得 a2 b2 c2 ab，2由余弦定理，得 cosC ，a2 b2 c22ab 220 C， C ， A B,2A 2 B, 34 4 24sin 2 Atan2Bcos 2 Bsin2Bcos2B(2cos2B 1)(1 cos2B)cos2B3 32(2cos2B1cos2B) 2cos2B1cos2B32 ，当且仅当 cos2B 时取等号，222即 s
6、in 2Atan2B 的最大值是 32 .27.双曲线 1( a0， b0)的左、右焦点分别为 F1， F2，过 F2的直线与双曲线的右支x2a2 y2b2交于 A， B 两点，若 F1AB 是以 A 为直角顶点的等腰直角三角形，则 e2_.答案 52 2解析 设 AF1 AB m，则 BF1 m，2AF2 m2 a， BF2 m2 a，2 AB AF2 BF2 m， m2 a m2 a m，2解得 4a m，2 AF2 m，(122)在 Rt AF1F2中，由勾股定理得 4c2 m2.(52 2)4 a m，24 c2 8a2，(52 2) e252 .28.已知抛物线 x24 y 的焦点为
7、 F，双曲线 1( a0， b0)的右焦点为 F1 ，过点x2a2 y2b2 (c， 0)F， F1的直线与抛物线在第一象限的交点为 M，且抛物线在点 M 处的切线与直线 y x 垂3直，则 ab 的最大值为_.答案 32解析 由题意可知，直线 FF1的方程为 y x1，1c由Error! 得 xM ， 2 21 c2c5又由 x24 y，即 y x，12因此 1， 1 1 c2c ( 3)即 c ，所以 a2 b23，3又 a2 b22 ab，即 32 ab，当且仅当 a b 时取等号，即( ab)max .62 329.点 M(3,2)到抛物线 C： y ax2(a0)准线的距离为 4，
8、F 为抛物线的焦点，点 N(1,1)，当点 P 在直线 l： x y2 上运动时， 的最小值为_.PN 1PF答案 2 24解析 点 M(3,2)到抛物线 C： y ax2(a0)准线的距离为 4，2 4， a ，14a 18抛物线 C： x28 y，直线 l： x y2 与 x 轴交于 A(2,0)，则 FA l，且点 N， A， F 三点共线，设 AP t，则 AN ， AF2 ， PN ，2 2 t2 2PF ，t2 8设 1 m(m 1)，则 ，t2 2 2PN 1PF t2 2 1t2 8 mm 12 6 17(1m 17)2 67 m 1，即 t0 时， 的最小值为 .2PN 1P
9、F 2 2410.在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 为函数 y2ln x 的图象与圆 M：( x3) 2 y2 r2的公共点，且它们在点 P 处的切线重合.若二次函数 y f(x)的图象经过点 O， P， M，则 y f(x)的最大值为_.答案 98解析 设 P(x0,2ln x0)(x00)，则函数 y2ln x 的图象在点 P 处的切线的斜率为 ，2x0则 1，2x0 2ln x0x0 3即 4ln x0 x0(x03). 由二次函数 y f(x)的图象经过点 O 和 M，可设 f(x) ax(x3)，将点 P(x0,2ln x0)(x00)代入，6得 2ln x0 ax0(x03)
10、. 由和可得 a ，则 f(x) x(x3)，则 y f(x)的最大值 f(x)12 12max f .(32) 12 32 ( 32) 9811.在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c.若对任意 R，不等式| - |BC BA | |恒成立，则 的最大值为_.BC cb bc答案 5解析 由题意知 cosA ， b2 c22 bccos A a2.对任意 R，不等式| b2 c2 a22bc BC | |恒成立(| |)min| |恒成立 BC 边上的高 h 大于等于| |恒成立BA BC BC BA BC BC h a， S ABC ah bcsinA a2，
11、a2 bcsin A， b2 c22 bccos A bcsinA，由12 12 12此可知 2cos Asin A sin(A )，其中 tan 2，当 sin(A )1 时， cb bc 5 cb取得最大值 .bc 512.如图，在平面直角坐标系中，分别在 x 轴与直线 y (x1)上从左向右依次取点33Ak， Bk， k1,2，其中 A1是坐标原点，使 AkBkAk1 都是等边三角形，则 A10B10A11的边长是_.答案 512解析 设第 n 个正三角形的边长为 an，则点 B1 在直线 y (x1)上，(12a1， 3a12 ) 33从而 a1 ，解得 a11，32 33(12a1
12、1)当 n2 时， Bn .(a1 a2 an 112an， 32an)因为 Bn在直线 y (x1)上，33所以 an ，32 33(a1 a2 an 1 12an 1)7即 an a1 a2 an1 1，从而 an1 a1 a2 an1，两式相减得 an1 2 an(n2)，又 a2 a112，故 an是以 a11 为首项， q2 为公比的等比数列，从而 A10B10A11的边长为 a102 9512.13.已知 a0， b0， c2，且 a b2，则 的最小值为_.acb cab c2 5c 2答案 10 5解析 因为 a0， b0，所以 ，当且仅当 b a 时等号成ab 1ab 12
13、ab a b24ab 12 ab a2 2ab b24ab 12 5a4b b4a 52 5立.又因为 c2，由不等式的性质可得 c c .acb cab c2 5c 2 (ab 1ab 12) 5c 2 52 5c 2又因为 c (c2) ，当且仅当 c2 时等号成立.52 5c 2 52 5c 2 5 10 5 2所以 的最小值为 .acb cab c2 5c 2 10 514.已知函数 f(x) xex1， g(x)ln x kx(kR)，且 f(x) g(x)对任意的 x(0，)恒成立，则实数 k 的最大值为_.( 1.65，ln 20.69)e答案 1解析 由 f(x) g(x)对
14、任 意 的 x (0， )恒 成 立 ， 得 xex 1 lnx kx 对 任 意 的x (0， )恒 成 立 ， 令 h(x) xex 1 lnx， x (0， )， 则 h (x) (x 1)ex ， 易1x得 h (x)在 (0， )上单调递增，且当 x 趋近于 0 时， h( x)趋近于， h 20，则函数 h( x)在 上存在零点 x0，即 h( x0)( x01)(12) 3e2 (0， 12)0ex 0， x0 ，则当 x(0， x0)时， h( x)0， h(x)单调递增，且 h(x0) x0 1ln x0 0e1ln x02 1ln 0，画出函数 h(x)的大致图象如图所1x0 e 12示，当直线 y kx 与曲线 y h(x)相切时， k 取得最大值，即 k 的最大值是函数 h(x)的图象的过原点的切线的斜率，设切点坐标为( x1， x1 1ln x1)， x1(0，)，则切线方程为 y( x1e1ln x1) (x x1)，将坐标原点代入并化简得x1 11x1x 1ln x1， x1 ln ，00，则21ln x1x1 1x1 1x1 1x18et ， x1 tet， t0，因为函数 y xex在(0，)上单调递增，所以Error!即1x1Error!kmax( x11) 1x 1.1x1 x1 1x1 1x1
