1、1,模糊数学方法,2,一、模糊集合的定义 （一）普通集合论知识：确定概念普通集合特征函数1、集合的概念：符合某个确定概念的对象的全体。常用字母 A、B、C 等表示。因此，确定概念可用集合来表示，集合是确定概念的外延。2、论域：某议题范围内被讨论的全部对象。常用字母 U、V、X、Y 等表示。论域中的每个对象叫元素。常用字母 a、b、c、d 等表示。如：中南大学的学生就可以成为一个论域。 有限论域：元素个数为有限个或可列个的论域。 无限论域：元素个数为无限个的论域。3、论域中的子集：论域U中某一部分元素组成的全体叫论域U中的一个集合。用 A、B、 等表示。如论域 U =中南大学的学生，则 A =
2、中南大学的男学生就是论域 U 中的一个集合。 （二）模糊子集的定义：模糊概念模糊集合隶属函数给定论域 U ，称A是论域 U 上的模糊子集( 记为 )：如果对xU，都有一个确定的数 A(x)0,1与之对应。此时，映射 A(x)： U 0,1x A(x) A(x)称为 A 的隶属函数；数A(x)称为论域U中的元素 x 对模糊子集 A 的隶属度，表示 x 属于 A 的程度。特例：当A(x)=0、1时，模糊子集 蜕化为普通集合 A ； 的隶属函数 A(x) 蜕化为 A 特征函数 CA(x)，即,3,例2-1 组成一个100人的评比小组，对五种商品X1,X2,X3,X4,X5进行评比。结果是：认为商品X
3、1“质量好”的有81人，占81%=0.81；认为商品X2“质量好”的有53人，占53%=0.53；认为商品X3“质量好”的有100人，占100%=1；认为商品X4“质量好”的有0人，占0%=0；认为商品X5“质量好”的有24人，占24%=0.24。对论域 U = X1,X2,X3,X4,X5(有限论域)中的每一个元素均规定了一个隶属度：X10.81，X2 0.53，X3 0.1，X4 0 ，X5 0.24它们确定了 U 中的一个模糊子集 A，表示商品“质量好”这一模糊概念。,例2-2 考查某商店商品销售利润的经济效益论域 U = 0 ，k (无限论域)表示该商品销售利润额的范围，则表示商品销售
4、利润的“经济效益好”这一模糊概念的模糊子集，用以下隶属函数表示：,其中，n为同期商品销售额，m为销售利润效益最好时刻的利润率。,4,例2-3 取年龄为论域 U=0,100，给出两个模糊概念“年轻”和“年老”，表示它们的两模糊子集记为Y与O，其隶属函数定义为：,若你的年龄 x = 30 岁，则,5,二、 模糊子集的运算： 仍记为 A (除非特别申明)1.关系运算：对论域 U 模糊空集 ：对xU，均有 (x)=0 模糊全集 E ：对xU，均有 E(x)=1 模糊幂集 (U) ：U 中的全体模糊子集(含普通子集)构成的普通集合(其元素是模糊子集)。 A = B ：对xU，均有 A(x) = B(x)
5、 A B ：对xU，均有 A(x) B(x)2.并、交、余运算：对论域 U 并(AB)：设 A ,B (U),对xU，则 AB 是由下列隶属函数确定的模糊子集AB(x) = MaxA(x),B(x)= A(x)B(x） 交(AB)：设 A ,B (U),对xU，则 AB 是由下列隶属函数确定的模糊子集AB(x) = MinA(x),B(x)= A(x)B(x） 余(Ac)：设 A (U),对xU，则 Ac 是由下列隶属函数确定的模糊子集Ac(x) = 1 - A(x)例2-4 商品论域 U = X1,X2,X3,X4,X5，表示“商品质量好”这个模糊概念的模糊子集为：A = 0.81,0.53
6、,1,0,0.24 ，“商品质量差”这个模糊概念的模糊子集为：B = 0.05,0.21,0,0.36,0.57 。则：表示“商品质量或好或差”这个模糊概念的模糊子集为：AB = 0.810.05,0.530.21,10,00.36,0.240.57=0.81,0.53,1,0.36,0.57；表示“商品质量又好又差”这个模糊概念的模糊子集为：AB = 0.810.05,0.530.21,10,00.36,0.240.57=0.05,0.21,0,0,0.24；表示“商品质量不好”这个模糊概念的模糊子集为：Ac = 1-0.81,1-0.53,1-1,1-0,1-0.24=0.19,0.47,
7、0,1,0.76；,6,例2-5 年龄论域 U=0,100，给出两个模糊概念“年轻”和“年老”,对应的模糊子集Y与O,隶属函数为,则：表示“又老又年轻”这个模糊概念的模糊子集为OY：隶属函数为,7,3.运算性质： 对偶律：( AB )c = Ac Bc ；( AB )c = Ac Bc 幂等律： AA = A ；AA = A 交换律： AB = BA ；AB = BA 结合律：( AB )C = A( BC ) ；( AB )C = A( BC ) 分配律：( AB )C =( AC )( BC ) ；( AB )C=( AC )( BC ) 吸收律：( AB )A = A ；( AB )A
8、= A 两极律： A = A ；A = ；AE = E ；AE = A 还原律：( Ac )c = A 不满足互补律：AAc E ， AAc 伪补律： AAc(x) = A(x)Ac(x) ； AAc(x) = A(x)Ac(x) 例2-6 设有模糊子集为：A = 0.81,0.53,1,0,0.24 则：AAc = 0.81,0.53,1,1,0.76 E ，并且其隶属度均大于1/2AAc = 0.19,0.47,0,0,0.24 ，并且其隶属度均小于1/2,8,4.几种常用的模糊算子：须同时满足 对偶律、交换律、结合律、两极律 普通实数乘法与最大算子 M(,)：AB(x) = A(x) B
9、(x)；AB(x) = A(x)B(x) 普通实数乘法与有界和算子 M(,) ：AB(x) = A(x) B(x)；AB(x) = A(x)B(x)其中有界和 ：对a,b0,1,有 ab = mina+b,1 普通实数乘法与概率和算子 M(,) ：AB(x) = A(x) B(x)；AB(x) = A(x)B(x)其中概率和：对a,b0,1,有 ab = a+b ab 有界积与有界和算子 M(,) ：AB(x) = A(x) B(x)；AB(x) = A(x)B(x)其中有界积：对a,b0,1,有 ab = max0,a+b1例2-7 设有模糊子集为：A = 0.81,0.53,1,0,0.2
10、4 ，B = 0.05,0.21,0,0.36,0.57 。采用算子 M(,)，得： 则：AB = 0.810.05，0.530.21，10，00.36，0.240.57= 0，0，0，0，0AB = 0.810.05，0.530.21，10，00.36，0.240.57= 0.86，0.74，1，0.36，0.81,9,三、模糊集合与普通集合的关系：模糊集合是普通集合的推广1.模糊子集 A 的 水平截集 A 给定模糊子集 A(U)，对0,1，称普通集合 A =x|xU,且 A(x)为模糊子集 A 的 水平截集。 即：A 由 U 中哪些隶属度大于或等于 的元素组成，其特征函数为：,例2-8 五
11、种商品X1,X2,X3,X4,X5，“质量好”的模糊子集 A = ( 0.81，0.53，1，0 ，0.24 )，进一步研究：有50%以上的人认为“质量好” ，称为“合格” ，则“合格”商品的集合为A0.5 = X1,X2,X3 ， = 0.5有80%以上的人认为“质量好” ，称为“优良” ，则“优良”商品的集合为A0.8 = X1,X3 ， = 0.8A0.5与 A0.8 均是A按一定水平 确定的普通子集( 截集 ) 。,10,2. 水平截集 A 的性质 ( AB ) = AB ； ( AB ) = AB ； 设 1,2 0,1，且 1 2 ，则 A1 A2,3. 模糊子集 A 的核 A1、
12、支撑架 SuppA、边界 SuppA - A1 A 的核 A1 = x|A(x)1； A 的支撑架 SuppA = x|A(x)0 ； A 的边界 SuppA - A1 = x|0A(x)1; A0 = x|A(x)0 = U,例2-9 五种商品论域 U = X1,X2,X3,X4,X5，模糊子集 A = ( 0.81，0.53，1，0 ，0.24 )，则A 的核 A1 = X3；A 的支撑架 SuppA = X1,X2,X3,X5；A 的边界 SuppA - A1 = X1,X2,X5;A0 = X1,X2,X3,X4,X5 = U,11,4. 由 A 生成的模糊子集设 A(X)，其 水平截
13、集为 A ，,分解定理：,或用隶属函数,结论：任何模糊数学问题，均可通过分解定理用经典集合论方法处理；从概念上讲，模糊数学是经典数学的推广和发展；,12, 矩形分布, 尖分布, 正态分布, 柯西分布, 梯形分布,四、 实数域上的模糊集论域 X = R = (-,+)上的模糊子集A的隶属函数称为模糊分布。,13,模糊关系 1、 模糊关系的定义从普通集合 A 到普通集合 B 的一个模糊关系 R 是指：以笛卡尔积 AB = (a,b)|aA，bB为论域的一个模糊子集 R ，记作 R：A B ，或 R( AB )其隶属函数为 R(a,b)，称为(a,b)具有模糊关系 R 的程度。R ：AB 0,1(a
14、,b) A(a,b) 若 A = B ，则称 R ：AA 0,1(a1,a2) A(a1,a2) 为 A 上的模糊关系。 例3-1 设 A = 质量好,质量一般,质量差 ，B = 价格高,价格中等,价格低是两个普通集合，则表示“质价相符”这个模糊关系 R ，就是笛卡尔积 AB 上的一个模糊子集，其隶属函数为：,14,例3-3 设 X，Y 为两个坐标轴，则表示“x远远大于y”这个模糊关系 R ，就是笛卡尔积 XY 上的一个模糊子集，其隶属函数为：,若取 x = 101，y = 1 ，则 x 远远大于 y 的程度是：,例3-2 设 A = 直线,园,椭圆,双曲线,抛物线 ，则表示这五种几何图形“相
15、似关系” R ，就是笛卡尔积 AA 上的一个模糊子集，其隶属函数为：,15,2 模糊矩阵一、概念当论域 A、B 为有限集时，模糊关系 R 可用矩阵表示，记为 R = (rij),0rij1，i=1,2,m; j=1,2,n 例如: “质价相符”这个模糊关系的模糊矩阵为：,五种几何图形“相似” 这个模糊关系的模糊矩阵为：,特例：当隶属度为 0 和 1 时，模糊矩阵变为普通矩阵。如:,16,二、几种特殊的模糊矩阵： 表示 AB 上的“零关系”的零矩阵 O ：,(a,b)AB，o(a,b)=0 。 即 A 与 B 中任意元素之间具有关系 O 的程度为 0 。, 表示 AA 上的“恒等关系”的恒等矩阵
16、 I ：,(a,b)AA，当a=b时,I(a,b)=1；当ab时,I(a,b)=0 。 即 A 中任意元素自己与自己具有关系 I 的程度为 1 ， 与其余元素具有关系 I 的程度为 0 。, 表示 AB 上的“全称关系”的全矩阵 E ：,(a,b)AB，E(a,b)=1 。 即 A 与 B 中任意元素之间具有关系 E 的程度均为 1 。,17,三、模糊矩阵的运算：设有模糊矩阵 R = (rij)nm ，S = (sij)nm R 与 S 的并：RS = (rijsij) ； R 与 S 的交：RS = (rijsij) ； R 的余：Rc = (1-rij) ； R 与 S 相等：R = S
17、，i,j，均有 rij = sij ； R 包含于 S ：R S ，i,j，均有 rij sij 。,例如：,18,四、模糊矩阵的运算性质： 幂等律：RR = R ，RR = R ； 交换律：RS = SR ，RS = SR ； 结合律：( RS )T = R( ST ) ，( RS )T = R( ST ) ； 分配律：( RS )T = ( RT )( ST ) ，( RS )T = ( RT )( ST ) ； 吸收律：( RS )S = S ，( RS )S = S ； 两极律：OR = R ，OR = O，ER = E ，ER = R ； 还原律：( Rc )c = R R S RS
18、 = S ，RS = R ； R S Rc Sc ； R1 S1 , R2 S2 ( R1R2 ) ( S1S2 ) ,( R1R2 ) ( S1S2 ) O R E,五、模糊矩阵 R 的 截矩阵 R ：是一个普通矩阵设 R = ( rij ) ，对0,1 ，称 R = ( rij( ) 为 R 的 截矩阵。,六、R 的运算性质： 对0,1 ，有 R S R S ； ( RS ) = RS ，( RS ) = RS 。,19,例3-4 设有模糊矩阵：,则：,例3-5 商品“质价相符”模糊关系的模糊矩阵为：,若参加者都认为“质价相符”,则记为100%=1；无人认为“质价相符”, 则记为0%=0；
19、有70%的人认为“质价相符”,则记为70%=0.7。而质检和物价部门确定商品“质价关系”时，把全部的人认为“质价相符” 定为“完全相符”; 80%以上的人认为“质价相符”定为“相符”;50%以上的人 认为“质价相符”定为“基本相符” 。,取 = 1，0.8，0.5 得 截矩阵：,20,3 模糊关系的合成1、模糊关系合成的概念 ：设有论域 X、Y、Z，Q( XY )、R( YZ ) ，则 Q 对 R 的合成 QR( XZ )，即 QR 是一个由 X 到 Z 的模糊关系，其隶属函数定义为：,特例：若 X=Y=Z，则对 X 上的一个模糊关系 R ，记 RR = R22、对有限论域，模糊关系的合成可用
20、模糊矩阵的运算表示：设论域 X = x1,x2,xn、Y = y1,y2,ym 、Z = z1,z2,zl ， Q=(qij)nm( XY )、R=(rjk)ml( YZ ) ，则 Q 对 R 的合成 S=QR =(sik)nl( XZ )，并且,21,例3-7 设有模糊矩阵：,则：,22,3、模糊矩阵合成的运算性质： ( QR ) = QR ；,例4-8 设有模糊矩阵：取 = 0.6,则：, ( QR ) S = Q( RS ) ； Rm+n = RmRn ； Q R QS RS ；Q R SQ SR ；Q R Qn Rn OR = RO = O ；IR = RI = R ；,23, ( Q
21、R ) S = ( QS )( RS ) ， S( QR ) = ( SQ )( SR ) ； ( QR ) S ( QS )( RS ) ， S( QR ) ( SQ ) ( SR ) ；,例3-9 设有模糊矩阵：,则: ( QR ) S,( QS )( RS ),( QR ) S ( QS )( RS ), QR RQ ；,例3-10 设有模糊矩阵：,则:,QR RQ,24,4 几种常见的模糊关系1、模糊倒置关系：设 R( XY )，即 R 是 X 到 Y 上的模糊关系，其隶属函数为 R(x,y)，则 RT( YX )，是 Y 到 X 上的模糊关系，称为 R 的倒置关系，其隶属函数定义为：
22、,特例，对有限论域 X、Y ，模糊关系 R 可表示为模糊矩阵 R = ( rij )mn，则 RT 的模糊矩阵为 RT = ( rji )nm,例3-11 商品“质价相符” 模糊矩阵为：,则商品“价质相符” 模糊矩阵为：,2、模糊对称关系：设 R( XX )，即 R 是 X 上的模糊关系，其隶属函数为 R(x1,x2)， 若对x1,x2X ，均满足,则称 R 是模糊对称关系。特例，对有限论域 X ，模糊关系 R 可表示为模糊矩阵 R = ( rij )mn，若满足 RT = R ，则 R 为模糊对称矩阵。,例3-12 模糊矩阵,则由 RT = R，知 R 为模糊对称矩阵。,25,3、模糊自反关
23、系：设 R( XX )，即 R 是 X 上的模糊关系，其隶属函数为 R(x1,x2)， 若对xX ，均满足,则称 R 是模糊自反关系。特例，对有限论域 X ，模糊关系 R 可表示为模糊矩阵 R = ( rij )mn，若 R 主对角线上的元素均为1，则模糊矩阵 R 为模糊自反矩阵。,例3-13 模糊矩阵,则 R 为模糊自反矩阵。,4、模糊相似关系：设 R( XX )，即 R 是 X 上的模糊关系，其隶属函数为 R(x1,x2)， 若 R 既是对称关系又是自反关系，则称 R 是 X 上的模糊相似关系，其隶属函数满足： 对x1,x2,xX ，均有,特例，对有限论域 X ，模糊关系 R 可表示为模糊
24、矩阵 R = ( rij )mn，若 R 对称且主对角线上的元素均为1，则 R 为模糊相似矩阵。,26,例3-14 论域 U = 直线,园,椭圆,双曲线,抛物线上的模糊矩阵,因为 R 既是模糊对称矩阵又是模糊自反矩阵， 所以 R 为 U 上五种几何图形间的模糊相似矩阵。,转置模糊矩阵运算性质： ( RT )T = R ； ( RQ )T = RTQT ， ( RQ )T = RTQT ； R Q RT QT ； ( RT ) = ( R )T ； ( QR )T = QT RT ，( Rn )T = ( RT )n ； 对模糊矩阵 R ：RRT 必是对称矩阵,且 RRT 被所有包含 R 的对称
25、矩阵所包含。,27,5、模糊传递关系： 普通传递关系 R ：对x,y,zX，若 (x,y)R ,(y,z)R (x,z)R 如几何中的平行关系 就普通传递关系：若 a b , b c a c 模糊传递关系 R ：设 R( XX )，即 R 是 X 上的模糊关系，其隶属函数为 R(x1,x2)， 若 RR R ( 或 R2 R ) ，则称 R 是 X 上的模糊传递关系 ，其隶属函数满足： 对x1,x2,x3X ，均有,特例，对有限论域 X ，模糊关系 R 可表示为模糊矩阵 R = ( rij )nn，其隶属度为 rij ， 若 RR R ( 或 R2 R ) ，则称 R 是 X 上的模糊传递矩阵
26、，其隶属度满足：,例3-15 影响企业经济效益的主要因素构成论域 U = 销售额(X1),购销费用(X2),零售利润(X3),它们彼此影响的模糊关系矩阵为：,即 RR R ，所以 R 为模糊传递矩阵。,28, 模糊关系 R 的 截关系 R ：设 R( XY )，即 R 是 X 到 Y 上的模糊关系，其隶属函数为 R(x,y)， 对0,1 ，R 的 截关系 R 是 X 到 Y 上的普通关系，其特征函数为,特例，当 X = Y 时 ， 称 R 是 X 上的 截关系。, 模糊传递关系与普通传递关系的联系 ：定理：设 R( XX )，即 R 是 X 到 X 上的模糊关系，则：R 是模糊传递关系 对0,
27、1 ，R 的 截关系 R 均是普通传递关系。,29,6、模糊等价关系： 普通等价关系 R ：若普通关系 R 同时具有自反性、对称性、传递性，则称 R 是普通等价关系。 模糊等价关系 R ：若模糊关系 R 同时具有自反性、对称性、传递性，则称 R 是模糊等价关系。特例，对有限论域，模糊等价关系 R 可表示为模糊等价矩阵 R = ( rij )nn，,例3-16 上例中的模糊关系矩阵：,为模糊自反、对称、传递矩阵。,故 R 为模糊等价矩阵。,定理模糊矩阵 R 是模糊等价矩阵 对0,1,R 的 截矩阵 R 均是普通等价矩阵。,30,模糊综合评判,1 模糊综合评判数学模型及其应用一、综合评判数学模型设
28、有二个论域：X = X1,X2,Xn 表示综合评判多种因素的集合，Y = Y1,Y2,Yn 表示评语集合，R ( XY )，是 X 到 Y 上的模糊关系矩阵；A 是 X 上的模糊子集，即各评判因素的权重，则模糊变换 AR = B 称为综合评判数学模型。其中：B 是 Y 上的模糊子集，即评判结果。二、综合评判步骤1、确定 R：对因素集 X 中各个因素，用各种可行方法分别作出对评语集 Y 中各个评语的单因素评判，进而得到一个实际上表示 X 和 Y 间模糊关系的模糊矩阵 R 。2、确定 A：对因素集 X 中各个因素，确定其在被评判事物中的重要程度(权重)，且权重之和为1。3、确定 B：作模糊变换 B
29、 = AR ，则 B 正好表示被评判事物在评语集 Y 上的综合评判结果。,31,例4-1 市场调查与销售预测时，欲知某商品受欢迎的程度。现确定顾客从质量、价格、花色、式样、包装五个方面评判该商品受欢迎的程度。取评判因素集为 X = 质量、价格、花色、式样、包装 ，取评语集为 Y = 很受欢迎、较受欢迎、不大受欢迎、不受欢迎 ，试就这五个因素对该商品受欢迎程度作出综合评判。,解： 确定 R：对该商品进行单因素评判用随机抽样的方法，组成一个100人的有各方代表人物参加的评判小组，让他们各自独立对该商品“质量”作出独立评判，结果是：有60人表示该商品“很受欢迎” ，有30人表示该商品“较受欢迎” ，
30、有10人表示该商品“不大受欢迎” ，无人表示该商品“不受欢迎” 。于是得：A质=( 0.6，0.3，0.1，0 )同理有：A价=( 0.2，0.4，0.3，0.1 )A花=( 0.5，0.3，0.2，0 )A式=( 0.4，0.3，0.2，0.1 )A包=( 0.1，0.2，0.4，0.3 ),这样就可得模糊矩阵：,32, 确定 A：确定五项单因素在总评判中的权重经分析研究确认，对这100名代表人物，该商品受欢迎程度的五项因素中：“质量”占30%，“价格”占25%，“花色”占20%，“式样”占20%，“包装”占5%， 于是得因素权重： A = ( 0.3，0.25，0.2，0.2，0.05 )
31、(带主观因素，随时间、场合和对象不同而变化) 确定 B：进行综合评判，采用算子 M(,)，可将结果归一化,结论：对该商品，顾客表示“很受欢迎”的比重为 41.5%；顾客表示“较受欢迎”的比重为 32%；顾客表示“不大受欢迎”的比重为 20.5%；顾客表示“不受欢迎”的比重为 6%；,33,模糊聚类分析,1 普通分类(分类是硬性的，非此即彼)一、集合的划分对集合 X 的一个划分，是指把 X 分成若干个子集 X1,X2,Xn，使得满足下列二个条件： X1X2Xn = X，且对 ij ， XiXj = ，( i,j=1,2,n )二、普通等价关系设 R( XX )，称 R 是 X 上一个等价关系，若
32、 R 满足下列三个条件： 自反性：xX，有( x,x )R ； 对称性：x,yX，若( x,y )R，有( y,x )R ； 传递性：x,yX，若( x,y )R，( y,z )R，有( x,z )R 。例6-1 对集合(论域) X = 人 ，则关系 R = “年龄相同” 就是 X 上的一个普通等价关系，因为满足下列三个条件： 自反性：任何人与自己是“年龄相同”的 ； 对称性：我与你年龄相同，你与我年龄也相同； 传递性：我与你年龄相同，你与他年龄相同，我与他年龄也相同。三、普通分类一个普通等价关系决定一个普通分类。,34,一、建立 X = X1,X2,Xn 上的模糊关系矩阵 R (叫标定),其
33、中 rij0,1 ，表示元素 Xi 与 Xj 间的相似程度，i,j=,1,2,n，,2 模糊聚类(分类是有弹性的，亦此亦彼),方法(一).评定打分法：请专家或有经验的专业人员组成评定小组进行打分评定获得 rij 。,例：组成一个100人的评比小组，对X=X1,X2,X3上的3个元素的相似性进行评价。结果是：认为X1与X1“相似”的有100人,占100%,r11=1；认为X1与X2“相似”的有81人,占81%=1,r12=0.81；认为X1与X3“相似”的有53人,占53%,r13=0.53；认为X2与X3“相似”的有24人,占24%,r23=0.24；此时r22=1，r33=1，r21=0.8
34、1，r31=0.53，r32=0.24。从而X上的模糊关系矩阵为：,35,方法(二).统计指标法：一个模糊等价关系决定一个模糊分类 - 叫聚类。分类的集合 X = X1,X2,Xn ，由 n 个元素组成，对其中每一个元素 ，采用不同的 m 个统计指标：对元素 X1 ，采用统计指标 x1 = ( x11,x12,x1m ) ；对元素 X2 ，采用统计指标 x2 = ( x21,x22,x2m ) ；对元素 Xn ，采用统计指标 xn = ( xn1,xn2,xnm ) ；( xij为第 i 个元素 Xi 的笫 j 项统计指标值 ) 将每个元素各项统计指标标准化：常用极值标准化公式,36,经过上步
35、标准化后的 Xi 与 Xj 的各统计指标按下列方法中的任一种计算 rij 。,1. 欧氏距离法：,2. 数量积法：,其中 M 是个适当选择的常数，,3. 夹角余弦法：,37,4. 相关系数法：,5. 指数相似系数法：,其中 sk 是个适当的正常数,6. 最大最小法：,7.算术平均最小法：,8.几何平均最小法：,38,9.绝对值数法：,10.绝对值倒数法：,其中 M 是个适当的正常数，使得0rij1,11.绝对值减数法：,其中 C 是个适当的正常数，使得0rij1,二、进行聚类分模糊等价关系(矩阵)与模糊相似关系(矩阵)二种情况进行。,39,3 模糊等价关系(矩阵)与聚类分析一、原理因为: 模糊
36、矩阵 R 是模糊等价矩阵 对0,1，R 的 截矩阵 R 均是普通等价矩阵。所以: 可通过 R 对 X 上的元素进行聚类。二、定理若水平 1, 2 满足 0121，则按 2 分出的每一类必是按 1 分出的一类的子类。,例6-2 设论域 X = X1,X2,X3 ,X4,X5 ，经过标定后得模糊关系矩阵为,易证 R 是 X 上的模糊等价矩阵，因此可从 R 出发对 X 中的元素进行模糊聚类。解：方法(一)：直接分类,40, 取 0.85 0.9，得：,按该水平，r35=r53=1， 可将 X3,X5 归为一类，其余元素各自成一类， 共分成四类：X = X1 X2 X3 ,X5 X4 , 取 0.8
37、0.85 ，得：,按该水平， r23= r32= r25= r52= r35=r53=1， 可将 X2,X3,X5 归为一类，其余元素各自成一类， 共分成三类：X = X1 X2 ,X3,X5 X4 , 取 0.9 1，得：,可将 X1,X2,X3 ,X4,X5 各自成一类， 共分成五类：X = X1 X2 X3 X4 X5 ,41, 取 0.2 0.8 ，得：,按该水平， r12= r21= r13= r31= r15= r51= r23= r32= r25= r52= r35=r53=1， 可将 X1,X2,X3,X5 归为一类，其余元素各自成一类， 共分成二类：X = X1,X2 ,X3
38、,X5 X4 , 取 0 0.2 ，得：,按该水平， 可将 X1,X2,X3 ,X4,X5 归为一类，共分成一类：X = X1,X2,X3 ,X4,X5 ,模糊聚类过程是一个动态过程，随水平由小到大，集合 X 的分类越来越细。,42,4 模糊相似关系(矩阵)与聚类分析一、原理经标定得的模糊关系(矩阵) R 不是模糊等价关系(矩阵)，它只具备自反性和对称性，不具备传递性，即 R 只是模糊相似关系(矩阵)。要利用 R 对 X 中的元素进行聚类，须将 R 改造成模糊等价关系(矩阵)。二、定理设 R 是模糊相似矩阵，进行如下复合运算：R R2 = RR R4 = R2R2 R2k = RkRk 若存在
39、正整数 k，使得： R2k = Rk，则 R2k 是模糊等价矩阵，这样: 可通过 R2k 对 X 上的元素进行聚类。,例6-4 对以下五种物质进行模糊聚类，设论域 X = 白色乒乓球 X1,面包 X2,黄色排球 X3 ,白犁 X4,黄橙 X5 ，用评定打分法标定 X 上的模糊关系矩阵为：,显然 R 具备自反性和对称性，,43,由定理知 R16 是模糊等价矩阵，利用 R16 对 X 中的元素进行聚类，用编网法：,44, 取 0.8 0.9 ，得：,X = X1, X3 X2 X4 X5 , 取 0.9 1 ，得：,X = X1 X2 X3 X4 X5 ,45, 取 0.7 0.8 ，得：,X =
40、 X1 ,X3 X2,X5 X4 , 取 0.6 0.7 ，得：,X = X1 ,X3 X2,X4 ,X5 , 取 0 0.6 ，得：,X = X1 ,X2,X3,X4 ,X5 ,46,模糊模式识别,1 模糊子集的内积和外积一、内积和外积的定义设 A ,B( X )，其隶属函数为 A(x),B(x) ，则称：,为 A 与 B 的内积；,为 A 与 B 的外积。,例5-1 A1、A2 是实数域 R 上两个正态模糊子集，其隶属函数为：,( 小中取大，故为交点 C ),( 大中取小，故为 0 ),47,二、有限论域内积和外积定义设 X 是有限论域，且 A ,B( X )，A = ( a1,a2,an
41、 ), B = ( b1,b2,bn )，则称：,为 A 与 B 的内积；,为 A 与 B 的外积。,例5-2 设 A = ( 0.4，0.6，0.3，0.5 ), B = ( 0.1，0.7，0.5，0.2 ) 则 A B = ( 0.40.1 )( 0.60.7 )( 0.30.5 )( 0.50.2 )= 0.1 0.6 0.3 0.2 = 0.6A B = ( 0.40.1 )( 0.60.7 )( 0.30.5 )( 0.50.2 )= 0.4 0.7 0.5 0.5 = 0.4,三、性质1、( A B )c = Ac Bc ，( A B )c = Ac Bc,2、对任意模糊向量 A
42、 均有 ：A Ac 1/2 ，A Ac 1/2,48,四、模糊向量的笛卡尔积设模糊向量 A = ( a1,a2,an ), B = ( b1,b2,bn )，则称 AB = ATB 为 A 与 B 的笛卡尔积( 是一个模糊矩阵 )。,例5-3 设 A = ( 0.4，0.6，0.3，0.5 ), B = ( 0.1，0.7，0.5，0.2 ),49,五、A B 与 AB 几何意义1、 A B = ABT：表示同一个论域 X 上二个模糊概念 与 的相关程度( 模糊关系 )。A 可看成是由单元素论域 到论域 X 上的模糊关系：,BT 可看成是由论域 X 到单元素论域 到上的模糊关系：,由模糊关系合
43、成定义： ABT 表示由 到 到上的模糊关系：,2、 AB = ATB：表示用两个不同论域 X 与 Y 表现同一个模糊概念 时，X 与 Y (元素)间的转换关系。模糊概念 可看成是单元素论域 ,在论域 X 与 Y 上分别表现为模糊向量 A 与 B：,AT 可看成是由论域 X 到单元素论域 上的模糊关系：,B 可看成是由单元素论域 到论域 Y 上的模糊关系：,由模糊关系合成定义： ATB 表示 X 到 Y 上的模糊关系：,50,例5-4 判断企业经营管理好坏，取五个评判因素构成论域 X = 产值、产量、费用、利润、资金周转。在 X 上有“企业管理好”、“企业管理较好”、“企业管理差”三个模糊概念
44、，分别用模糊向量表示：A = ( 0.7，0.9，0.8，1，0.8 )，B = ( 0.5，0.6，0.5，0.7，0.8 )，C = ( 0.1，0.2，0，0.3，0.4 ) 。,则： X 上“企业管理好”与“企业管理较好”这两个模糊概念的相关程度是：, X 上“企业管理较好”与“企业管理差”这两个模糊概念相关程度是：,51,例5-5 企业“经济效益好”这个模糊概念，在论域 “利润” 与论域 “费用” 上分别表现为模糊向量： A = ( 0.5，0.9，0.3，0.2 )，B = ( 0.1，0.8，0.4 )，,则： “经济效益好”这个模糊概念，在两个论域 “利润” 与 “费用” 之间
45、的转换关系为：,52,2 模糊子集的贴近度一、贴近度的定义设 A ,B( X )，即 A、B 是论域 X 上的二个模糊子集 ，则称：,为 A 与 B 的贴近度。,例5-6 A1、A2 是实数域 R 上两个正态模糊子集，其隶属函数为：,例5-7 设 A = ( 0.4，0.6，0.3，0.5 ), B = ( 0.1，0.7，0.5，0.2 ) 因为 A B = 0.6 ，A B = 0.4,53,二、贴近度的性质1、( A ,A ) = 1 ，当存在 0、1 隶属度时。,2、( A ,B ) = ( B ,A ) 0,3、 若 A B C ，即 xX ，A(x) B(x) C(x) 则 ( A ,C ) ( B ,C ),54,三、贴近度的其它定义设 X 是有限论域，且 A ,B( X )，A = ( a1,a2,an ), B = ( b1,b2,bn )，,
