1、第6章 有限脉冲响应(FIR)数字 滤波器的设计,6.1 学习要点 6.2 教材第7章习题与上机题解答,6.1 学 习 要 点6.1.1 线性相位概念与具有线性相位的FIR数字滤波器的特点 1 线性相位概念设H(ej)=FTh(n)为FIR滤波器的频响特性函数。 H(ej)可表示为H(ej)=Hg()ej(),Hg()称为幅度函数， 为的实函数。 应注意Hg()与幅频特性函数|H(ej)|的区别， |H(ej)|为的正实函数， 而Hg()是一个可取负值的实函数。 ()称为相位特性函数， 当()=时， 称为第一类（A类）线性相位特性； 当()=0时， 称为第二类（B类）线性相位特性。 0=/2是
2、第二类线性相位特性常用的情况， 所以本书仅考虑这种情况。,2 具有线性相位的FIR滤波器的特点（h(n)长度为N）1） 时域特点,(6.1.1),(6.1.2),群延时,为常数， 所以将A类和B类线性相位特性统称为恒定群延时特性。 2） 频域特点,3） 结论掌握以上特点， 就可以得出如下结论， 这些结论对FIR滤波器的设计很重要。 （1） 情况1： 可以实现所有滤波特性（低通、 高通、 带通、 带阻和点阻等）。 （2） 情况2： Hg()=0， 不能实现高能、 带阻和点阻滤波器。 （3） 情况3： 只能实现带通滤波器（因为Hg(0)=Hg()=Hg(2)=0）（4） 情况4： 不能实现低能、
3、带阻和点阻滤波器。,6.1.2 FIR数字滤波器设计方法教材中主要介绍了FIR-DF的3种设计方法， 即窗函数法、 频率采样法、 等波纹最佳逼近法。这3种设计方法的设计原理及设计步骤教材中讲得很清楚， 本书不再重复， 读者只要认真学习教材， 并参考例题和习题解答， 就可以掌握本章的知识和方法。 下面仅举一个例子， 用窗函数设计法的概念证明一个重要的结论， 使读者正确理解所谓的最佳设计法， 其设计效果与设计的最佳准则有关， 以一个最佳准则设计的最佳滤波器， 在另一个最佳准则下可能就不是最佳的， 甚至很差， 以至于无实际应用价值。,例6.1.1 试证明在窗函数设计法中， 当h(n)长度 N值固定时
4、， 矩形窗设计结果满足频域最小均方误差逼近准则。 解: 仿照窗函数设计法的过程， 设Hd(ej)表示期望逼近的理想滤波器频率响应， 其单位脉冲响应为hd(n)。 用w(n)表示窗函数， 长度为N; 用h(n)表示用窗函数法设计的实际FIR滤波器单位脉冲响应（即h(n)=hd(n)w(n)， 其频率响应函数为H(ej)。 定义H(ej)与Hd(ej)的均方误差为,本例题就是要求证明： 当w(n)=RN(n)时， 2最小。 由于证明的条件与窗函数w(n)的类型（形状）有关， 所以， 将2转换到时域表示， 有利于证明。 证明如下： （1） 令误差函数E(ej)=Hd(ej)H(ej) 由于E(ej)
5、为周期函数， 所以可展开为幂级数,（2） 用系数e(n)表示均方误差2。 （3） 证明只有当w(n)=RN(n), h(n)=hd(n)Rn(n)时， 2最小。下面按三步证明： （1） 因为,，,所以,由于h(n)长度为N， 即当n0或nN时， h(n)=0， 所以,故,(2) 因为E(ej)=FTe(n)， 所以由帕塞瓦尔定理有,(3) 由（2）的结果知， 2的前面两个求和项与w(n)无关， 而第三个求和项为,由此证明， 矩形窗设计确实满足频域最小均方误差准则。 前面已提到， 当Hd(ej)为理想频响特性（理想低通、 带通等）时， 矩形窗设计的FIR滤波器阻带最小衰减只有21 dB， 不满足
6、一般工程要求。 所以， 调用频域最小均方误差最佳逼近设计程序设计FIR滤波器时， 使Hd(ej)具有平滑的滚降特性， 可使阻带衰减加大， 通带内波纹减小。,6.2 教材第7章习题与上机题解答1 已知FIR滤波器的单位脉冲响应为： （1） h(n)长度N=6h(0)=h(5)=1.5h(1)=h(4)=2h(2)=h(3)=3（2） h(n)长度N=7h(0)= h(6)=3h(1)= h(5)= 2h(2)=h(4)=1h(3)=0 试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点。,解： （1） 由所给h(n)的取值可知，h(n)满足h(n)=h(N1n)， 所以FIR滤波器具有A类线性相位特
7、性：,由于N=6为偶数(情况2)， 所以幅度特性关于=点奇对称。 （2） 由题中h(n)值可知， h(n)满足h(n)=h(N1n)， 所以FIR滤波器具有B类线性相位特性：,由于7为奇数(情况3)， 所以幅度特性关于=0, , 2三点奇对称。,2 已知第一类线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应长度为16， 其16个频域幅度采样值中的前9个为： Hg(0)=12， Hg(1)=8.34， Hg(2)=3.79， Hg(3)Hg(8)=0 根据第一类线性相位FIR滤波器幅度特性Hg()的特点， 求其余7个频域幅度采样值。 解： 因为N=16是偶数（情况2）， 所以FIR滤波器幅度特性Hg()关于=
8、点奇对称， 即Hg(2)=Hg()。 其N点采样关于k=N/2点奇对称， 即Hg(Nk)=Hg(k) k=1, 2, , 15 综上所述, 可知其余7个频域幅度采样值： Hg(15)=Hg(1)=8.34， Hg(14)=Hg(2)=3.79， Hg(13)Hg(9)=0,3 设FIR滤波器的系统函数为,求出该滤波器的单位脉冲响应h(n)， 判断是否具有线性相位， 求出其幅度特性函数和相位特性函数。解: 对FIR数字滤波器， 其系统函数为,由h(n)的取值可知h(n)满足： h(n)=h(N1n) N=5 所以， 该FIR滤波器具有第一类线性相位特性。 频率响应函数H(ej)为,所以其单位脉冲
9、响应为,幅度特性函数为,相位特性函数为,4 用矩形窗设计线性相位低通FIR滤波器， 要求过渡带宽度不超过/8 rad。 希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数Hd(ej)为,（1） 求出理想低通滤波器的单位脉冲响应hd(n)；（2） 求出加矩形窗设计的低通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式， 确定与N之间的关系； （3） 简述N取奇数或偶数对滤波特性的影响。解: （1）,（2） 为了满足线性相位条件， 要求 ， N为矩形窗函数长度。 因为要求过渡带宽度 rad, 所以要求 , 求解得到N32。 加矩形窗函数, 得到h(n)：,（3） N取奇数时， 幅度特性函数Hg()关于=0, , 2三点
10、偶对称， 可实现各类幅频特性； N取偶数时， Hg()关于=奇对称， 即Hg()=0， 所以不能实现高通、 带阻和点阻滤波特性。 5 用矩形窗设计一线性相位高通滤波器， 要求过渡带宽度不超过/10 rad。 希望逼近的理想高通滤波器频率响应函数Hd(ej)为,（1） 求出该理想高通的单位脉冲响应hd(n)； （2） 求出加矩形窗设计的高通FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)表达式， 确定与N的关系； （3） N的取值有什么限制？为什么？解: （1） 直接用IFTHd(ej)计算：,hd(n)表达式中第2项 正好是截止频率为c的理想低通滤波器的单位脉冲响应。 而(n)对应于一个线性相位全通滤波器：
11、 Hdap(ej)=ej 即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现。 （2） 用N表示h(n)的长度， 则,h(n)=hd(n)RN(n)=,为了满足线性相位条件： h(n)=h(N1n) 要求满足,（3） N必须取奇数。 因为N为偶数时（情况2）， H(ej)=0， 不能实现高通。 根据题中对过渡带宽度的要求， N应满足： , 即N40。 取N=41。,6 理想带通特性为,（1） 求出该理想带通的单位脉冲响应hd(n)； （2） 写出用升余弦窗设计的滤波器的h(n)表达式， 确定N与之间的关系； （3） 要求过渡带宽度不超过/16 rad。 N的取值是否有限制？为什么？解: （1）,上式
12、第一项和第二项分别为截止频率c+B和c的理想低通滤波器的单位脉冲响应。 所以， 上面hd(n)的表达式说明， 带通滤波器可由两个低通滤波器相减实现。 （2） h(n)=hd(n)w(n),为了满足线性相位条件， 与N应满足,实质上， 即使不要求具有线性相位， 与N也应满足该关系， 只有这样， 才能截取hd(n)的主要能量部分， 使引起的逼近误差最小。 （3） N取奇数和偶数时， 均可实现带通滤波器。 但升余弦窗设计的滤波器过渡带为8/N ， 所以， 要求， 即要求N128。 7 试完成下面两题： （1） 设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分别为h(n)和H(ej)， 另一个滤波器的单位脉
13、冲响应为h1(n)， 它与h(n)的关系是h1(n)=(1)nh(n)。 试证明滤波器h1(n)是一个高通滤波器。,（2） 设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分别为h(n)和H(ej)， 截止频率为c, 另一个滤波器的单位脉冲响应为h2(n)， 它与h(n)的关系是h2(n)=2h(n)cos0n， 且c0(c)。 试证明滤波器h2(n)是一个带通滤波器。解: （1） 由题意可知,对h1(n)进行傅里叶变换, 得到,上式说明H1(ej)就是H(ej)平移的结果。 由于H(ej)为低通滤波器， 通带位于以=0为中心的附近邻域， 因而H1(ej)的通带位于以=为中心的附近， 即h1(n)是一
14、个高通滤波器。,这一证明结论又为我们提供了一种设计高通滤波器的方法（设高通滤波器通带为c, ）： 设计一个截止频率为c的低通滤波器hLp(n)。 对hLp(n)乘以cos(n)即可得到高通滤波器hHp(n) cos(n)=(1)nhLp(n)。 (2) 与(1)同样道理， 代入h2(n)=2h(n) cos0n, 可得,因为低通滤波器H(ej)通带中心位于=2k， 且H2(ej)为H(ej)左右平移0， 所以H2(ej)的通带中心位于=2k0处， 所以h2(n)具有带通特性。 这一结论又为我们提供了一种设计带通滤波器的方法。 8 题8图中h1(n)和h2(n)是偶对称序列， N=8， 设H1(
15、k)=DFTh1(n) k=0， 1， ， N1H2(k)=DFTh2(n) k=0， 1， ， N 1 （1） 试确定H1(k)与 H2(k)的具体关系式。 | H1(k)|=| H2(k)|是否成立？为什么？（2） 用h1(n)和h2(n)分别构成的低通滤波器是否具有线性相位？群延时为多少？,题8图,解： （1） 由题8图可以看出h2(n)与h1(n)是循环移位关系： h2(n)=h1(n+4)8R8(n) 由DFT的循环移位性质可得,(2) 由题8图可知， h1(n)和h2(n)均满足线性相位条件： h1(n)=h1(N1n)h2(n)=h2(N1n),所以， 用h1(n)和h2(n)构
16、成的低通滤波器具有线性相位。 直接计算FTh1(n)和h2(n)也可以得到同样的结论。 设,所以， 群延时为,9 对下面的每一种滤波器指标， 选择满足FIRDF设计要求的窗函数类型和长度。 （1） 阻带衰减为20 dB， 过渡带宽度为1 kHz， 采样频率为12 kHz； （2） 阻带衰减为50 dB， 过渡带宽度为2 kHz， 采样频率为20 kHz； （3） 阻带衰减为50 dB， 过渡带宽度为500 Hz， 采样频率为5 kHz。 解： 我们知道， 根据阻带最小衰减选择窗函数类型， 根据过渡带宽度计算窗函数长度。 为了观察方便， 重写出教材第211页中表7.2.2。,结合本题要求和教材表
17、7.2.2， 选择结果如下： （1） 矩形窗满足本题要求。 过渡带宽度1 kHz对应的数字频率为B=200/12 000=/60， 精确过渡带满足：1.8/N/60， 所以要求N1.860=108。 （2） 选哈明窗， 过渡带宽度1 kHz对应的数字频率为B=4000/20 000=/5， 精确过渡带满足： 6.6/N/5， 所以要求N6.65=33。 （3） 选哈明窗， 过渡带宽度1 kHz对应的数字频率为B=1000/5000=/5， 精确过渡带满足： 6.6/N/5， 所以要求N6.65=33。 10 利用矩形窗、升余弦窗、改进升余弦窗和布莱克曼窗设计线性相位FIR低通滤波器。 要求希望
18、逼近的理想低通滤波器通带截止频率c= /4 rad，N=21。 求出分别对应的单位脉冲响应。,解: (1) 希望逼近的理想低通滤波器频响函数Hd(ej)为,其中, a=(N1)/2=10。 (2) 由Hd(ej)求得hd(n)：,(3) 加窗得到FIR滤波器单位脉冲响应h(n)： 升余弦窗:, 改进升余弦窗：, 布莱克曼窗:,11 将技术要求改为设计线性相位高通滤波器， 重复题10。 解: 方法一 将题10解答中的逼近理想低通滤波器(Hd(ej)、 hd(n)改为如下理想高通滤波器即可。,上式中(n10)对应于全通滤波器。 上式说明， 高通滤波器的单位脉冲响应等于全通滤波器的单位脉冲响应减去低
19、通滤波器的单位脉冲响应。 仿照10题， 用矩形窗、 升余弦窗、 改进升余弦窗和布菜克曼窗对上面所求的hd(n)加窗即可。 计算与绘图程序与题10解中类同， 只要将其中的h(n)用本题的高通h(n)替换即可。 方法二 根据第7题（1）的证明结论设计。 （1） 先设计通带截止频率为/4的低通滤波器。 对四种窗函数所得FIR低通滤波器单位脉冲响应为题9解中的hR(n)、 hHn(n)、 hHm(n)和hBl(n)。,(2) 对低通滤波器单位脉冲响应乘以cosn可得到高通滤波器单位脉冲响应： 矩形窗：, 升余弦窗：, 改进升余弦窗：, 布莱克曼窗：,题12图,12 利用窗函数（哈明窗）法设计一数字微分
20、器， 逼近题12图所示的理想微分器特性， 并绘出其幅频特性。,解: (1) 由于连续信号存在微分， 而时域离散信号和数字信号的微分不存在， 因而本题要求设计的数字微分器是指用数字滤波器近似实现模拟微分器， 即用数字差分滤波器近似模拟微分器。 下面先推导理想差分器的频率响应函数。 设模拟微分器的输入和输出分别为x(t)和y(t)， 即,令x(t)=ejt， 则y(t)=jket=jkx(t) 对上式两边采样（时域离散化）， 得到,其中=T。 将x(nT)和y(nT)分别作为数字微分器的输入和 输出序列， 并用Hd(ej)表示数字理想微分器的频率响应函数， 则,即,根据题12图所给出的理想特性可知
21、,所以应取k=T， 所以Hd(ej)=j 取群延时=(N1)/2， 则逼近频率响应函数应为Hd(ej)=jej=ej(/2),设FIR滤波器h(n)长度为N， 一般取=(N1)/2。 加窗后得到,我们知道， 微分器的幅度响应随频率增大线性上升， 当频率=时达到最大值， 所以只有N为偶数的情况4才能满足全频带微分器的时域和频域要求。 因为N是偶数， =N/21/2=正整数1/2， 上式中第一项为0， 所以,式就是用窗函数法设计的FIR数字微分器的单位脉冲响应的通用表达式， 且具有奇对称特性h(n)= h(N1n)。 选定滤波器长度N和窗函数类型， 就可以直接按式得到设计结果。 当然， 也可以用频
22、率采样法和等波纹最佳逼近法设计。 本题要求的哈明窗函数：,将式代入式得到h(n)的表达式：,(2) 对3种不同的长度N=20，40和41，用MATLAB计算单位脉冲响应h(n)和幅频特性函数，并绘图的程序ex712.m如下：,%ex712.m： 用哈明窗设计线性相位FIR微分器clear all； close all； N1=20； n=0： N11； tou=(N11)/2； h1n=sin(ntou)*pi)./(pi*(n-tou).2).*(hamming(N1)； N2=40； n=0： N21； tou=(N21)/2； h2n=sin(ntou)*pi)./(pi*(n-tou)
23、.2).*(hamming(N2)； N3=41； n=0： N31； tou=(N31)/2； h3n=sin(ntou)*pi)./(pi*(ntou).2).*(hamming(N3);h3n(N31)/2+1)=0； %因为该点分母为零， 无定义， 所以赋值0%以下为绘图部分（省略）,程序运行结果即数字微分器的单位脉冲响应和幅频特性函数曲线如题12解图所示。 由图可见， 当滤波器长度N为偶数时， 逼近效果好。 但N=奇数时（本程序中N=41）， 逼近误差很大。 这一结论与教材给出的理论一致（对第二类线性相位滤波器， N=奇数时不能实现高通滤波特性）。,题12解图,也可以采用调用等波纹最
24、佳逼近法设计函数remez来设计FIR数字微分器的方法。 hn=remez(N1， f， m， defferentiator) 设计N1阶FIR数字微分器， 返回的单位脉冲响应向量hn具有奇对称特性。 在大多数工程实际中， 仅要求在频率区间0p上逼近理想微分器的频率响应特性， 而在区间p上频率响应特性不作要求， 或要求为零。 对微分器设计， 在区间p上频率响应特性要求为零时， 调用参数f=0, p/, (p+B)/, 1， m=0,p/, 0, 0， 其中B为过渡带宽度（即无关区）， p不能太靠近， B也不能太小， 否则设计可能失败。 调用等波纹最佳逼近法设计函数remez设计本题要求的FIR
25、数字微分器的程序ex712b.m如下：,% ex712b.m： 调用remez函数设计FIR微分器 Wp=0.9； B=0.09； %设置微分器边界频率（关于归一化） N=40； f=0，wp，wp+B，1；m=0，wp，0, 0； hn=remez(N-1， f， m， defferentiator)； %调用remez函数设计FIR微分器 %以下为绘图部分（省略） 请读者运行该程序， 观察设计效果。,13. 用窗函数法设计一个线性相位低通FIRDF， 要求通带截止频率为/4 rad， 过渡带宽度为8/51 rad， 阻带最小衰减为45 dB。 （1） 选择合适的窗函数及其长度， 求出h(n
26、)的表达式。 （2*） 用MATLAB画出损耗函数曲线和相频特性曲线。 解： （1） 根据教材7.2.2节所给步骤进行设计。 根据对阻带衰减及过渡带的指标要求， 选择窗函数的类型， 并估计窗口长度N。 由习题9中教材表7.2.2， 本题应选择哈明窗。 因为过渡带宽度Bt=8/51， 所以窗口长度N为N6.6/Bt=42.075， 取N=43。 窗函数表达式为, 构造希望逼近的频率响应函数Hd(ej):,式中, 求hd(n):, 加窗:,（2） 调用MATLAB函数设计及绘图程序ex713.m如下： %ex713.m： 调用fir1设计线性相位低通FIR滤波器并绘图 wp=pi/4； Bt=8*
27、pi/51； wc=wp+Bt/2； N=ceil(6.6*pi/Bt)； hmn=fir1(N-1， wc/pi， hamming(N) rs=60； a=1； mpplot(hmn， a， rs) %调用自编函数mpplot绘制损耗函数和相频特性曲线 程序运行结果即 损耗函数和相频特性曲线如题13解图所示， 请读者运行程序查看h(n)的数据。,题13解图,14. 要求用数字低通滤波器对模拟信号进行滤波， 要求： 通带截止频率为10 kHz， 阻带截止频率为22 kHz， 阻带最小衰减为75 dB， 采样频率为Fs=50 kHz。 用窗函数法设计数字低通滤波器。 （1） 选择合适的窗函数及其
28、长度， 求出h(n)的表达式。 （2*） 用MATLAB画出损耗函数曲线和相频特性曲线。 解： （1） 根据教材7.2.2节所给步骤进行设计。 根据对阻带衰减及过渡带的指标要求， 选择窗函数的类型， 并估计窗口长度N。 本题要求设计的FIRDF指标：,通带截止频率：,阻带截止频率：,阻带最小衰减： s=75 dB,由习题9中教材表7.2.2可知， 本题应选凯塞窗(=7.865)。 窗口长度N10/Bt=10/(sp)=20.833， 取N=21。 窗函数表达式为,，=7.865, 构造希望逼近的频率响应函数Hd(ej):, 求hd(n):, 加窗:,（2） 调用MATLAB函数设计及绘图程序e
29、x714.m如下： %ex714.m： 调用fir1设计线性相位低通FIR滤波器并 绘图Fs=50000； fp=10000； fs=22000； rs=75； wp=2*pi*fp/Fs； ws=2*pi*fs/Fs； Bt=ws-wp； wc=(wp+ws)/2； N=ceil(10*pi/Bt)； hmn=fir1(N-1， wc/pi， kaiser(N， 7.865)； rs=100； a=1； mpplot(hmn， a， rs) %调用自编函数mpplot绘制损耗函数和相频特性曲线程序运行结果即损耗函数和相频特性曲线如题14解图所示， 请读者运行程序查看h(n)的数据。,题14解
30、图,15 利用频率采样法设计线性相位FIR低通滤波器， 给定N=21， 通带截止频率c=0.15 rad。 求出h(n)， 为了改善其频率响应（过渡带宽度、 阻带最小衰减）， 应采取什么措施？解: (1) 确定希望逼近的理想低通滤波频率响应函数Hd(ej)：,其中, a=(N1)/2=10。 采样：, 求h(n)：,因为,所以,损耗函数曲线绘图程序ex715.m如下： %程序ex715.m N=21； n=0： N-1； hn=(1+2*cos(2*pi*(n-10)/N)/N； rs=20； a=1； mpplot(hn， a， rs) %调用自编函数mpplot绘制损耗函数和相频特性曲线
31、运行程序绘制损耗函数曲线如题15解图所示， 请读者运行程序查看hn的数据。 为了改善阻带衰减和通带波纹， 应加过渡带采样点， 为了使边界频率更精确， 过渡带更窄， 应加大采样点数N。,题15解图,16 重复题15， 但改为用矩形窗函数法设计。 将设计结果与题15进行比较。 解： 直接调用fir1设计， 程序为ex716.m。 %调用fir1求解16题的程序ex716.mN=21； wc=0.15； hn=fir1(N-1， wc， boxcar(N)； %选用矩形窗函数(与上面求解中相同)rs=20； a=1； mpplot(hn， a， rs) %调用自编函数mpplot绘制损耗函数和相频特
32、性曲线运行程序绘制损耗函数曲线如题16解图所示。 与题15解图比较， 过渡带宽度相同， 但矩形窗函数法设计的FIRDF阻带最小衰减约为20 dB， 而15题设计结果约为16 dB。,题16解图,17 利用频率采样法设计线性相位FIR低通滤波器， 设N=16， 给定希望逼近的滤波器的幅度采样值为,解: 由希望逼近的滤波器幅度采样Hdg(k)可构造出Hd(ej)的采样Hd(k)：,18 利用频率采样法设计线性相位FIR带通滤波器， 设N=33， 理想幅度特性Hd()如题18图所示。,题18图,解: 由题18图可得到理想幅度采样值为,19* 设信号x(t) = s(t) + v(t)， 其中v(t)
33、是干扰， s(t)与v(t)的频谱不混叠， 其幅度谱如题19*图所示。 要求设计数字滤波器， 将干扰滤除， 指标是允许|s(f)|在0f15 kHz频率范围中幅度失真为2%（1 = 0.02）； f 20 kHz， 衰减大于40 dB（2=0.01）； 希望分别设计性价比最高的FIR和IIR两种滤波器进行滤除干扰。 请选择合适的滤波器类型和设计方法进行设计， 最后比较两种滤波器的幅频特性、 相频特性和阶数。,题19*图,解： 本题以模拟频率给定滤波器指标， 所以， 程序中先要计算出对应的数字边界频率， 然后再调用MATLAB工具箱函数fir1设计数字滤波器。 由题意确定滤波器指标（边界频率以模
34、拟频率给出）：fp =15 kHz，1 = 0.02， p=20 lg dBfp =20 kHz， 2 = 0.01， s=40 dB（1） 确定相应的数字滤波器指标。 根据信号带宽， 取系统采样频率Fs=80 kHz。 ，1 = 0.02，p =20 lg dB， 2 = 0.01，s =40 dB,（2） 设计数字低通滤波器。 为了设计性价比最高的FIR和IIR滤波器， IIR滤波器选择椭圆滤波器， FIR滤波器采用等波纹最佳逼近法设计。 设计程序为ex719.m。 %ex719.m： 设计性价比最高的FIR和IIR滤波器 Fs=80000； fp=15000； fs=20000； dat
35、a1=0.02； rp=20*log10(1data1)/(1+1)； data2=0.01； rs=40； wp=2*fp/Fs； ws=2*fs/Fs； %计算数字边界频率（关于归一化） %椭圆DF设计,Ne， wpe=ellipord(wp， ws， rp， rs)； %调用ellipord计算椭圆DF阶数N和通带截止频率wpBe， Ae=ellip(Ne， wpe， rs， wp)； %调用ellip计算椭圆DF系统函数系数向量Be和Ae%用等波纹最佳逼近法设计FIRDFf=wp， ws； m=1, 0； rip=data1, data2； Nr， fo， mo， w=remezord
36、(f， m， rip)； hn=remez(Nr， fo， mo， w)； %以下为绘图部分（省略）,程序运行结果： 椭圆DF阶数Ne=5， 损耗函数曲线和相频特性曲线如题图19*解图（a）所示。 采用等波纹最佳逼近法设计的FIRDF阶数Nr=29， 损耗函数曲线和相频特性曲线如题19*解图(b)图所示。 由图可见， IIRDF阶数低得多， 但相位特性存在非线性， FIRDF具有线性相位特性。,题19*解图,20*. 调用MATLAB工具箱函数fir1设计线性相位低通FIR滤波器， 要求希望逼近的理想低通滤波器通带截止频率c=/4 rad， 滤波器长度N=21。 分别选用矩形窗、 Hannin
37、g窗、 Hamming窗和Blackman窗进行设计， 绘制用每种窗函数设计的单位脉冲响应h(n)及其损耗函数曲线， 并进行比较， 观察各种窗函数的设计性能。,题20*解图,解： 本题设计程序ex720.m如下： %ex720.m： 调用fir1设计线性相位低通FIR滤波器clear； close all； N=21； wc=1/4； n=0： 20； hrn=fir1(N1， wc， boxcar(N)； %用矩形窗函数设计hnn=fir1(N1， wc， hanning(N)； %用hanning窗设计hmn=fir1(N1， wc， hamming(N) ； %用hamming窗函数设计
38、hbn=fir1(N1， wc， blackman(N)； %用blackman窗函数设计%以下为绘图部分（省略）,程序运行结果： 用矩形窗、 Hanning窗、 Hamming窗和Blackman窗设计的单位脉冲响应h(n)及其损耗函数曲线如题20*解图所示。 由图可见， 滤波器长度N固定时， 矩形窗设计的滤波器过渡带最窄， 阻带最小衰减也最小； blackman窗设计的滤波器过渡带最宽， 阻带最小衰减最大。 21*. 将要求改成设计线性相位高通FIR滤波器， 重作 题20。,解： 本题的设计程序除了在每个fir1函数的调用参数中加入滤波器类型参数“high”外， 与第20题的程序完全相同，
39、 请读者修改并运行程序， 完成本题。 22*. 调用MATLAB工具箱函数remezord和remez设计线性相位低通FIR滤波器， 实现对模拟信号的采样序列x(n)的数字低通滤波处理。 指标要求： 采样频率为16 kHz； 通带截止频率为4.5 kHz， 通带最小衰减为1 dB； 阻带截止频率为6 kHz， 阻带最小衰减为75 dB。列出h(n)的序列数据， 并画出损耗函数曲线。 解： 本题设计程序ex722.m如下：,%ex722.m： 调用remezord和remez设计线性相位低通FIR滤波器Fs=16000； f=4500， 6000； %采样频率， 边界频率为模拟频率(Hz)m=1
40、， 0； rp=1； rs=75； dat1=(10(rp/20)-1)/(10(rp/20)+1)； dat2=10(-rs/20)； rip=dat1， dat2； M， fo， mo， w=remezord(f， m， rip， Fs)；M=M+1； %边界频率为模拟频率(Hz)时必须%加入采样频率Fshn=remez(M， fo， mo， w) %以下为绘图部分（省略）,程序运行结果： h（n） =0.0023 0.0026 0.0207 0.0131 0.0185 0.0032 0.0278 0.0306 0.0176 0.0705 0.0402 0.1075 0.2927 0.62
41、27 0.2927 0.1075 0.0402 0.0705 0.0176 0.0306 0.0278 0.0032 0.0185 0.0131 0.0207 0.0026 0.0023 单位脉冲响应h(n)及其损耗函数曲线如题22*解图所示。,题22*解图,23*. 调用MATLAB工具箱函数remezord和remez设计线性相位高通FIR滤波器， 实现对模拟信号的采样序列x(n)的数字高通滤波处理。 指标要求： 采样频率为16 kHz； 通带截止频率为5.5 kHz， 通带最小衰减为1dB； 过渡带宽度小于等于3.5 kHz， 阻带最小衰减为75 dB。 列出h(n)的序列数据， 并画出
42、损耗函数曲线。 解： 滤波器的阻带截止频率fs=55003500=2000 Hz。 本题设计程序ex723.m如下：,%ex723.m： 调用remezord和remez设计线性相位高通FIR滤波器Fs=16000； f=2000， 5500； %采样频率， 边界频率为模拟频率(Hz)m=0， 1； rp=1； rs=75； dat1=(10(rp/20)-1)/(10(rp/20)+1)； dat2=10(-rs/20)； rip=dat2， dat1； M， fo， mo， w=remezord(f， m， rip， Fs)； %边界频率为模拟频率(Hz)时必须加入采样频率Fshn=rem
43、ez(M， fo， mo， w)程序运行结果： 滤波器长度为N=M+1=11，,单位脉冲响应h(n)及其损耗函数曲线如题23*解图所示， 请读者运行程序查看h(n)的数据。,题23*解图,24*. 用窗函数法设计一个线性相位低通FIR滤波器， 要求通带截止频率为0.3 rad， 阻带截止频率为0.5 rad， 阻带最小衰减为40 dB。 选择合适的窗函数及其长度， 求出并显示所设计的单位脉冲响应h(n)的数据， 并画出损耗函数曲线和相频特性曲线， 请检验设计结果。 试不用fir1函数， 直接按照窗函数设计法编程设计。 解： 直接按照窗函数设计法的设计程序ex724.m如下：,%ex724.m：
44、 直接按照窗函数设计法编程设计线性相位低通FIR滤波器wp=0.3*pi； ws=0.5*pi； rs=40； %指标参数Bt=ws-wp； %过渡带宽度N=ceil(6.2*pi/Bt)； %选hanning窗， 求wn长度Nwc=(wp+ws)/2； r=(N-1)/2； %理想低通截止频率wcn=0： N-1； hdn=sin(wc*(n-r)./(pi*(n-r)； %计算理想低通的hdnhdn(16)=wc/pi；%在n=(N-1)/2=15点为0/0型， 直接赋值wn=0.5*(1-cos(2*pi*n/(N-1)； %求窗函数序列wnhn=hdn.*wn %加窗%以下为绘图部分（
45、省略）,题24*解图,程序运行结果： 单位脉冲响应h(n)及其损耗函数曲线如题24*解图所示， 请读者运行程序查看h(n)的数据。,25*. 调用MATLAB工具箱函数fir1设计线性相位高通FIR滤波器。 要求通带截止频率为0.6 rad， 阻带截止频率为0.45， 通带最大衰减为0.2 dB， 阻带最小衰减为45 dB。 显示所设计的单位脉冲响应h(n)的数据，并画出损耗函数曲线。 解： 本题设计程序ex725.m如下： %ex725.m： 调用fir1设计线性相位高通FIR滤波器wp=0.6*pi； ws=0.45*pi； rs=45； %指标参数wc=(wp+ws)/2； %理想低通截
46、止频率wcBt=wp-ws； %过渡带宽度N1=ceil(6.6*pi/Bt)； %hamming窗w(n)长度,N=N1+mod(N1+1， 2)； %如果N1为偶数加1， 保证N=奇数hn=fir1(N-1， wc/pi， high， hamming(N) %计算hnsubplot 221； yn=h(n)； tstem(hn， yn) %调用自编函数tstem绘制hn波形subplot 222； A=1； myplot(hn， A)； %调用自编函 数myplot绘制损耗函数曲线程序运行结果： 滤波器长度N=45。 单位脉冲响应h(n)及其损耗函数曲线如题25*解图所示。 请读者运行程序
47、查看h(n)的数据。,题25*解图,26*. 调用MATLAB工具箱函数fir1设计线性相位带通FIR滤波器。 要求通带截止频率为0.55 rad和0.7 rad， 阻带截止频率为0.45 rad和0.8 rad， 通带最大衰减为0.15 dB， 阻带最小衰减为40 dB。 显示所设计的单位脉冲响应h(n)的数据， 并画出损耗函数曲线。 解： 本题设计程序ex726.m如下： %ex726.m： 调用fir1设计线性相位带通FIR滤波器wpl=0.55*pi； wpu=0.7*pi； wsl=0.45*pi； wsu=0.8*pi； rs=40； %指标参数wc=(wpl+wsl)/2， (wpu+wsu)/2; %理想带通截止频率wc,
