1、第6章有限脉冲响应 FIR 数字滤波器的设计 6 1学习要点6 2教材第7章习题与上机题解答 6 1学习要点6 1 1线性相位概念与具有线性相位的FIR数字滤波器的特点 1 线性相位概念 设H ej FT h n 为FIR滤波器的频响特性函数 H ej 可表示为H ej Hg ej Hg 称为幅度函数 为 的实函数 应注意Hg 与幅频特性函数 H ej 的区别 H ej 为 的正实函数 而Hg 是一个可取负值的实函数 称为相位特性函数 当 时 称为第一类 A类 线性相位特性 当 0 时 称为第二类 B类 线性相位特性 0 2是第二类线性相位特性常用的情况 所以本书仅考虑这种情况 2 具有线性相
2、位的FIR滤波器的特点 h n 长度为N 1 时域特点 6 1 1 6 1 2 群延时 为常数 所以将A类和B类线性相位特性统称为恒定群延时特性 2 频域特点 3 结论掌握以上特点 就可以得出如下结论 这些结论对FIR滤波器的设计很重要 1 情况1 可以实现所有滤波特性 低通 高通 带通 带阻和点阻等 2 情况2 Hg 0 不能实现高能 带阻和点阻滤波器 3 情况3 只能实现带通滤波器 因为Hg 0 Hg Hg 2 0 4 情况4 不能实现低能 带阻和点阻滤波器 6 1 2FIR数字滤波器设计方法 教材中主要介绍了FIR DF的3种设计方法 即窗函数法 频率采样法 等波纹最佳逼近法 这3种设计
3、方法的设计原理及设计步骤教材中讲得很清楚 本书不再重复 读者只要认真学习教材 并参考例题和习题解答 就可以掌握本章的知识和方法 下面仅举一个例子 用窗函数设计法的概念证明一个重要的结论 使读者正确理解所谓的最佳设计法 其设计效果与设计的最佳准则有关 以一个最佳准则设计的最佳滤波器 在另一个最佳准则下可能就不是最佳的 甚至很差 以至于无实际应用价值 例6 1 1 试证明在窗函数设计法中 当h n 长度N值固定时 矩形窗设计结果满足频域最小均方误差逼近准则 解 仿照窗函数设计法的过程 设Hd ej 表示期望逼近的理想滤波器频率响应 其单位脉冲响应为hd n 用w n 表示窗函数 长度为N 用h n
4、 表示用窗函数法设计的实际FIR滤波器单位脉冲响应 即h n hd n w n 其频率响应函数为H ej 定义H ej 与Hd ej 的均方误差为 本例题就是要求证明 当w n RN n 时 2最小 由于证明的条件与窗函数w n 的类型 形状 有关 所以 将 2转换到时域表示 有利于证明 证明如下 1 令误差函数E ej Hd ej H ej 由于E ej 为周期函数 所以可展开为幂级数 2 用系数e n 表示均方误差 2 3 证明只有当w n RN n h n hd n Rn n 时 2最小 下面按三步证明 1 因为 所以 由于h n 长度为N 即当n 0或n N时 h n 0 所以 故 2
5、 因为E ej FT e n 所以由帕塞瓦尔定理有 3 由 2 的结果知 2的前面两个求和项与w n 无关 而第三个求和项为 由此证明 矩形窗设计确实满足频域最小均方误差准则 前面已提到 当Hd ej 为理想频响特性 理想低通 带通等 时 矩形窗设计的FIR滤波器阻带最小衰减只有21dB 不满足一般工程要求 所以 调用频域最小均方误差最佳逼近设计程序设计FIR滤波器时 使Hd ej 具有平滑的滚降特性 可使阻带衰减加大 通带内波纹减小 6 2教材第7章习题与上机题解答 1 已知FIR滤波器的单位脉冲响应为 1 h n 长度N 6 h 0 h 5 1 5 h 1 h 4 2 h 2 h 3 3
6、2 h n 长度N 7 h 0 h 6 3 h 1 h 5 2 h 2 h 4 1 h 3 0试分别说明它们的幅度特性和相位特性各有什么特点 解 1 由所给h n 的取值可知 h n 满足h n h N 1 n 所以FIR滤波器具有A类线性相位特性 由于N 6为偶数 情况2 所以幅度特性关于 点奇对称 2 由题中h n 值可知 h n 满足h n h N 1 n 所以FIR滤波器具有B类线性相位特性 由于7为奇数 情况3 所以幅度特性关于 0 2 三点奇对称 2 已知第一类线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应长度为16 其16个频域幅度采样值中的前9个为 Hg 0 12 Hg 1 8 34 Hg
7、 2 3 79 Hg 3 Hg 8 0 根据第一类线性相位FIR滤波器幅度特性Hg 的特点 求其余7个频域幅度采样值 解 因为N 16是偶数 情况2 所以FIR滤波器幅度特性Hg 关于 点奇对称 即Hg 2 Hg 其N点采样关于k N 2点奇对称 即Hg N k Hg k k 1 2 15综上所述 可知其余7个频域幅度采样值 Hg 15 Hg 1 8 34 Hg 14 Hg 2 3 79 Hg 13 Hg 9 0 3 设FIR滤波器的系统函数为 求出该滤波器的单位脉冲响应h n 判断是否具有线性相位 求出其幅度特性函数和相位特性函数 解 对FIR数字滤波器 其系统函数为 由h n 的取值可知h
8、 n 满足 h n h N 1 n N 5所以 该FIR滤波器具有第一类线性相位特性 频率响应函数H ej 为 所以其单位脉冲响应为 幅度特性函数为 相位特性函数为 4 用矩形窗设计线性相位低通FIR滤波器 要求过渡带宽度不超过 8rad 希望逼近的理想低通滤波器频率响应函数Hd ej 为 1 求出理想低通滤波器的单位脉冲响应hd n 2 求出加矩形窗设计的低通FIR滤波器的单位脉冲响应h n 表达式 确定 与N之间的关系 3 简述N取奇数或偶数对滤波特性的影响 解 1 2 为了满足线性相位条件 要求 N为矩形窗函数长度 因为要求过渡带宽度 rad 所以要求 求解得到N 32 加矩形窗函数 得
9、到h n 3 N取奇数时 幅度特性函数Hg 关于 0 2 三点偶对称 可实现各类幅频特性 N取偶数时 Hg 关于 奇对称 即Hg 0 所以不能实现高通 带阻和点阻滤波特性 5 用矩形窗设计一线性相位高通滤波器 要求过渡带宽度不超过 10rad 希望逼近的理想高通滤波器频率响应函数Hd ej 为 1 求出该理想高通的单位脉冲响应hd n 2 求出加矩形窗设计的高通FIR滤波器的单位脉冲响应h n 表达式 确定 与N的关系 3 N的取值有什么限制 为什么 解 1 直接用IFT Hd ej 计算 hd n 表达式中第2项正好是截止频率为 c的理想低通滤波器的单位脉冲响应 而 n 对应于一个线性相位全
10、通滤波器 Hdap ej e j 即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现 2 用N表示h n 的长度 则 h n hd n RN n 为了满足线性相位条件 h n h N 1 n 要求满足 3 N必须取奇数 因为N为偶数时 情况2 H ej 0 不能实现高通 根据题中对过渡带宽度的要求 N应满足 即N 40 取N 41 6 理想带通特性为 1 求出该理想带通的单位脉冲响应hd n 2 写出用升余弦窗设计的滤波器的h n 表达式 确定N与 之间的关系 3 要求过渡带宽度不超过 16rad N的取值是否有限制 为什么 解 1 上式第一项和第二项分别为截止频率 c B和 c的理想低通滤波器的单
11、位脉冲响应 所以 上面hd n 的表达式说明 带通滤波器可由两个低通滤波器相减实现 2 h n hd n w n 为了满足线性相位条件 与N应满足 实质上 即使不要求具有线性相位 与N也应满足该关系 只有这样 才能截取hd n 的主要能量部分 使引起的逼近误差最小 3 N取奇数和偶数时 均可实现带通滤波器 但升余弦窗设计的滤波器过渡带为8 N 所以 要求 即要求N 128 7 试完成下面两题 1 设低通滤波器的单位脉冲响应与频率响应函数分别为h n 和H ej 另一个滤波器的单位脉冲响应为h1 n 它与h n 的关系是h1 n 1 nh n 试证明滤波器h1 n 是一个高通滤波器 2 设低通滤
12、波器的单位脉冲响应与频率响应函数分别为h n 和H ej 截止频率为 c 另一个滤波器的单位脉冲响应为h2 n 它与h n 的关系是h2 n 2h n cos 0n 且 c 0 c 试证明滤波器h2 n 是一个带通滤波器 解 1 由题意可知 对h1 n 进行傅里叶变换 得到 上式说明H1 ej 就是H ej 平移 的结果 由于H ej 为低通滤波器 通带位于以 0为中心的附近邻域 因而H1 ej 的通带位于以 为中心的附近 即h1 n 是一个高通滤波器 这一证明结论又为我们提供了一种设计高通滤波器的方法 设高通滤波器通带为 c 设计一个截止频率为 c的低通滤波器hLp n 对hLp n 乘以c
13、os n 即可得到高通滤波器hHp n cos n 1 nhLp n 2 与 1 同样道理 代入h2 n 2h n cos 0n 可得 因为低通滤波器H ej 通带中心位于 2k 且H2 ej 为H ej 左右平移 0 所以H2 ej 的通带中心位于 2k 0处 所以h2 n 具有带通特性 这一结论又为我们提供了一种设计带通滤波器的方法 8 题8图中h1 n 和h2 n 是偶对称序列 N 8 设 H1 k DFT h1 n k 0 1 N 1 H2 k DFT h2 n k 0 1 N 1 1 试确定H1 k 与H2 k 的具体关系式 H1 k H2 k 是否成立 为什么 2 用h1 n 和h
14、2 n 分别构成的低通滤波器是否具有线性相位 群延时为多少 题8图 解 1 由题8图可以看出h2 n 与h1 n 是循环移位关系 h2 n h1 n 4 8R8 n 由DFT的循环移位性质可得 2 由题8图可知 h1 n 和h2 n 均满足线性相位条件 h1 n h1 N 1 n h2 n h2 N 1 n 所以 用h1 n 和h2 n 构成的低通滤波器具有线性相位 直接计算FT h1 n 和 h2 n 也可以得到同样的结论 设 所以 群延时为 9 对下面的每一种滤波器指标 选择满足FIRDF设计要求的窗函数类型和长度 1 阻带衰减为20dB 过渡带宽度为1kHz 采样频率为12kHz 2 阻
15、带衰减为50dB 过渡带宽度为2kHz 采样频率为20kHz 3 阻带衰减为50dB 过渡带宽度为500Hz 采样频率为5kHz 解 我们知道 根据阻带最小衰减选择窗函数类型 根据过渡带宽度计算窗函数长度 为了观察方便 重写出教材第211页中表7 2 2 结合本题要求和教材表7 2 2 选择结果如下 1 矩形窗满足本题要求 过渡带宽度1kHz对应的数字频率为B 200 12000 60 精确过渡带满足 1 8 N 60 所以要求N 1 8 60 108 2 选哈明窗 过渡带宽度1kHz对应的数字频率为B 4000 20000 5 精确过渡带满足 6 6 N 5 所以要求N 6 6 5 33 3
16、 选哈明窗 过渡带宽度1kHz对应的数字频率为B 1000 5000 5 精确过渡带满足 6 6 N 5 所以要求N 6 6 5 33 10 利用矩形窗 升余弦窗 改进升余弦窗和布莱克曼窗设计线性相位FIR低通滤波器 要求希望逼近的理想低通滤波器通带截止频率 c 4rad N 21 求出分别对应的单位脉冲响应 解 1 希望逼近的理想低通滤波器频响函数Hd ej 为 其中 a N 1 2 10 2 由Hd ej 求得hd n 3 加窗得到FIR滤波器单位脉冲响应h n 升余弦窗 改进升余弦窗 布莱克曼窗 11 将技术要求改为设计线性相位高通滤波器 重复题10 解 方法一将题10解答中的逼近理想低
17、通滤波器 Hd ej hd n 改为如下理想高通滤波器即可 上式中 n 10 对应于全通滤波器 上式说明 高通滤波器的单位脉冲响应等于全通滤波器的单位脉冲响应减去低通滤波器的单位脉冲响应 仿照10题 用矩形窗 升余弦窗 改进升余弦窗和布菜克曼窗对上面所求的hd n 加窗即可 计算与绘图程序与题10解中类同 只要将其中的h n 用本题的高通h n 替换即可 方法二根据第7题 1 的证明结论设计 1 先设计通带截止频率为 4的低通滤波器 对四种窗函数所得FIR低通滤波器单位脉冲响应为题9解中的hR n hHn n hHm n 和hBl n 2 对低通滤波器单位脉冲响应乘以cos n可得到高通滤波器
18、单位脉冲响应 矩形窗 升余弦窗 改进升余弦窗 布莱克曼窗 题12图 12 利用窗函数 哈明窗 法设计一数字微分器 逼近题12图所示的理想微分器特性 并绘出其幅频特性 解 1 由于连续信号存在微分 而时域离散信号和数字信号的微分不存在 因而本题要求设计的数字微分器是指用数字滤波器近似实现模拟微分器 即用数字差分滤波器近似模拟微分器 下面先推导理想差分器的频率响应函数 设模拟微分器的输入和输出分别为x t 和y t 即 令x t ej t 则y t jk e t jk x t 对上式两边采样 时域离散化 得到 其中 T 将x nT 和y nT 分别作为数字微分器的输入和输出序列 并用Hd ej 表
19、示数字理想微分器的频率响应函数 则 即 根据题12图所给出的理想特性可知 所以应取k T 所以Hd ej j 取群延时 N 1 2 则逼近频率响应函数应为Hd ej j e j e j 2 设FIR滤波器h n 长度为N 一般取 N 1 2 加窗后得到 我们知道 微分器的幅度响应随频率增大线性上升 当频率 时达到最大值 所以只有N为偶数的情况4才能满足全频带微分器的时域和频域要求 因为N是偶数 N 2 1 2 正整数 1 2 上式中第一项为0 所以 式就是用窗函数法设计的FIR数字微分器的单位脉冲响应的通用表达式 且具有奇对称特性h n h N 1 n 选定滤波器长度N和窗函数类型 就可以直接
20、按 式得到设计结果 当然 也可以用频率采样法和等波纹最佳逼近法设计 本题要求的哈明窗函数 将 式代入 式得到h n 的表达式 2 对3种不同的长度N 20 40和41 用MATLAB计算单位脉冲响应h n 和幅频特性函数 并绘图的程序ex712 m如下 ex712 m 用哈明窗设计线性相位FIR微分器 clearall closeall N1 20 n 0 N1 1 tou N1 1 2 h1n sin n tou pi pi n tou 2 hamming N1 N2 40 n 0 N2 1 tou N2 1 2 h2n sin n tou pi pi n tou 2 hamming N2
21、N3 41 n 0 N3 1 tou N3 1 2 h3n sin n tou pi pi n tou 2 hamming N3 h3n N3 1 2 1 0 因为该点分母为零 无定义 所以赋值0 以下为绘图部分 省略 程序运行结果即数字微分器的单位脉冲响应和幅频特性函数曲线如题12解图所示 由图可见 当滤波器长度N为偶数时 逼近效果好 但N 奇数时 本程序中N 41 逼近误差很大 这一结论与教材给出的理论一致 对第二类线性相位滤波器 N 奇数时不能实现高通滤波特性 题12解图 也可以采用调用等波纹最佳逼近法设计函数remez来设计FIR数字微分器的方法 hn remez N 1 f m de
22、fferentiator 设计N 1阶FIR数字微分器 返回的单位脉冲响应向量hn具有奇对称特性 在大多数工程实际中 仅要求在频率区间0 p上逼近理想微分器的频率响应特性 而在区间 p 上频率响应特性不作要求 或要求为零 对微分器设计 在区间 p 上频率响应特性要求为零时 调用参数f 0 p p B 1 m 0 p 0 0 其中B为过渡带宽度 即无关区 p不能太靠近 B也不能太小 否则设计可能失败 调用等波纹最佳逼近法设计函数remez设计本题要求的FIR数字微分器的程序ex712b m如下 ex712b m 调用remez函数设计FIR微分器 Wp 0 9 B 0 09 设置微分器边界频率
23、关于 归一化 N 40 f 0 wp wp B 1 m 0 wp 0 0 hn remez N 1 f m defferentiator 调用remez函数设计FIR微分器 以下为绘图部分 省略 请读者运行该程序 观察设计效果 13 用窗函数法设计一个线性相位低通FIRDF 要求通带截止频率为 4rad 过渡带宽度为8 51rad 阻带最小衰减为45dB 1 选择合适的窗函数及其长度 求出h n 的表达式 2 用MATLAB画出损耗函数曲线和相频特性曲线 解 1 根据教材7 2 2节所给步骤进行设计 根据对阻带衰减及过渡带的指标要求 选择窗函数的类型 并估计窗口长度N 由习题9中教材表7 2
24、2 本题应选择哈明窗 因为过渡带宽度Bt 8 51 所以窗口长度N为N 6 6 Bt 42 075 取N 43 窗函数表达式为 构造希望逼近的频率响应函数Hd ej 式中 求hd n 加窗 2 调用MATLAB函数设计及绘图程序ex713 m如下 ex713 m 调用fir1设计线性相位低通FIR滤波器并绘图 wp pi 4 Bt 8 pi 51 wc wp Bt 2 N ceil 6 6 pi Bt hmn fir1 N 1 wc pi hamming N rs 60 a 1 mpplot hmn a rs 调用自编函数mpplot绘制损耗函数和相频特性曲线程序运行结果即损耗函数和相频特性曲
25、线如题13解图所示 请读者运行程序查看h n 的数据 题13解图 14 要求用数字低通滤波器对模拟信号进行滤波 要求 通带截止频率为10kHz 阻带截止频率为22kHz 阻带最小衰减为75dB 采样频率为Fs 50kHz 用窗函数法设计数字低通滤波器 1 选择合适的窗函数及其长度 求出h n 的表达式 2 用MATLAB画出损耗函数曲线和相频特性曲线 解 1 根据教材7 2 2节所给步骤进行设计 根据对阻带衰减及过渡带的指标要求 选择窗函数的类型 并估计窗口长度N 本题要求设计的FIRDF指标 通带截止频率 阻带截止频率 阻带最小衰减 s 75dB 由习题9中教材表7 2 2可知 本题应选凯塞
26、窗 7 865 窗口长度N 10 Bt 10 s p 20 833 取N 21 窗函数表达式为 7 865 构造希望逼近的频率响应函数Hd ej 求hd n 加窗 2 调用MATLAB函数设计及绘图程序ex714 m如下 ex714 m 调用fir1设计线性相位低通FIR滤波器并绘图 Fs 50000 fp 10000 fs 22000 rs 75 wp 2 pi fp Fs ws 2 pi fs Fs Bt ws wp wc wp ws 2 N ceil 10 pi Bt hmn fir1 N 1 wc pi kaiser N 7 865 rs 100 a 1 mpplot hmn a rs
27、 调用自编函数mpplot绘制损耗函数和相频特性曲线程序运行结果即损耗函数和相频特性曲线如题14解图所示 请读者运行程序查看h n 的数据 题14解图 15 利用频率采样法设计线性相位FIR低通滤波器 给定N 21 通带截止频率 c 0 15 rad 求出h n 为了改善其频率响应 过渡带宽度 阻带最小衰减 应采取什么措施 解 1 确定希望逼近的理想低通滤波频率响应函数Hd ej 其中 a N 1 2 10 采样 求h n 因为 所以 损耗函数曲线绘图程序ex715 m如下 程序ex715 m N 21 n 0 N 1 hn 1 2 cos 2 pi n 10 N N rs 20 a 1 mp
28、plot hn a rs 调用自编函数mpplot绘制损耗函数和相频特性曲线运行程序绘制损耗函数曲线如题15解图所示 请读者运行程序查看hn的数据 为了改善阻带衰减和通带波纹 应加过渡带采样点 为了使边界频率更精确 过渡带更窄 应加大采样点数N 题15解图 16 重复题15 但改为用矩形窗函数法设计 将设计结果与题15进行比较 解 直接调用fir1设计 程序为ex716 m 调用fir1求解16题的程序ex716 m N 21 wc 0 15 hn fir1 N 1 wc boxcar N 选用矩形窗函数 与上面求解中相同 rs 20 a 1 mpplot hn a rs 调用自编函数mppl
29、ot绘制损耗函数和相频特性曲线运行程序绘制损耗函数曲线如题16解图所示 与题15解图比较 过渡带宽度相同 但矩形窗函数法设计的FIRDF阻带最小衰减约为20dB 而15题设计结果约为16dB 题16解图 17 利用频率采样法设计线性相位FIR低通滤波器 设N 16 给定希望逼近的滤波器的幅度采样值为 解 由希望逼近的滤波器幅度采样Hdg k 可构造出Hd ej 的采样Hd k 18 利用频率采样法设计线性相位FIR带通滤波器 设N 33 理想幅度特性Hd 如题18图所示 题18图 解 由题18图可得到理想幅度采样值为 19 设信号x t s t v t 其中v t 是干扰 s t 与v t 的
30、频谱不混叠 其幅度谱如题19 图所示 要求设计数字滤波器 将干扰滤除 指标是允许 s f 在0 f 15kHz频率范围中幅度失真为 2 1 0 02 f 20kHz 衰减大于40dB 2 0 01 希望分别设计性价比最高的FIR和IIR两种滤波器进行滤除干扰 请选择合适的滤波器类型和设计方法进行设计 最后比较两种滤波器的幅频特性 相频特性和阶数 题19 图 解 本题以模拟频率给定滤波器指标 所以 程序中先要计算出对应的数字边界频率 然后再调用MATLAB工具箱函数fir1设计数字滤波器 由题意确定滤波器指标 边界频率以模拟频率给出 fp 15kHz 1 0 02 p 20lgdB fp 20k
31、Hz 2 0 01 s 40dB 1 确定相应的数字滤波器指标 根据信号带宽 取系统采样频率Fs 80kHz 1 0 02 p 20lgdB 2 0 01 s 40dB 2 设计数字低通滤波器 为了设计性价比最高的FIR和IIR滤波器 IIR滤波器选择椭圆滤波器 FIR滤波器采用等波纹最佳逼近法设计 设计程序为ex719 m ex719 m 设计性价比最高的FIR和IIR滤波器 Fs 80000 fp 15000 fs 20000 data1 0 02 rp 20 log10 1 data1 1 1 data2 0 01 rs 40 wp 2 fp Fs ws 2 fs Fs 计算数字边界频率
32、 关于 归一化 椭圆DF设计 Ne wpe ellipord wp ws rp rs 调用ellipord计算椭圆DF阶数N和通带截止频率wp Be Ae ellip Ne wpe rs wp 调用ellip计算椭圆DF系统函数系数向量Be和Ae 用等波纹最佳逼近法设计FIRDF f wp ws m 1 0 rip data1 data2 Nr fo mo w remezord f m rip hn remez Nr fo mo w 以下为绘图部分 省略 程序运行结果 椭圆DF阶数Ne 5 损耗函数曲线和相频特性曲线如题图19 解图 a 所示 采用等波纹最佳逼近法设计的FIRDF阶数Nr 29
33、 损耗函数曲线和相频特性曲线如题19 解图 b 图所示 由图可见 IIRDF阶数低得多 但相位特性存在非线性 FIRDF具有线性相位特性 题19 解图 20 调用MATLAB工具箱函数fir1设计线性相位低通FIR滤波器 要求希望逼近的理想低通滤波器通带截止频率 c 4rad 滤波器长度N 21 分别选用矩形窗 Hanning窗 Hamming窗和Blackman窗进行设计 绘制用每种窗函数设计的单位脉冲响应h n 及其损耗函数曲线 并进行比较 观察各种窗函数的设计性能 题20 解图 解 本题设计程序ex720 m如下 ex720 m 调用fir1设计线性相位低通FIR滤波器 clear cl
34、oseall N 21 wc 1 4 n 0 20 hrn fir1 N 1 wc boxcar N 用矩形窗函数设计 hnn fir1 N 1 wc hanning N 用hanning窗设计 hmn fir1 N 1 wc hamming N 用hamming窗函数设计 hbn fir1 N 1 wc blackman N 用blackman窗函数设计 以下为绘图部分 省略 程序运行结果 用矩形窗 Hanning窗 Hamming窗和Blackman窗设计的单位脉冲响应h n 及其损耗函数曲线如题20 解图所示 由图可见 滤波器长度N固定时 矩形窗设计的滤波器过渡带最窄 阻带最小衰减也最小
35、 blackman窗设计的滤波器过渡带最宽 阻带最小衰减最大 21 将要求改成设计线性相位高通FIR滤波器 重作题20 解 本题的设计程序除了在每个fir1函数的调用参数中加入滤波器类型参数 high 外 与第20题的程序完全相同 请读者修改并运行程序 完成本题 22 调用MATLAB工具箱函数remezord和remez设计线性相位低通FIR滤波器 实现对模拟信号的采样序列x n 的数字低通滤波处理 指标要求 采样频率为16kHz 通带截止频率为4 5kHz 通带最小衰减为1dB 阻带截止频率为6kHz 阻带最小衰减为75dB 列出h n 的序列数据 并画出损耗函数曲线 解 本题设计程序ex
36、722 m如下 ex722 m 调用remezord和remez设计线性相位低通FIR滤波器 Fs 16000 f 4500 6000 采样频率 边界频率为模拟频率 Hz m 1 0 rp 1 rs 75 dat1 10 rp 20 1 10 rp 20 1 dat2 10 rs 20 rip dat1 dat2 M fo mo w remezord f m rip Fs M M 1 边界频率为模拟频率 Hz 时必须 加入采样频率Fs hn remez M fo mo w 以下为绘图部分 省略 程序运行结果 h n 0 00230 00260 02070 0131 0 01850 00320
37、0278 0 0306 0 01760 0705 0 0402 0 10750 29270 62270 2927 0 1075 0 04020 0705 0 0176 0 03060 02780 0032 0 01850 0131 0 02070 0026 0 0023 单位脉冲响应h n 及其损耗函数曲线如题22 解图所示 题22 解图 23 调用MATLAB工具箱函数remezord和remez设计线性相位高通FIR滤波器 实现对模拟信号的采样序列x n 的数字高通滤波处理 指标要求 采样频率为16kHz 通带截止频率为5 5kHz 通带最小衰减为1dB 过渡带宽度小于等于3 5kHz 阻
38、带最小衰减为75dB 列出h n 的序列数据 并画出损耗函数曲线 解 滤波器的阻带截止频率fs 5500 3500 2000Hz 本题设计程序ex723 m如下 ex723 m 调用remezord和remez设计线性相位高通FIR滤波器 Fs 16000 f 2000 5500 采样频率 边界频率为模拟频率 Hz m 0 1 rp 1 rs 75 dat1 10 rp 20 1 10 rp 20 1 dat2 10 rs 20 rip dat2 dat1 M fo mo w remezord f m rip Fs 边界频率为模拟频率 Hz 时必须加入采样频率Fs hn remez M fo
39、mo w 程序运行结果 滤波器长度为N M 1 11 单位脉冲响应h n 及其损耗函数曲线如题23 解图所示 请读者运行程序查看h n 的数据 题23 解图 24 用窗函数法设计一个线性相位低通FIR滤波器 要求通带截止频率为0 3 rad 阻带截止频率为0 5 rad 阻带最小衰减为40dB 选择合适的窗函数及其长度 求出并显示所设计的单位脉冲响应h n 的数据 并画出损耗函数曲线和相频特性曲线 请检验设计结果 试不用fir1函数 直接按照窗函数设计法编程设计 解 直接按照窗函数设计法的设计程序ex724 m如下 ex724 m 直接按照窗函数设计法编程设计线性相位低通FIR滤波器 wp 0
40、 3 pi ws 0 5 pi rs 40 指标参数 Bt ws wp 过渡带宽度 N ceil 6 2 pi Bt 选hanning窗 求wn长度N wc wp ws 2 r N 1 2 理想低通截止频率wc n 0 N 1 hdn sin wc n r pi n r 计算理想低通的hdn hdn 16 wc pi 在n N 1 2 15点为0 0型 直接赋值wn 0 5 1 cos 2 pi n N 1 求窗函数序列wn hn hdn wn 加窗 以下为绘图部分 省略 题24 解图 程序运行结果 单位脉冲响应h n 及其损耗函数曲线如题24 解图所示 请读者运行程序查看h n 的数据 25
41、 调用MATLAB工具箱函数fir1设计线性相位高通FIR滤波器 要求通带截止频率为0 6 rad 阻带截止频率为0 45 通带最大衰减为0 2dB 阻带最小衰减为45dB 显示所设计的单位脉冲响应h n 的数据 并画出损耗函数曲线 解 本题设计程序ex725 m如下 ex725 m 调用fir1设计线性相位高通FIR滤波器 wp 0 6 pi ws 0 45 pi rs 45 指标参数 wc wp ws 2 理想低通截止频率wc Bt wp ws 过渡带宽度 N1 ceil 6 6 pi Bt hamming窗w n 长度 N N1 mod N1 1 2 如果N1为偶数加1 保证N 奇数 h
42、n fir1 N 1 wc pi high hamming N 计算hn subplot221 yn h n tstem hn yn 调用自编函数tstem绘制hn波形 subplot222 A 1 myplot hn A 调用自编函数myplot绘制损耗函数曲线程序运行结果 滤波器长度N 45 单位脉冲响应h n 及其损耗函数曲线如题25 解图所示 请读者运行程序查看h n 的数据 题25 解图 26 调用MATLAB工具箱函数fir1设计线性相位带通FIR滤波器 要求通带截止频率为0 55 rad和0 7 rad 阻带截止频率为0 45 rad和0 8 rad 通带最大衰减为0 15dB
43、阻带最小衰减为40dB 显示所设计的单位脉冲响应h n 的数据 并画出损耗函数曲线 解 本题设计程序ex726 m如下 ex726 m 调用fir1设计线性相位带通FIR滤波器 wpl 0 55 pi wpu 0 7 pi wsl 0 45 pi wsu 0 8 pi rs 40 指标参数 wc wpl wsl 2 wpu wsu 2 理想带通截止频率wc Bt wpl wsl 过渡带宽度 N ceil 6 2 pi Bt hanning窗wn长度 hn fir1 N 1 wc pi hanning N 计算hn subplot221 yn h n tstem hn yn 调用自编函数tste
44、m绘制hn波形 subplot222 A 1 myplot hn A 调用自编函数myplot绘制损耗函数曲线程序运行结果 滤波器长度N 62 单位脉冲响应h n 及其损耗函数曲线如题26 解图所示 请读者运行程序查看h n 的数据 题26 解图 27 调用remezord和remez函数完成题25 和26 所给技术指标的滤波器的设计 并比较设计结果 主要比较滤波器阶数的高低和幅频特性 解 本题设计程序ex727 m如下 ex727 m 调用remezord和remez设计线性相位高通和带通FIR滤波器 按照题25指标设计高通滤波器 f 0 45 0 6 m 0 1 rp 0 2 rs 45
45、指标参数 dat1 10 rp 20 1 10 rp 20 1 dat2 10 rs 20 rip dat2 dat1 M25 fo mo w remezord f m rip M M 1 hn25 remez M25 fo mo w subplot221 yn h n tstem hn25 yn title a 调用自编函数tstem绘制hn25波形 subplot222 A 1 myplot hn25 A title b 调用自编函数myplot绘制损耗函数曲线 按照题26指标设计带通滤波器 f 0 45 0 55 0 7 0 8 m 0 1 0 rp 0 15 rs 40 指标参数 da
46、t1 10 rp 20 1 10 rp 20 1 dat2 10 rs 20 rip dat2 dat1 dat2 M26 fo mo w remezord f m rip M26 M26 1 hn26 remez M26 fo mo w subplot223 yn h n tstem hn26 yn title c 调用自编函数tstem绘制hn26波形 subplot224 A 1 myplot hn26 A title d 调用自编函数myplot绘制损耗函数曲线程序运行结果 满足题25和26所给技术指标的滤波器长度分别为N25 M25 1 29 N26 M26 1 42 高通滤波器的单位脉冲响应h n 及其损耗函数曲线如题27 解图 a 和 b 所示 带通滤波器的单位脉冲响应h n 及其损耗函数曲线如题27 解图 c 和 d 所示 请读者运行程序查看h n 的数据 题27 解图 remez设计的高通滤波器阶数为窗函数法的64 44 remez设计的带通滤波器阶数为窗函数法的67 74
