1、第 1 页,第二节 导数的求导法则、求导公式,二、 复合函数的求导法则,四、 由参数方程所确定的函数的求导法数,一、 函数的四则运算求导法则,五、 高阶导数求导法则,三、 隐函数的求导法则,第二章 导数与微分,本节预备知识,本节目的与要求,本节重点与难点,本节复习指导,第 2 页,前言,求函数的导数的方法叫微分法。 微分法是指运用求导数的基本法则和基本初等函数的导数公式，求出初等函数导数的方法。 因此我们将要建立最基本的一组求导数的法则和公式。,第二章 导数与微分,本节预备知识,本节目的与要求,本节重点与难点,本节复习指导,第 3 页,一、导数的四则运算法则,定理,第二节 导数的运算,第 4
2、页,推论,第二节 导数的运算,第 5 页,注意：我们目前已知的求导公式是：,1、,2、,3、,4、,5、,特别：,第二节 导数的运算,第 6 页,例1,解,例2,解,第二节 导数的运算,第 7 页,例3,解,例4,解,第二节 导数的运算,第 8 页,例5,解,同理可得,第二节 导数的运算,第 9 页,例6,解,同理可得,例7,解,同理可得,第二节 导数的运算,第 10 页,例8,设,求,解：,因为,所以：,所以,第二节 导数的运算,第 11 页,二、复合函数的求导法则,定理,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)它是微分法中最重要的一个法则。,
3、第二节 导数的运算,第 12 页,推广,例10,解,第二节 导数的运算,第 13 页,例11,解,例12,解：,因为,是由,复合而成，所以,设,求,所以,第二节 导数的运算,第 14 页,例13,解,例14,解,第二节 导数的运算,第 15 页,例15,解,例16,解,第二节 导数的运算,第 16 页,三、隐函数的求导法则,定义:,隐函数的显化,问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?,隐函数求导法则:,用复合函数求导法则直接对方程两边求导.,第二节 导数的运算,第 17 页,例1,解,解得,第二节 导数的运算,第 18 页,例2,解,所求切线方程为,显然通过原点.,第二节 导数的运算,第 1
4、9 页,例3,解,第二节 导数的运算,第 20 页,反函数求导法则,第二节 导数的运算,反函数的导数，亦可以用隐函数的求导方法求出。,第 21 页,例1,解,同理可得,第二节 导数的运算,第 22 页,例2,解,特别地,第二节 导数的运算,第 23 页,对数求导法,观察函数,方法:,先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导方法求出导数.,-对数求导法,适用范围:,第二节 导数的运算,第 24 页,例4,解,等式两边取对数得,第二节 导数的运算,第 25 页,例5,解,等式两边取对数得,第二节 导数的运算,第 26 页,一般地,第二节 导数的运算,第 27 页,四、由参数方程所确定的函数的导数
5、,例如,消去参数,问题: 消参困难或无法消参如何求导?,第二节 导数的运算,第 28 页,由复合函数及反函数的求导法则得,第二节 导数的运算,第 29 页,第二节 导数的运算,第 30 页,例6,解,第二节 导数的运算,第 31 页,所求切线方程为,第二节 导数的运算,第 32 页,五、高阶导数的概念,问题:变速直线运动的加速度.,定义,第二节 导数的运算,第 33 页,记作,三阶导数的导数称为四阶导数,二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数.,二阶导数的导数称为三阶导数,第二节 导数的运算,第 34 页,高阶导数的计算,例1,解,1.直接法:,由高阶导数的定义逐步求高阶导数.,第二节 导数的运算
6、,第 35 页,例2,解,第二节 导数的运算,第 36 页,例3,解,注意:,求n阶导数时,求出1-3或4阶后,不要急于合并,分析结果的规律性,写出n阶导数.(数学归纳法证明),第二节 导数的运算,第 37 页,例4,解,同理可得,第二节 导数的运算,第 38 页,2. 高阶导数的运算法则:,莱布尼兹公式,第二节 导数的运算,第 39 页,例6,解,第二节 导数的运算,第 40 页,3.间接法:,常用高阶导数公式,利用已知的高阶导数公式, 通过四则,运算, 变量代换等方法, 求出n阶导数.,第二节 导数的运算,第 41 页,例7,解,第二节 导数的运算,第 42 页,小结,隐函数求导法则: 直
7、接对方程两边求导;,对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导;,参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则;,高阶导数的定义及物理意义,第二节 导数的运算,第 43 页,总结：初等函数的求导问题,1.常数和基本初等函数的导数公式,第二节 导数的运算,第 44 页,2.函数的和、差、积、商的求导法则,第二节 导数的运算,第 45 页,3.复合函数的求导法则,利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.,注意:初等函数的导数仍为初等函数.,第二节 导数的运算,第 46 页,例1,解,第二节 导数的运算,第 47 页,例2、,求下列函数的导数：,解：,第二节 导数的运算,第 48
8、页,其余：,第二节 导数的运算,第 49 页,注意:,分段函数求导时, 分界点导数用左右导数求.,反函数的求导法则（注意成立条件）;,第二节 导数的运算,第 50 页,复合函数的求导法则 （注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法）;,已能求导的函数:可分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商.,任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述求导法则求出.,关键: 正确分解初等函数的复合结构.,第二节 导数的运算,第 51 页,一、思考题,求曲线 上与 轴平行的切线方程.,第二节 导数的运算,第 52 页,思考题解答,令,切点为,所求切线方程为,和,第二节 导数
9、的运算,第 53 页,练 习 题,第二节 导数的运算,第 54 页,第二节 导数的运算,第 55 页,练习题答案,第二节 导数的运算,第 56 页,练 习 题,第二节 导数的运算,第 57 页,第二节 导数的运算,第 58 页,练习题答案,第二节 导数的运算,第 59 页,第二节 导数的运算,第 60 页,练 习 题,第二节 导数的运算,第 61 页,；,练习题答案,第二节 导数的运算,第 62 页,第二节 导数的运算,本节的学习目的与要求,1 牢记导数的基本公式表； 2 熟练掌握四则运算的求导法则； 3 熟练掌握复合函数的求导法则； 4 熟练掌握隐函数的求导法则； 5 熟练掌握参数方程的求导
10、法则； 6 了解对数求导法；,第 63 页,第二节 导数的运算,本节的学习目的与要求,7. 进行综合性的求导计算 ； 8. 理解高阶导数的定义； 9 理解高阶导数的几何意义； 10掌握高阶导数的求导法。,第 64 页,第二节 导数的运算,本节的重点与难点,一、重点:,1 牢记导数的基本公式表； 2 利用各种求导法则和公式进行较复杂导数计算； 3 复合函数求导法则的运用； 4. 隐函数求导法则的运用； 5 . 理解高阶导数的几何意义； 6 掌握高阶导数的求导法。,第 65 页,第二节 导数的运算,二、难点:,1 复合函数求导法则的运用； 2 隐函数求导法则的运用； 3 各种求导法则的合理运用； 4 综合性的求导计算； 5 高阶导数的几何意义的应用。,本节的重点与难点,
