1、 1 / 9小船过河问题轮船渡河问题：（1）处理方法：轮船渡河是典型的运动的合成与分解问题，小船在有一定流速的水中过河时，实际上参与了两个方向的分运动，即随水流的运动（水冲船的运动）和船相对水的运动（即在静水中的船的运动） ，船的实际运动是合运动。V 水v 船v2v11渡河时间最少：在河宽、船速一定时，在一般情况下，渡河时间，显然，当 时，即船头的指向与河岸垂直，渡河时间最sin1船 dt90小为 ，合运动沿v的方向进行。2位移最小若 水船 v 水v 船v结论船头偏向上游，使得合速度垂直于河岸，位移为河宽，偏离上游的角度为 船水cos若 ，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的
2、距离最短水船 v呢？如图所示，v 水vAB Ev 船设船头 v 船 与河岸成 角。合速度 v 与河岸成 角。可以看出： 角越大，船漂下的距离 x 越短，那么，在什么条件下 角最大呢？以 v 水 的矢尖为圆心，v 船 为半径画圆，当 v 与圆相切时， 角最大，根据 船头与河岸的夹角应为水船cos2 / 9，船沿河漂下的最短距离为：水船varcossin)(min船船水 vdx此时渡河的最短位移： 船 水cos【例题】河宽 d60m，水流速度 v16ms，小船在静水中的速度 v2=3ms，问：(1)要使它渡河的时间最短，则小船应如何渡河?最短时间是多少?(2)要使它渡河的航程最短，则小船应如何渡河
3、?最短的航程是多少?解析： (1)要使小船渡河时间最短，则小船船头应垂直河岸渡河，渡河的最短时间 sdt20362(2)渡河航程最短有两种情况：船速 v2大于水流速度 v1时，即 v2v1时，合速度 v 与河岸垂直时，最短航程就是河宽；船速 v2小于水流速度 vl时，即 v2v1时，合速度 v 不可能与河岸垂直，只有当合速度 v 方向越接近垂直河岸方向，航程越短。可由几何方法求得，即以 v1的末端为圆心，以v2的长度为半径作圆，从 v1的始端作此圆的切线，该切线方向即为最短航程的方向，如图所示。设航程最短时，船头应偏向上游河岸与河岸成 角，则，2163cos120最短行程， md2cos小船的
4、船头与上游河岸成 600角时，渡河的最短航程为 120m。技巧点拔：对第一小问比较容易理解，但对第二小问却不容易理解，这里涉及到运用数学知识解决物理问题，需要大家有较好的应用能力，这也是教学大纲中要求培养的五种能力之一。【例题】在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流3 / 9去，水流速度为 v1，摩托艇在静水中的航速为 v2，战士救人的地点 A 离岸边最近处 O 的距离为 d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离 O 点的距离为( C ) A B0 21C D2d12d解析：摩托艇要想在最短时间内到达对岸，其划行方向要垂直于江岸，摩托艇实际的运动是
5、相对于水的划行运动和随水流的运动的合运动，垂直于江岸方向的运动速度为 v2，到达江岸所用时间 t= ；沿江岸方向的运动速度是水速 v1在相同的时间内，被水冲下的2vd距离，即为登陆点距离 0 点距离 。答案：C21vdts【例题】某人横渡一河流，船划行速度和水流动速度一定，此人过河最短时间为了T1；若此船用最短的位移过河，则需时间为 T2，若船速大于水速，则船速与水速之比为（ ） (A) (B) (C) (D) 21122121T解析：设船速为 ，水速为 ，河宽为 d ，则由题意可知 ： 1v2v 1vd当此人用最短位移过河时，即合速度 方向应垂直于河岸，如图所示，则212vdT联立式可得：
6、，进一步得1221vT2121Tv【例题】小河宽为 d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速度为vkxv04，水，则下列说法中正确的是（ A ）0A、小船渡河的轨迹为曲线B、小船到达离河岸 处，船渡河的速度为2d02vC、小船渡河时的轨迹为直线4 / 9D、小船到达离河岸 处，船的渡河速度为4/3d01v高中物理-渡河模型习题讲解【模型概述】在运动的合成与分解中，如何判断物体的合运动和分运动是首要问题，判断合运动的有效方法是看见的运动就是合运动。合运动的分解从理论上说可以是任意的，但一般按运动的实际效果进行分解。小船渡河
7、和斜拉船等问题是常见的运动的合成与分解的典型问题【模型讲解】一、速度的分解要从实际情况出发例 1. 如图 1 所示，人用绳子通过定滑轮以不变的速度 拉水平面上的物体 A，当绳与0v水平方向成 角时，求物体 A 的速度。图 1解法一（分解法）：本题的关键是正确地确定物体 A 的两个分运动。物体 A 的运动（即绳的末端的运动）可看作两个分运动的合成：一是沿绳的方向被牵引，绳长缩短。绳长缩短的速度即等于 ；二是随着绳以定滑轮为圆心的摆动，它不改变绳长，只改变01v角度 的值。这样就可以将 按图示方向进行分解。所以 及 实际上就是 的两个A 1v2Av分速度，如图 1 所示，由此可得 。cos01v解
8、法二（微元法）：要求船在该位置的速率即为瞬时速率，需从该时刻起取一小段时间来求它的平均速率，当这一小段时间趋于零时，该平均速率就为所求速率。设船在 角位置经t 时间向左行驶 x 距离，滑轮右侧的绳长缩短L，如图 2 所示，当绳与水平方向的角度变化很小时，ABC 可近似看做是一直角三角形，因而有，两边同除以t 得：cosxL cost5 / 9即收绳速率 ，因此船的速率为：cos0Avcos0vA图 2总结：“微元法” 。可设想物体发生一个微小位移，分析由此而引起的牵连物体运动的位移是怎样的，得出位移分解的图示，再从中找到对应的速度分解的图示，进而求出牵连物体间速度大小的关系。解法三（能量转化法
9、）：由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功。人对绳子的拉力为 F，则对绳子做功的功率为 ；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可01FvP知，拉力大小也为 F，则绳子对物体做功的功率为 ，因为 所以cos2A21P。cos0vA评点：在上述问题中，若不对物体 A 的运动认真分析，就很容易得出的错误结果；当物体 A 向左移动， 将逐渐变大， 逐渐变大，虽然人s0vA Av做匀速运动，但物体 A 却在做变速运动。总结：解题流程：选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动） ；确定该点合速度方向（物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变；确定该点合速度的实际运动效果从而依据平行四
10、边形定则确定分速度方向；作出速度分解的示意图，寻找速度关系。二、拉力为变力，求解做功要正确理解例 2. 如图 3 所示，某人通过一根跨过定滑轮的轻绳提升一个质量为 m 的重物，开始时人在滑轮的正下方，绳下端 A 点离滑轮的距离为 H。人由静止拉着绳向右移动，当绳下端到 B 点位置时，人的速度为 v，绳与水平面夹角为 。问在这个过程中，人对重物做了多少功？6 / 9图 3解析：人移动时对绳的拉力不是恒力，重物不是做匀速运动也不是做匀变速运动，故无法用 求对重物做的功，需从动能定理的角度来分析求解。cosFW当绳下端由 A 点移到 B 点时，重物上升的高度为：sin)1(sinHh重力做功的数值为
11、： si)(mgWG当绳在 B 点实际水平速度为 v 时，v 可以分解为沿绳斜向下的分速度 和绕定滑轮逆时1v针转动的分速度 ，其中沿绳斜向下的分速度 和重物上升速度的大小是一致的，从图中2v1v可看出： cos1v以重物为研究对象，根据动能定理得： 021mvWG人 2cossin)(gH人【实际应用】小船渡河两种情况：船速大于水速；船速小于水速。7 / 9两种极值：渡河最小位移；渡河最短时间。例 3. 一条宽度为 L 的河，水流速度为 ，已知船在静水中速度为 ，那么：水v船v（1）怎样渡河时间最短？（2）若 ，怎样渡河位移最小？水船 v（3）若 ，怎样渡河船漂下的距离最短？水船 解析：（1
12、）小船过河问题，可以把小船的渡河运动分解为它同时参与的两个运动，一是小船运动，一是水流的运动，船的实际运动为合运动。如图 4 所示。设船头斜向上游与河岸成任意角 。这时船速在垂直于河岸方向的速度分量为 ，渡河所需要的sin1船v时间为 ，可以看出：L、v 船 一定时，t 随 sin 增大而减小；当sin1船vt时， （最大） 。所以，船头与河岸垂直 。90i 船vLtmin图 4（2）如图 5 所示，渡河的最小位移即河的宽度。为了使渡河位移等于 L，必须使船的合速度 v 的方向与河岸垂直，即使沿河岸方向的速度分量等于 0。这时船头应指向河的上游，并与河岸成一定的角度 ，所以有 ，即 。水船 v
13、cos船水varcos图 58 / 9因为 ，所以只有在 时，船才有可能垂直河岸渡河。1cos0水船 v（3）若 ，则不论船的航向如何，总是被水冲向下游，怎样才能使漂下的距离水船 v最短呢？如图 6 所示，设船头 v 船 与河岸成 角。合速度 v 与河岸成 角。可以看出： 角越大，船漂下的距离 x 越短，那么，在什么条件下 角最大呢？以 v 水 的矢尖为圆心，v 船为半径画圆，当 v 与圆相切时， 角最大，根据 水船cos图 6船头与河岸的夹角应为 ，船沿河漂下的最短距离为：水船varcossin)c(min船船水 Lvx此时渡河的最短位移： 船 水vcos误区：不分条件，认为船位移最小一定是
14、垂直到达对岸；将渡河时间最短与渡河位移最小对应。【模型要点】处理“速度关联类问题”时，必须要明白“分运动”与“合运动”的关系：（1）独立性：一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（）互不干扰。分分 、 sv（2）同时性：合运动与分运动同时开始、同时进行、同时结束。9 / 9（3）等效性：合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动同时发生、同时进行、同时结束，经历相等的时间，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代。功是中学物理中的重要概念，它体现了力对物体的作用在空间上的累积过程，尤其是变力做功中更能体现出其空间积累的过程。所以在处理变力功可采用动能定律、功能原理、图象法、平均法等。【模型演练】（2005 祁东联考）小河宽为 d，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸边的距离成正比， ，x 是各点到近岸的距离，小船船头垂直河岸渡河，小船划水速vkxv04，水度为 ，则下列说法中正确的是（ ）0A. 小船渡河的轨迹为曲线B. 小船到达离河岸 处，船渡河的速度为2d02vC. 小船渡河时的轨迹为直线D. 小船到达离河岸 处，船的渡河速度为4/3d01v答案：A
