1、温馨提示：此套题为 Word 版，请按住 Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。单元评估检测（七）（第七章）（120 分钟 150 分）一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.(2012广州模拟)若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的( )(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件2.在ABC 中，AB2，BC1.5，ABC120，若使ABC 绕直线 BC 旋转一周，则所形成的几何体的体积是( )(A) (B) (C)
2、 (D) 32 52 72 923.(2012株洲模拟)已知三条不重合的直线 m、n、l，两个不重合的平面，有下列命题若 l，m，且 ，则 lm若 l，m，且 lm，则 若 m，n ，m，n，则 若 ，m，n ，nm，则 n其中真命题的个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)14.(2011安徽高考)一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )(A)48 (B)328 17(C)488 (D)80来源:学科网 ZXXK175.如图，平行四边形 ABCD 中，ABBD，沿 BD 将ABD 折起，使面 ABD面BCD，连接 AC，则在四面体 ABCD 的四个面中，互相垂直的平
3、面的对数为( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)16.(2012珠海模拟)如图为棱长是 1 的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题：点 M 到 AB 的距离为 ；22三棱锥 CDNE 的体积是 ；16AB 与 EF 所成的角是 . 2其中正确命题的个数是( )(A)0 (B)1 (C)2 (D)37.如图所示，二面角 l 的棱上 有 A、B 两点，直线 AC、BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知 AB4，AC6，BD8，CD2 ，17则该二面角的大小为( )(A)150 (B)45 (C)60 (D)1208.(易错题)如图，四边形 ABCD 中，AB
4、ADCD1，BD ，BDCD.将四边2形 ABCD 沿对角线 BD 折成四面体 ABCD，使平面 ABD平面 BCD，则下列结论正确的是( )(A)ACBD(B)BAC90(C)CA与平面 ABD 所成的角为 30(D)四面体 ABCD 的体积为13二、填空题(本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.请把正确答案填在题中横线上)9.已知三个球的半径 R1，R 2，R 3满足 R12R 23R 3，则它们的表面积S1，S 2，S 3满足的等量关系是 .10.一个正四棱柱的各个顶点都在一个半径为 2 的球面上，如果正四棱柱的底面边长为 2，那么该棱柱的表面积为 .11.(2012长沙模拟
5、)一个五面体的三视图如图，正视图与侧视图是等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，部分边长如图所示，则此五面体 的体积为 .12.如图，在正三棱柱 ABCA 1B1C1中，D 为棱 AA1的中点，若截面BC 1D 是面积为 6 的直角三角形，则此三棱柱的体积为 .13.(2012宜春模拟)三棱锥 SABC 中，SBASCA90，ABC 是斜边ABa 的等腰直角三角形，给出以下结论：异面直线 SB 与 AC 所成的角为 90；直线 SB平面 ABC；平面 SBC平面 SAC；点 C 到平面 SAB 的距离是 a.12其中正确结论的序号是 .14.等边三角形 ABC 与正方形 ABDE 有一公共边 AB
6、，二面角 CAB D 的余弦值为 ，M，N 分别是 AC，BC 的中点，则 EM，AN 所成角的余弦值等于 .33三、解答题(本大题共 6 小题，共 80 分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15.(12 分)(2012揭阳模拟)已知四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，ABCD，ADCD1，BAD120，PA ，ACB90.3(1)求证：BC平面 PAC；(2)求直线 PC 与平面 PAB 所成的角的正弦值.16.(13 分)(预测题)如图甲，直角梯形 ABCD 中，ABCD，DAB ，点 M、N 2分别在 AB、CD 上，且 MNAB，MCCB，BC2，MB4，现将梯形
7、 ABCD 沿 MN折起，使平面 AMND 与平面 MNCB 垂直(如图乙).(1)求证：AB平面 DNC；(2)当 DN 的长为何值时，二面角 DBCN 的大小为 30？17.(13 分)如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是正方形，侧棱 PA底面ABCD，PAAD，E、F 分别是 PD、BC 的中点 .(1)求证：AEPC；(2)求直线 PF 与平面 PAC 所成的角的正切值.18.(14 分)如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1中，ABAC5，D，E 分别为BC，BB 1的中点，四边形 B1BCC1是边长为 6 的正方形.(1)求证：A 1B平面 AC1D；(2)求证：CE平面
8、 AC1D；来源:学科网(3)求二面角 CAC 1D 的余弦值.19.(14 分)(2012佛山模拟)如图，四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA底面 ABCD，PAAB1，AD ，点 F 是 PB 的中点，点 E 在边 BC 上移动.3(1)点 E 为 BC 的中点时，试判断 EF 与平面 PAC 的位置关系，并说明理由；(2)证明：无论点 E 在 BC 边的何处，都有 PEAF；(3)当 BE 等于何值时，PA 与平面 PDE 所成角的大小为 45.20.(14 分)(探究题)如图，已知 ABCDA 1B1C1D1是棱长为 3 的正方体，点 E 在AA1上，点 F 在 CC1
9、上，且 AEFC 11.(1)求证：E，B，F，D 1四点共面；(2)若点 G 在 BC 上，BG ，点 M 在 BB1上，GMBF，垂足为 H，求证：EM平23面 BCC1B1；(3)用 表示截面 EBFD1和侧面 BCC1B1所成的锐二面角的大小，求 tan.答案解析1. 【解析】选 A.充分性成立：“这四个点中有三点在同一直 线上”有两种情况：第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一直线上” ；第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在同一个平面上” ；必要性不成立：“四个点在同一平面上”推不出 “三点在同一直线上 ”.故选 A.2.【解题指南】ABC 绕 直线 BC
10、旋转一周后所得几何体 为一圆锥，但其内部缺少一部分.用大圆锥的体积减去小圆锥的体积即为所求几何体的体积.【解析】选 A.旋转后得到的几何体是一个大圆锥中挖去一个小圆锥.故所求体积为 VV 大圆锥 V 小圆锥 r2(11.51) .13 323.【解析】选 C.中的直 线 l、m 可能平行、相交或异面，故不正确；中由垂直于同一直线的两平面平行可得 ；中的 ， 可能相交，故不正确；中由面面垂直的性质定理知正确.综上正确.4.【解题指南】由三视图得到几何体的直观图，根据直观图求得几何体的表面积.【解析】选 C.由三视图知该几何体的直观图如图所示.几何体的下底面是边长为 4 的正方形；上底面是长为 4
11、、宽为 2 的矩形；两个梯形侧面垂直于底面，上底长为 2、下底长为 4、高为 4；另两个侧面是矩形，且宽为4、长为 .42 12 17所以 S 表 4224 (24)42 4 2488 .12 17 175.【解析】选 B.因为 ABBD，面 ABD面 BCD，且交 线为 BD，故有 AB面BCD，则面 ABC面 BCD，同理 CD面 ABD，则面 ACD面 ABD，因此共有 3对互相垂直的平面.6. 【解析】选 D.依题意可作出正方体的直观图如图，显然 M 到 AB 的距离为 MC12 ，正确，22而 VCDNE 111 ，正确，1312 16AB 与 EF 所成的角等于 AB 与 MC 所
12、成的角，即 为 ，2正确.7.【解题指南】画出图形，根据图形选取基向量，用向量法求角.【解析】选 C.由条件知， CAB0， DA0，CDAB.222 22|D2CB6486cosCA,BD(2 )2，17 cosCA,B ， CA,B120，12 D60，即二面角的大小为 60.8.【解析】选 B.在题图(2)中取 BD 的中点 M，连接 MC、AM.ABAD，AMBD.又平面 ABD平面 BCD，AM平面 BCD.选项 A 中，若 ACBD，那么 BD平面 AMCBDMC.而 BDCD，显然 BDMC 不可能，A 不正确；选项 B 中，BDCD 且平面 ABD平面 BCD，来源:Z&xx&
13、k.Com可得 CD平面 ABD，可知 CDAD，在ACD 中， ADCD1 AC .2又AB1 ，CB .BD2 CD2 2 1 3在ABC 中，AB 2AC 2BC 2，BAC90，故 B 正确；选项 C 中，由分析知，CAD 即为 CA与平面 ABD 所成的角，在 RtADC 中，cosCAD ，ADAC 12 22CAD 为 45，故 C 不正确；选项 D 中，由 知 AM平面 BCD，得 VABCD SBCDAM 113 1312 2 ，故 D 不正确.故选 B.22 169.【解析】S 14R 12， 2 R1，S1 同理： 2 R2， 2 R3，S2 S3 故 R1 ，R2 ，R
14、3 ，S12 S22 S32由 R1 2R23R 3，得 2 3 .S1 S2 S3答案： 2 3S1 S2 S310.【解题指南】根据正四棱柱的体对角线与球直径相等解题.【解析】设正四棱柱的高为 h，则2R4 ，得 h2 .22 22 h2 2故 S 表 4(22 )22 2816 .2 2答案：816 211. 【解析】由三视图可知，此几何体是一个底面为直角梯形，有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其体积为 V (12)222.1312答案：2【方法技巧】三视图的考查方式三视图是新课标的新增内容，主要考查学生的空间想象能力，新增内容总会重点考查，所以近年来三视图的有关问题一直是高考考查的重点和热
15、点，其考查方式有以下特点：一是给出空间图形选择其三视图；二是给出三视图，判断其空间图形或还原直观图，有时也会和体积、面积、角度的计算或线面位置关系的判定相结合.12. 【解 析】设正三棱柱的底面 边长为 a，高为 2h，则 BDC 1D ，a2 h2BC1 ，由 BC1D 是面积为 6 的直角三角形，a2 4h2得Error!，解得 Error!，故此三棱柱的体积为 V 8sin 6048 .12 3答案：8 313.【解析】由题意知 AC平面 SBC，故 ACSB，SB平面 ABC，平面 SBC平面 SAC，正确；取 AB 的中点 E，连接 CE，可证得 CE平面 SAB，故 CE 的长度即
16、为 C 到平面 SAB 的距离，为 a，正确.12答案：14.【解析】设 AB2，作 CO平面 ABDE，OHAB，则 CHAB，CHO 为二面角 C AB D 的平面角，CH ，OHCHcosCHO 1，结合等边三 角形3ABC 与正方形 ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则 ANEMCH .3AN ( B )，EM AC E，12 12 E ( )( ) .12 12 12故 EM，AN 所成角的余弦值为 NE|A| .16答案：1615. 【解析】(1)PA 底面 ABCD，BC 平面 AC，PABC，ACB90，BCAC，又 PAACA，BC 平面 PAC.(2)过 C 作 CEAB
17、于 E，连接 PE，PA底面 ABCD，CE平面 PAB，直线 PC 与平面 PAB 所成的角为 EPC，AD CD1， ADC60， AC1，又 PA ，在 RtPAC 中，PC2，3RtACE 中求得 CE ，32sinEPC .3416. 【解析】如图，以点 N 为坐标原点，以 NM，NC，ND 所在直线分别作为 x 轴，y 轴和 z 轴 ，建立空间直角坐标系.易得 NC 3，MN ，3设 DNa，则 D(0,0，a)，C(0,3,0)，B( ，4,0)，M( ，0,0)，A( ，0，a).3 3 3(1)ND(0,0，a)， C(0,3,0) ，AB(0,4，a). AB(0,0 ，a
18、) (0,3,0) ND C，43 43ND，NC平面 DNC，且 NDNCN ，与平面 DNC 共面，又 AB平面 DNC，AB平面 DNC.(2)设平面 DBC 的法向量 n1(x，y，z)， DC(0,3，a)， CB( ，1,0)3则 1DC3yaz0BxnA，令 x1，则 y ，z ，n1(1， ， ).333a 3 33a又平面 NBC 的法向量 n2(0,0,1).cosn1，n2 12|A .33a1 3 27a21 32即： ，a2 ，又 a0，a .6a 1 3 27a2 94 32即 DN .3217.【解析】方法一：(1)因为 PA底面 ABCD，所以 PADC因为底面
19、 ABCD 是正方形，所以 ADDC.ADPAA，故 DC平面 PAD，AE平面 PAD，所以 AEDC，又因为 PA AD，点 E 是 PD 的中点，所以 AEPD，PDDCD，故 AE平面 PDC，PC平面 PDC，所以 AEPC.(2)连接 BD，过点 F 作 FHAC 于点 H，连接 PH，由 F 是棱 BC 的中点，底面是正方形，可得 FHBD，FH BD，14又由 PA底面 ABCD 得到 PAFH，ACPAA，故 FH平面 PAC，所以FPH 为直线 PF 与平面 PAC 所成的角，设 AD1，得到 FH ，24在 RtPAH 中， PH ，344tanFPH .FHPH 171
20、7方法二：以 A 为原点，分别以 AB， D， P的方向为 x，y，z 轴正方向建立空间直角坐标系，设PAAD 1，则 A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)，(1)点 E、F 分别是 PD、BC 的中点，E(0， )，12 12F(1，0).12AE(0， )，PC(1,1，1)， AE PC0，所以 AEPC.12 12(2)连接 BD，由 PA底面 ABCD 得到PABD，ACBD，ACPAA，BD 平面 PAC.取平面 PAC 的一个法向量 BD(1,1,0)，设直线 PF 与平面 PAC 所成的角为 ，PF(1，1)12sin|cos
21、 BD，PF| | PF|A| ，26cos ，故 tan .346 171718.【解析】(1)连接 A1C，与 AC1 交于 O 点，连接 OD.因为 O，D 分别为 AC1 和 BC 的中点，所以 ODA1B.又 OD平面 AC1D，A1B平面 AC1D，所以 A1B平面 AC1D.(2)在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，BB1平面 ABC，又 AD平面 ABC，所以 BB1AD.因为 ABAC ，D 为 BC 的中点，所以 ADBC.又 BCBB1B，所以 AD平面 B1BCC1.又 CE平面 B1BCC1，所以 ADCE.因为四边形 B1BCC1为 正方形，D，E 分别为 BC，
22、BB1 的中点，所以 RtCBERtC1CD，CC1DBCE.所以BCE C1DC90.所以 C1DCE.又 ADC1DD，所以 CE平面 AC1D.(3)如图 ，以 B1C1 的中点 G 为原点，建立空间 直角坐标系.则 A(0,6,4)，E(3,3,0)，C(3,6,0)，C 1(3,0,0).由(2)知 CE平面 AC1D，所以 CE(6，3,0)为平面 AC1D 的一个法向量 .设 n(x ，y，z)为平面 ACC1 的一个法向量，AC(3,0，4)， C(0，6,0).由 10n可得Error!令 x1，则 y0， z .34所以 n(1,0， ).34从而 cosCE，n |A .
23、8255因为二面角 CAC 1 D 为锐角，所以二面角 CAC 1 D 的余弦值为 .来源:学科网 ZXXK852519.【解析】(1)当点 E 为 BC 的中点时，EF 与平面 PAC 平行.在PBC 中，E、F 分别为 BC、PB 的中点，EFPC，又 EF平面 PAC，而 PC平面 PAC，EF平面 PAC.(2)PA平面 ABCD，BE 平面 ABCD，EBPA，又 EBAB，ABAPA ，AB，AP平面 PAB，EB平面 PAB，又 AF平面 PAB，AFBE.又 PAAB1，点 F 是 PB 的中点， AFPB，又PBBEB，PB， BE 平面 PBE，AF平面 PBE .来源:Z
24、。xx。k.ComPE平面 PBE，AFPE，即无论点 E 在 BC 边的何处，都有 PEAF.(3)过 A 作 AGDE 于 G，连接 PG，又 PA平面 ABCD，DE平面ABCD，DEPA，又 AGDE，AGPAA ，则 DE平面 PAG，于是，平面PAG平面 PDE，它们的交线是 PG，过 A 作 AMPG，垂足为 M，则 AM平面PDE，即 PA 在平面 PDE 上的射影是 PM，所以 PA 与平面 PDE 所成的角是APG45.在 RtPAG 中，PAAG1，DG ，设 BEx，AGE2ABE，则 GEx，CE x，在 RtDCE 中，( x) 2( x) 21 2，得3 2 3B
25、Ex .3 220. 【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则 BE(3,0,1) ， F(0,3,2)， 1BD(3,3,3) ，所以 1D ，故 ， ，共面.又它们有公共点 B，所以 E，B，F，D1 四点共面.(2)设 M(0,0，z)，则 GM(0 ， ，z)，23而 F(0,3,2) ，由题设得 B 3z2 0，23得 z1.因为 M(0,0,1)，E(3,0,1)，有 E(3,0,0)，又 1(0,0,3) ， C(0,3,0)，所以 ME 1B0， E 0，从而 MEBB1，MEBC.又 BB1BCB，故 ME平面 BCC1B1.(3)设向量 P(x，y,3) 且 BP截面 EBFD1，于是 BP E， F.而 (3,0,1) ， (0,3,2)，得 3x30， BP 3y60，解得 x1，y2，所以 BP(1，2,3).又 A(3,0,0) 且 BA平面 BCC1B1，所以 和 的夹角等于 或 ( 为锐角 ).于是 cos |BP|A .114故 tan .13
