1、前面和大家探讨了一下盈亏问题的解题思路，很多家长给予了我很大的支持和鼓励，并且希望我再就鸡兔同笼问题继续探讨一下。既蒙各位抬爱，虽是瞽言萏议，也惟有敬陈管见了。 （如孩子不明白这些成语，让孩子查查成语字典吧，算是语文作业）鸡兔同笼问题的解法有很多，粗略搜索下就有列表法、画图法、假设法、抬腿法、方程法等等不一而足。其中，列表法、画图法比较直观，但对稍微复杂点的题目就捉襟见肘了；抬腿法比较有趣，但适用性有些局限；方程法当然强大无比，但咱孩子学得是奥数啊所以，还是着重探讨下假设法吧：基本典型问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这是大约 1500 年前， 孙子算经记录的问题，
2、也是鸡兔同笼问题的基本典型例题。鸡兔同笼的基本典型问题的解答思路并不复杂：一只鸡 1 个头 2 条腿，一只兔 1 个头 4 条腿。假设 35 个头全是鸡头，那么就应该有 235=70 条腿。而题目中条件为 94 条腿。现在用一只兔换一只鸡，头数没有变化，腿数由 2 条鸡腿变成了 4 条兔腿，也就是增加了 2 条腿。再重申下，用一只兔换一只鸡，头数不变，腿数增加 2 条。为了满足题目中 94 条腿的要求，需要增加 94-70=24条腿，也就是要换 242=12 只兔。由此可得，鸡为 35-12=23 只。这就是鸡兔同笼的基本典型问题采用的“假设法”了。我觉得“假设法”称为“假设替换法”或“替换法
3、”可能才更准确些，因为准确把握替换的前提要求和实质涵义才是关键。我们再来分析一下基本典型例题，在这一类问题中，通常有两类物品（鸡和兔） ，分别都具有两项特征值（头数和腿数） ，其中一项特征值单位数量相同（鸡、兔头数量相同） ，另一项特征值单位数量不同（鸡、兔腿数量不同） 。要认识到，只有其中有一项单位特征值相同时，上述替换方法才有效。或者反过来说，仅当两类物体仅有一项单位特征值不同时，替换法才能根据假设及替换对该不同的单位特征值的变化情况，得到相应结果。正如典型例题中，因为鸡和兔的单位头数相同（都只有一个） ，只有单位腿的数量不同，我们将鸡兔替换时才不用担心头的变化，而仅关注于腿的变化。另外，
4、要让孩子清楚知道，替换法要关注的是替换所产生的单位差值。就像基本题型中的242 中的“2”不是鸡的腿数，而是兔腿和鸡腿的单位差值。例题 1：蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和 2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀。这三种小虫共 18 只，有 118 条腿和 20 对翅膀.每种小虫各几只？分析：本题中有三类物品（蜘蛛、蜻蜓和蝉） ，涉及有三项特征值（头、腿和翅膀） 。我们前面分析说两类物体有一项特征值不同时，替换才能达到效果。因此，这种题要先考虑将其按特征值归为两“类” 。仔细观察就会发现蜻蜓和蝉的腿是一样的，我们可以将它们归为同一类。这样我们先关注头和腿，也就是“8 腿动物和 6 腿动物
5、共 18 只，腿 118 条” ，应用基本典型解答思路，容易求得 8 腿动物（蜘蛛）为 5 只，6 腿动物为 13 只。现在我们知道蜻蜓和蝉共有 13 只。再来看翅膀， “蜻蜓（2 翅）和蝉（1 翅）共有 13 只，翅膀共 20 对” 。这当然也是个基本典型问题了。具体解法就不详述了。例题 2：传说很久之前有九头鸟和九尾鸟，九头鸟九头一尾，九尾鸟九尾一头，这两种鸟栖息树林时，猎人数了数，共有鸟头 261 个，鸟尾有 269 条。问 九头鸟，九尾鸟各多少只？分析：我们尝试就会发现，因为九头鸟和九尾鸟的头和尾都不相同，直接替换就会出现“按下葫芦浮起瓢”的情况，是无法直接用替换法解答的。记住我们上面
6、分析的，两类物体仅有一项特征值不同时，假设替换才有效。我们就要考虑将其中的某一项转化为相同的情况。于是，我们可以考虑将九只九尾鸟捆绑在一起，这样就形成了一个“九头八十一尾”的新怪物。这时，才可以采用替换法将九头鸟和“九头八十一尾”的新怪物进行替换。先假设全是九头鸟，那么就有 2619=29 只。这种情况下，尾有 29 条，可实际有 269 条。一只九尾鸟换一“捆” “九头八十一尾”的新怪物，头不变，尾会增加 80 条。我们需要增加 269-29=240 条尾，于是需要换 24080=3 捆。别忘了再将捆绑的新怪物还原为九尾鸟。3 捆九尾鸟也就是 39=27 只九尾鸟。29-3=26 只九头鸟。
7、例题 3：传说很久之前有九头鸟和九尾鸟，九头鸟九头一尾，九尾鸟九尾一头，这两种鸟栖息树林时，猎人数了数，共有鸟头 268 个，鸟尾有 332 条。问 九头鸟，九尾鸟各多少只？ 分析：乍一看，一定以为我肯定是又复制、粘贴了一下。不就和上题一样吗？好吧，我们还是来做做看。同样的，我们将九只九尾鸟捆绑在一起，这样就形成了一个“九头八十一尾”的新怪物。假设全是九头鸟，就会有 2689=29.7 居然有余数！这可怎么办？别着急，先仔细想想这余数是怎么来的。这说明九尾鸟的数量不是 9 的倍数，也就是说，有 7 只九尾鸟凑不足 9 个捆在一起。那好，我们还是先将这 7只九尾鸟先拿走，这样头剩下 268-7=
8、261，尾剩下 332-79=269。于是题目变成了“除了 7 只九尾鸟以外，还有 261 头，269 尾” 。这题就熟悉了。别忘了加上开始拿走的 7 只九尾鸟。于是得到一共有 34 只九尾鸟，29-3=26 只九头鸟。个人觉得，真正利用鸡兔同笼基本典型问题解决方法无非以上几种，一种是多类多特征值，我们要善于抓住其中相同的特征值，将其分别归为“两类”再“两类”的来解决；另一种是两个特征值都不相同，要善于采用“捆绑法”或“拆分法”将其中的一个特征值转化为相同的情况再进行假设替换。还需要引导孩子不断分析并简化题目，遇到复杂的点，采用简单的假设方法消除。抽丝剥茧，层层递进，最后成为我们熟悉的典型例题
9、模式，然后当然别忘了逐步还原，最终总能达成正果。例 4 四年前，父母年龄（整数）和是 78 岁，兄弟的年龄和是 17 岁。现在，父的年龄是弟的年龄的 4 倍，母的年龄是兄的年龄的 3 倍.问今年各位的年龄？分析：由题给的条件，可知今年年父母年龄和是 78+8=86 岁，兄弟年龄和是 17+8=25 岁。结合条件中给出今年父的年龄是弟的 4 倍，母的年龄是兄的 3倍，你能想到啥？如果还没明白，我们换个题目吧：“A 物 1 头 4 足， B 物 1 头 3 足，已知A、B 共有头 25，足 86，问 A、B 各几何？”你明白了吗？如果你明白了，我们很容易算出今年兄 14 岁，弟 11 岁，父 44
10、 岁，母42。有些题目看上去跟鸡兔同笼搭不上边，我们却可以利用基本类型的鸡兔同笼解题思路来解，如例题 4。还有一些变形的鸡兔同笼问题，虽然形似，其实已神离了，也就不是利用典型问题的解题办法了。当然，抽丝剥茧，层层递进，将其转化为我们熟悉的类型，然后再逐步还原，还是一个主要的解题思路。例题 5：已知共有鸡、兔 109 只，如果鸡腿比兔腿的 3 倍少 6 只，那么有鸡、兔各多少只？分析: 鸡腿比兔腿的 3 倍少 6 只，说实话，少 6 只这个显然是个“犯嫌”的条件。既然这样，我们能否把这少 6 只销去呢？显然，我们可以再借 3 只鸡来，就可以将条件转化为“共有鸡、兔 112 只，鸡腿是兔腿的 3
11、倍” 。鸡腿是兔腿的 3 倍，这可以转化为简单的倍数问题，就是鸡是兔的 6 倍。问题转换为“共有鸡兔共 109+3=112 只，鸡腿是兔腿的 3 倍” 。这下应该比较明了了，根据“鸡腿是兔腿的 3 倍”可得出鸡兔比例是 6:1，这下应该是简单的倍数问题了，能直接解答出兔的数量为 1127=16 只。鸡的数量为 166=96 只。最后别忘了还掉借来的 3 只鸡，于是，得出最终答案，鸡为 93 只，兔为 16 只。例题 6：鸡兔共 118 只,兔腿比鸡腿的 3 倍多 282,问鸡、各兔多少只分析：沿用上面的方法，首先想把兔腿多的 282 只先去掉当然是一个思路。但是 2824=70.5，也就是要先
12、拿走 70.5 只兔才会变成兔腿是鸡腿的 3 倍。这里出现了非整数！当然，如果孩子对小数也能理解，按照这个思路继续计算下去，把题目变成“鸡、兔共 47.5 只，兔腿是鸡腿的 3 倍” ，然后再根据兔腿是鸡腿的 3 倍，可得兔与鸡的比为 3:2，其实也是可以解答并最终还原答案出来的。但这里，我们换一种思路。这个题目中，兔腿是鸡腿的 3 倍多 282，我们能否通过改变鸡的数量来简化呢？通过减少 2822=141 只鸡，是否就可以化简相关条件呢？要注意的是，条件中鸡腿是 3 倍的基数，也就是说减少 1 只鸡腿，兔腿也就必须减少 3 只才能保证兔腿是鸡腿 3 倍的条件！所以，单纯减少鸡腿数量，将导致原
13、题目中的 3 倍的要求失衡。因为，本题中鸡腿是作为倍数的基数的，不能直接通过改变鸡数来达到转化原题目条件的目的。我们再来想想，增加一只鸡，也就是增加了 2 条鸡腿，这就意味着增加 6只兔腿才能满足 3 倍的要求。如果我们增加 1 只鸡和 1 只兔，这样鸡腿增加了2 条，兔腿增加了 4 条，也就是使兔腿比鸡腿 3 倍少了 2 条！也就是说，我们每增加 1 只鸡和 1 只兔，就会使得兔腿比鸡腿的 3 倍少 2 条。也就是说，需要增加 2822=141 只鸡和兔，他们的关系才会变成兔腿是鸡腿的 3 倍。 （这貌似有点复杂，请家长引导孩子好好理解下） 。于是题目变成了“鸡兔共118+141+141=4
14、00 只,兔腿是鸡腿的 3 倍” ，分析可得兔与鸡的比为 3:2，根据简单的倍数问题，可知兔为 40053=240 只，鸡为 160 只。再减去加上的 141只鸡和 141 只兔，可得鸡为 19 只，兔为 99 只。鉴于水平和篇幅的原因，暂时先写到这吧。最后有个不情之请，如果你觉得我上传的这些只字片语确实很有帮助的话，想点个赞，请你往我的支付宝（ ）转个 3 元，如果你觉得还行，也就尚可吧，可以给我的支付宝转个 2 元。当然，如果你觉得也就这么回事，实在拿不上台面，你可以置之不理。当然，我还不至于就需要你的 2 元、3 元来改善生活，我只想真实的了解，我的这些只字片语究竟能被广大的家长多大程度上认可，我觉得这既是对分享知识的鼓励，也是自我认可的表现。同时，当然我也想鼓励更多的家长与我们分享自己独创的更多的思考。另外，如果你想把这些只字片语推荐给其他人或网站，请注明出处。好吧，也许，下学期再见最后一个题目：如果我的文章被下载了 100 次，支付宝因此收到款项 83 次，共计收到 228元，问本次文章的 5 分好评率和 3 分中评率分别为百分之多少？个人观点，抛砖引玉，供大家批评指正！谢谢！
