1、2018 秋高三期中考试试卷数 学(满分 160 分，考试时间 120 分钟)201811一、 填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1. 已知 i 为虚数单位，若复数 z 满足 1i，则复数 z_z1 2i2. 函数 y 的定义域为 _4 2x3. 已知 x，yR，直线(a1)xy10 与直线 xay 20 垂直，则实数 a 的值为_4. 已知函数 f(x)为偶函数，且 x0 时，f(x)x 3x 2，则 f(1) _5. 已知向量 m(1，a)，n ( ，3a1)若 m n，则实数 a_4a6. 设 ABC 的三个内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c.若 a2 ，
2、b6，cos 6B ，则角 A 的大小为_127. 设实数 x，y 满足 则 3x2y 的最大值为_x y 0，x y 1，x 2y 1，)8. 在平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y22px(p0)上横坐标为 1 的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为_9. 已知条件 p：xa，条件 q： 0.若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范1 xx 2围是_10. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 1 的一个焦点为(3，0)，则双曲线x2m y2m 1的渐近线方程为_11. 若函数 f(x)A sin(x )(A0，0，00)相切(1) 若直线 l 过点(2 ，1)
3、且截圆 O 所得的弦长为 2 ，求直线 l 的方程；6(2) 已知直线 y3 与圆 O 交于 A，B 两点，P 是圆上异于 A，B 的任意一点，且直线AP， BP 与 y 轴相交于 M，N 点判断点 M，N 的纵坐标之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由18. (本小题满分 15 分)江苏省园博会有一中心广场，南京园、常州园都在中心广场的南偏西 45方向上，到中心广场的距离分别为 km、 2 km；扬州园在中心广场的正东方向，到中心广场的距离为2 2km.现规划建设一条笔直的柏油路穿过中心广场，且将南京园、常州园、扬州园到柏油路10的最短路径铺设成鹅卵石路( 如图(1) 、(2)
4、 已知铺设每段鹅卵石路的费用 (万元)与其长度的平方成正比，比例系数为 2.设柏油路与正东方向的夹角，即图(2)中COF 为 (0， )，4铺设三段鹅卵石路的总费用为 y(万元) (1) 求南京园到柏油路的最短距离 d1 关于 的表达式；(2) 求 y 的最小值及此时 tan 的值19. (本小题满分 16 分)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1( ab0)的右准线方程为直线 x2，且两x2a2 y2b2焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形(1) 求椭圆 C 的方程；(2) 假设直线 l：y kxm 与椭圆 C 交于 A，B 两点 若 A 为椭圆的上顶点， M 为线段 AB 中点，
5、连结 OM 并延长交椭圆 C 于点 N，且 ，求 OB 的长；ON 62OM 若原点 O 到直线 l 的距离为 1，并且 ，当 时，求OAB 的面积 S 的OA OB 45 56范围20. (本小题满分 16 分)已知函数 f(x) ，g(x)x 22x.ln xx(1) 求 f(x)在点 P(1，f(1) 处的切线方程；(2) 若关于 x 的不等式 f2(x)tf(x)0 有且仅有三个整数解，求实数 t 的取值范围；(3) 若 h(x)g(x )4xf(x )存在两个正实数 x1，x 2，满足 h(x1)h( x2)x x 0，求证：212x1x 23.2018 秋高三期中考试试卷(二)数学
6、附加题(满分 40 分，考试时间 30 分钟)21. (本小题满分 10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，直线 ykx1 在矩阵 对应的变换下得到的直线过点0111P(3， 2)，求实数 k 的值22. (本小题满分 10 分)假定某人在规定区域投篮命中的概率为 ，现他在某个投篮游戏中，共投篮 3 次23(1) 求连续命中 2 次的概率；(2) 设命中的次数为 X，求 X 的分布列和数学期望 E(X)23. (本小题满分 10 分)如图，在三棱柱 ABCA1B1C1 中，BCA90，AC BCAA 1A 1C2，平面 ACC1A1平面 ABC.现以边 AC 的中点 D 为坐标原点，平面 AB
7、C 内垂直于 AC 的直线为 x 轴，直线 AC为 y 轴，直线 DA1 为 z 轴建立空间直角坐标系(1) 求异面直线 AB 与 A1C 所成角的余弦值；(2) 求直线 AB 与平面 A1BC 所成角的正弦值24. (本小题满分 10 分)已知正项数列a n满足 an1 a na (nN *)求证：2n(1) 00，得 f(x)f(x)t0. 当 t0 时， f(x)0 或 f(x)0 且 x1，满足条件的整数解有无数个，舍去； 当 tt，当 f(x)t 时，不等式有且仅有三个整数解，又 f(3) ，f (2)f(4) ，f (5) .ln 33 ln 22 ln 55因为 f(x)在(0，
8、e)上递增，在(e，)上递减，所以 f(5)t0)，(11 分)则 (t)2t2 (t0)4t 2（t 1）（t 2）t当 t(0，1) 时， (t)0)在(0，1)上单调递减；当 t(1，)时，(t)0，所以函数 (t)t 22t 4ln t(t0)在(1，)上单调递增所以函数 (t)t 22t4ln t(t0)在 t1 时，取得最小值，最小值为 3.(14 分)因为存在两个正实数 x1，x 2，满足 h(x1)h(x 2)x x 0，所以(x 1x 2)22(x 1x 2)3，212即(x 1 x2)22(x 1x 2)30 ，所以 x1x 23 或 x1x 21.因为 x1，x 2 为正
9、实数，所以 x1x 23.(16 分)2018 秋高三期中考试试卷(二)(扬州)数学附加题参考答案及评分标准21. 解：设直线 ykx1 上任意点 M(x，y)在矩阵 对应的变换下得到的点 M(x，y)，01 11则 ，即 (5 分)x y 01 11x y y x y x y， y x y，) x x y， y x.)代入直线方程 ykx1 得 xk(xy)1，将 P(3，2)代入上式，解得 k2.(10 分)22. 解：(1) 设 Ai(i1，2，3)表示第 i 次投篮命中，A i 表示第 i 次投篮不中；设投篮连续命中 2 次为事件 A，则 P(A) P(A1A2A3A 1A2A3) .
10、(4 分)23 23 13 13 23 23 827(2) 命中的次数 X 可取 0，1，2，3，则P(X0)(1 )3 ，P( X 1)C ( )1(1 )2 ，P(X 2) C ( )2(1 )23 127 1323 23 29 2323 231 ，P (X3)( )3 .49 23 827故 X 的分布列为X 0 1 2 3P 127 29 49 827(8 分)所以 E(X)1 2 3 2.29 49 827答：X 的数学期望为 2.(10 分 )23. 解：(1) 根据题中空间直角坐标系可知 A(0，1，0)，C(0，1，0) ，B(2，1，0)，A1(0，0， )， (1 分)3
11、(2 ，2，0)， (0，1， )，AB A1C 3 cos ， .(3 分)AB A1C AB A1C |AB |A1C | 20 21 0（ 3）22 22 （ 1）2 （3）2 24设异面直线 AB 与 A1C 所成的角为 ，则 (0 ， ，2 cos |cos ， | .(4 分)AB A1C 24(2) 由(1) 得 (2 ，1， )， (2，0，0) ，设平面 A1BC 的法向量为A1B 3 BC n( x， y，z)， 取 z1，则 n(0 ， ，1)(7 分)n A1B ，n BC ，) nA1B 2x y 3z 0，nBC 2x 0， ) 3 cos ，n .(9 分)AB
12、AB n|AB |n| 20 23 0122 22 （3）2 12 64设直线 AB 与平面 A1BC 所成的角为 ，(0， ，则 sin |cos ，n| .(10 分)2 AB 6424. 证明：(1) 由 a1a a 20，解得 0a 11.(1 分)21下面用数学归纳法证明：当 n2 时，a n .1n 2 当 n2 时，a 2a 1a (a 1 )2 ，所以不等式成立；2112 14 14 假设当 nk( k2)时，不等式成立，即 ak ，1k 2则当 nk1 时，有ak1 a ka (ak )2 ( )2 .2k12 14 1k 2 12 14 k 1（k 2）2 k 1（k 1）（k 3） 1（k 1） 2则当 nk1 时，不等式也成立综合，当 n2 时，都有 an .(5 分)1n 2(2) 记 f(x)ln(1x) (x0) ，(6 分)x1 x当 x0 时，f(x) 0，11 x 1（1 x）2 x（1 x）2所以 f(x)在(0，)上是增函数，则 f(x)f (0)0，即 ln(1x) .(8 分)x1 x令 x (iN *)，则 ln ln ，1i 1 1i 2 i 2i 1 i 1i从而有 ai ln(i1) ln iln(n1)ln 2ln (n1)(10 分)n i 2 n i 2 1i 2 n i 2
