1、河北武邑中学教师课时教案备课人 授课时间课题 1.3.1 算法案例辗转相除法与更相减损术课标要求 理解辗转相除法与更相减损术中蕴含的数学原理，并能根据这些原理进行算法分析。知识目标在辗转相除法与更相减损术求最大公约数的学习过程中对比我们常见的约分求公因式的方法，比较它们在算法上的区别，并从程序的学习中体会数学的严谨，领会数学算法计算机处理的结合方式，初步掌握把数学算法转化成计算机语言的一般步骤。技能目标通过具体的实例，掌握循环语句的具体应用，利用循环语句表达具体问题的过程，体会算法的基本思想借助框图中的循环结构，借助 Scilab语言中的循环语句来设计程序，进一步体会算法的重要性和有效性教学目
2、标情感态度价值观在学习古代数学家解决数学问题的方法的过程中培养严谨的逻辑思维能力，在利用算法解决数学问题的过程中培养理性的精神和动手实践的能力。重点 理解辗转相除法与更相减损术求最大公约数的方法。难点 把辗转相除法与更相减损术的方法转换成程序框图与程序语言。问题与情境及教师活动 学生活动教学过程及方法一复习引入思考 1：18 与 30 的最大公约数是多少？你是怎样得到的？（1）短除法求两个正整数的最大公约数的步骤：先用两个数公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是两个互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.（2）穷举法（也叫枚举法）穷举法求两个正整数的最大公约数的解题步骤：从两个数中较小数开始由
3、大到小列举，直到找到公约数立即中断列举，得到的公约数便是最大公约数.思考 2：:对于 8251 与 6105 这两个数，由于其公有的质因数较大，利用上述方法求最大公约数就比较困难二研探新知探究一:辗转相除法思考 1：对于 8251 与 6105 这两个数，注意到8251=61051+2146，那么 8251 与 6105 这两个数的公约数和 6105 与 2146 的公约数有什么关系？ 显然 8251 与 6105 的最大公约数也必是 2146 的约数，同样 6105 与 2146 的公约数也必是 8251 的约数，所以 8251与 6105 的最大公约数也是 6105 与 2146 的最大公
4、约数。思考 2：又 6105=21462+1813，同理，6105 与 2146 的公约数和 2146 与 1813 的公约数相等.重复上述操作，你能得到8251 与 6105 这两个数的最大公约数吗？1河北武邑中学教师课时教案问题与情境及教师活动 学生活动教学过程及方法思考 3：上述求两个正整数的最大公约数的方法称为辗转相除法或欧几里得算法.一般地，用辗转相除法求两个正整数 m，n 的最大公约数，可以用什么算法？其算法步骤如何设计？ 辗转相除法，就是对于给定的两个正整数，用较大的数除以较小的数，若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽为止，这时的较小
5、的数即为原来两个数的最大公约数. 思考 4：你能否把辗转相除法编程？辗转相除法求两个数的最大公约数，其算法步骤可以描述如下：第一步，给定两个正整数 m，n.第二步，求余数 r：计算 m 除以 n，将所得余数存放到变量 r 中.第三步，更新被除数和余数：m=n，n=r.第四步，判断余数 r 是否为 0.若余数为 0，则输出结果；否则转向第二步继续循环执行.程序框图如下图： 程序：思考 4：你能用当型循环结构构造算法，求两个正整数的最大公约数吗？试画出程序框图和程序.当型循环结构的程序框图如右图程序：2INPUT m,nDOr=m MOD nm=nn=rLOOP UNTIL r=0PRINT mE
6、NDINPUT m，nr=1WHILE r0r=m MOD nm=nn=rWENDPRINT mEND河北武邑中学教师课时教案问题与情境及教师活动 学生活动教学过程及方法探究二:更相减损术思考 1：设两个正整数 mn，若 m-n=k，则 m 与 n 的最大公约数和 n 与 k 的最大公约数相 等.反复利用这个原理，可求得 98 与 63的最大公约数为多少？解：由于 63 不是偶数，把 98 和 63 以大数减小数， 并辗转相减，如下图所示.所以，98 和 63 的最大公约数等于 7.思考 2：上述求两个正整数的最大公约数的方法称为更相减损术.一般地，用更相减损术求两个正整数 m，n 的最大公约
7、数，可以用什么逻辑结构来构造算法？更相减损术，就是对于给定的两个正整数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，继续上面的减法，直到差和较小的数相等，此时相等的两数即为原来两个数的最大公约数.思考 3：你能否把更相减损术编程？探究三：辗转相除法与更相减损术的区别（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为 0 则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到三随堂练习P45 练习 1. 教学小结（1）用辗转相除法求最大公约数.（2）用更相减损术求最大公约数.课后反思3INPUT “m，n=”；m，nWHILE mn THENm-nELSEm=n-mEND IFWENDPRINT mEND
