1、2016 年竞赛与自主招生专题第十一讲三角综合提高从 2015 年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时， 很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。在近年自主招生试题中，三角是一个极其强大且非常重要的内容，在代数与几何中都占据着非常重要的地位，有着十分丰富的应用。在自主招生中，三角的热点问题是：三角函数的化简与求职，解三角形，三角函数的
2、而图形与性质。不过难度并不大，主要以基础内容为主。来源:学*科*网一、知识精讲一 两角和、差的三角公式：1.正弦： sin()sicosinABAB2.余弦： co3.正切： tanttan()1AB二正弦、余弦的诱导公式：奇 变偶不变，符号看象限。， 21()sin,sin(2co为 偶 数为 奇 数 21()cos,cos(2inn为 偶 数为 奇 数三二倍角公式：1.余弦： 2222cossincos1si2.正弦： 、 （3）正切：inc 2tanta四辅助角公式： 2siossin()t)babb注意： 有实数解incAxBC2ABC五半角公式（万能公式）：1cos1cossinco
3、s22intasi1cosicot2i1cos 六正弦定理： （ 为三角形外接圆的半径）2sinisinabRABC七余弦定理： 2cosbA2bcaB2八三角 形面积公 式： 11sinsisin2SCca三角这一章的特点是公式多，除了高考要求一些基本知识点和公式之外，自主招生考试中还有一些需要进一步拓展的公式及结论，归纳如 下：1三倍角公式：，3sin3i4sin2coco001isn(6)si()sin34，001s(6)s()co34。tantanta注意：利用三倍角公式可以推导出 这一特殊值：令 ，则0sin18018，0392si3cos2,， 。显然 ，sin41n2(i)(4s
4、iin)0sin1（舍去负根） 。5i2常见三角不等式：来源:Zxxk.Com1.若 ，则 ；(0,)2xsintax2.若 ，则 .1cos23. .|sin|cos|x三和差化积与积化和差公式：和差化积 积化和差sin2sincos2icos2cos2ini2sincosi()sin()ABAB来源:Zxxk.Comcosis()s()四三角形中的一些三角恒等式：在 中，ABC ；sinsi4coscs2ABC ；co1ini2 ；222sinisicossABC ；coc1cABC ；来源:学科网 ZXXK222siisinsinsi2 ；ccoAB ；tanttantantABCC ；
5、cococo1 ；ttttt222AB 。anananAB以 上十个式子中，前六个式子可由降幂公式、和差化积、积化和差得 到。式与式是等价的，式与式也是等价的。这里尤其值得一提的是式：。这是一个非常有用的式子，在自主招生tanttantantABCABC考试中经常用到，希望引起足够的重视。注意：锐角 中，任意一个角的正弦大于另一个角的余弦，如。事实上，由 ，sincoAB sinicos22ABBAB即得。由此对任意锐角 ，总有 。ABCsinsincoscoABCABC五三角恒等式： 1 sicoscosco2482nnk nk nk dnxndxdxkdx0 si)co()1si()cos
6、()cos()cos( nk dnxnndxdxkdx0 si)()1si()si()sin(i)si( tanttanttant1a)tan( 3、典例精讲例 1 （2012“卓越联盟” ）函数 的值域是 。cos()2inyR分析与解答：本题的方法很多，现提供如下几种解法。解法一： 。22sinco,si1cos()y y 由 故 ， 。|cos()|1,2|y3,y解法二：令 ，则 ，再用判别式法，tan,(,)2t2221ttt求得 3,y解法三：数形 结合法。，可看成是圆 上的点到 的斜率，coss0in2i()y21xy(2,0)由解析几何有关知识，可得 。如图。3,yy解法四：导
7、数法。22sin(i)cos1sin ()y令 。从而有 。130,si,s3,y解法五： ，令 ，则 ，222cosinsin()ysin2t1,3t2221()43tt，故 。2341()0,tt3,y例 2 （2005 复旦）在 中， ，求 。ABCtan:ta1:2BCACB分析与解答：中， 。设ABCtantttt，则 （舍去） ，或 ，即ta,2,3kk36,0k1k。故 。t1,t,taCsin2ABC例 3 （2012“北约” ）求使得 在 有唯一解的 。si4si3xx0,)分析与解答：原方程可化为，11cos62cos2,0)2xxx。(4cos6sin5x令 ，则()si
8、n5fxxisisin5si222f xxO-2， 。cos5x sin5sicos522fxxx即 关于 对称，故 在 有唯一的解只可能在()f ()f0,)或 取到。来源:Z|xx|k.Com0x2时， ，但此时 时均有 ，即解不唯一 ；0a234,5x()0fx时， ，此时解唯一，符合要求。x1综上， 。例 4 （2011“北约” ） 的三边 满足 ， 为ABCabc、 、 2abcABC、 、的内角。求证： 。ABC06分析与解答：解法一，由正弦定理， 2sin2sinsicos2ABabcB。而 ，所以 。注意到ioAC 12sin1C，所以 ，所以 。092C03206解法二：由余
9、弦定理， （因为222cosababcC） ，2abc22224()(3()3()1388842baab所以 。06C例 5 （2011“ 华约” ） 、 、 为 的内角，且 不为直角三角形。ABCAABC来源:学科网（1）求证： ；tanttantatn（2）当 ，且 的倒数成等差数列时，31si2si2、 、求 的值。cosC分析与解答：（1）证明： ， ，两边取正切，ABABC，tan()ta()。tanttanttanttant1ABCABCABC（2）解：。3tttt,3tttatn由（1）知 ，所以 。又3anan3,，所以 。即21sinisi2BACsi2i24siACB。将
10、代入，i()co()413css23，3()os2AC 2cos()12cos()4cos()ACACA。 （此时 为等边三角形）124c()3cs()10,s()B或 。由于，所以 或 。cos02CAcos()cos122CAA64例 6 的三个内角 成等差数列，求证：BB、 、cbaba31分析与解答：证明：要证原式，只要证 3,1abcabc即即只要证 而21,cab 0222,6,ACBac2 2 21cabccba例 7在 中，猜想 的最大值，并证明之。ABCsinsinTABC分析与解答：证明： sini2ico2sin()cos()362AC2sn()4sn()6141B4si
11、n()124sin3ABC当且仅当 时等号成立，即co2s()16co42CAB 3ABC所以当且仅当 时 ， 的最大值为3sin3T4sin3所以 max3sin2T例 8 （2010 清华）求 的值。404040i1si5in7分析与解答：解法一：遇到高次的，一般采取降次的策略。444sin10i5sin70ooo222cc1cs140o2 2 21(os0 cos140s)4ooo o。 （*）232c1cs40)(cso21o40cs6cs。 40oo222css1cs40ooo11(40)()(cs280)o，3cos2cos2而 cos408180(1)o o，cos8010o故
12、。 2223css14o将代入（*）式，。444139sin10i5sin7028ooo解法 二：原式 4444431sin10i(610)sin(610)sincos0in2oooo o44 24439 9csii2c6isi10cos102 468oooooo 。22422999sin10sin10(sin10)488ooooo注：解答本题除了对三角公式必须熟练掌握之外，还需要一定的恒心和代数功夫。有意思的是：本题还可进一步推广：是一个定值 。另外，4442sinisin33982sin3也是一个定值 0； 也是一个i2224isini3定值 。32更进一步， 是大于 1 的奇数，则n1
13、11si20,cos20n nk k 2 21 1i ,n nk kkkn 。4 41 11313si ,cos288n nk k 例 9 （2005 上海交大）是否存在三边为连续自然数的三角形，使得：（1）最大角是最小角的两倍；（2）最大角是最小角的三倍；来源:学+科+网 Z+X+X+K若存在，求出该三角形；若不存在，请说明理由。分析与解答：此问题可用两种方法去解，一种是三角法，另一种是纯几何法。解法一：（1）如图 12-4（a） ，不妨设 。1,1ABnCAn在 中，由正弦定理， 。ABC1si2cossini2又由余弦定理， 。2()()4co(1)n于是， ，解得 ， 即三边长为 4、
14、5、6.14n5nn+1 n-1nBACn+1 n-1nBAC来源:学.科.网（a） （b） 来源:学.科.网图 12-4（2）假设这样的 存在。AB如图 12-4（b ） ，在 中，由正弦定理，211sin34sinsini3。224(cos)4又由余弦定理， 。cos(1)n于是， ，214()n化简得 ，322()1()1nn整理得 。因 n 为整数，故 ，则边32610,80n2n长为 1、2、3，不构成三角形。故这样的三角形不存在。解法二：（1）如图 12-5（a） ，设 ，延长 BC 至 D，,ABC使 CDA。易知 。令 ，则BD:,1,2xx23，241xx即这样的三角形存在，
15、且三边长即为 4、5、6。x+2x+1xxx+2AB C D 2 2CAD（a） （b）图 12-5（2）若这样的三角形存在，设 ，,3,1ABCACxB，如图 12-5（b） ，在 AB 上取一点 D，使 ，则ABx，故 ，而 ,2CD。2在 中，由 知 ，故 。BC41x,2若 ，三角形三边长 1、2、3，舍去；1x若 ，三边长为 2、3、 4.但此时 为 ，进DABCABRt而推出 矛盾！故这样的三角形不存在。C4、真题训练1.（2011“卓越联盟” ）已知 ，则 （ ） 。sin2()sin2ta()（A） （B） （C） （D）1n1n1n1n2.（2007 复旦）已知函数，其中 x
16、 为实数66()cos2cos23si233kkfxxx且 k 为整数，在 的最小正周期是（ ）()f（A） （B） （C） （D）3223.（2007 复旦）当 和 取遍所有实数时，函数ab所能达到的最小值为（ ）2(,)5|cos|)(|sin|)fabb（A）1 （B）2 （C）3 （D）4 4.（ 2006 复旦）已知 是关于 x 的方程 的两个根，这里sin,co20ax，则 （ ）aR33sia（A） （B） （C） （D）121225.（2008 武大）如果 ，那么 的取值 范围是 （ ） 。33sinco0sinco（A） （B） （C） （D）2,0)2,1)(0,2(,6.
17、（2010 复旦）设 。且满足 ，则,2sincosic1的取值范围是（ ）sin（A） （B） （C） （D）2,1,0,21,7.（2008 上海交大）若 ，则 。1cosin2x33cosinx8.（2008 南大） 。(1ta)(t)(ta4)(1t5)o o9.（2012“卓越联盟” ）设 ，设 ，若存在()sin)(0,)fxR(0)T，使 恒成立，在 的范围为 。T()(fxTf10.（2012 南开数学试点班）实数 A、B、C 满足 ，BC，求证： 。coscos1ABC(cos)(1)(cos)011.（2011“卓越联盟” ）在 中， ，AD 是 A 的角平分线，且ABC2
18、。ADkC（1）求 k 的取值范围；（2）若 ，问 k 为何值时，BC 最短？1ABS12.（2010 五校联考） 中， ，求 。ABC3acbtan2AC5、真题训练答案1.【答案】D【分析与解答】： ，sin()si()()。所以sin2i()cos)cos()sin()sin()cos() cos()sin()(1)sin()cos()(1cos()sin()n。tan1()2.【答案】C【分析与解答】：。()2cos23sin24sin236fxkxxx3.【答案】B【分析与解答】：由柯西不等 式，显然，2 211(,)(53|cos|sin|)(5|cos|in|)2fabbabb当
19、 来源:Z。xx。k.Com|cos|,时， 取到最小值 2。|in|01(,)f4.【答案】C【分析与解答】：由题意， ，而sinco,sinco，2211i(i)2a所以 ，解得 。21aa33sinco(sinco)(1sinco)aaa。25.【答案】A【分析与解答】：一方面， 33sinco(sinco)(1sinco)0；sinco0另一方面， 。is2i246.【答案】D【分析与解答】： ， ，故,sin()12sin2sin4。1,27.【答案】 6【分析与解答】：由条件平方得 ，1312sincosinco48xx。33 3cosin(cosin)(i)86xx8.【答案】
20、2【分析与解答】：(1tan)(t4)1tant4tan14tan(14)oooooo，2同理， ， 。 。 。(ta3)(t)oo原式 。2219.【答案】 (),1,23k【分析与解答】：当 时， ； 。欲使xR()1,fxT()1,fx恒成立，则只有 或-1，但 ，所以 。()(fxTf 0T故 。1)xsin()sin(sin()(1)xxxx或 ， 。前一个式子，对 不恒2k)21xkZR成立；由后一个式子有 ，又 ，所以(0。(1),3k10.【分析与解答】：因为 ， ，所以CABcoscos()1AB2cos2AB。 ，1cosscos022。cos(2)sin()0B所以 或
21、或 。若 ，则sin02AsiBcos02ABsin02A21co1in；若 ，则 ；若2sin0Asi0B221cos1sinsi0BB，则co， ， ，所以 。 。故2BkZ2Ak2Ck1cos0C(1cs)(o)A。0C11.【分析与解答】：设 ， 。ACt2B（1）由 ，所以111,sinsin2sin2ABDBSSktktsinsi2k。 ，所以 ，因为 ，所以i3isincok4cos3k0,2。40,k（2） ， ，令12sin1ABCSt221sin,sintt()cout，254s54c54cosin2ii2t,u，其中 。所以 ，等号2216si()16tan,3umin()3BCDACB成立，此时 sin(2)。 ，所以1 2444arct,arctn,os2in(arct)cos133359cos0，即 时，BC 最短为 。321,5k2105k312.【分析与解答】： 3sinsinacbACB2co6cos22（注意到 ）sinos02ACBcin3cossin222AAC。1tan2
