1、湖南省长沙市雅礼中学、河南省实验中学 2018 届高三联考数学试题（文）第卷一、选择题1.已知集合 ， ，则集合 （ ）(,)|2Mxy(,)|2NxyMNA B C D0,2(,0)0,(2,0)2.欧拉公式 （ 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉法明的，他将指iecosinxxi数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，他在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知， 表示的复数在复平面中2ie位于（ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3.已知函数 的零点是 和 ，则 （ 2lg(54)yx1tanx2taxtn()）A B C
2、 D5335524.某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于 10 分钟的概率为（ ）A B C D101615565.已知三棱柱 的底面为等边三角形，且侧棱垂直于底面，该三棱柱截去三个角HIGEFD（如图所示， ， ， 分别是 三边的中点）后得到的几何体如图，则该几CGHI何体的侧视图为（ ）6.设等差数列 满足 ， ， 是数列 的前 项和，则使得 的最na2743anSna0nS大的自然数 是（ ）A7 B 8 C9 D10 7.如图程序框图中，输入 ， ， ，则输出的结果为（ ）ln2x3logy12zA B C
3、 D无法确定 ln23log2128.已知双曲线 的右焦点为 ， 为双曲线左支上一点，点 ，则214xyFP(0,2)A周长的最小值为（ ）PFA B C D24(2)(26)39.在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 ，BCAabcsin()2Ba， ，则 的内切圆的半径为（ ）207cBA B C D13310.抛物线 ： 的焦点 与双曲线 的一个焦点重合，过点C2(0)xpyF21yx的直线交 于点 、 ，点 处的切线与 、 轴分别交于点 、 ，若 的FAxMNO面积为 ，则 的长为（） 12|AFA2 B 3 C4 D5 11.如图，将平面直角坐标系的格点（横、纵坐标均为整数
4、的点）按如下规则标上数字标签：原点处标 0，点 处标 1，点 处标 2，点 处标 3，点 处标 4，点(,)(,)(0,1)(1,)处标 5，点 处标 6，点 处标 7，以此类推，则标签 的格点的坐标(1,) 207为（ ）A B C D(2017,6)(201,5)(109,8)(108,7)12.已知函数 （ ， 是自然对数的底数）与 的图3fxaex3lngx象上存在关于 轴对称的点，则实数 的取值范围是（ ）A B C D ， 310,2e30,e4312,e43e,)第卷（共 90 分）二、填空题13.若变量 ， 满足不等式组 则 的最大值为xy20,518,xy2yzx14.如图，
5、有 5 个全等的小正方形， ，则 的值是BDxAEF15.已知四棱锥 的外接球为球 ，底面 是矩形，面 底面 ，PABCDOABCDPABCD且 ， ，则球 的表面积为2416.如图，某园林单位准备绿化一块直径为 的半圆形空地， 外的地方种草，的内接正方形 为一水池，其余的地方种花，若 ， ，设QRSa的面积为 ，正方形 的面积为 ，当 固定， 变化时，称 为“规划合ABC1P2S12S理度”，则“规划合理度” 的最小值是三、解答题 17.设 为等差数列 的前 项和，已知 ， nSna1326a981S（1）求 的通项公式；（2）令 ， ，若 对一切 成立，求实12nnba12nTb30nTm
6、*nN数 的最小值 m18.如图所示的矩形 中， ，点 为 边上异于 ， 两点的动点，ABCD12AEAD且 ， 为线段 的中点，现沿 将四边形 折起，使得 与 的/EFABGEDEFCDEAECF夹角为 ，连接 ， .60F（1）探究：在线段 上是否存在一点 ，使得 平面 ，若存在，说明点EFM/GBDF的位置，若不存在，请说明理由；M（2）求三棱锥 的体积的最大值，并计算此时 的长度GBDE19.环境问题是当今世界共同关注的问题，我国环保总局根据空气污染指数 溶度，2.5PM制定了空气质量标准：某市政府为了打造美丽城市，节能减排，从 2010 年开始考查了连续六年 11 月份的空气污染指数
7、，绘制了频率分布直方图，经过分析研究，决定从 2016 年 11 月 1 日起在空气质量重度污染和严重污染的日子对机动车辆限号出行，即车牌尾号为单号的车辆单号出行，车牌尾号为双号的车辆双号出行（尾号为字母的，前 13 个视为单号，后 13 个视为双号） 王先生有一辆车，若 11 月份被限行的概率为 0.05（1）求频率分布直方图中 的值；m（2）若按分层抽样的方法，从空气质量良好与中度污染的天气中抽取 6 天，再从这 6 天中随机抽取 2 天，求至少有一天空气质量中度污染的概率；（3）该市环保局为了调查汽车尾气排放对空气质量的影响，对限行两年来的 11 月份共 60天的空气质量进行统计，其结果
8、如表：根据限行前 6 年 180 天与限行后 60 天的数据，计算并填写 列联表，并回答是否有2的把握认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关90%参考数据： 20()PKk0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0050k2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879参考公式： ，其中 22()(nadbcKnabcd20.已知 ， 分别为椭圆 ： 的上、下焦点， 是抛物线 ：1F21C21(0)yxab1F2C的焦点，点 是 与 在第二象限的交点，且 24xyM12 15|3M（1）求椭圆 的方程；1（2）与圆 相切的直线 ： （其中 ）交椭圆 于点
9、 ，22()xyl()ykxt0kt1CA，若椭圆 上一点 满足 ，求实数 的取值范围B1CPOABP221.已知函数 ， ， ()lnfx21()gxabx0（1）若 ，且 存在单调递减区间，求实数 的取值范围；2bhfa（2）设函数 的图象 与函数 的图象 交于点 ， ，过线段 的中点作()fx1C()x2CPQ轴的垂线分别交 ， 于点 ， ，证明： 在点 处的切线与 在点 处的切x2MN1M2CN线不平行请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数） ，以坐标原点xOyl
10、 2,xmty为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，且C2241sin直线 经过曲线 的左焦点 lCF（1）求 的值及直线 的普通方程；ml（2）设曲线 的内接矩形的周长为 ，求 的最大值L23.选修 4-5：不等式选讲若关于 的不等式 的解集为 x|ab6,2（1）求实数 ， 的值；（2）若实数 ， 满足 ， ，求证： yz1|3yz1|6ybz2|7z【参考答案】一、选择题1-5: 6-10: 11、12：DBCACBDACB二、填空题13.1 14.1 15. 16.64394三、解答题17.解：（1）等差数列 中， ， ，na132981S 解得 ，7526,
11、98a753,975ad ()2()1n n（2） w，1211()()323nnbann ，( )357nT 随着 的增大而增大，)2 递增，又 ，n102 ， ，6T5m实数 的最小值为 518.（1）证明：如图所示，取线段 的中点 ，EFM因为 为线段 的中点， 为线段 的中点，GED故 为 的中位线，故 ，MF/GD又 平面 ， 平面 ，故 平面 BB/BDF（2）解： ，且 与 的夹角为 ，/CFDEACF60故 与 的夹角为 ，A60过 作 垂直于 交 于 ，PP所以 ， ，故 为点 到平面 的距离，DABFE设 ，则 ，DEx4BFx由（1）知 ，/GM故 113(4)33223
12、(4)12GBDFDBFMBFVVSPxx当且仅当 时等号成立，此时 xDE故三棱锥 的体积的最大值为 ，此时 的长度为 2GBDF319.解：（1）因为限行分单双号，王先生的车被限行的概率为 0.05，所以空气重度污染和严重污染的概率应为 ，0.52.1由频率分布直方图可知： ，解得 (0.46)0.m0.3m（2）因为空气质量良好与重度污染的天气的概率之比为 ，3:52:1按分层抽样从中抽取 6 天，则空气质量良好天气被抽取 4 天，记作 ， ， ， ，A34空气中度污染天气被抽取 2 天，记作 ， ，1B2从这 6 天中随机抽取 2 天，所包含的基本事件有： ， ， ，12(,)13(,
13、)14(,)， ， ， ， ， ， ， ，1(,)AB1(,)3(,)A24(,)2ABA31B， ， ， 共 15 个，3244B1记事件 为“至少有一天空气质量中度污染”，则事件 所包含的基本事件有： ，1(,)， ， ， ， ， ， ， 共 912(,)AB1(,)2(,)A31(,)32(,)AB41(,)42(,)AB2个，故 ，93()5P即至少有一天空气质量中度污染的概率为 35（3）列联表如下：空气质量优、良 空气质量污染 合计限行前 90 90 180限行后 38 22 60合计 128 112 240由表中数据可得 ，2240(93890).14.70616K所以有 的把握
14、认为空气质量的优良与汽车尾气的排放有关90%20.解：（1）由题意得 ，所以 ，又由抛物线定义可知1(0,)F2ab，5|3MFy得 ，于是易知 ，从而 ，226(,)322267|()(1)33MF由椭圆定义知， ，得 ，故 ，122|aMF42a3b从而椭圆 的方程为 1C3xy（2）设 ， ， ，则由 知， ，1(,)Ay2(,)B0(,)PxOABP120x，10y且 ，2034x又直线 ： （其中 ）与圆 相切，所以有 ，l()ykxt0kt22(1)xy2|1|kt由 ，可得 （ ， ） ，0k21tt又联立 消去 得 ，且 恒成立，2(),43yxy222(43)6310kxtk
15、t且 ， ，212643ktx2134ktx所以 ，121228()tyt所以得 ，代入式，得 ，226,)(43)(ktPk422116(3)(3)ktkt所以 ，22tk又将式代入得， ， ， ，241()t0t1易知 ，且 ，所以 21()t23t24(,),321.解：（1） 时， ，则 ，b21()lnhxax12hxa21x因为函数 存在单调递减区间，所以 有解，()hx()0x又因为 ，则 有 的解，0x210ax所以 ，21()所以 的取值范围为 ,(,)（2）设点 、 的坐标分别为 ， ， ，PQ1xy2(,)120x则点 ， 的横坐标为 ， 在点 处的切线斜率为 ，MN21
16、CM1212|xk在点 处的切线斜率为 ，2C12122()|xaxkabb假设 在点 处的切线与 在点 处的切线平行，则 ，即1M2CN12k，212()axb则 2 222112112121()()()()()ln,xaaaxbxxbxbyx所以 ，设 ，则 ， ，21()lnx21xt(1)lntt令 ， ，则 ，2()()l1trtt224()()1)trt因为 时， ，所以 在 上单调递增，故 ，t()0rtt,()10rt则 ，这与矛盾，假设不成立，2ln1t故 在点 处的切线与 在点 处的切线不平行CM2CN22.解：（1）因为曲线 的极坐标方程为 ，即 ，将2241sin22sin4， 代入上式并化简得 ，所以曲线 的直角坐标方程22xysiny214xyC为 ，于是 ， ，21422cab(,0)F直线 的普通方程为 ，将 代入直线方程得 ，所以直线 的lxym, 2ml普通方程为 20（2）设椭圆 的内接矩形在第一象限的顶点为 （ ） ，所以椭C(2cos,in)02圆 的内接矩形的周长为 （其中 ）(4cosi)46(Ltan，此时椭圆 的内接矩形的周长取得最大值 23.解：（1）由 ，得 ，即 ，则|xabxabaxb6,2a解得 2,4ab（2）由（1）可知， ， ，1|3yz1|4|6yz又因为 ，所9|(2)()|2|z yz1236以 |7
