1、第三章 恒定磁场,恒定磁场基本方程分界面上的衔接条件,序,磁感应强度,磁通连续性原理安培环路定律,磁矢位及边值问题,磁位及边值问题,镜像法,电感,磁场能量与力,3.0 序,导体中通有直流电流时，在导体内部和它周围的媒质中，不仅有电场还有不随时间变化的磁场，称为恒定磁场。,恒定磁场和静电场是性质完全不同的两种场， 但在分析方法上却有许多共同之处。学习本章时， 注意类比法的应用。,运动电荷的周围，除了电场，还存在一种称为磁场的特殊物质。 磁场的对外表现：引入磁场中的运动电荷会受到磁场对它的作用力。,磁矢位（A）,边值问题,解析法,数值法,有限差分法,有限元法,分离变量法,镜像法,电感的计算,磁场能
2、量及力,基本实验定律 (安培力定律）,磁感应强度（B）(毕奥沙伐定律),H 的旋度,基本方程,B 的散度,磁位( ),分界面衔接条件,恒定磁场的知识结构。,本章要求,深刻理解磁感应强度、磁通、磁化、磁场强度的概念。,掌握恒定磁场的基本方程和分界面衔接条件。了解磁位及其边值问题。,熟练掌握磁场、电感、能量与力的各种计算方法。,1、定义（洛仑兹力）：,3.1 磁感应强度,一、磁感应强度 的定义：,方向: 垂直于 及 构成的平面。,大小:,2、磁场对载流导体的力的作用：,二、 安培力定律,两个载流回路之间的作用力 F,图3.1.1 两载流回路间的相互作用力,元电流段：,式中， 为真空中的磁导率,电流
3、元 即在载流导线上沿电流流向取一段长度为dl的线元，若线元中通过的恒定电流强度为I，则我们就把Idl表示为矢量Idl，Idl的方向沿着线元中的电流流向。这一载流线元矢量Idl为电流元,源点元电流段 场点元电流段,元电流段：,计算磁场的基本方法： 与在静电场中计算带电体的电场时的方法相仿，为了求恒定电流的磁场，我们也可将载流导线分成无限多个小的载流线元，每个小的载流线元的电流情况可用Idl来表征，称为电流元。电流元可作为计算电流磁场的基本单元。,三、毕奥沙伐定律,毕奥、萨伐尔 (Felix Savart, 1791-1841，法国物理学家) ，分析了许多电流回路产生磁场的实验数据，总结出一条说明
4、两者之间关系的普遍定律，称为毕奥-萨伐尔定律，即：电流元Idl在真空中给定场点P所激发的磁感强度dB的大小，与电流元的大小Idl成正比，与电流元的方向和由电流元到场点P的位矢r间的夹角(dl，r)之正弦成正比，并与电流元到点P 的距离r 之平方成反比。,毕奥-萨伐尔定律给出了一段电流元Idl与它所激发的磁感强度dB之间的大小关系：,定义：磁感应强度,单位为特斯拉T（Wb/m2）,电流元Idl、方向矢量 和磁场dB三个矢量的方向之间服从右手螺旋法则，由此可确定电流元磁场dB的方向。,磁场力,电场力,力 = 受力电荷 电场强度,力 = 受力电流 磁感应强度,毕奥沙伐定律 适用于无限大均匀媒质。,体
5、电流,面电流,线电流,毕奥沙伐定律的几种形式：,利用毕奥沙伐定律解题,应用毕奥-萨伐尔定律计算磁场中各点磁感强度的具体步骤为：,4、最后，就整个载流导线对dB的各个分量分别积分。,1、首先，将载流导线划分为一段段电流元，任选一段电流元Idl，并标出Idl 到场点 P 的位矢 ，确定两者的夹角（Idl， ）,2、根据毕奥-萨伐尔定律的公式，求出电流元Idl 在场点P所激发的磁感强度dB的大小，并由右手螺旋法则决定dB的方向；,3、建立坐标系，将dB在坐标系中分解，并用磁场叠加原理做对称性分析，以简化计算步骤；,在直角坐标系中，对积分结果进行矢量合成，求出磁感强度B；即,B线方程：同E线的方程。,
6、当 时，,例3.1.1 试求有限长直载流导线产生的磁感应强度。,解: 采用圆柱坐标系，取电流 I dz，,式中,图3.1.2 长直导线的磁场,例 3.1.2 真空中有一载流为 I，半径为R的圆环， 试求其轴线上 P 点的 磁感应强度 B 。,根据圆环电流对 P 点的对称性，,解：元电流 在 P 点产生的 为,图3.1.3 圆形载流回路,图3.1.4 圆形载流回路轴线上的磁场分布,如果载流圆线圈是由半径都是R的N匝线圈重叠而成， 则在圆心处激发的磁感强度为:,载流圆线圈中心处的磁感强度为,3.2 磁通连续性原理 安培环路定律,表明 B 是无头无尾的闭合线，恒定磁场是无源场。,3.2.1 磁通连续
7、性原理 ( Magnetic Flux Continue Theorem ),1. 恒定磁场的散度,可作为判断一个矢量场是否为恒定磁场的必要条件。,进行散度运算后,图3.2.1 计算体电流的磁场,F2不能表示恒定磁场。,F1可以表示恒定磁场。,解：,例 试判断 能否表示为一个恒定磁场？,2. 磁通连续性原理,这就是磁通连续性方程。磁力线既无始端又无终端的闭合线，因为空间不存在磁荷。不同于E线起始于正电荷，终止于负电荷。表明磁感应线是连续的，亦称为磁场中的高斯定律。,磁感应线穿过非闭合面 S 的磁通,也即：B的通量,单位：Wb (韦伯),根据,有,图3.2.2 B 的通量,磁通的定义:,直角坐标
8、系,3. 磁感应线,磁感应线方程,磁感应线的性质：,磁感应线是闭合的曲线;,磁感应线不能相交；,磁感应强处 ，磁感应线稠密，反之，稀疏。,闭合的磁感应线与交链的电流成右手螺旋关系；,3.2.2 安培环路定律 (Aperes Circuital Law),1. 恒定磁场的旋度,在直角坐标系中,（ 毕奥沙伐定律 ）,物理意义：恒定磁场是有旋场，非保守场。,（有电流区）,（无电流区）,旋度运算后，得到,2. 真空中的安培环路定律,用斯托克斯公式,真空中的安培环路定律,B 的旋度,等式两边取面积分,安培环路定律：磁感应强度沿任意闭合路径一周的线积分等于穿过闭合路径所包围面积上的电流(自由和束缚)代数和
9、的o倍.,1、 为任意回路，只要包围电流，且满足右手螺旋方向，结果相同。,2、 内交链的不只一个电流时，即包围n个电流：,当电流与安培环路呈右手螺旋关系时，电流取正值，否则取负；,决定于其是否与 成右手螺旋方向， 符合取正，否则取负值（如右图）。,a.若电流在环路外面，则：,b.若有三个电流穿过环路,则有：,思考,安培环路定律的应用：对称性的无限分布的磁场，即:整个环路每一点的 大小相等，每一点的方向与 方向均相同，或均相反。,根据对称性,例3.2.1 试求无限大载流导板产生的磁感应强度 B。,解：定性分析场分布，取安培环路与电流呈右手螺旋,图3.2.9 无限大载流导板,解： 平行平面磁场,例
10、 3-3 试求载流无限长同轴电缆产生的磁感应强度。,故,图3.2.11 安培定律示意图,安培环路定律,图3.2.10 同轴电缆,得到,得到,图3.2.12 同轴电缆的磁场分布,图3.2.10 同轴电缆,3. 介质的磁化（magnetization）,1、电流的种类： 束缚电流：又名安培电流或分子电流，原子内束缚电荷形成的环形电流。 自由电流：自由电子和离子的迁移运动形成的电流。,2、磁偶极子： 与 成右手螺旋关系。,1）磁偶极距,单位：安.米2, 的方向为其法线方向, 与 同方向。,2）介质的磁化,无外磁场作用时，介质对外不显磁性，,在外磁场作用下，磁偶极子发生旋转，,图3.2.14 介质的磁
11、化,转矩为 Ti=miB ，旋转方向使磁偶极矩方向与外磁场方向一致，对外呈现磁性，称为磁化现象。,图3.2.15 磁偶极子受磁 场力而转动,磁化强度：单位体积的磁偶极距，形式同极化强度,（A/m）,外部有 :,外部无 :,3） 磁化电流,体磁化电流,面磁化电流,例 3.2.3 判断磁化电流的方向。,有磁介质存在时，场中的 B 是自由电流和磁化 电流共同作用，在真空中产生的。,磁化电流具有与传导电流相同的磁效应。,4） 磁偶极子与电偶极子对比,4.有磁介质时的环量与旋度,移项后,图3.2.16 H 与I 成右螺旋关系,图3.2.17 中三条环路上的 H 相等吗？环量相等吗？,图3.2.17 H
12、的分布与磁介质有关,图3.2.16 中环路 L 上任一点的 H 与 I3 有关吗？,有磁介质存在时，重答上问。,一般形式的安培环路定律,思考,图3.2.16 H 与I 成右螺旋关系,5. B 与 H 的关系,实验证明，在各向同性的线性磁介质中,积分式对任意曲面 S 都成立，则,恒定磁场是有旋场,6. H 的旋度,即,mr相对磁导率。, 磁化率。,小结：真空中的公式推广：（各向同性、线性、均匀、无限大导磁媒质）,1、毕奥沙伐定律：,2、 的求解：,一般形式的安培环路定律,4、 的环路线积分：,3、 的环路线积分：,解: 在镯环中, ， 为有限值，故H = 0。,例3.2.4 一矩形截面的镯环，镯
13、环上绕有 N 匝线 圈，电流为 I ，如图示，试求气隙中的 B 和 H。,取安培环路的半径 , 且环路与 I 交链，,图3.2.18 镯环磁场分布,忽略边缘效应,解: 平行平面磁场，且轴对称，故,例 3.2.5 有一磁导率为 ，半径为 a 的无限长导磁圆柱 ，其轴线处有无限长的线电流 I ，圆柱外是空气，磁导率为 0 ，试求 B，H 与 M 的分布。,磁场强度,图3.2.19 磁场分布,图3.2.20 场量分布,例 3-4 有一半径为a的长直圆柱形导体，通有电流密度为 的恒定电流，其中z轴是圆柱导体的轴线，试求导体内外的H。,例 3-5 在通有电流 I，半径为R 的无限长圆柱导体外，充满磁导率
14、为 的均匀媒质。若导体的磁导率为 0 ，求导体内外的磁感应强度和磁场强度。,如果在圆柱导体内有一个半径为a的不同轴的圆柱空腔，两轴线的距离为b,求空腔中的B.,提示：由于空腔的存在，磁场分布不再具有轴对称性。如果假象在空腔处存在电流密度与导体内相同，但方向相反的两种电流分布，可以将此问题看成是在半径为R的圆柱中，充满均匀分布电流面密度J0产生的磁场与在空腔中充满均匀分布电流面密度-J0产生的磁场的叠加。,3.3.1 基本方程 (Basic Equations),构成方程,恒定磁场的基本方程表示为,（磁通连续原理）,（安培环路定律）,恒定磁场的性质是有旋无源,电流是激发磁场的涡旋源。,3.3 基
15、本方程 、 分界面衔接条件,Basic Equations and Boundary Condition,3.3.2 分界面上的衔接条件（Boundary Condition),1. B 的衔接条件,B 的法向分量连续,2. H 的衔接条件,H 的切向分量不连续,(K = 0时),图3.3.1 分界面上 B 的衔接条件,图3.3.2 分界面上 H 的衔接条件,3. 折射定律,媒质均匀、各向同性，分界面 K=0,折射定律,例.3.3.2 分析铁磁媒质与空气分界面情况。,图3.3.3 铁磁媒质与空 气分界面,解：,表明只要 ，空气侧的B 与分界面近似垂直，铁磁媒质表面近似为等磁面。,可见：磁感应强
16、度线由铁磁材料出来进入非铁磁媒质，在紧挨着分界面非铁磁媒质的 分界面,T,解:,图3.3.4 含有 K 的分界面 衔接条件,一、 磁矢位 A 的定义,由,A 磁矢位 Wb/m（韦伯/米）。,3.4 磁矢位,适用于有电流区域或无电流区域(即：任何区域),1、满足 为向量磁位。,2、定义的理论依据：,二、向量形式的泊松方程,（矢量）泊松方程,从基本方程出发,矢量运算,取库仑规范,向量形式的泊松方程，其展开式为：,三、泊松方程的求解：,仿照静电场泊松方程的求解：,合并为：,电流的各种分布对应的解为：,仿照静电场泊松方程的求解：,（体电流分布）,（面电流分布）,(线电流分布）,四、边界条件：,1、一般
17、形式：,2、平行平面场：,磁位 A（安培）,3.5 磁位,一、磁位的定义：,等磁位面（线)方程为 常数，等磁位面（线） 与磁场强度 H 线处处垂直;,磁压：两点间的磁压等于两点间的标量磁位降,推论,图3.5.1 磁位 与积分路径的关系,的多值性。,这说明两点间的磁压与路径的关系： 恒定磁场中:标量磁位的数值要随积分路径而异,相差的数值是穿过积分回路所限定面积的电流的整数倍；为消除路径影响，规定积分路径不准穿过回路电流所限定的面积，磁场中的标量磁位为单值函数，两点间的磁压与积分路径无关。,在直角坐标系中,2. 分界面上的衔接条件,由,（仅适用于无电流区域）,1. 微分方程,二、拉普拉斯方程及其边
18、界条件,位 函 数,比较内容,引入位函数依据,位与场的关系,微分方程,位与源的关系,电位,磁位,磁矢位A,(有源或无源）,(无源）,(有源或无源）,磁位 、磁矢位与电位的比较,下述两个场能进行磁电比拟吗？,由于两种场均满足拉普拉斯方程，且边界条 件相同，所以可以磁电比拟。,思考,图3.5.7 恒定磁场与恒定电流场的比拟,一、镜象法：如图，分界面无电流,1、依据：唯一性定理,方程：,中：,中：,边界条件：当分界面上没有电流则有：,3.6 镜像法,泊松方程的求解，只要满足给定边界条件解相同。,联立求解,根据惟一性定理,由,由,(1),(2),图3.6.1 两种不同磁介质的镜像,空气中,铁磁中磁感应
19、强度 H2=0 吗？,例3.6.2 线电流 I 位于空气 中，试求磁场分布。,解：镜像电流,图3.6.2 线电流 I 位于无限大铁板上方的镜像,思考,磁场分布的特点：,解：镜像电流,例 3.6.3 若载流导体 I 置于铁磁物质中，此时磁场分布有什么特点呢？,图3.6.3 线电流 I 位于无限大铁磁平板中的镜像,空气中 的磁场为无铁磁物质情况下的2倍。,铁磁表面近似为等磁位面。空气中的磁感应线与其垂直。,3-6 在磁导率 的半无限大导磁媒质中，距媒质分界面2cm处有一载流为10A的长直细导线，试求媒质分界面另一侧（空气）中距分界面1cm处P点的磁感应强度。,3-7 如图所示，求电流I所在区域为有
20、效区时，镜像电流的大小、位置。,电感：磁场由某一回路引起，则穿过此回路所限定面积的磁链与回路中的电流成正比。,3.7 电 感,Inductance,3.7 .1 自感（Self-Inductance）,回路的电流与该回路交链的磁链的比值称为自感。,图3.7.1 内磁链与外磁链,即,为自感磁链（回路所交链的磁链),.),H（亨利）,L = 内自感 Li + 外自感 L0,L为自感。自感仅与回路的尺寸、几何形状及媒质的分布有关，而与通过回路的电流及磁链的具体量值无关。,求自感的一般步骤：,计算 ：,为S的边界,计算 ：,例 3.7.1 试求图示长为 l 的同轴电缆的自感 L。,磁通,匝数,内自感,
21、因此，,图3.7.2 同轴电缆截面,2. 外导体内自感,图3.7.3 同轴电缆,由例3-3知,匝数,3. 外自感,同轴电缆的总自感,设,总自感为,解法一,例 3.7.2 试求半径为R的两平行传输线自感。,图3.7.4 两线传输线,解法二,图3.7.5 双线传输线,3.7.2 互感（Mutual Inductance）,互感是一个回路电流与其在另一个回路所产生的磁链之比值，它与两个回路的几何尺寸，相对位置及周围媒质有关，还与线圈及导线的形状、尺寸和导线材料的磁导率有关。,H（亨利）,图3.7.6 电流I1 产生与回路L2交链的磁链,：回路1的电流所产生的与回路2交链的磁链。,：回路1对回路2的互
22、感。,：回路2的电流所产生的与回路1交链的磁链。,计算互感的一般步骤：,设,图3.7.7 两对传输线的互感,解： 设传输线 AB 带电，求穿过 CD 回路的磁链,导线 B 作用,合成后,导线 A 作用,例 3.7.3 试求图示两对传输线的互感。,1) 若回路方向相反，互感会改变吗？ 它反映 了什么物理意义？,思考,2) 两线圈的形状、尺寸和相互间距离不改变，当一块无限大铁板置于两线圈的下方时，两线圈的自感、互感将如何发生变化？,3） 铁板放在两线圈之间，互感、自感如何变化？,例3-8 求无限长导线与线圈之间的互感，并给出镜像电流的大小、方向和位置。,3.7.3 聂以曼公式（Neumanns F
23、ormula）：利用磁矢位A计算互感和自感的一般公式。,1. 求两导线回路的互感,设回路 1 通以电流 I1，则空间任意点的磁矢位为,穿过回路 2 的磁通为,图3.7.11 两个细导线电流回路,若 I1为N1匝， I2为N2匝，则,图3.7.11 两个细导线电流回路,I1对I2的互感,显然,2. 用聂以曼公式计算回路的外自感,外自感,电流 I 在 l2 上产生的磁矢位为,与 l2 交链的磁通为,设电流 I 集中在导线的轴线 l1上，磁通穿过内表面轮廓 l2 所限定的面积。,图3.7.12 线圈的自感,则线形回路的自感：,图3.7.12 线圈的自感,若匝数为N时，自感为：, 媒质为线性；, 磁场
24、建立无限缓慢（不考虑涡流及辐射）；, 系统能量仅与系统的最终状态有关，与能量的建立过程无关。,假设：,3.8.1 恒定磁场中的能量（Magnetic Energy）,3.8 磁场能量与力,可以选择一个便于计算的电流建立过程，即各回路电流都按同一比例增长。,1、磁场能量的建立（也即：磁场能量的第一种表示形式）：,如某一瞬间，各回路电流分别为,由于回路中磁链与电流之间有线性关系，故同一瞬间，各回路磁链分别为,（n个磁感应线圈，k为编号，m为电流增长比例）,故磁场建立过程中，储存的总能量为,磁场能量的推导过程,2、磁场能量的第二种表示形式：,3、磁场能量的第三种表示形式（也即：磁场能量与场量的关系）
25、：,由矢量恒等式,3.8.2 磁场能量的分布及磁能密度（对于连续的电流分布）,得,第一项为 0,由于,J（焦耳）,磁能密度,磁场能量是以密度形式储存在空间中。,磁场能量的第三种表示形式（也即：磁场能量与场量的关系）：,单一回路，可以用磁场能量求电感：,例3-9 利用磁场能量求长为L，截面半径为R0( ) 的导线内自感。,解: 由安培环路定律,自感,例 3-10 试求长度为 l , 通有电流 I 的同轴电缆储存的磁场能量与自感。,磁能,图3.8.1 同轴电缆截面,3.8.3 磁场力,1. 安培力,1、求磁场力的方法有下述两种,载流导线本身及载流导线之间，载流导线与磁铁之间，磁铁与磁铁之间也存在受
26、力。,运动电荷在磁场中的受力可用 计算。,解: 定性分析场分布,B 板的磁场,A 板受力,例3.8.2 试求载流导板间的相互作用力。,图3.8.2 两平行导板间的磁力,例3-11试求载流导线I1每单位长度所受磁场力的大小。,功 = 广义力广义坐标,广义力 f ：企图改变广义坐标的力。,广义坐标 g：是指确定系统中各导体形状、尺寸与位置的一组独立几何量，如距离、面积、体积、角度。,力的方向：f 的正方向为 g 增加的方向。,2. 应用虚功原理求磁场力,电源提供的能量 = 磁场能量的增量 + 磁场力所做的功,即,除p号回路外，其余回路固定不变，p号回路也只有广义坐标g发生变化，系统中的功能守恒是：
27、,也即：,广义力,各回路中的电流保持不变：常电流系统 也即,外源作功：,磁场能量增量：,磁场力所作的功：,可见：外源提供的能量有一半作为磁场能量的增量，另一半用于作机械功。,广义力,则,磁链不变，表示没有感应电动势，电源不需要提供克服感应电动势的能量，即外源提供的能量,各回路所交链的磁链不变，常磁链系统。即,可见：磁场力作功只有靠磁场能量的减少来完成。,取两个回路的相对位置坐标为广义坐标，求出互有磁能，便可求得相互作用力。,两种假设的结果相同，即,在实际问题中，有时只要求计算某一系统中的相互作用力，这时，只要写出它们相互作用能的表达式，然后求偏导数即可。,解：系统的相互作用能为,例 3.8.3
28、 试求图中载流平面线圈的转矩。,选 a 为广义坐标，对应的广义力是转矩，,图3.8.3 外磁场中的电流回路,例 3.8.4 求如图所示无限长导线与线圈之间的互感，并用虚位移法求线圈所受的力。,例 3-12 一长直细导线与半径为R的圆形线圈处于同一平面内，圆心至导线的距离为a,分别通有电流I1和I2，求（1）直导线与圆线圈之间的互感；（2）圆线圈所受的电磁力。,3. 应用法拉第观点分析磁场力,法拉第观点，通量管沿其轴向方向受到纵张力，垂直方向受到侧压力, 其量值都等于,N/m2,例 3.8.5 试判断物体受力情况。,图3.8.5 向量管受力,图3.8.6 电磁铁,对于电磁铁的起重力，可以考虑电磁
29、铁气隙中的B管，沿轴向有收缩的趋势，因而在磁极表面上表现为吸力。,磁矢位（A）,边值问题,解析法,数值法,有限差分法,有限元法,分离变量法,镜像法,电感的计算,磁场能量及力,基本实验定律 (安培力定律）,磁感应强度（B）(毕奥沙伐定律),H 的旋度,基本方程,B 的散度,磁位( ),分界面衔接条件,恒定磁场的知识结构。,构成方程,（磁通连续原理）,（安培环路定律）,真空中的安培环路定律,B 的法向分量连续,H 的切向分量不连续,(K = 0时),折射定律,（矢量）泊松方程,从基本方程出发,求自感的一般步骤：,计算 ：,为S的边界,计算 ：,计算互感的一般步骤：,设,J（焦耳）,磁能密度,磁场能
30、量是以密度形式储存在空间中。,磁场能量,磁场力,1. 安培力,2. 应用虚功原理求磁场力,3. 应用法拉第观点分析磁场力,作业：,3-13,3-14,3-15,3-16,若要继续充电, 外源必须克服回路的感应电动势做功,过程中，外源所做的功,推导磁场能量表达式,（1） 从,即,下 页,返 回,（2） 不变， 从 ,若要继续充电, 外源必须克服回路的感应电动势做功,不变， 从 过程中，外源所做的功,即,下 页,上 页,返 回,总磁能,上 页,返 回,矢量恒等式,故,取散度,则,推导 B 的散度,返 回,超导技术的应用,超导： 指金属、合金或其它材料的电阻在 420K温度下变为零的性质。,高温超导
31、： 指温度在 77K以上，材料的电阻变为零 的性质。目前的Bi系，TI系等材料在液氮温度下超导。,超导体内部没有电场。 载流能力强（约6000A/cm2）， 损耗小。,下 页,上 页,返 回,超导技术应用 超导电机、超导变压器、超导限流器、超导输电、超导储能、高能加 速器、核聚变装置、磁流体发电、 超导磁悬浮列车、超导磁分离、核磁共振谱仪。,下 页,上 页,返 回,库仑规范条件为 ，即规定 是一个有旋无源场（横场）。这个规范的特点是 的纵场部分完全由 描述（即 具有无旋性 ）,每种选择对应一种规范，在不同问题中可采用不同辅助条件以使得问题简单，,返 回,斯托克斯公式,返 回,无感电阻英文解释为：non-inductance resistor,顾名思义，无感即是无感值的意思，当然这里的无，是指电阻上的感抗值非常小了，可以忽略不计，一般不能说是彻底没有。一些精密的仪器仪表设备，电子工业设备常常需要用到此类无感电阻，因为普通具有高感抗的电阻在使用中容易产生震荡，损坏回路中的其他器件。,返 回,
