1、 解 析 几 何 的 系 统 性 突 破 11. 极 坐 标 和 参 数 方 程 特 点 和 预 测一 、 注 重 对 方 程 、 参 数 、 变 换 等 概 念 的 准 确 认 知例 1.（ 2008 海 南 宁 夏 ） 已 知 曲 线 C1： cos ( )sinxy 为 参 数 ， 曲 线 C2： 2 22 ( )22x t ty t 为 参 数 。（ I） 指 出 C1， C2各 是 什 么 曲 线 ， 并 说 明 C1与 C2公 共 点 的 个 数 ；（ II） 若 把 C1， C2上 各 点 的 纵 坐 标 都 压 缩 为 原 来 的 一 半 ， 分 别 得 到 曲 线 1 C ，
2、 2 C 。 写 出 1 C ，2 C 的 参 数 方 程 。 1 C 与 2 C 公 共 点 的 个 数 和 C1 与 C2公 共 点 的 个 数 是 否 相 同 ？ 说 明 你 的 理由 。 点 评 ： 作 为 课 改 第 二 年 的 试 卷 ， 难 度 较 小 ， 第 （ I） 问 直 接 考 查 对 圆 和 直 线 方 程 的 认 知 ，第 （ II） 问 其 实 也 告 诉 我 们 伸 缩 变 换 后 相 交 、 平 行 、 垂 直 并 不 会 变 化 ， 即 。例 2.（ 2014新 课 标 全 国 卷 ） 在 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ，
3、 x 轴 为 极 轴 建 立极 坐 标 系 ， 半 圆 C 的 极 坐 标 方 程 为 2cos ， 0, 2 .（ ） 求 C 的 参 数 方 程 ；（ ） 设 点 D 在 C 上 ， C 在 D 处 的 切 线 与 直 线 : 3 2l y x 垂 直 ， 根 据 （ ） 中 你 得 到的 参 数 方 程 ， 确 定 D 的 坐 标 .点 评 ： 第 （ ） 问 把 极 坐 标 系 方 程 化 为 参 数 方 程 ， 一 定 注 意 对 极 角 、 圆 的 参 数 准 确 的认 知 。点 评 ： 第 （ 2） 问 需 要 学 生 理 解 极 径 的 概 念 。二 、 方 程 的 转 化 和
4、 求 解 是 基 本 要 求 ， 特 别 是 在 各 种 坐 标 系 下 、 不 同 的 方 程 中 求 解例 3.（ 2015年 新 课 标 2文 ） 在 直 角 坐 标 系 xOy中 ,曲 线 1 cos ,: sin ,x tC y t （ t为 参 数 ,且 0t ） ,其 中 0 , 在 以 O 为 极 点 ,x 轴 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中 , 曲 线2 3: 2sin , : 2 3cos .C C （ I） 求 2C 与 3C 交 点 的 直 角 坐 标 ；（ II） 若 1C 与 2C 相 交 于 点 A， 1C 与 3C 相 交 于 点 B， 求 AB
5、 最 大 值 .点 评 ： 第 （ I） 问 在 极 坐 标 系 下 求 交 点 坐 标 ， 需 要 注 意 极 点 表 示 的 不 唯 一 性 ， 往 往 容 易漏 掉 极 点 ， 注 意 检 验 。例 4 .（ 2 0 1 7 全 国 3 ） 在 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 直 线 的 参 数 方 程 为 ,x ty kt （ t为 参 数 ） ， 直 线 l 的参 数 方 程 为 ,x mmy k （ m为 参 数 ） ， 设 与 l 的 交 点 为 P， 当 k变 化 时 ， P的 轨 迹 为 曲 线 C（ 1） 写 出 C的 普 通 方 程 ：（ 2） 以 坐 标 原 点 为
6、极 点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 设 : (cos sin )l ， M为 与 C的 交 点 ， 求 M的 极 径 预 测 题 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 两 解 析 几 何 的 系 统 性 突 破 种 坐 标 系 取 相 同 单 位 长 度 ， 已 知 曲 线 cos2: C ， 过 点 0,1P 的 直 线 l 的 参 数 方 程 为 ty tx 31 3221 （ t 为 参 数 ） ， 且 直 线 l 与 曲 线 交 于 BA, 两 点
7、 .（ 1 ） 求 AB（ 2 ） 若 点 Q是 曲 线 C上 任 意 一 点 ， R是 线 段 PQ的 中 点 ， 过 点 R作 x轴 的 垂 线 段 RH， H为 垂 足 ，点 G在 射 线 HR上 ， 且 满 足 HRHG 3 ， 求 点 G的 参 数 方 程 ， 并 说 明 是 什 么 曲 线 。预 测 2 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy中 ， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 ， 两种 坐 标 系 取 相 同 单 位 长 度 ， 曲 线 sin2:1 C ， 0 ， 1C 上 的 动 点 M 绕 着 O顺 时 针 旋
8、转 4 ， 得 到 点 N ， P点 满 足 ONOP 22 ， P点 轨 迹 方 程 为 2C ，（ 1 ） 求 2C 的 极 坐 标 方 程 ； （ 注 意 要 抠 点 ）（ 2 ） 若 曲 线 2C 上 的 点 到 Q到 直 线 03: yxl 距 离 最 大 ， 求 Q的 直 角 坐 标 。三 、 特 别 突 出 各 种 方 程 、 坐 标 系 的 优 越 性之 所 以 要 学 习 各 种 坐 标 系 和 方 程 ， 在 于 处 理 一 些 问 题 具 有 优 越 性 ， 全 国 卷 反 复 考 查 ，如 例 3， 考 查 极 坐 标 的 优 越 性 ； 例 2 考 查 的 是 参 数
9、 方 程 的 优 越 性 。例 5. （ 2016 年 全 国 III 高 考 ） 在 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 曲 线 1C 的 参 数 方 程 为3cos ( )sinxy 为 参 数 ， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， 以 x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 ， 建 立 极 坐 标 系 ， 曲 线2C 的 极 坐 标 方 程 为 sin( ) 2 24 .（ I） 写 出 1C 的 普 通 方 程 和 2C 的 直 角 坐 标 方 程 ；（ II） 设 点 P 在 1C 上 ， 点 Q 在 2C 上 ， 求 |PQ|的 最 小 值 及 此 时 P的 直 角 坐 标 .点 评
10、： 此 题 考 查 的 是 参 数 方 程 的 优 越 性 。 关 于 直 线 参 数 方 程 的 优 越 性 ， 全 国 卷 在 选 考 部分 还 没 有 涉 及 过 。例 6. （ 2012 新 课 标 ） 已 知 曲 线 1C 的 参 数 方 程 是 )(3siny 2cosx 为 参 数 ,以 坐 标 原 点 为 极点 ,x轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 坐 标 系 ,曲 线 2C 的 坐 标 系 方 程 是 2 ,正 方 形 ABCD的顶 点 都 在 2C 上 ,且 , , ,A B C D 依 逆 时 针 次 序 排 列 ,点 A的 极 坐 标 为 (2, )3(1)求 点
11、 , , ,A B C D 的 直 角 坐 标 ;(2)设 P为 1C 上 任 意 一 点 ,求 2 2 2 2PA PB PC PD 的 取 值 范 围 .点 评 ： 此 题 第 （ 1） 问 考 查 的 是 极 坐 标 的 优 越 性 ， 第 （ 2） 问 考 查 的 是 参 数 方 程 的 优 越 性 。四 、 圆 锥 曲 线 、 参 数 方 程 和 几 何 分 析 相 辅 相 成 解 析 几 何 的 系 统 性 突 破 例 4 求 轨 迹 方 程 ， 除 了 消 参 之 外 ， 注 意 到 两 直 线 斜 率 之 积 为 定 值 ， 故 考 虑 交 轨 法 。例 7 .（ 2 0 1
12、7 全 国 2 ） 在 直 角 坐 标 系 xoy 中 ， 以 坐 标 原 点 为 极 点 ， x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极坐 标 系 ， 曲 线 1C 的 极 坐 标 方 程 为 cos 4 （ 1 ） M 为 曲 线 1C 上 的 动 点 ， 点 P 在 线 段 OM 上 ， 且 满 足 16OM OP ,求 点 P 的 轨 迹 2C 的直 角 坐 标 方 程 ；（ 2 ） 设 点 A 的 极 坐 标 为 (2, )3 ， 点 B 在 曲 线 2C 上 ， 求 OAB 面 积 的 最 大 值 解 析 ： （ 1 ） 法 一 （ 消 参 法 ） 直 角 坐 标 系 中 4:
13、1 xC ， 设 ),(),4( yxPtM ，由 16OM OP 得 16 OPOM ， 即 164 tyx 又 MPO , 共 线 ， 所 以 xyttxy 44 代 入 整 理 得 04: 222 xyxC法 二 ： （ 极 坐 标 的 优 越 性 ） 设 ,0 PM ， 则 0 cos 4 ， 即 0 4cos ， 因 为16OM OP ， 所 以 160 ， 即 16cos4 ， 即 cos4 ，化 为 直 角 坐 标 方 程 得 04: 222 xyxC 0x法 三 ： （ 几 何 分 析 ） 设 1C 与 坐 标 轴 的 交 点 为 T ， 则 4OT ， 注 意 到 216OM
14、 OP OT ，即 OPOTOTOM ， 所 以 OPT 和 ATM ， 则 090 OTMOPT ， 则 0 TPOP ， 设 yxP ,， 则 有 04: 222 xyxC 0x（ 2 ） 法 一 ： （ 转 化 为 解 析 几 何 中 最 基 本 的 问 题 ） A 的 直 角 坐 标 为 )3,1( ，4)2(: 222 yxC ,易 知 O,A 在 圆 上 ,且 圆 心 2C 到 OA距 离 3d , OAB 面 积 的 最大 值 为 32)(|21 rdOA法 二 ： （ 极 坐 标 的 优 越 性 ） 由 2C ： cos4 可 设 ,B ， 2,2 ， 则 OAB 面积 cossin2cos323sincos43sin221 2 S 332sin232sin2cos3 解 析 几 何 的 系 统 性 突 破 当 12 时 ， OAB 面 积 最 大 ， 为 32
