1、函数值域十三种求法1. 直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。例 1. 求函数 x1y的值域解： 0 x1显然函数的值域是： ),0(),(例 2. 求函数 x3y的值域解： 0,x故函数的值域是： ,2. 配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。例 3. 求函数 2,1x,52y的值域解：将函数配方得： 4)( ,1x由二次函数的性质可知：当 x=1 时， ymin，当 1x时， 8ymax故函数的值域是：4，83. 判别式法(只有定义域为整个实数集 R 时才可直接用)例 4. 求函数 2x1y的值域解：原函数化为关于 x 的一元二次方程0)(x)1(2（1）当 时，
2、 R1y4解得： 23（2）当 y=1 时， 0x，而 23,故函数的值域为 23,1例 5. 求函数 )x2(y的值域解：两边平方整理得： 0yx)1(22（1） Rx 0y8)1(42解得： 但此时的函数的定义域由 0)x2(，得 2x由 0，仅保证关于 x 的方程： 0y)1(2在实数集 R 有实根，而不能确保其实根在区间0，2上，即不能确保方程（1）有实根，由 0求出的范围可能比 y 的实际范围大，故不能确定此函数的值域为 23,1。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。 2x00)(1y,min代入方程（1）解得：2,x4即当 21时，原函数的值域为： 1,0注：由判别式法来判断函
3、数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部分剔除。4. 反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。例 6. 求函数 6x543值域解：由原函数式可得： 3y56则其反函数为： x4y，其定义域为： 53x故所求函数的值域为： (,)(,)55. 函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。例 7. 求函数 1eyx的值域解：由原函数式可得： 1yx 0ex 1y解得： 故所求函数的值域为 )1,(例 8. 求函数 3xsinco的值域解：由原函数式可得： y3xcosiy，可化为：)
4、(i1y2即 1yxsn2 R ,)(i即 1y32解得： 4故函数的值域为 2,6. 函数单调性法例 9. 求函数 )10x2(log2y35x的值域解：令 ,1则 2,在2 ，10 上都是增函数所以 在2，10上是增函数当 x=2 时， 812logy3min当 x=10 时， 95ax故所求函数的值域为： ,例 10. 求函数 1xy的值域解：原函数可化为：2令 ,1x21，显然 21y,在 ,上为无上界的增函数所以 1y， 2在 ,上也为无上界的增函数所以当 x=1 时， 21y有最小值 2，原函数有最大值2显然 0，故原函数的值域为 ,0(7. 换元法通过简单的换元把一个函数变为简单
5、函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥作用。例 11. 求函数 1xy的值域解：令 t1x， )0(则 t2 43)2t(又 0t，由二次函数的性质可知当 时， 1ymin当 t时， 故函数的值域为 ),例 12. 求函数 2)1x(2xy的值域解：因 0)1(即 x2故可令 ,cos 1cosiny21)4sin(2 50,21)4sin(20故所求函数的值域为 ,0例 13. 求函数 1x2y43的值域解：原函数可变形为： 22x1可令 tgx，则有 2cos,sinx14sin12cosin21y当 8k时，
6、 ymax当 2时， 41in而此时 tan有意义。故所求函数的值域为 ,例 14. 求函数 )1x)(cos(siny， 2,的值域解： 1xicosin令 ts，则 )t(2csi2)1t(2)1t(y由 4/xsincoxsin且 ,可得： 2t当 t时，3ymax，当 2t时， 243y故所求函数的值域为 ,4。例 15. 求函数 2x5y的值域解：由 0x52，可得 |故可令 ,cos4)sin(10i4y 05当 4/时， 104ymax当 时， in故所求函数的值域为： ,58. 数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形
7、结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例 16. 求函数 22)8x()(y的值域解：原函数可化简得： |2|上式可以看成数轴上点 P（x）到定点 A（2） ， )8(B间的距离之和。由上图可知，当点 P 在线段 AB 上时， 10|A|x|y当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时， |B82故所求函数的值域为： ,10例 17. 求函数 5x43x6y22的值域解：原函数可变形为： 2222 )10()()0()3x(y 上式可看成 x 轴上的点 ,P到两定点 )1,(B,3A的距离之和，由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时，43)1()(|AB22min ，故所求函数
8、的值域为 ,例 18. 求函数 5x413x6y22的值域解：将函数变形为： 222)10()()0()( 上式可看成定点 A（3，2）到点 P（x，0）的距离与定点 ,B到点)0,x(P的距离之差。即： |BP|y由图可知：（1）当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时，如点 P，则构成 ，根据三角形两边之差小于第三边，有 26)1()23(|AP即： 6y2（2）当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时，有 26|AB|P|综上所述，可知函数的值域为： ,(注：由例 17，18 可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使 A、B 两点在 x 轴的两侧，而求两距离之差时
9、，则要使 A，B 两点在 x 轴的同侧。如：例 17 的 A，B 两点坐标分别为：（3，2） ， )1,2(，在 x 轴的同侧；例 18 的 A，B 两点坐标分别为（3，2） ， )1,2(，在 x 轴的同侧。9. 不等式法利用基本不等式 abc3a,ba)R,(，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例 19. 求函数 4)xcos1()xsin1(iy22的值域解：原函数变形为： 52xcottan3se1csi)cox(iny22222当且仅当 即当 4k时 )z(，等号成立故原函数的值域为： ,5例 2
10、0. 求函数 x2siny的值域解： coixsni4227643/)xsin2xsin(i8(1y2当且仅当 xsin2xsin2，即当 32si时，等号成立。由 764y2可得： 98y3故原函数的值域为： ,10. 一一映射法原理：因为 )0c(dxbay在定义域上 x 与 y 是一一对应的。故两个变量中，若知道一个变量范围，就可以求另一个变量范围。例 21. 求函数 1x23y的值域解：定义域为 21x|或由 1x23y得 3y2故或 21x解得 2y3或故函数的值域为 ,23,11. 多种方法综合运用例 22. 求函数 3xy的值域解：令 )0t(2t，则 1t2（1）当 t时， t
11、1t，当且仅当 t=1，即 1x时取等号，所以 2y0（2）当 t=0 时，y=0 。综上所述，函数的值域为： 21,0注：先换元，后用不等式法例 23. 求函数 423x1y的值域解： 42x1令 2tanx，则22cosxsi11sin2siin21cosy674i当1sn时， 1ymax当 i时， 2in此时 2ta都存在，故函数的值域为 167,2注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用 sin的有界性。12.部分分式法求 的值域。21xy解：（利用部分分式法）由 ，可得值域1232xxy 1y小结：已知分式函数 ，如果在其自然定义域（代数式自身对变量的要)0(cdba求）内，值域为 ；y如果是条件定义域（对自变量有附加条件） ，采用部分分式法将原函数化为，用复合函数法来求值域。)(bcadcxby13数形结合法例 1、 求函数 的值域。52xy结合图形不难得到： 。),7例 16. 求函数 22)8x()(y的值域。解：原函数可化简得： |8x|2|y故所求函数的值域为： ,10 -1、 求 的值域13xy解法一：（图象法）可化为 3,412,xy观察得值域 4y
