1、用向量研究解几问题岳 峻 安徽省太和县太和中学 236600利用向量来解答或者证明解析几何问题，不仅解法或证法新颖，而且可以减少计算量，大大加快了解题的速度。下面以高考题为例，说明向量在研究解析几何问题中所起的重要作用。一、利用向量研究两直线的平行或共线。要证明两直线平行或共线有两种方法：一是利用 的充要条件是当且仅当存在实数，ba,使 成立；二是利用向量的坐标形式，即利用两个向量 ， 共线的ba ),(1yx),(2yxb充要条件 解答。证明三点共线则可转化为两个向量共线来证明。0121yx【例 1】 （2014 高考安徽理）如图，已知两条抛物线 E1：y 22p 1x(p10)和E2：y
2、2 2p2x(p20) ，过原点 O 的两条直线 l1 和 l2，l 1 与 E1，E 2 分别交于 A1，A 2 两点，l 2与 E1， E2 分别交于 B1，B 2 两点(1)证明：A 1B1A 2B2；(2)略。【分析】(1)由于 与 不在同一条直线上，要证明12A1B1 ，只证明存在常数 ，使得 。221BA【解】(1)证明：设直线 的方程分别为21,l xky1,，则由 ， 得 ，)0,(21kxpyk12 121,kp由 ，得 。xpy21 122,kA同理 ， 。211,kB22,pkB则 ， 1212112121 , kkppkA同理 ，故 ，所以 。12121,kpB 21B
3、Ap12BA【评点】本题考查了用向量的坐标形式表示向量，共线向量性质的运用。其实，本题也可以利用两直线的斜率相等来证明 A1B1 ，但计算量较大，这就是利用向量证题的2优势。【例 2】 （2012 高考北京理 19）已知曲线 。)(8)2()5(:2RmyxmC（）若曲线 是焦点在 轴上的椭圆，求 的取值范围；Cx（）设 ，曲线 与 轴的交点为 （点 位于点 的上方） ，直线4myBA,B与曲线 交于不同的两点 ，直线 与直线 交于点 ，求证：kxy NM,1yMG三点共线。NGA,【分析】要证明 三点共线，只需证 共线。可求得 的坐标是 ，设GA, G, A)2,0(、 ， ，将 用坐标表示
4、，再根据两个向量)4,(1kx)4(22kxM)1,(3x， 共线满足的条件 解答。),(1yxa),(2yxb0121yx【解】（1）略；（2 ）可求得 的坐标是 。设 、 ， 。A),0()4,(kN)4,(22kxM)1,(3xG由已知直线代入椭圆方程化简得： 26， =，解得：23k，由韦达定理得： ， 。121kx121kx则 MB方程为： ，则 ，62ky,632G故 ， ，1,32kxAG),(1kxAN欲证 三点共线，只需证 共线，即 成立，, , 1121)()(3xkx即只需证明 成立。把代入的左边得 ，)(6)3(2121xxk 12963k把代入的左边得 。所以式成立。
5、9k由此可知 AGN， ， 三点共线。【评点】证明三点共线通常可转化为有一个公共端点两个向量共线来证明。此外本题也可以利用斜率相等，但计算过程要相对复杂。二、利用向量研究与角度有关问题。利用向量的数量积的符号，可以判断这两向量的夹角是锐角、直角或钝角，进而可以判断三角形是类型与点与圆的位置关系。【例 3】 （2015 高考安徽，文 20）设椭圆 的方程为 点 为坐标E)0(12bayxO原点，点 的坐标为 ，,点 的坐标为 ，点 在线段 上，满足 直A)0(aB),0(bMABMA2线 的斜率为 。OM15（）求 的离心率 ；Ee（）设点 的坐标为 ， 为线段 的中点，证明： 。C),0(bN
6、ACN【分析】 （）略；（）要证明 ，只需证明 。B0AB【】解（）由题设条件知，点 ，又 从而 。进而)31,2(baM105OMk152ab， ，故 。ba5bac225ce（）证：由 是 的中点知，点 的坐标为 ，可得 。又NACN2, 65,bN，从而有baAB, 26161abaB由（）得计算结果可知 所以 ，故 。,52b0MABAB【评点】本题主要将椭圆的性质与求椭圆的离心率相结合，同时考查了中点坐标公式，以及解析几何中直线与直线垂直的常用方法，本题考查了考生的基本运算能力和综合分析能力。【例 4】 （2015 高考湖南，理 20）已知抛物线 的焦点 也是椭圆yxC4:21F的一
7、个焦点， 的公共弦的长为 。)0(1:22bayxC21, 6（1 ）求 的方程；2C（2 ）过点 的直线 与 相交于 两点，与 相交于 两点，且 与 同向Fl1BA,2CD,ACBD（）若 ，求直线 的斜率；BDAl（）设 在点 处的切线与 轴的交点为 ，1xM证明：直线 绕点 旋转时， 总是钝角三角形。l F【分析】 （1）略；（2 ） （i ）略；（ ii）从图形上观察到只有当是钝角时， 才是钝角三角形，由于MFDD，只需证明 是锐角，从而80AAF转化证明 。B【解】 （1） （解题过程略） ；192yx（2 ） （）略；（）设 的坐标是 ，由 得 ，则 在点 处的切线方程是A),(1
8、yxyx422x1CA，即 ，令 ，得 ，即 。)(211xy00,21xM所以 ，而 ， ，,FM)1,(yxF),(1yxFA则 ，因此 是锐角，从而 是钝角，041221yxAAFMD180故直线 绕点 旋转时， 总是钝角三角形。lMD【评点】本题主要考查了椭圆的标准方程及其性质以及直线与椭圆的位置关系，属于较难题，解决此类问题的关键：（1）结合椭圆的几何性质，如焦点坐标，对称轴，等；（2）当看到题目中出现直线与圆锥曲线时，不需要特殊技巧，只要联立2cba直线与圆锥曲线的方程，借助根与系数关系，找准题设条件中突显的或隐含的等量关系，把这种关系“翻译”出来，有时不一定要把结果及时求出来，可
9、能需要整体代换到后面的计算中去，从而减少计算量。本题考查的数学的数学思想是数学结合的思想、设而不求、整体代换的思想与等价转化的思想（要证明 总是钝角三角形，即证明 是钝角，MFDMFD转化证明其邻补角 是锐角即可）AFM【变式】 （2012 年高考湖北理）设 A是单位圆 21xy上的任意一点， l是过点A与 x轴垂直的直线， D是直线 l与 x 轴的交点，点 在直线 上，且满足|(0,1)Dm且. 当点 在圆上运动时，记点 M 的轨迹为曲线 C（）求曲线 C的方程，判断曲线 C为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标； （）过原点且斜率为 k的直线交曲线 于 P， Q两点，其中 P在第一象限，它在 y轴
10、上的射影为点 N，直线 Q交曲线 于另一点 H. 是否存在 m，使得对任意的 0k，都有PQH？若存在，求 m的值；若不存在，请说明理由。【答案】 （）21 (0,1)yx且， 2(0,1)，2(0,1)m。（）存在， 。2【例 5】 （2015 高考福建，理 18）已知椭圆过点 ，且离心率为 。()求椭圆 的方程； )0(1:2bayxE)2,(2E()设直线 交椭圆 于 两点，判断点 与以线段 为直径的圆RmEBA, 0,49GAB的位置关系，并说明理由。【分析】由平面几何知识：点 与以线段 为直径的圆有三种可能的关系：点 在GG圆外，判断的依据是 ；点 在圆上，判断的依据是90AB0；点
11、 在圆内，判断的依据是 。这样将90AGB 90AB0BA解析几何问题转化为判断两个向量的数量积的与 0 大小关系问题。【解】() 易求得椭圆 的方程 。E124yx()设点 ，则 ， 。),(),21yx,9GA22,49yxG由 ，得 ，则有 ， 。24yxm03)(my321my221m则 )(45)(4549 1121212121 yyxGBA ，所以 ，又 不共线，)(3)(25162m0)(67520,cosBGABA,所以 为锐角。故点 在以 为直径的圆外。0,49AB【评点】本题也可通过判断点和圆的位置关系来考查中点问题，利用韦达定理确定圆心，然后计算圆心到点 的距离并和半径比
12、较得解，由于要用到两点间的距离公式，出现G根号，解题过程将十分复杂；但通过利用向量，通过判断数量积的正负来确定点和圆的位置关系，就不会出现根式，计算量大大减少了。本题综合性较高，较好地考查分析问题解决问题的能力。【变式 1】 （2010 年高考 四川 理）已定点 ， ，定直线 ，不在)0,1(A),2(F21:xl轴上的动点 与点 的距离是它到直线 的 2 倍。设点 的轨迹为 ，过点 的直线交xPFlPEF于 两点，直线 分别交直线 于 。ECB, ACB, NM,（）求 的方程；（）试判断以线段 为直径的圆是否过点 ，并说明理由。N【答案】 （） ；（）以线段 为直径的圆经过点 。132yx
13、【变式 2】 （2010 年高考浙江理）已知 ，直线 ，椭圆1m02:myxl， 分别是椭圆 的左右焦点。1:ymxC2,FC（）当直线 时过右焦点 时，求直线 的方程；l2l（）设直线 与椭圆 交于 两点， 、 的重心分别是 ，若点BA,21F21BHG,在以线段 为直径的圆内，求实数 的取值范围。OGHm【答案】 （） ， （） 。01yx【变式】 （2012 高考福建理 19）如图，椭圆 的左焦点为 ，)0(:2bayxE1F右焦点为 ，离心率 。过 的直线交椭圆于 两点，且 的周长为 8.2F21e1FBA,2AF（）求椭圆 的方程.E（）设动直线 与椭圆 有且只有一个公共点 ，且与直mkxyl:EP线 相较于点 。试探究：在坐标平面内是否存在定点 ，使得4xQM以 为直径的圆恒过点 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，PM说明理由。【答案】 （） ;（）存在， 。1342yx )0,1(
