1、二项式定理十大典型例题配套练习.1二项式定理：，01() ()nnrnnabCabCabN 2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做 的二项展开式。()n二项式系数:展开式中各项的系数 .rn0,12,)项数：共 n+1 项，是关于 与 的齐次多项式ab通项：展开式中的第 项 叫做二项式展开式的通项。用 表示。1rrnrC 1rnrTCab3性质：二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即 .knk二项式系数和：令 ,可得二项式系数的和为 ，1ab0122rnnnnC 变形式 。2rnnC 奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令 ，则 ，1,ab
2、0123(1)()0nnnn从而得到： 0242 12r rnnC二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数 是偶数时，则中间一项的二项式系数 取得最大值。2nC如果二项式的幂指数 是奇数时，则中间两项的二项式系数 , 同时取得最大值。n 1n系数的最大项：求 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别()nabx为 ，设第 项系数最大，应有 ，从而解出 来。121,nAr12rrAr题型一：二项式定理的逆用；例： 1232166 .nnnCC解： 0123() 6nnnC1232112(6)nn n 01 1(6)(76nnnC练： 12319 .nnnCC解： 4题型二：利用
3、通项公式求 的系数；nx例：在二项式 的展开式中倒数第 项的系数为 ，求含有 的项的系数？3241()n3453x解：由条件知 ，即 ， ，解得 ，由25nC24n290n9()10nn舍 去 或，由题意 ，10103341()rrrrTxx 123,64rr解 得则含有 的项是第 项 ,系数为 。376102TC0练：求 展开式中 的系数？29()x9x解： ，令 ,则182 1831999()()()22rrrrrrrrTCxx9r3故 的系数为 。x39题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式 的展开式中的常数项？210()x解： ，令 ，得 ，所以5202101 1()()rrrrr
4、TCCx02r8891045()26TC练：求二项式 的展开式中的常数项？6x解： ，令 ，得 ，所以66216 1(2)1()()rrrrrrr xx 0r3340TC练：若 的二项展开式中第 项为常数项，则2()nx5_.n解： ，令 ，得 .44215(nnx206题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式 展开式中的有理项？93()x解： ，令 ,( )得 ，127193621 9()()rrrrrrTCxCxrZ09r39r或所以当 时， ， ，7463449(1)8Tx当 时， ， 。9r23r10x题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若 展开式中
5、偶数项系数和为 ，求 .231()nx256n解：设 展开式中各项系数依次设为23()nx01,na,则有 ， ,则有 1令 010,nax令 0123(1)2,naa将-得： 352()2n135,na有题意得， ， 。186n9练：若 的展开式中，所有的奇数项的系数和为 ，求它的中间项。352()nx 1024解： ， ，解得042132r rnnnnnCC 1024n1n所以中间两个项分别为 ， ，6,75653121()4nTxx 6561Tx题型六：最大系数，最大项；例：已知 ，若展开式中第 项，第 项与第 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最1(2)nx57大项的系数是
6、多少？解： 解出 ，当 时，展开式中二项式系数最大的项是4652,1980,nnC14n或 7n， 当 时，展开式中二项式系数45T和 34475()C的 系 数 37()20,TC的 系 数 14最大的项是 ， 。8714()23T的 系 数练：在 的展开式中，二项式系数最大的项是多少？2()nab解：二项式的幂指数是偶数 ，则中间一项的二项式系数最大，即 ，也就是第 项。n21nT1n练：在 的展开式中，只有第 项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？31()2nx5解：只有第 项的二项式最大，则 ，即 ,所以展开式中常数项为第七项等于5152n8n 6281()7C练：写出在 的展开式
7、中，系数最大的项？系数最小的项？7()ab解：因为二项式的幂指数 是奇数，所以中间两项( )的二项式系数相等，且同时取得最大值，从而有4,5第 项的系数最小， 系数最大。3447TC4357TCab练：若展开式前三项的二项式系数和等于 ，求 的展开式中系数最大的项？91(2)nx解：由 解出 ,假设 项最大，0129,nn121r 1212()(4)x，化简得到 ，又 ， ，展开式中系112124rrrrAC9.40.rr0r数最大的项为 ,有1T011()68x练：在 的展开式中系数最大的项是多少？0(2)x解：假设 项最大，1r102rrrCx，化简得到 ，又 ，1121002(1)0,r
8、rrrAr 解 得 6.37.k01r，展开式中系数最大的项为777810536.Tx题型七：含有三项变两项；例：求当 的展开式中 的一次项的系数？25(3)xx解法： ， ，当且仅当 时， 的展开式中才25()32515()(3rrrTCx1r1rT有 x 的一次项，此时 ，所以 得一次项为24125r 4523Cx它的系数为 。1450C解法： 250514501455(3)()()()xxCxx故展开式中含 的项为 ，故展开式中 的系数为 240.44552练：求式子 的常数项？31(2)x解： ，设第 项为常数项，则 ，36()()x1r662161()()r rrrTCxCx得 ,
9、, .620r3316()20TC题型八：两个二项式相乘；例： 342(1)xx求 展 开 式 中 的 系 数 .解： 332()2,mmx的 展 开 式 的 通 项 是444()C10,123,4,nnnxxn的 展 开 式 的 通 项 是 其 中,02,()mn x令 则 且 且 且 因 此.2021120343434()2(1)6xCC的 展 开 式 中 的 系 数 等 于练： 61034(1)()求 展 开 式 中 的 常 数 项 .解： 436103 3412610604mnmnxCxx展 开 式 的 通 项 为 ,6,2, ,48mmn n 其 中 当 且 仅 当 即 或 或.03
10、46861610102C时 得 展 开 式 中 的 常 数 项 为练： 2 *31(1)( ,_.nx nN已 知 的 展 开 式 中 没 有 常 数 项 且 则解： 343Cnrrrnnxx展 开 式 的 通 项 为 通 项 分 别 与 前 面 的 三 项 相 乘 可 得44142C, ,28rrnrrnx n展 开 式 中 不 含 常 数 项,83765.且 且 ， 即 且 且题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例： 206(), ,2,_.xxSx在 的 二 项 展 开 式 中 含 的 奇 次 幂 的 项 之 和 为 当 时解： 1232060aa设 =-26123206()xxxx
11、 -35520620620( )()()x 得 206 1() xSx展 开 式 的 奇 次 幂 项 之 和 为 32062062063081,()()S当 时题型十：赋值法；例：设二项式 的展开式的各项系数的和为 ，所有二项式系数的和为 ,若31()nxps,则 等于多少？27ps解：若 ，有 ， ，2301()n nxaxax01nPa02nnSC令 得 ，又 ,即 解得14P7ps427()26n， .26()nn或 舍 去 n练：若 x3的展开式中各项系数之和为 ，则展开式的常数项为多少？64解：令 ，则n1的展开式中各项系数之和为 ，所以 6n，则展开式的常数项为1 264n336(
12、)Cx.540练： 209123209 209121 (),aaaxaxxR若 则 的 值 为解： 0920910 0222, ,ax令 可 得091, .在 令 可 得 因 而练： 54321012345(2) , _.xaxaxaa若 则解： 0012345, ,令 得 令 得12345.题型十一：整除性；例：证明： 能被 64 整除2*89()nN证： 113(89nn0112118nnnnCC1118()nnn 01128nnnCC由于各项均能被 64 整除 2*38964N能 被 整 除练习：1、(x1) 11展开式中 x 的偶次项系数之和是 1、设 f(x)=(x-1)11, 偶次
13、项系数之和是 1024/)(21f)(12、 n2n10nC3C32、4 n3、 的展开式中的有理项是展开式的第 项 奎 屯王 新 敞新 疆20)5(3、3,9,15,21 4、(2x-1) 5展开式中各项系数绝对值之和是 4、(2x-1) 5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1) 5展开式系数之和，故令 x=1，则所求和为 35 奎 屯王 新 敞新 疆5、求(1+x+x 2)(1-x)10展开式中 x4的系数 奎 屯王 新 敞新 疆5、 ,要得到含 x4的项，必须第一个因式中的 1 与(1-x) 9展开式中的项9310)()(x1( 作积，第一个因式中的x 3与(1-x) 9展开式中
14、的项 作积，故 x4的系数是 奎 屯王 新 敞新 疆49)C )(C19135C416、求(1+x)+(1+x) 2+(1+x)10展开式中 x3的系数 奎 屯王 新 敞新 疆6、 = ，原式中 x3实为这分子中的 x4，)1(1)(1100）（ x)()(1则所求系数为 奎 屯王 新 敞新 疆71C7、若 展开式中，x 的系数为 21，问 m、n 为何值时，x 2的系数最小？)Nnm()x)()xfm7、由条件得 m+n=21，x 2的项为 ，则 因 nN，故当 n=1022C.439)21(2nm或 11 时上式有最小值，也就是 m=11 和 n=10，或 m=10 和 n=11 时，x
15、2的系数最小 奎 屯王 新 敞新 疆8、自然数 n 为偶数时，求证： 1n1n4n32n1 C8、原式= n5n2n10 2.3)()C( 9、求 被 9 除的余数 奎 屯王 新 敞新 疆19、 ,)(1881)(0 100101 ZkCkZ,9k-1Z， 被 9 除余 8 奎 屯王 新 敞新 疆810、在(x 2+3x+2)5的展开式中，求 x 的系数 奎 屯王 新 敞新 疆10、 55)2(1)x3( 在(x+1) 5展开式中，常数项为 1，含 x 的项为 ，在(2+x) 5展开式中，常数项为 25=32，含 x 的项为xC15802C415展开式中含 x 的项为 ，此展开式中 x 的系数为 240 奎 屯王 新 敞新 疆240)3()80(11、求(2x+1) 12展开式中系数最大的项 奎 屯王 新 敞新 疆11、设 Tr+1的系数最大，则 Tr+1的系数不小于 Tr与 Tr+2的系数，即有 1r2r1r1r2r1r23CC4,3展开式中系数最大项为第 5 项，T 5= 4412x7906
