1、2018 年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（衡水金卷调研卷）文数二第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，集合 ，集合 ，则 （ ）A=3,2,1,0,1,2,3 A=1,0,1,3 CU(AB)=A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题意得 ，由于 ，所以 ，故选 C.AB=3,2,1,0,1,3 U=-3,-2,-1,0,1,2,3 CU(AB)=22. 已知复数 满足 （ 是虚数单位） ，则复数 在复平面内对应的点所在象限为（ ）A. 第一象限 B. 第二象限
2、C. 第三象限 D. 第四象限【答案】B【解析】由 ，得 ， 在复平面内对应的点的坐标为z(1+i)=i2018=(i4)504i2=1 z=11+i= 1(1i)(1+i)(1i)=12+12i z，位于第二象限，故选 B.3. 函数 的定义域为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】要使函数 有意义，需满足 ，解得 ，即函数的定义域为120,b0) y=bax ba=34焦点在圆 上，故令 ，解得 ，所以 ，又 ，联立解得 ，x=5 c=5 a=4，所以双曲线的标准方程为 ，故选 B.b=36. 执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则输出的 为（ ）A. 3 B. 4 C. 5 D
3、. 6【答案】C【解析】根据给定的程序可知，第一次循环 ， ， ，成立；第二次循环 ， ， ，成立；S=12m=14n=1 n=2第三次循环 ， ， ，成立；第四次循环 ， ， ，成立；第五次循环 ， ，n=3 n=4，不成立；此时结束循环，所以输出的 为 5，故选 C.n=5 n7. 已知数列 的前 项和为 ， ，则 （ ）Sn a1=3,an+1=2Sn+3A. B. C. D. 33【答案】C【解析】因为 ，所以当 时， ，由 得 ，即，即 ，又当 时， ，所以 ，符合上式，所以数列 是首项为an+1an=2anan+1an=3(n2) n=1 a2a1=33，公比为 3 的等比数列，所
4、以 ，所以 ，故选 C.8. 已知将函数 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象，若函数 图象的f(x)=sin(2x+6)(0)两条相邻的对称轴间的距离为 ，则函数 的个对称中心为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意，将函数 的图象向左平移 个单位长度得到 的图象，因为函数 图象的两条相邻的对称轴间的距离为 ，所以 ，所以 ，解得 ，所以g(x)，由 ，解得 ，当 时， ，所以函数 的个对称x=k2512,(kZ)中心为 ，故选 D.点睛：本题主要考查了三角函数 图象的平移以及其性质，包括周期、对称轴、对称中心等关系，属于基础题；解决此题中需注意由 的图象得到 的图象时
5、，需平移的单位数应为 ，而不是 9. 榫卯是在两个木构件上所采用的一中凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯，榫和卯咬合，起到连接作用，代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、山西悬空寺等，如图所示是一种榫卯的三视图，其表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由三视图可知榫卯的榫为底边长为 高为 长方体，卯为底面半径为 ，高为 的中空的圆柱2体，设表面积为 ，侧面积为 ，上下底面积的和为 ，则有，故选 B【点睛】本题重点是抓住榫卯的工作原理榫凸卯凹、榫卯咬合连接，由此发现卯（中空的圆柱体）中间所缺失的上下表面积刚好由榫的上下表面积补充。故整个构件的上下表积刚好是两个完整的
6、圆形的面积。10. 已知实数 满足约束条件 当且仅当 时，目标函数 取大值，则实数 的取x,y值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】作出约束条件 所对应的可行域，如图中的阴影部分如图所示，由 ，可得 ，因为当 时，目标函数 取得最大值，即 取得最大值的最优解为点 ，观察图形可知，此时直线 的斜率 ，所以实数 的取值范围是 ，故k1 k选 B.点睛：本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线） ；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通
7、过或最后通过的顶点就是最优解） ；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.11. 已知 ，命题 函数 的值域为 ，命题 函数 在区间 内单调递增.若 是真命题，则实数 的取值范围是（ ）pqA. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意，函数 的值域为 ， 故 ，解得 ，故 ，即；若 ， 在区间 内单调递增，即 在区间 内恒成立，即(1,+) (1,+)在区间 内恒成立，解得 ，因为 是真命题，所以 为假命题， 为真命题，即ax2 (1,+) pq p，得 ，故选 D130f(x)=lnx|x+e|1=xe1 lnx+x+1+e=0，显然 为递增函数，当 ，所以必然有解，所h(x)=lnx+
8、x+1+e以 成立.a=e当 且 时， ，而 显然为增函数，所以有最大值在 0x=|xe|1 x+ x处取得为 0，而 ，所以不存在有解，所以不成立，综合的只能选择 C点睛：特殊值法，当遇到比较麻烦难解的题型时，我们可以根据备选答案信息进行对答案验证，从而得出选项.此做法比较适用于选择题第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 已知在 中， 为 边上的点， ，若 ，则 _ABC 2BD+CD=0【答案】13【解析】因为 ，所以 ，所以 ，所以2BD+CD=0 2BD=DC BD=13BC，所以 ，故答案为 .n=13 1314. 已知焦点在 轴上
9、的椭圆 的一个焦点在直线 上，则椭圆的离心率为_x 2xy+2=0【答案】23【解析】将 代入直线方程得 ，即椭圆的一个焦点坐标为 ，所以半焦距 ，又因为x=2 (2,0) c= 2，即 ，解得 或 （舍去） ，所以实半轴长为 ，2m2(m+1)=c2=2 2m2m3=0 m=32所以椭圆的离心率为 ，故答案为 .2315. 在锐角 中，角 所对的边分别为 ，若 ，且 ，则ABC A,B,C sinCcosA=sinB(1cosC) A=3,b= 3_【答案】【解析】由已知得 ，所以 ，所以sinCcosA=sinBsinBcosC，又因为 ，所以 ， ， ，故 为等边三角形，sinAcosC
10、=sinBcosC C(0,2) sinA=sinBA=B=3C=33=3 ABC故 ，故答案为 .c=b= 316. 如图，在矩形 中， ， 为 边上的点，项将 沿 翻折至 ，使得点 在平面AD=2 ADE ADE A上的投影在 上，且直线 与平面 所成角为 ，则线段 的长为_EBCD AD AE【答案】433学|科|网 .学 |科|网.学|科| 网.学 |科|网.学| 科|网.学|科| 网.学|科|网.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 已知等差数列 的前 项和为 ， .an Sn（1）求数列 的通项公式；an（2）若数列 满
11、足 ，且 ，求数列 的前 项和 .bn b1=a6 1bn n Tn【答案】 （1） ；（2） .n3(2n+3)【解析】试题分析：（1）设等差数列 的公差为 ，将等式 用 和 表示，解出 ，根据等差an 3a5+a9=S6 a1 d d数列通项公式即可得结果；（2）根据（1）中的结果可得 ，利用裂项相消法即可得数列bn=(2n+3)(2n+1)的前 项和 .1bn Tn试题解析：（1）设等差数列 的公差为 ，an由 ,得 ，3(5+4d)+(5+8d)=65+652d解得 .d=2所以 .（2）由（1）得， .b1=a6=26+3=15又因为 ，bn+1=an+1an所以当 时， n2 bn
12、=anan-1=(2n+3)(2n+1)当 时， ，符合上式，n=1 b1=53=15所以 .bn=(2n+3)(2n+1)所以 .1bn= 1(2n+3)(2n+1)=12( 12n+1- 12n+3)所以 .=12(13- 12n+3)= n3(2n+3)点睛：本题主要考查了等差数列概念，以及数列的求和，属于高考中常考知识点，难度不大；常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于 ，其中 和 分别为特殊数cn=an+bn an bn列，裂项相消法类似于 ，错位相减法类似于 ，其中 为等差数列， 为等比数列等.an=1n(n+1) cn=anbn an bn18. 如图
13、，四棱锥 的底面 是边长为 2 的正方形，平面 平面 ，点 是 的中点，PABCD E棱 与平面 交于点 .BCE（1）求证: ；AD/EF（2）若 是正三角形，求三棱锥 的体积.PAB PBEF【答案】 （1）见解析；（2） .36【解析】试题分析：（1）首先通过 得到 平面 ，再根据面面平行性质定理即可得结论；BC/AD（2）根据面面垂直性质定理易得 平面 ，再根据 求出底面面积，根据EF PAB SPBF=12SPBA可得结果.VP-BEF=VB-PEF试题解析：（1）因为底面 是边长为 2 的正方形，所以 .BC/AD又因为 平面 ， 平面 ，PAD AD所以 平面 . BC/ PAD
14、又因为 四点共面，且平面 平面 ，B,C,E,F PAD=EF所以 .BC/EF又因为 ，所以 .BC/AD AD/EF（2）因为 ，点 是 的中点，AD/EF所以点 为 的中点， .EF=12AD=1又因为平面 平面 ，平面 平面 ，ABCD=AB,ADAB所以 平面 ，所以 平面 .PAB EF PAB又因为 是正三角形，PAB所以 ，PA=PB=AB=2所以 .又 ，所以 .故三棱锥 的体积为 .P-BEF3619. 某市统计局就某地居民的收入调查了 10000 人，并根据所得数据画出样本的频率分布直方图（每个分组包括左端点，不包括右端点，如第一组表示收入在 ）.1000,1500)（1
15、）求居民收入在 的频率；3000,3500)（2）根据频率分布直方图算出样本数据的中位数及样本数据的平均数；（3）为了分析居民的收人与年龄、职业等方面的关系，必须按月收入再从这 10000 人中按分层抽样方法抽出 100 人作进一步分析，则月收入在 内应抽取多少人？2500,3000)【答案】 （1）0.15；（2）2400；（3）25.【解析】试题分析：(1)利用频率分布直方图的性质求解频率即可(2)读图求解中位数、平均数及其众数即可；(3)利用分层抽样的结论求解应月收入为 的人中抽取多少人即可.试题解析：（1）居民收入在 的频率为 .0.0005500=25%(2)中位数为 ，2000+5
16、0045=2400平均数为 ，125010%+175020%+225025%+275025%+325015%+37505%=2400其众数 .（3）在月收入为 的人中抽取 人.20. 已知点 为抛物线 的焦点，过 的直线 交抛物线于 两点.C:y2=2px(p0) l A,B（1）若直线 的斜率为 1， ，求抛物线 的方程；|AB|=8（2）若抛物线 的准线与 轴交于点 ， ，求 的值.P(1,0) SAPF:SBPF=(23):1 PAPB【答案】 （1） ；（2） 2.y2=4x【解析】试题分析：（1）直线 的方程为 ，联立直线与抛物线的方程，将韦达定理和过焦点的弦长y=x-p2公式 相结
17、合可得 的值，即可得抛物线的方程；（2）根据题意得抛物线|AB|=|FA|+|FB|=xA+xB+p，直线 的方程为 联立方程组，将 转化为 ，将向量C:y2=4x l x=my+1 SAPF:SBPF=(2- 3):1 AF=(2- 3)FB用坐标表示即可得 ，从而可得 的值.m2=12 PAPB试题解析：（1）由题意知，直线 的方程为 .l y=x-p2联立 得 .y=x-p2,y2=2px, x2-3px+p24=0设 两点的坐标分别为 ，A,B (xA,yA),(xB,yB)则 .xA+xB=3p由抛物线的性质，可得 ，解得 ，所以抛物线 的方程为 .y2=4x（2）由题意，得 ，抛物
18、线 ，F(1,0) C:y2=4x设直线 的方程为 ， ，x=my+1联立 得 .x=my+1,y2=4x, y2-4my-4=0所以 因为 ，SAPF:SBPF=(2- 3):1所以 .|AF|BF|=2- 3因为 三点共线，且 方向相同，A,F,B AF,FB所以 ，AF=(2- 3)FB所以 ，(1-x1,-y1)=(2- 3)(x2-1,y2)所以 ，y1=( 3-2)y2代入，得 解得 ，m2=12又因为 ，所以 ，P(-1,0) PA=(x1+1,y1),PB=(x2+1,y2)所以 PAPB=(x1+1,y1)(x2+1,y2)=x1x2+(x1+x2)+1+y1y2=(my1+
19、1)(my2+1)+(my1+1+my2+1)+1-4=m2y1y2+2m(y1+y2).=-4m2+8m2=4m2=2点睛：本题主要考查了直线与抛物线的位置关系以及过焦点弦长问题，属于中档题；联立直线与抛物线的方程将韦达定理和弦长公式 相结合属常见方法，解决此题的难点是将面积关系转化为向量关系 .x1+x2+p21. 已知函数 .f(x)=lnx+x2+ax,aR（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；a=1 x=1（2）若 是函数 的导函数 的两个零点，当 时，求证： .x1,x2(x134ln2【答案】 （1） ；（2）见解析.2xy2=0【解析】试题分析：（1）对函数进行求导，计算出
20、及 的值，根据点斜式即可得切线的方程；k=f(1) f(1)（2）由题意得 是方程 的两根，令 ，结合 的范围和 ， 可x1,x2 2x2+ax+1=0 g(x)=2x2+ax+1 a g(12)0)因为 是导函数 的两个零点，x1,x2 f(x)所以 是方程 的两根，x1,x2 2x2+ax+1=0故 .x1+x2=-a20,x1x2=12令 ，因为 ，g(x)=2x2+ax+1 a(-,-3)所以 ， ，g(12)=a+32 0所以 在区间 内单调递增，h(t) (2,+)所以 ，即 .h(t)h(2)=34-ln2 f(x1)-f(x2)34-ln2请考生在 22、23 两题中任选一题作
21、答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，以原点 为极点， 轴的正半xOy C1 x=2t1y=4t+3轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .C2 =22cos(4)（1）求曲线 的普通方程与 的直角坐标方程；C1 C2（2）判断曲线 是否相交，若相交，求出相交弦长. C1,C2【答案】 （1）曲线 的普通方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 ；（2） .C1 2x+y1=0 C2 (x1)2+(y1)2=22305试题解析：（1）由题知，将曲线 的参数方程消去参数 ，C1 t可得曲线 的普通方程
22、为 .C1 2x+y-1=0由 ，=22cos(4-)得 .2=2(cos+sin)将 ， 代入上式，2=x2+y2 cos=x,sin=y得 ，x2+y2=2x+2y即 .(x-1)2+(y-1)2=2故曲线 的直角坐标方程为 .C2 (x-1)2+(y-1)2=2（2）由（1）知，圆 的圆心为 ，半径 ，C2 R= 2因为圆心到直线 的距离 ，C1 d=|2+1-1|22+12=2550（2）若对任意的 ，都有 成立，求实数 的取值范围.xm,+) f(x)xm【答案】 （1） 或 ；（2） .x|x3 13,3【解析】试题分析：（1）根据“零点分段法”分为 、 、 三种情形，分别解出不等
23、式，-20当 时，不等式转化为 ，解得 ；-20 -20 x3综上所述，不等式 的解集为 或 .f(x)0 x| x3（2）由（1）得，作出其函数图象如图所示：令 ，若对任意的 ，都有 成立，xm,+) f(x)x-m即函数 的图象在直线 的下方或在直线 上.f(x) y=x-m y=x-m当 时， ，无解；-m+30当 时， ，解得 ；-2m12 -3m-10当 时， ，解得 .m12 12m3综上可知，当 时满足条件，故实数 的取值范围是 .-13m3 -13,3点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
