1、南京市 2017 届高三年级学情调研数 学 2016.09注意事项：1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题）两部分本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡参考公式：柱体的体积公式：VSh，其中 S 为柱体的底面积，h 为柱体的高锥体的体积公式：V Sh，其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高13一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知集合 A0，1，2，Bx|x
2、2x0，则 AB 2设复数 z 满足(zi)i34i (i 为虚数单位)，则 z 的模为 3为了解某一段公路汽车通过时的车速情况，现随机抽测了通过这段公路的 200 辆汽车的时速，所得数据均在区间40，80 中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的 200 辆汽车中，时速在区间40，60) 内的汽车有 辆4若函数 f(x)sin(x ) (0)的最小正周期为 ，则 f( )的值是 6 35右图是一个算法的流程图，则输出 k 的值是 6设向量 a(1，4)，b(1，x)，ca3b若 ac，则实数 x 的值是 7某单位要在 4 名员工（含甲、乙两人）中随机选 2 名到某、地出差，则甲、乙两人中，至
3、少有一人被选中的概率是 8在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 C： 1（ a0）的一条渐近线与直线x2a2 y24y2x1 平行，则实数 a 的值是 9在平面直角坐标系 xOy 中，若直线 axy20 与圆心为 C 的圆(x1) 2( ya) 216k1开始输出 k结束S 80S1YNS2Sk k k1（第 5 题）（第 3 题）0.040.030.020.0140 50 60 70 80 时速/km频 率组 距相交于 A，B 两点，且ABC 为直角三角形，则实数 a 的值是 10已知圆柱 M 的底面半径为 2，高为 6；圆锥 N 的底面直径和母线长相等若圆柱 M和圆锥 N 的体积相同，则圆
4、锥 N 的高为 11各项均为正数的等比数列a n，其前 n 项和为 Sn若 a2a 578，S 313，则数列an的通项公式 an 12已知函数 f(x) 当 x(，m 时，f (x)的取值范围为 16，) ， 12x x3，x0， 2x， x 0)则实数 m 的取值范围是 13.在ABC 中，已知 AB3，BC 2，D 在 AB 上， 若 3，则 AC 的长AD 13AB DB DC 是 14已知 f(x)，g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，且 f(x)g(x) ( )x若存在12x0 ， 1，使得等式 af(x0)g(2 x0)0 成立，则实数 a 的取值范围是 12二、解答题
5、：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （本小题满分 14 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，以 x 轴正半轴为始边的锐角 和钝角 的终边分别与单位圆交于点 A，B若点 A 的横坐标是 ，点 B 的纵坐标是 （1）求 cos()的值；（2）求 的值xOyAB（第 15 题）16 （本小题满分 14 分）如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，点 M，N 分别为线段 A1B，AC 1 的中点（1）求证：MN平面 BB1C1C；（2）若 D 在边 BC 上，ADDC 1，求证：MNAD 17 （本小题满分 14 分）如图
6、，某城市有一块半径为 40 m 的半圆形绿化区域（以 O 为圆心，AB 为直径），现计划对其进行改建在 AB 的延长线上取点 D，OD80 m，在半圆上选定一点 C，改建后的绿化区域由扇形区域 AOC 和三角形区域 COD 组成，其面积为 S m2设AOCx rad（1）写出 S 关于 x 的函数关系式 S(x)，并指出 x 的取值范围；（2）试问AOC 多大时，改建后的绿化区域面积 S 取得最大值A BOCD（第 17 题）AB CDM NA1B1 C1（第 16 题）18 （本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： 1( ab0)的左、右焦点分别为x2a2 y2
7、b2F1，F 2，P 为椭圆上一点（在 x 轴上方） ，连结 PF1 并延长交椭圆于另一点 Q，设 PF1 F1Q （1）若点 P 的坐标为 (1， )，且 PQF2 的周长为 8，求椭圆 C 的方程；32（2）若 PF2 垂直于 x 轴，且椭圆 C 的离心率 e ， ，求实数 的取值范围12 22（第 18 题）xOyPF1F2Q19 （本小题满分 16 分）已知数列a n是公差为正数的等差数列，其前 n 项和为 Sn，且 a2a315，S 416（1）求数列a n的通项公式；（2）数列b n满足 b1a 1，b n1 b n 1anan+1求数列 bn的通项公式；是否存在正整数 m，n(m
8、 n)，使得 b2，b m，b n 成等差数列？若存在，求出m，n 的值；若不存在，请说明理由20 （本小题满分 16 分）已知函数 f(x)ax 2bx lnx，a，b R（1）当 ab1 时，求曲线 yf (x)在 x1 处的切线方程；（2）当 b2a1 时，讨论函数 f(x)的单调性；（3）当 a1，b3 时，记函数 f(x)的导函数 f (x)的两个零点是 x1 和 x2 (x1x 2)求证：f(x 1) f(x2) ln234南京市 2017 届高三年级学情调研数学附加题 2016.0921 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在
9、答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲如图， AB 为 圆 O 的一条弦， C 为圆 O 外一点 CA，CB 分别交圆 O 于 D，E 两点若 ABAC，EF AC 于点 F，求证：F 为线段 DC 的中点B选修 42：矩阵与变换已知矩阵 A ，B ，设 MAB2 21 3 1 00 1（1）求矩阵 M ；（2）求矩阵 M 的特征值C选修 44：坐标系与参数方程已知曲线 C 的极坐标方程为 2cos，直线 l 的极坐标方程为 sin( )m 若直6线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点，求实数 m 的值D选修 45：不等式选讲（第 21 题 A）A
10、BCDEFO解不等式 |x1|2| x|4x【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤22 （本小题满分 10 分）如图，在底面为正方形的四棱锥 PABCD 中，侧棱 PD底面 ABCD，PDDC，点E 是线段 PC 的中点（1）求异面直线 AP 与 BE 所成角的大小；（2）若点 F 在线段 PB 上，使得二面角 FDEB 的正弦值为 ，求 的值PFPB23 （本小题满分 10 分）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一次篮，先投中者获胜投篮进行到有人获胜或每人都已投球 3 次时结束设甲每次投篮命中的概率为 ，
11、乙每次投篮命中的概率为 ，且25 23各次投篮互不影响现由甲先投（1）求甲获胜的概率；（2）求投篮结束时甲的投篮次数 X 的分布列与期望A BCDFPE（第 22 题）南京市 2017 届高三年级学情调研数学参考答案及评分标准说明：1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数4只给整数分
12、数，填空题不给中间分数一 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 .）10，1 22 380 4 55 64 5127 81 9.1 106 113 n1 122，85613 142 ， 10 252 2二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15 （本小题满分 14 分）解： 因为锐角 的终边与单位圆交于 A，且点 A 的横坐标是 ，所以，由任意角的三角函数的定义可知，cos ，从而 sin 2 1 cos2分因为钝角 的终边与单位圆交于点 B，且点 B 的纵
13、坐标是 ，所以 sin ，从而 cos 4 分 1 sin2（1）cos()cos cos sinsin ( ) 8分（2）sin()sincos cossin ( ) 11 分因为 为锐角， 为钝角，故 ( ， )，2 32所以 14 分3416 （本小题满分 14 分）证明：（1）如图，连结 A1C在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，侧面 AA1C1C 为平行四边形又因为 N 为线段 AC1 的中点，所以 A1C 与 AC1 相交于点 N，即 A1C 经过点 N，且 N 为线段 A1C 的中点 2 分因为 M 为线段 A1B 的中点，所以 MNBC 4 分又 MN平面 BB1C1C，BC
14、平面 BB1C1C，所以 MN平面 BB1C1C 6 分（2）在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，CC 1平面 ABC又 AD平面 ABC，所以 CC1AD 8 分因为 ADDC1，DC 1平面 BB1C1C，CC 1平面 BB1C1C，CC 1DC1C 1，所以 AD平面 BB1C1C 10 分又 BC平面 BB1C1C，所以 ADBC 12 分又由（1）知，MNBC，所以 MNAD 14 分17 （本小题满分 14 分）解：（1）因为扇形 AOC 的半径为 40 m ，AOCx rad，所以 扇形 AOC 的面积 S 扇形 AOC 800x ，0x 2 分xOA22在COD 中，OD80
15、，OC40，CODx，所以COD 的面积 SCOD OCODsinCOD1600sin(x) 1600sin x12 4 分从而 SS CODS 扇形 AOC1600sinx800x，0x 6 分（2）由（1）知， S(x)1600sinx800x，0x AB CDM NA1B1 C1（第 16 题）S(x)1600cos x8001600(cosx ) 8 分12由 S(x)0，解得 x 23从而当 0x 时，S(x)0 ；当 x 时， S(x)0 23 23因此 S(x) 在区间(0， )上单调递增；在区间( ， )上单调递减 11 分23 23所以 当 x ，S(x)取得最大值23答：当
16、AOC 为 时，改建后的绿化区域面积 S 最大 14 分2318 （本小题满分 16 分）解：（1）因为 F1，F 2 为椭圆 C 的两焦点，且 P，Q 为椭圆上的点，所以 PF1PF 2QF 1QF 22a，从而PQF 2 的周长为 4a由题意，得 4a8，解得 a2 2 分因为点 P 的坐标为 (1， )，所以 1，32 1a2 94b2解得 b23所以椭圆 C 的方程为 1 5 分x24 y23（2）方法一：因为 PF2x 轴，且 P 在 x 轴上方，故设 P(c，y 0)，y 00设 Q(x1，y 1)因为 P 在椭圆上，所以 1，解得 y0 ，即 P(c， ) c2a2 b2a b2
17、a7 分因为 F1(c，0)，所以 ( 2c ， )， ( x1c ，y 1)PF1 b2a F1Q 由 ，得2c (x1c )， y 1，PF1 F1Q b2a解得 x1 c，y 1 ，所以 Q( c， ) 11 分 2 b2a 2 b2a因为点 Q 在椭圆上，所以( )2e2 1， 2 b22a2即(2) 2e2(1e 2) 2，( 24 3) e2 21，因为 10，所以(3)e 2 1，从而 3 14 分3e2 11 e2 41 e2因为 e ， ，所以 e2 ，即 512 22 14 12 73所以 的取值范围为 ，5 16 分73方法二：因为 PF2x 轴，且 P 在 x 轴上方，
18、故设 P(c，y 0)，y 00因为 P 在椭圆上，所以 1，解得 y0 ，即 P(c， ) c2a2 b2a b2a7 分因为 F1(c，0)，故直线 PF1 的方程为 y (xc)b22ac由 得(4c 2b 2)x22b 2cxc 2(b24a 2)0 因为直线 PF1 与椭圆有一个交点为 P(c， )设 Q(x1，y 1)，b2a则 x1c ，即c x1 112b2c4c2 b2 2b2c4c2 b2分因为 ，PF1 F1Q 所以 3 2c c x1 4c2 b2b2 3c2 a2a2 c2 3e2 11 e2 41 e214 分因为 e ， ，所以 e2 ，即 512 22 14 1
19、2 73所以 的取值范围为 ，5 16 分7319 （本小题满分 16 分）解：（1）设数列a n的公差为 d，则 d0由 a2a315，S 416，得 (a1 d)(a1 2d) 15，4a1 6d 16， )解得 或 （舍去）a1 1，d 2，) a1 7，d 2)所以 an2n1 4 分（2） 因为 b1a 1，b n1 b n ，1anan+1所以 b1a 11，bn+1b n ( )， 6 分1anan+1 1(2n 1)(2n 1) 12 12n 1 12n 1即 b2b 1 (1 )，12 13b3b 2 ( )，1213 15bnb n1 ( )， （n2）12 12n 3 1
20、2n 1累加得：b nb 1 (1 ) ， 9 分12 12n 1 n 12n 1所以 bnb 1 1 n 12n 1 n 12n 1 3n 22n 1b11 也符合上式故 bn ，nN* 11 分3n 22n 1假设存在正整数 m、n( mn)，使得 b2，b m，b n 成等差数列，则 b2b n2b m又 b2 ，b n ，b m ，43 3n 22n 1 32 14n 2 32 14m 2所以 ( )2( )，即 ， 43 32 14n 2 32 14m 2 12m 1 16 14n 2化简得：2m 7 14 分7n 2n 1 9n 1当 n13，即 n2 时，m 2， （舍去） ；当
21、 n19，即 n8 时，m 3，符合题意所以存在正整数 m3，n8 ，使得 b2，b m，b n 成等差数列 16 分20 （本小题满分 16 分）解：（1）因为 ab1，所以 f(x)x 2xln x，从而 f (x)2x 1 1x因为 f(1)0，f (1) 2，故曲线 yf(x) 在 x1 处的切线方程为 y02(x1) ，即 2xy20 3 分（2）因为 b2a1，所以 f(x)ax 2(2a1) xlnx，从而 f (x)2ax(2a1) ，x0 51x 2ax2 (2a 1)x 1x (2ax 1)(x 1)x分当 a0 时，x(0，1)时，f (x) 0，x (1，) 时，f (
22、x)0，所以，f(x) 在区间(0，1)上单调递增，在区间(1，) 上单调递减 7 分当 0a 时，12由 f (x)0 得 0x 1 或 x ，由 f (x)0 得 1x ，12a 12a所以 f(x)在区间(0，1)和区间( ，) 上单调递增，在区间(1 ， )上单调递减12a 12a当 a 时，12因为 f (x)0（当且仅当 x1 时取等号） ，所以 f(x)在区间(0，)上单调递增当 a 时，12由 f (x)0 得 0x 或 x1，由 f (x)0 得 x1，12a 12a所以 f(x)在区间(0， )和区间(1，) 上单调递增，在区间( ，1)上单调递减12a 12a 10 分（
23、3）方法一：因为 a1，所以 f(x)x 2bxln x，从而 f (x) (x0)2x2 bx 1x由题意知，x 1，x 2 是方程 2x2bx10 的两个根，故 x1x2 12记 g(x) 2x 2 bx1，因为 b3，所以 g( ) 0， g(1)3b0，12 3 b2所以 x1(0， )，x 2(1，)，且 bxi2x 1 ( i1，2) 12 分12 2 if(x1)f (x2)(x x )(bx 1bx 2)ln (x x )ln 2 1 2 2 x1x2 2 1 2 2 x1x2因为 x1x2 ，所以 f(x1)f(x 2)x ln(2x )，x 2(1，) 14 分12 2 2
24、 2 2令 t2x (2，)，(t)f(x 1)f (x2) lnt 2 2 t2 12t因为 (t) 0，所以 (t)在区间(2，) 单调递增，(t 1)22t2所以 (t)(2) ln2，即 f(x1) f(x2) ln2 16 分34 34方法二：因为 a1，所以 f(x)x 2bxln x，从而 f (x) (x0)2x2 bx 1x由题意知，x 1，x 2 是方程 2x2bx10 的两个根记 g(x) 2x 2 bx1，因为 b3，所以 g( ) 0， g(1)3b0，12 3 b2所以 x1(0， )，x 2(1，)，且 f(x)在 x1，x 2上为减函数 1212分所以 f(x1
25、)f(x 2)f( )f(1)( ln )(1 b) ln212 14 b2 12 34 b2因为 b3，故 f(x1)f(x 2) ln2 ln2 34 b2 3416南京市 2017 届高三年级学情调研数学附加参考答案及评分标准21 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分请在答卷卡指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲证明：因为点 A、D、E、B 在圆 O 上，即四边形 ADEB 是圆内接四边形，所以BEDC 3 分因为 ABAC，所以 BC 5 分所以C EDC，从而 ED EC 7 分又因为 EF
26、DC 于点 F，所以 F 为线段 DC 中点 10 分B选修 42：矩阵与变换解：（1）MAB 5 分2 21 31 00 1 2 21 3（2）矩阵 M 的特征多项式为f() (2)(3)2| 2 2 1 3|令 f()0，解得 11， 24，所以矩阵 M 的特征值为 1 或 4 10 分C选修 44：坐标系与参数方程解：曲线 C 的极坐标方程为 2cos，化为直角坐标方程为 x2y 22x 即(x 1)2y 2 1，表示以(1 ，0)为圆心，1 为半径的圆 3 分直线 l 的极坐标方程是 sin( )m，即 cos sinm，6 12化为直角坐标方程为 x y2m 0 6 分 3因为直线
27、l 与曲线 C 有且只有一个公共点，所以 1，解得 m 或 m |1 2m|2 12 32所以，所求实数 m 的值为 或 10 分12 32D选修 45：不等式选讲解：原不等式等价于或 或 6 x0，1 x 2x4x) 0 x1，1 x 2x4x) x 1，x 1 2x4x)分解 得 x； x0，1 x 2x4x，)解 得 x1； 0 x1，1 x 2x4x，) 13解 得 x1 x 1，x 1 2x4x)所以原不等式的解集为 ， ) 10 分13【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分 22 （本小题满分 10 分）解：（1）在四棱锥 PABCD 中，底面 ABC
28、D 为正方形，侧棱 PD底面 ABCD，所以 DA、DC、DP 两两垂直，故以 ， ， 为正交基底，建立空间直角坐标系DA DC DP Dxyz因为 PDDC，所以 DADCDP，不妨设 DADCDP2，则 D(0，0，0)，A (2，0，0)，C(0，2，0)，P(0 ，0，2)，B (2，2，0)因为 E 是 PC 的中点，所以 E(0，1，1)所以 (2，0，2)， ( 2，1，1)，AP BE 所以 cos ，AP BE 从而 AP BE 6因此异面直线 AP 与 BE 所成角的大小为 4 分6（2）由（1）可知， (0，1，1)， (2，2，0)， (2，2，2) DE DB PB
29、设 ，则 (2 ，2，2)，从而 (2 ，2，22)PF PB PF DF DP PF 设 m(x 1，y 1，z 1)为平面 DEF 的一个法向量，则 即 x1 y1 (1 )z1 0，y1 z1 0， )取 z1，则 y1 ，x 121所以 m(2 1， ，)为平面 DEF 的一个法向量 6 分xyzA BCDFPE（第 22 题）设 n(x 2，y 2，z 2)为平面 DEB 的一个法向量，则 即 2x2 2y2 0，y2 z2 0，)取 x21，则 y21，z 21所以 n(1 ， 1，1)为平面 BDE 的一个法向量 8 分因为二面角 FDEB 的正弦值为 ，所以二面角 FDE B
30、的余弦的绝对值为，即 |cos| ，所以 ， ，|mn | m| n |化简得，4 2 1，因为点 F 在线段 PB 上，所以 01，所以 ，即 10 分12 PFPB 1223 （本小题满分 10 分）解：（1）设甲第 i 次投中获胜的事件为 Ai (i1，2，3)，则 A1，A 2，A 3 彼此互斥甲获胜的事件为 A1A 2A 3P(A1) ；25P(A2) ；351325 225P(A3)( )2( )2 35 13 25 2125所以 P(A1A 2A 3)P( A1)P(A 2)P (A3) 25 225 2125 62125答：甲获胜的概率为 4 分62125（2）X 所有可能取的值为 1，2，3则 P(X1) ； 25 3523 45P(X2) ；225 35133523 425P(X3)( )2( )21 35 13 125即 X 的概率分布列为X 1 2 3P 45 425 125 8 分所以 X 的数学期望 E(X)1 2 3 10 分45 425 125 3125
