1、导数常用的一些技巧和结论（2017 年全国新课标 1理 21）已知 .2xxfaee（1 ）讨论 的单调性；fx（2 ）若 有两个零点，求 的取值范围.a解析：（1） 2 121xxxxfaeeae若 ，则 恒成立，所以 在 R 上递减；0a0f若 ，令 ，得 .fx,lnxea当 时， ，所以 在 上递减；1lnxa0ff1,la当 时， ，所以 在 上递增.lfxfxln,综上，当 时， 在 R 上递减；当 时， 在 上递减，在 上递增.0af 0afx1,lna1ln,a（2 ） 有两个零点，必须满足 ，即 ，且 .fxminfxminll0ff构造函数 ， . 易得 ，所以 单调递减.
2、1lng01 0gx1lngxx又因为 ，所以 .01l aaa下面只要证明当 时， 有两个零点即可，为此我们先证明当 时， .fx 0xlnx事实上，构造函数 ，易得 ， ，所以 ，即 .lnh1hxmin1h0hlnx当 时， ，01a2210aeafe，333lnln1ln10f aa其中 ， ，所以 在 和 上各有一个零点.1la1lnafx,ll,故 的取值范围是 .0,注意：取点过程用到了常用放缩技巧。一方面： ；2 2 33000ln1xxxxxxaaeeaeeaeex另一方面： 时， （目测的）02 21xxxa常用的放缩公式（考试时需给出证明过程）第一组：对数放缩（放缩成一次
3、函数） ， ，ln1xlxln1x（放缩成双撇函数） ， ，l2l012x， ，1lnxx1ln0xx（放缩成二次函数） ， ，2l2l10x21ln0xx（放缩成类反比例函数） ， ， ，1lnxlnx2l0， ，ln1x2l0l1x第二组：指数放缩（放缩成一次函数） ， ， ，1xexexe（放缩成类反比例函数） ， ，010（放缩成二次函数） ， ，2xex236xex第三组：指对放缩 ln1xe第四组：三角函数放缩， ， . sita0x21sinx221cosinxx第五组：以直线 为切线的函数1y， ， ， ， .lnyxxe2x1yxlx几个经典函数模型经典模型一： 或 .lnx
4、yl【例 1】讨论函数 的零点个数.fa（1 ） 时，无零点.ae， .1fxamax1ln0ffa（2 ） 时，1 个零点.ae， .1fxemaxln10ffe（3 ）当 时，2 个零点.0e（目测） ， ，其中 .（放缩）1fa1ln101afaa 1ea.fe，其中 .（用到了 ）2211ln0f aa2ea1lnxx（4 ）当 时，1 个零点.0，单调递增. ，fx10f.11221aaafeeea【变式】 （经过换元和等价变形之后均可以转化到例 1： ）：lnfx1. 讨论 的零点个数（令 ， ） ；lnfxmxxt2ma2. 讨论 的零点个数（令 ） ；3. 讨论 的零点个数（考
5、虑 ） ；lnfxxfxg4. 讨论 的零点个数（考虑 ，令 ， ） ；lfmxf32tma5. 讨论 的零点个数（令 ， ） ；2lnf 2txma6. 讨论 的零点个数（令 ）.xaee经典模型二： 或xyx【例 2】讨论函数 的零点个数.xfea（1 ） 时，1 个零点.0a， 单调递增.0xfeaxfea且 ， ，所以在 上有一个零点；01f1f1,0（2 ） 时，无零点.0a恒成立；0xfe（3 ） 时，无零点.e；minl1ln0fxfa（4 ） 时，2 个零点.a， ， .10afe10fe2l2l20faae【变式】 （经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 2： ）：xfe1
6、. 讨论 的零点个数（令 ， ） ；2xfemxtma2. 讨论 的零点个数（去分母后与 1 等价） ；xf3. 讨论 的零点个数（移项平方后与 1 等价） ；xfe4. 讨论 的零点个数（移项开方后换元与 1 等价） ；2m5. 讨论 的零点个数（乘以系数 e，令 ） ；1xfe ma6. 讨论 的零点个数（令 ，转化成 2）lntx7. 讨论 的零点个数（令 ， ） ；1xfem 1te经典模型三： 或lnyxxye【例】讨论函数 的零点个数.af（1 ） 时，1 个零点. 0a， 单调递增.20xaflnafx， .10f11l 0a（2 ） 时，1 个零点（ ）.0ax（3 ） 时，无
7、零点.e，2xafminln10ffa（4 ） 时，1 个零点.ae.01xemin1l0ffe（5 ） 时，2 个零点.10ae， ， ，211ln0faa10fea10fa【变式】 （经过换元和等价变形之后均可以转化到例题 3： ）：lnfx1.讨论 的零点个数；1lnfxax2. 讨论 的零点个数（考虑 ，令 ） ；lfmfxgt3. 讨论 的零点个数（令 ） ；xafexet4. 讨论 的零点个数；练习题1. 已知函数 有两个零点，求 的取值范围.221xfxeaa2. 设函数 ，讨论 的导函数 的零点的个数.2lnxfeafxfx3. 已知函数 有两个零点，求 的取值范围.21xfxeaa4.已知函数 . 当 时，试讨论 的零点的个数.21xmfex0yfx
