1、2016-2017 学年广东省深圳外国语学校、华南师大附中、执信中学联考高三（下）月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分） （2017平遥县模拟）已知集合 A=x|x22x30，B=x |y=ln（2x），则 AB=（ ）A （1 ，3 ） B （1，3 C 1，2） D （ 1，2）2 （5 分） （2017 春 广东月考）已知复数 z 满足（ z1）i=i +1，则 z 在复平面内所对应的点在第（ ）象限A一 B二 C三 D四3 （5 分） （2017 秋 赫山区校级期中）已知命题
2、 p：x （，0） ，2 x3 x；命题 q：x（ 0， ） ，sinx x ，则下列命题为真命题的是（ ）2Ap q Bp（q） C （p ）q Dp（q ）4 （5 分） （2017 春 广东月考）执行如图所示的程序框图，如果输入n=7，m=4 ，则输出的 p 等于（ ）A120 B360 C840 D10085 （5 分） （2016海口二模）已知a n为等比数列， Sn 是它的前 n 项和，若a2a3=2a1，且 a4 与 2a7 的等差中项为 ，则 S4=（ ）54A29 B30 C31 D336 （5 分） （2017 春 昌江区校级期末）已知函数 f（x）=sin（x +）（0，
3、| ）的最小正周期为 ，且其图象向左平移 个单位后得到函数2 3g（ x）=cosx 的图象，则函数 f（x ）的图象（ ）A关于直线 x= 对称 B关于直线 x= 对称12 512C关于点（ ，0）对称 D关于点（ ，0）对称12 5127 （5 分） （2017 春 广东月考）如图所示，在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中，AC 与 BD 相交于 O，剪去 AOB，将剩余部分沿 OC、OD 折叠，使 OA、OB 重合，则以 A（B） 、C 、D、O 为顶点的四面体的外接球表面积为（ ）A20 B24 C16 D188 （5 分） （2017 春 广东月考）一个三位自然数 abc 的百位
4、，十位，个位上的数字依次为 a，b，c，当且仅当 ab 且 cb 时称为 “凸数” 若a， b，c 5， 6，7，8，9 ，且 a，b ，c 互不相同，任取一个三位数 abc，则它为“凸数”的概率是（ ）A B C D23 25 16 139 （5 分） （2017 春 江津区期中）二项式 （nN）的展开式中，前(2+14)三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（ ）A1 B2 C3 D410 （5 分） （2017 春 广东月考）如图，边长为 2 的正方形 A BCD 的顶点 A，B 分别在两条互相垂直的射线 OP，OQ 上滑动，则 的最大值为（ ）A2 B4 C6 D811 （
5、5 分） （2016赣州二模）已知双曲线 =1 的左、右焦点分别为 F1、F 2，2222过 F1 作圆 x2+y2=a2 的切线分别交双曲线的左、右两支于点 B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（ ）Ay= 3x By=2 x Cy=（ +1）x Dy=（ 1）x2 3 312 （5 分） （2010海淀区一模）已知数列A：a 1， a2，a n（0 a 1a 2 a n，n 3 ）具有性质 P：对任意i，j（1i jn） ，a j+ai 与 ajai 两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题：数列 0，1，3 具有性质 P；数列 0，2，4，6 具有性质 P；
6、若数列 A 具有性质 P，则 a1=0；若数列 a1，a 2，a 3（0a 1a 2a 3）具有性质 P，则 a1+a3=2a2，其中真命题有（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分） （2017红桥区模拟）由曲线 y=x2 与 y=x3 所围成的封闭图形的面积是 14 （5 分） （2017 春 广东月考）已知 x，y 满足约束条件 ，若+202202+202x+y+k0 恒成立，则实数 k 的取值范围为 15 （5 分） （2017 秋 雁塔区校级期中）已知点 A 是抛物线 C：x 2=2py（p0）上一点，O
7、 为坐标原点，若 A，B 是以点 M（0，9）为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线 C 的两个公共点，且 ABO 为等边三角形，则 p 的值是 16 （5 分） （2017 春 广东月考）已知函数 f（x）= ，则关于 x 的21， 02， 0方程 ff（x） +k=0 给出下列四个命题：存在实数 k，使得方程恰有 1 个实根； 存在实数 k，使得方程恰有 2 个不相等的实根；存在实数 k，使得方程恰有 3 个不相等的实根；存在实数 k，使得方程恰有 4 个不相等的实根其中正确命题的序号是 （把所有满足要求的命题序号都填上） 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分.应写出必要的文字说
8、明，证明过程或演算步骤.）17 （12 分） （2017 春 广东月考）在ABC 中，内角 A，B ，C 的对应边分别为a， b，c ，已知 = (+)+（）求角 C 的大小； （）若| |=2，求 ABC 面积的最大值1218 （12 分） （2017 秋 桃城区校级月考）正三棱柱 ABCA1B1C1 底边长为2，E 、F 分别为 BB1，AB 的中点，设 =1（）求证：平面 A1CF平面 A1EF；（）若二面角 FEA1C 的平面角为 ，求实数 的值，并判断此时二面角3ECFA1 是否为直二面角，请说明理由19 （12 分） （2017 春 广东月考） 中国好声音每期节目有四位导师A，B
9、，C，D 参与其规则是导师坐在特定的座椅上且背对歌手认真倾听其演唱，若每位参赛选手在演唱完之前有导师欣赏而为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练；若出现多位导师为同一位学员转身，则选择权反转，交由学员自行选择导师，已知某期中国好声音中，8 位选手唱完后，四位导师为其转身的情况统计如下：（记转身为 T）现从这 8 位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况（1）求选出的两人获得导师为其转身的人次和为 4 的概率；（2）记选出的 2 人获得导师为其转身的人次之和为 X，求 X 的分布列及数学期望 E（X）导师选手A B C D1 T T2 T T T T3 T4
10、T T5 T T T6 T T7 T T T T8 T T T20 （12 分） （2017 春 广东月考）已知椭圆： + =1，离心率为 ，点 A，B2222 63分别是椭圆与 x 轴，y 轴的交点，且原点 O 到 AB 的距离为 62（）求椭圆方程；（）F 是椭圆的右焦点，过 F 的直线 l 交椭圆于 M，N 两点，当直线 l 绕着点F 转动过程中，试问在直线 l：x=3 上是否存在点 P，使得PMN 是以 P 为顶点的等腰直角三角形，若存在求出直线 l 的方程，不存在说明理由21 （12 分） （2016大连校级模拟）设函数 f（x）=x 2aln（x +2） ，g （x）=xe x，且
11、 f（x）存在两个极值点 x1、x 2，其中 x1x 2（1）求实数 a 的取值范围；（2）求 g（x 1x2）的最小值；（3）证明不等式：f（x 1）+x 20选修 4-4：坐标系与参数方程22 （10 分） （2016 秋 昌江区校级期末）在直角坐标标系 xoy 中，已知曲线（ 为参数， R） ，在以原点 O 为极点，x 轴非负半轴为极1： =1+=294轴的极坐标系中（取相同的长度单位） ，曲线 = ，曲线2： (+4) 22C3：=2cos （）求曲线 C1 与 C2 的交点 M 的直角坐标；（）设 A，B 分别为曲线 C2，C 3 上的动点，求|AB |的最小值选修 4-5：不等式选
12、讲23 （2017河南二模）设函数 f（x）= |xa|，aR（）当 a=2 时，解不等式：f （x）6|2x5|；（）若关于 x 的不等式 f（x）4 的解集为1，7，且两正数 s 和 t 满足2s+t=a，求证： 1+862016-2017 学年广东省深圳外国语学校、华南师大附中、执信中学联考高三（下）月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 （5 分） （2017平遥县模拟）已知集合 A=x|x22x30，B=x |y=ln（2x），则 AB=（ ）A （1 ，3 ） B
13、（1，3 C 1，2） D （ 1，2）【考点】1E：交集及其运算 菁优网版权所有【分析】化简集合 A、B，求出 AB 即可【解答】解：集合 A=x|x22x30=x |1x 3=1，3，B=x|y=ln（2x）=x |2x0=x|x 2=（，2 ） ；AB=1，2） 故选：C【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题目2 （5 分） （2017 春 广东月考）已知复数 z 满足（ z1）i=i +1，则 z 在复平面内所对应的点在第（ ）象限A一 B二 C三 D四【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义菁优网版权所有【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简复数 z，求出
14、复数 z 对应的点的坐标可得答案【解答】解：由（z1）i=i+1，得 =1+2 =(1+2)2 =2则 z 在复平面内所对应的点的坐标为：（2，1） ，位于第四象限故选：D【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题3 （5 分） （2017 秋 赫山区校级期中）已知命题 p：x （，0） ，2 x3 x；命题 q：x（ 0， ） ，sinx x ，则下列命题为真命题的是（ ）2Ap q Bp（q） C （p ）q Dp（q ）【考点】2K：命题的真假判断与应用 菁优网版权所有【分析】结合函数的单调性及图象分别判断 p，q 的真假，从而判断出复合命题的
15、真假即可，【解答】解：因为当 x 0 时， ，所以命题 p 为假，从而p(23) 1(即 2 3)为真因为当 x（0 ， ）时，即 xsinx，所以命题 q 为真，所以（p）q2为真，故选 C【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，涉及了函数的基础知识，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断，属于基础题目4 （5 分） （2017 春 广东月考）执行如图所示的程序框图，如果输入n=7，m=4 ，则输出的 p 等于（ ）A120 B360 C840 D1008【考点】EF：程序框图菁优网版权所有【分析】通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输
16、出的结果【解答】解：模拟执行程序，可得 n=7，m=4 ，k=1，p=1，p=4，满足条件 km，执行循环体，k=2，p=20，满足条件 km，执行循环体，k=3，p=120，满足条件 km，执行循环体，k=4，p=840，不满足条件 km，退出循环，输出 p 的值为 840故选：C【点评】本题考查程序框图的应用，解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律，属于基础题5 （5 分） （2016海口二模）已知a n为等比数列， Sn 是它的前 n 项和，若a2a3=2a1，且 a4 与 2a7 的等差中项为 ，则 S4=（ ）54A29 B30 C31 D33【考点】8
17、9：等比数列的前 n 项和菁优网版权所有【分析】设等比数列a n的公比为 q，由 a2a3=2a1，且 a4 与 2a7 的等差中项为 ，54可得 =2a1， ，联立解出，再利用等比数列的前 n 项和公式213 52=1(3+26)即可得出【解答】解：设等比数列a n的公比为 q，a 2a3=2a1，且 a4 与 2a7 的等差中项为 ，54 =2a1， =a4+2a7，即 ，213 254 52=1(3+26)解得：a 1=16，q= 12则 S4= =3016(1124)112故选：B【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前 n 项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题6
18、 （5 分） （2017 春 昌江区校级期末）已知函数 f（x）=sin（x +）（0，| ）的最小正周期为 ，且其图象向左平移 个单位后得到函数2 3g（ x）=cosx 的图象，则函数 f（x ）的图象（ ）A关于直线 x= 对称 B关于直线 x= 对称12 512C关于点（ ，0）对称 D关于点（ ，0）对称12 512【考点】HJ：函数 y=Asin（x +）的图象变换菁优网版权所有【分析】利用正弦函数的周期性、函数 y=Asin（x+ ）的图象变换规律、诱导公式，求得 f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论【解答】解：函数 f（x ）=sin（x +） （0， |
19、）的最小正周期为2， =，=22把其图象向左平移 个单位后得到函数 g（x ）=cosx=sin （2x+ +）的图象，3 23 +=k+ ，kZ，= ，f（x ）=sin（2x ） 23 2 6 6由于当 x= 时，函数 f（x）=0 ，故 A 不满足条件，而 C 满足条件；12令 x= ，求得函数 f（x）=sin = ，故 B、D 不满足条件，512 23 32故选：C【点评】本题主要考查正弦函数的周期性、诱导公式，函数 y=Asin（x+ ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题7 （5 分） （2017 春 广东月考）如图所示，在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中，A
20、C 与 BD 相交于 O，剪去 AOB，将剩余部分沿 OC、OD 折叠，使 OA、OB 重合，则以 A（B） 、C 、D、O 为顶点的四面体的外接球表面积为（ ）A20 B24 C16 D18【考点】LG ：球的体积和表面积菁优网版权所有【分析】翻折后的几何体为底面边长为 4，侧棱长为 2 的正三棱锥 OACD，由2此能求出以 A（B） 、C 、D 、O 为顶点的四面体的外接球表面积【解答】解：翻折后的几何体为底面边长为 4，侧棱长为 2 的正三棱锥2OACD，如图，取 CD 中点 E，连结 AE，作 OF平面 ABC，交 AE 于 F，则 F 是ACD 的重心，由题意知 AE= =2 ，AF
21、= ，164 323=433OF= = ，42(433)2263设 G 为四面体的外接球的球心、球半径为 R，则 G 在直线 OF 上，且 OG=AG=R，由 AG2=AF2+GF2，得：R2=（ ） 2+（ R） 2，433 263解得 R= ，6以 A（B） 、C 、D、O 为顶点的四面体的外接球表面积为 S=4R2=24故选：B【点评】本题四面体的外接球的表面积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间思维能力，考查转化化归思想、数形结合思想、整体思想，是中档题8 （5 分） （2017 春 广东月考）一个三位自然数 abc 的百位，十位，个位上的数字依次为 a，b，c，当且仅当 ab
22、 且 cb 时称为 “凸数” 若a， b，c 5， 6，7，8，9 ，且 a，b ，c 互不相同，任取一个三位数 abc，则它为“凸数”的概率是（ ）A B C D23 25 16 13【考点】CB：古典概型及其概率计算公式菁优网版权所有【分析】根据题意，分析“凸数” 的定义，在5 ，6，7，8，9的 5 个整数中任取3 个不同的数，将最大的放在十位上，剩余的 2 个数字分别放在百、个位上就构成一个“凸数 ”，再利用古典概型概率计算公式即可得到所求概率【解答】解：a，b，c5 ，6，7，8，9，且 a，b，c 互不相同，基本事件总数 n= =60，3533在5，6，7 ，8，9的 5 个整数中
23、任取 3 个不同的数，将最大的放在十位上，剩余的 2 个数字分别放在百、个位上就构成一个“凸数”，故“凸数”有 C532=20 种情况，任取一个三位数 abc，它为“凸数” 的概率 p= 2060=13故选：D【点评】本题考查组合数公式的运用，关键在于根据题干中所给的“凸数”的定义，再利用古典概型概率计算公式即得答案9 （5 分） （2017 春 江津区期中）二项式 （nN）的展开式中，前(2+14)三项的系数依次成等差数列，则此展开式有理项的项数是（ ）A1 B2 C3 D4【考点】DA：二项式定理菁优网版权所有【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出前三项的系数，利用等差数列
24、得到关于 n 的等式，求出 n 的值，将 n 的值代入通项，令 x 的指数为整数，得到 r 的值，得到展开式中有理项的项数【解答】解；展开式的通项 ，+1=(2)234前三项的系数分别为 2n， 21， 22(1)2前 3 项的系数成等差数列 解得 n=8，=1+(1)8展开式的通项为 ，+1=(2)8384要项为有理项，需 x 的指数为整数r=0，4，8 为有理项故选：C【点评】求二项展开式的特定项问题，一般利用的工具是二项展开式的通项公式10 （5 分） （2017 春 广东月考）如图，边长为 2 的正方形 A BCD 的顶点 A，B 分别在两条互相垂直的射线 OP，OQ 上滑动，则 的最
25、大值为（ ）A2 B4 C6 D8【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算 菁优网版权所有【分析】令OAB= ，由边长为 2 的正方形 ABCD 的顶点 A、B 分别在 x 轴、y轴正半轴上，可得出 D，C 的坐标，由此可以表示出两个向量，算出它们的数量积，通过三角函数的最值求解即可【解答】解：如图：令 OP 为 x 轴，OQ 为 y 轴，OAB= ，由于 AB=2 故0A=2cos，OB=2sin ，如图DAX= ，AB=2，故 xD=2cos+2cos（ ）=2cos+2sin，y D=2sin（ ）2 2 2=2cos故 =2（cos+sin，cos）同理可求得 C（2sin ，2co
26、s+2sin） ，即 =2（sin，cos+sin） ， =4（cos+sin，cos） （sin ，cos +sin）=4 +4sin2， 的最大值是 8故选：D【点评】本题考查向量在几何中的应用，设角引入坐标是解题的关键，由于向量的运算与坐标关系密切，所以在研究此类题时应该想到设角来表示点的坐标11 （5 分） （2016赣州二模）已知双曲线 =1 的左、右焦点分别为 F1、F 2，2222过 F1 作圆 x2+y2=a2 的切线分别交双曲线的左、右两支于点 B、C，且|BC|=|CF2|，则双曲线的渐近线方程为（ ）Ay= 3x By=2 x Cy=（ +1）x Dy=（ 1）x2 3
27、3【考点】KC：双曲线的性质菁优网版权所有【分析】过 F1 作圆 x2+y2=a2 的切线分别交双曲线的左、右两支于点 B、C，且|BC|=|CF2|，可得 |BF1|=2a，求出 B 的坐标，代入双曲线方程，即可求出双曲线的渐近线方程【解答】解：过 F1 作圆 x2+y2=a2 的切线分别交双曲线的左、右两支于点B、C，且|BC|= |CF2|，|BF 1|=2a，设切点为 T，B（x，y） ，则利用三角形的相似可得=+=2x= ，y=22 22B（ ， ）22 22代入双曲线方程，整理可得 b=（ +1）a，3双曲线的渐近线方程为 y=（ +1）x，3故选：C【点评】本题考查双曲线的渐近线
28、方程，考查学生的计算能力，比较基础12 （5 分） （2010海淀区一模）已知数列A：a 1， a2，a n（0 a 1a 2 a n，n 3 ）具有性质 P：对任意i，j（1i jn） ，a j+ai 与 ajai 两数中至少有一个是该数列中的一项、现给出以下四个命题：数列 0，1，3 具有性质 P；数列 0，2，4，6 具有性质 P；若数列 A 具有性质 P，则 a1=0；若数列 a1，a 2，a 3（0a 1a 2a 3）具有性质 P，则 a1+a3=2a2，其中真命题有（ ）A4 个 B3 个 C2 个 D1 个【考点】8B：数列的应用 菁优网版权所有【分析】根据数列 A：a 1，a
29、2，a n（0a 1a 2 a n，n3）具有性质 P：对任意 i，j（1ijn） ，a j+ai 与 ajai 两数中至少有一个是该数列中的一项，逐一验证，可知错误，其余都正确【解答】解：对任意 i，j（1ijn） ，a j+ai 与 ajai 两数中至少有一个是该数列中的项，数列 0，1，3 中，a 2+a3=1+3=4 和 a3a2=31=2 都不是该数列中的数，故不正确；数列 0，2，4，6，a j+ai 与 ajai（1ij3）两数中都是该数列中的项，并且a4a3=2 是该数列中的项，故正确；若数列 A 具有性质 P，则 an+an=2an 与 anan=0 两数中至少有一个是该数列
30、中的一项，0a 1a 2 a n，n 3，而 2an 不是该数列中的项，0 是该数列中的项，a 1=0；故正确；数列 a1，a 2，a 3 具有性质 P，0a 1a 2a 3a 1+a3 与 a3a1 至少有一个是该数列中的一项，且 a1=0，1若 a1+a3 是该数列中的一项，则 a1+a3=a3，a 1=0，易知 a2+a3 不是该数列的项a 3a2=a2， a1+a3=2a22若 a3a1 是该数列中的一项，则 a3a1=a1 或 a2 或 a3若 a3a1=a3 同 1，若 a3a1=a2，则 a3=a2，与 a2a 3 矛盾，a 3a1=a1，则 a3=2a1综上 a1+a3=2a2
31、，故选：B【点评】考查数列的综合应用，此题能很好的考查学生的应用知识分析、解决问题的能力，侧重于对能力的考查，属中档题二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分） （2017红桥区模拟）由曲线 y=x2 与 y=x3 所围成的封闭图形的面积是 112【考点】69：定积分的应用菁优网版权所有【分析】要求曲线 y=x2，y=x 3 围成的封闭图形面积，根据定积分的几何意义，只要求 01（x 2x3）dx 即可【解答】解：由题意得：所求封闭图形的面积为01（x 2x3）dx（ ）| 01133144= ，131141=112故答案为： 112【点评】本题考查定积分的
32、基础知识，由定积分求曲线围成封闭图形的面积，属于基础题14 （5 分） （2017 春 广东月考）已知 x，y 满足约束条件 ，若+202202+202x+y+k0 恒成立，则实数 k 的取值范围为 k6 【考点】7C：简单线性规划菁优网版权所有【分析】2x+y+k0 恒成立，即 k2xy 的最大值，所以只要利用线性规划问题，结合 z=2xy 的几何意义求其最大值即可【解答】解：由题意，不等式组对应的平面区，设 z=2xy，即 y=2xz，将图中虚线平移，当过 A 时，z 最大，由 得到 A（ 2，2） ，所以 z 的最大值为2（ 2）（2）=6，22=02+2=0所以 k6 ；故答案为：k6
33、【点评】本题考查了简单线性规划问题，正确画出平面区域，利用几何意义求出2xy，是关键15 （5 分） （2017 秋 雁塔区校级期中）已知点 A 是抛物线 C：x 2=2py（p0）上一点，O 为坐标原点，若 A，B 是以点 M（0，9）为圆心，|OA|的长为半径的圆与抛物线 C 的两个公共点，且 ABO 为等边三角形，则 p 的值是 34【考点】KI：圆锥曲线的综合菁优网版权所有【分析】由题意，|MA|= |OA|，可得 A 的纵坐标，利用ABO 为等边三角形，求出 A 的横坐标，根据点 A 是抛物线 C：x 2=2py（p0）上一点，即可求出 p的值【解答】解：由题意，|MA|= |OA|
34、，A 的纵坐标为 4.5，ABO 为等边三角形，A 的横坐标为 ，332点 A 是抛物线 C：x 2=2py（p0）上一点， =2p274 92p= 34故答案为 34【点评】本题考查抛物线的方程，考查抛物线与圆的综合，考查学生的计算能力，比较基础16 （5 分） （2017 春 广东月考）已知函数 f（x）= ，则关于 x 的21， 02， 0方程 ff（x） +k=0 给出下列四个命题：存在实数 k，使得方程恰有 1 个实根； 存在实数 k，使得方程恰有 2 个不相等的实根；存在实数 k，使得方程恰有 3 个不相等的实根；存在实数 k，使得方程恰有 4 个不相等的实根其中正确命题的序号是
35、（把所有满足要求的命题序号都填上） 【考点】2K：命题的真假判断与应用 菁优网版权所有【分析】由解析式判断出 f（x ）的正负，再求出 ff（x）的解析式，根据指数函数的图象画出此函数的图象，根据方程根的几何意义和图象，判断出方程根的个数以及对应的 k 的范围，便可以判断出命题的真假【解答】解：当0，1）时， f（x）0，当（，0）1，+）时，f（x）0，f f（ x）= ，421， ( 0)422， (1)22+2， (0 1)画出此函数的图象如下图：f f（ x）+ k=0，f f（ x）=k，由图得，当1k0 时，方程恰有 1 个实根；当k2 或k=0 时，方程恰有 2 个实根，当 0
36、k2 时，方程恰有 3 个实根，故正确故答案为：【点评】本题考查了命题的真假判断，以及方程根的根数问题，涉及到了分段函数求值，指数函数的图象及性质应用，考查了学生作图能力和转化思想三、解答题（本大题共 6 个小题，共 70 分.应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.）17 （12 分） （2017 春 广东月考）在ABC 中，内角 A，B ，C 的对应边分别为a， b，c ，已知 = (+)+（）求角 C 的大小； （）若| |=2，求 ABC 面积的最大值12【考点】HP：正弦定理菁优网版权所有【分析】 （I） = ，由正弦定理可得：(+)+= = = ，化简利用余弦定理即可得出 （）取
37、 BC(+)+中点 D，则 ，在ADC 中， AD2=AC2+CD22 ACCDcosC，化|12|=2=|简利用基本不等式的性质与三角形面积计算公式即可得出【解答】解：（I） = ，由正弦定理可得： = =(+)+ (+)+= ，化为：a 2c2=abb2，+cosC= = ，C （0， ） 2+22212 =3（）取 BC 中点 D，则 ，|12|=2=|在ADC 中，AD 2=AC2+CD22 ACCDcosC，即 ，4=2+(2)2222242=2ab 8 ，当且仅当 a=4，b=2 时取等号此时 ，其最大值为 =12=34 23【点评】本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理余弦定理、
38、数量积运算性质、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18 （12 分） （2017 秋 桃城区校级月考）正三棱柱 ABCA1B1C1 底边长为2，E 、F 分别为 BB1，AB 的中点，设 =1（）求证：平面 A1CF平面 A1EF；（）若二面角 FEA1C 的平面角为 ，求实数 的值，并判断此时二面角3ECFA1 是否为直二面角，请说明理由【考点】LY ：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法菁优网版权所有【分析】 （）证明 CF平面 A1EF，即可证明：平面 A1CF平面 A1EF；（）如图，以 F 为坐标原点， ， 方向为 x 轴，y 轴正方向建立如图所示空间直角坐
39、标系，求出 = ，由定义则EFA 1 为二面角 ECFA1 的平面角，即可22得出结论【解答】 （I）证明：因为正三棱柱 ABCA1B1C1，所以 AA1平面 ABC所以AA1CF，又ABC 是正三角形，F 为 AB 中点，所以 CFAB，故 CF平面 A1EF，又 CF平面 A1CF，所以平面 A1CF平面 A1EF（5 分）（II）解：如图，以 F 为坐标原点， ， 方向为 x 轴，y 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系，由题意 AA1=2则 F（0，0，0） ，A 1（1，0，2） ，E（ 1，0 ，） ，C （0， ， 0） ，3=（1， ， ） ， =（0 ， ，0） ， =（2，0
40、，）（6 分） 3 3 1设平面 EA1C 的法向量 =（x ，y，z） ，则 ， +3=022=0令 z=2，则 =（ ）（8 分） ， 3， 2由（1）可知 =（0 ， ，0）为平面 A1EF 的一个法向量， 3故 cos = ，计算可得：= （9 分）3 342+43 22由（1）可知 EFCF ，A 1FCF，由定义则EFA 1 为二面角 ECFA1 的平面角，（10 分）此时由勾股定理：EF= ，A 1F= ，AE= ， （11 分）62 3 322满足 EF2+A1F2=AE2，则EFA 1= ，2此时二面角 ECFA1 为直二面角（12 分）【点评】本题考查线面、面面垂直的判定，
41、考查二面角，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题19 （12 分） （2017 春 广东月考） 中国好声音每期节目有四位导师A，B ，C，D 参与其规则是导师坐在特定的座椅上且背对歌手认真倾听其演唱，若每位参赛选手在演唱完之前有导师欣赏而为其转身，则该选手可以选择加入为其转身的导师的团队中接受指导训练；若出现多位导师为同一位学员转身，则选择权反转，交由学员自行选择导师，已知某期中国好声音中，8 位选手唱完后，四位导师为其转身的情况统计如下：（记转身为 T）现从这 8 位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的转身情况（1）求选出的两人获得导师为其转身的人次和为 4 的概率
42、；（2）记选出的 2 人获得导师为其转身的人次之和为 X，求 X 的分布列及数学期望 E（X）导师选手A B C D1 T T2 T T T T3 T4 T T5 T T T6 T T7 T T T T8 T T T【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差；CG：离散型随机变量及其分布列菁优网版权所有【分析】 （1）设 8 位选手中，2，7 有 4 位导师为其转身；5，8 有 3 位导师为其转身；1，4，6 有 2 位导师为其转身；3 只有 1 位导师为其转身从 8 人中随机抽取两人有 种情况，由此能求出其中选出的 2 人获得导师为其转身人次28=28和为 4 的概率（2）X 的所有可能取值为
43、 3，4，5，6，7 ，8，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和数学期望【解答】解：（1）设 8 位选手中，2，7 有 4 位导师为其转身；5，8 有 3 位导师为其转身；1，4，6 有 2 位导师为其转身；3 只有 1 位导师为其转身从 8 人中随机抽取两人有 种情况，（2 分）28=28其中选出的 2 人获得导师为其转身人次和为 4 的有 种， （3 分）23+1211=5设事件 A：“选出的 2 人获得导师为其转身人次和为 4”，故所求概率为 P（A）=，（4 分）528答：选出的 2 人获得导师为其转身人次和为 4 的概率为 （5 分）528（2）X 的所有可能取值为 3，4，5，6，7 ，8 （6 分）P（X=3）= = ，131128328P（X=4）= ，528P（X=5）= = ，1211+121328 828P（X=6）= = ，22+1312218728P（X=7）= = ，121228428P（X=8）= = ， （10 分）2228128所以 X 的分布列为：X 3 4 5 6 7 8P 328 52
