1、 冲刺 “985”优等生拔高讲义（教师版本）专治学霸各种不服不等式版快目录问题一：含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题 1问题二: 线性规划中的参数问题 .25问题三: 利用基本不等式处理最值、证明不等式和实际问题 49问题一：含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查，主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题，要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力，才能顺利解答从实际教学来看，这部分知识能力要求高、难度大，是学 生掌握最为薄弱，看到就头疼的题目分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似
2、的题目便产生畏惧心理本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨1 不等式恒成立问题新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察，恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径，它常以函数、方程、不等式和数列等知识点为载体，渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用近几年的数学高考中频频出现恒成立问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分解决高考数学中的恒成立问题常用以下几种方法：函数性质法；主参换位法；分离参数法；数形结合法；消元转化法下面我就以近几年高考试题为例加以剖析11 函数性质法一、一次函数单调性法给
3、定一次函数 ，若 在 内恒有 ，0yfxabyfx,mn0fx则根据函数的图像（线段）（如右下图） 可得上述结论等价于（1） 或（2）)(fa可合并定成0,().afn0,.fmn同理，若在 内恒有 ，则有,fx0,.fmn例1若不等式 对满足 的所有 都成立，求 的范围)1(22xm2mx【分析】我们可以用改变主元的办法，将 视为主变元，即将元不等式化为： 来求解0)12()(2xm【解析】我们可以用改变主元的办法，将 视为主变元，即将元不等式化为：m，令 ，则 时，)()(2 )12()()2xf 2m恒成立，只需 ，即 ，解这个不等式组0mf 0)(f0)()(2得 的范围是 x173,
4、2【点评】有些问题，如果采取反客为主（即改变主元）的策略，可产生意想不到的效果二、二次函数利用判别式、韦达定理及根的分布求解有以下几种基本类型：图1（1）类型1：设 2()(0).fxabc（1） 上恒成立 ；（2） 上恒成R在00且aRxf在0)(立 且a类型2：设 2()(0).fxabc（1）当 时， 上恒成立0,xf在 ,22() ()0.baaf f或 或上恒成立来源:Zxxk.Com,0xf在 ,().f（2）当 时， 上恒成立a,0)(xf在 0,.f上恒成立,0)(xf在 ,22()0()0.bbaaf f或 或例2已知不等式 对任意实数 恒成立则 取值范围是（ ）24mxxm
5、A B C D1,01,0,1,1,【分析】由不等式 对任意 实数 恒成立，知 或2xx0,1620.m由此能求出 的取值范围【解析】不等式 对任意实数 ， 或 解240mxx0m,1620.m得 10【点评】本题考查一元二次不等式的解法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化例3已知函数 ，若对于任一实数 ，241,fxmxgmxx与 的值至少有一个为正数，则实数 的取值范围是 ()fxgm（ ）A B C D来源:Zxxk.Com0,20,82,8,0【分析】 与 的函数类型，直接受参数 的影响，首先要对参数进行分类()fxg讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数
6、性质及图像解题【解析】当 时， 在 上恒成立，而 在 上恒0m()810fx(,)8()0gxR成立，显然不满足题意（如图2）；当 时， 在 上递减且 只在mgxRm上恒成立，而 是一个开口向下且恒过定点 的二次函数，显然不满足题(,0)()fx,1意（如图3）；当 时， 在 上递增且 在 上恒成立，而0mgR()0x(,)是一个开口向上且恒过定点 的二次函数，要使对任一实数 ， 与 的()fx,1xfgx值至少有一个为正数，则只需 在 上恒成立（如图4），则有()0fx(,或 ，解得 或 240()8m42m804m综上可得 即 故选B(0,8)图2()0gx1()8fxyO()fx1 ()
7、gxmxyO 图3图41O xy ()gfx【点评】该题考查一次函数、二次函数的单调性，考查不等式的求解，考查分类讨论思想三、其它函数：恒成立 （注：若 的最小值不存在，则 恒成立()0fxmin()0fx()fx()0fx的下界大于0）； 恒成立 （注：若 的最大值不存ma0在，则 恒成立 的上界小于0）()fx()fx例4（07年重庆卷理20)已知函数 在 处取得极)(ln)(44xcbxf 1值 ，其中 ， 为常数3cab（1）试确定 ， 的值； （2）讨论函数 的单调区间；)(xf（3）若对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围02)(cxfc【分析】 恒成立 ，即 ，要解决此题关键是
8、求 2)(cxf2minf min()fx， 0x【解析】（1）（2）略（3）由（2）知， 在 处取得极小值 ，此极小值也是最小值)(xf1cf3)1(要使 恒成立，只需 即 ，从而0)(2cxf 23c02 解得 或 ， 的取值范围为 1c2),31,(例5.（08天津文21）设函数 ，其中 432()fxaxbRab（）若对于任意的 a， ，不等式 在 ， 上恒成立，求 的取值范()1f围（节选）【分析】 ，即 ， 2a， ， ， ，要解决此题关键是求()1fxmax()1fxmax()f例6.（09年全国卷II文21）设函数 ，其中常数321()()4fxaxa1a（II）若当 时， 恒
9、成立，求 的取值范围（节选）0x()0f【分析】利用导数求函数的最值，由恒成立条件得出不等式条件从而求出 的范围a【解析】（II）由（I）知，当 时， 在 或 处取得最小值x)(xfa20x， ，则由aaaf 24)2(1)2(3 43f2)(题意得 即 解得 ， ,0)(f.24,0)6(3,a16(1,)a【点评】以上三题考查了利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性，导数的正负对应着函数的增减，要注意极值点一定是导函数对应方程的根，但是导函数对应方程的根不一定是极值点12 分离参数法极端化原则若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问 题转化为求主元函数的最
10、值，进而求出参数范围利用分离参数法来确定不等式 （,0fxD， 为实参数）恒成立中参数 的取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离，即化为 （或 ）恒成立的形式；gfxgf（2）求 在 上的最大（或最小）值；fxD（3）解不等式 (或 ) ，得 的取值范围max)gfminfx适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出例7.（2013新课标卷理11）已知函数 ，若| | ，2,0()ln1)xf()fxa则 的取值范围是a. . .-2,1 .-2,0A(,0B(,1CD【解析】 由| | 得， 且2,0ln(),xf()fxa20xa，由 可得 ，则 -0ln(1)xa20x
11、a22，排除，当 =1时，易证 对 恒成立，故 =1不适合，排除C，故ln(1)x0xa选D.【点评】本题主要考查函数不等式恒成立求参数范围问题的解法，是难题例8.（07年山东卷文15)当 时，不等式 恒成立，则 的取值范(1,2)x240xmm围是 【解析】当 时，由 得 令(,)x240x2x，则易知 在 上是减函数， 时24()fx()f1, 1,，则 ()(1)5maxff2min4()5x例9.（09年山东卷文21） 已知函数 ，其中 321()fxabx0a（1）当 满足什么条件时， 取得极值?ba,（2）已知 ，且 在区间 上单调递增，试用 表示出 的取值范围来源:学,科,网0)
12、(xf(0,1 b【分析】此题虽有三个变量 ， ， ，而 的范围已知，最终要用 表示出 的取abxa值范围，可以将 看成一个已知数，对 和 进行离参a例10（2010天津高考理16）设函数 2()1fx，对任意 2,3x，24()1)4(xfmfxfm恒成立，则实数 的取值范围是 【解析】依据题意得 在 上2222(1)(4(1)xm3,)x恒定成立，即 在 上恒成立当 时函数2134m3,取得最小值 ， ，即 ，解得23yx5254m22(1)43)0或 13 主参换位反客为主法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考
13、虑变换思维角度“反客为主”，即把习惯上的主元变与参数变量的“地位”交换一下，变个视角重新审查恒成立问题，往往可避免不必要的分类讨论或使问题降次、简化，起到“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”的出奇制胜的效果例11.（07辽宁卷文科22)已知函数 ，32 2()9cos48s1infxx，且对任意的实数 均有 ， ()gxft(1cos)0gt(3sin)0gt() 求函数 的解析式；()fx()若对任意的 ，恒有 ，求 的取值范围26,m2()1fxmx【解析】() ，2()318cos4gxf,01cos2,tRt，而 ， 恒成立则由二次函数性质得23sin4tcs)0t(in)0gt，解得
14、， ， ()04go12si32()94fxx（） 令2()9410fxmx，则 ()941hm2()fm即 由于 ，则有 解得 026,269410()hx 的取值范围为 13x1,3例12(08安徽文科20)已知函数 ，其中 为实数32()(1)afxxaa（）已知不等式 对任意 都成立，求实数 的取值范2()1fx且 0， x围（节选）【分析】已知参数 的范围，要求自变量 的范围，转换主参元 和 的位置，构造axa以 为自变量 作为参数的一次函数 ，转换成 ， 恒成立再求ax()ga(0)a， (0g解【解析】由题设 知“ 对 都成立，即223(1)1xx()，对 都成立设 （22()0
15、axa， 22()gaxxaR），则 是一个以 为自变量的一次函数 恒成立，则对 ，g 20()g为 上的单调递增函数 对 ， 恒成立的充分必要条件是R(0)， (， ， ，于是 的取值范围是 (0)20x2xx|20x14 数形结合直观求解法若所给不等式进行合理的变形化为 （或 ）后，能非常容易()fxg()fxg地画出不等号两边函数的图像，则可以通过画图直接判断得出结果尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷例13. (07安徽理科3)若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）xR|xaa(A) (B) (C) （D） 1a|1a|11【解析】对 ，不等式 恒成立，则由一次
16、函数性质及图像知x|x 1a，即 |例14.若不等式 在 内恒成立，求实数 的取值范围23log0ax1,3xa【解析】由题意知： 在 内恒成立，在同一坐标系内，分别作2la,出函数 和 的图像，观察两函数图像，当 时，若 函数23yxlogax 10,3x1a的图像显然在函数 图像的下方，不成立；当 时，由图可知loga 23y， 的图像必须过点 或在这个点的上方，则 ， ，layx1,1log3a127a127综上得： 127a例15若不等式 对于任意 都成立，求 的取logsin(01)xa且x(0,4a值范围【解析】作出函数 的图像，由题意知 在 (0， 上，函数si2y的图像总在函数
17、 的图像的上方， 作直线 = ，与logayxnx01ax4和 的图像分别交于A、B两点，为保证 在区间（0， 上siyx logy的图像在 图像的上方，不难从图中得到其条件是点A在点B的上方， 当 =n2 x时， ， 又 ，得 0,所以 在 上是增函数，由2,01xh）（ 22,0此可求得 的值域是0， ，所以实数 的取值范围是0， .)(x3ln4a3ln4解析：据题意：若存在 ，使得 ,即 有解，故h (x) ，2,0x)(xgfamax由知h （ x）= ，于是得 1,因此题目转化为当 y2时，恒有 因此令21ay,题目转化为 y2时，恒有 g(y)0,又 g(y)=(2ay-2()1
18、gyay1)（ ay+1），为了要使其大于0，则 或 ，考虑到题目要求 a的正实数，则 ay0)上的最小值.(2)对一切x(0,+),2f(x)g(x)恒成立,求实数a的取值范围.(3)求证:对一切x(0,+),都有xlnx .ex2【解析】(1)f(x)=lnx+1, 当x(0, )时,f(x)0,f(x)单调递增.10tt+2 ,t无解;0t t+2,即0t 时,f(x) min=f( )=- ; 1 1 1 1 1 tt+2,即t 时,f(x)在t,t+2上单调递增,f(x) min=f(t)=tlnt;1 1所以f(x) min=-1,01,1. (3)由(1)可知f(x)=xlnx(
19、x(0,+)的最小 值是- ,当且仅当x= 时取到.设m(x)= -1 1 x(x(0,+),则m(x)= ,2 1易得m(x) max=m(1)=- ,当且仅当x=1时取到,115已知二次函数 若对于任意 ,恒有2fxa12,xR成立，不等式 的解集为A.1212xfff 0f(1)求集合A；(2)设集合 ，若集合B是集合A的子集，求 的取值范围.来源:Z.xx.k.C4Bxaaom【答案】（1） ；（2）1,0a0,25【解析】（1）由 ，得 ，然后解含参数的二次不等式1212xffxf0a；（2）将集合 计算出来，然后在数轴上表示两个集合的相对位置，研究当 时，B BA两个集合端点的位置
20、关系（注意考虑端点是否能重合）.16已知实数 ，且 ，若 恒成立.0,ab29ababm（1）求实数m的最小值；（2）若 对任意的 恒成立，求实数x的取值范围.|1|x,【答案】（1）3；（2） 或 .31x5【解析】（1） ab22 ，2)(ba9)(2 （当且仅当 时取等号）33又 ，故 ，即 的最小值为 5分mm（2）由（1） ba若 对任意的 恒成立，故只需x| ba, 3|1|2x或 或3)1(203)1(20x3)1(x解得 或 10分x517.已知函数 fxm，函数 mxfg72（1）若 ，求不等式 的解集；来源:学科网0（2）若对任意 ,均存在 ,使得 成立，求实数 的取41x
21、23x21xgfm值范围【答案】（1） 3,)（2） )34,1(【解析】（1）依题意得 60x当 x时， 2， 2x或 ， 3；当 1时， 60x，无解所以原不等式的解集为 3,)（2）因为 2()|7gxm所以当 42时 ；当 xgx75)(2时所以当 m20时 ， ， 上 单 调 减上 单 调 增 ， 在上 单 调 增 ， 在在 ,22,(),)( mxg当 m时 ， ，则 上 单 调 增上 单 调 减 ， 在上 单 调 增 ， 在在 ,),() mx当 上 单 调 增在时 ， Rg0，又因为 ),3x所以当 m时， ),3(在x上单调增，mgx79)()(2in当 3时，又因为 )(0
22、g，结合 0时 )(xg的单调性，故 )(m ， x(2in综上， 3,7912inmhxg,()|xf ，又因为 (,4x，所以当 4m时， 0)()(minfxf；当 4m时， 4)()(minfxf综上得：1当 3时，由 73902得 91，故 312当 4时，由 得 0，故 43当 m时，由 m2得 234，故 324m综上所述： 的取值范围是 ),1(18.已知函数 ， ， .(),0xf， ()|2|gxafxRa（）当 时，若 对任意 恒成立，求实数b的取值范围；a()|1|gxb(0)，（）当 时，求函数 的最小值.1y【答案】（） ；（） ,0【解析】（）当 时， ，a()|
23、2|(0)gxx1分()|1|1|gxb，当且仅当 时等号成立 4分|2|()2)|x1x实数b的取值范围是 5分，问题二 线性规划中的参数问题简单的线性规划有很强的实用性，线性规划问题常有以下几种类型：（1）平面区域的确定问题 ；（ 2）区域面积问题；（3）最值问题；（4）逆向求参数问题而逆向求参数问题，是线性规划中的难点，其主要是依据目标函数的最值或可行域的情况决定参数取值类型一 目标函数中含参数若目标函数中含有参数，则一般会知道最值，此时要结合可行域，确定目标函数取得最值时所经过的可行域内的点（即最优解），将点的坐标代入目标函数求得参数的值1目标函数中 的系数为参数x【例1】【湖北省武汉
24、市2015届高三9月调研测试7】 ， 满足约束条件 ，xy20xy若 取得最大值的最优解不唯一，则实数 的值为 zyaxa（ ）A 或 B 或 C 或 D 或12212121【答案】D【解析】如图，画出线性约束条件所表示的可行域，坐出直线 ，因此要使线性yax目标函数取得最大值的最优解不唯一，直线 的斜率，要与直线 或yax20的斜率相等， 或 20xy2a1【点评】本题主要考查最优解的求法以及两直线的位置关系通过本题应进一步明确两点：（1）线性规划问题可能没有最优解；（2）当线性目标函数所表示的直线与可行域的某一条边界平行时，线性规划问题可以有无数个最优解【牛刀小试】【2016届湖南省常德市
25、一中高三上第五次月考】已知 ,xy满足约束条件02xy，若 zaxy的最大值为 4，则 a（ ）（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3【答案】B【评注】处理简单的线性规划问题的基本方法是：先画出可行域，再结合目标函数的几何意义进行解决，往往容易忽视的是目标函数基准直线与可行域边界的倾斜程度，如本题中，不仅要讨论斜率 a的符号，还要讨论斜率 a与边界直线斜率 1的大小关系.2目标函数中 的系数为参数y【例2】已知变量 满足约束条件 ,x若目标函数 的最大值为1，则 31048,2xy0zxaya【答案】3【解析】约束条件所满足的区域如图所示，目标函数 过B（4，1）点是取得最大值， ， 14
26、a3【点评】这类问题应根据图形特征确定最优解，进而用代入法求参数的值3目标函数中 的系数均含参数,xy【例3】设 ， 满足约束条件 ，若目标函数 的21xy )0,(bayxz最小值为2，则 的最大值为 ab【答案】 41【解析】不等式组表示的平面区域如图阴影部分，易求得 ，要目标函数)3,2(,BA的最小值为2， ，即 ，)0,(bayxz 2ba1ba，当且仅当 等号成立故 的最大值为 41)2b1b4【点评】本题主要考查最优解的求法以及均值不等式的应用应明确若可行域是封闭的多边形，最优解一般在多边形的顶点处取得应用均值不等式时需注意“一正、二定、三相等”，缺一不可【牛刀小试】【2016届
27、重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】设 满足约束条件xy，若目标函数 的最大值为12，则 的最小值0,263yx )0,(bayxz ba32为（ ）A B C D4653831【答案】A【评注】运用线性规划求解最值时，关键是要搞清楚目标函数所表示的直线的斜率与可行域便捷直线的斜率之间的大小关系，以好确定在哪个端点，目标函数取得最大值，在哪个端点，目标函数取得最小值；已 知 求axbym0,ab的 最 小 值 ， 通 常 转 化 为 （ )， 展 开 后 利 用 基(c0,)dxycd1()cxyab本 不 等 式 求 解 4目标函数为非线性函数且含有参数【例4】设不等式组 表示的平面区域为 若
28、圆01,4xyD不经过区域 上的点，则 的取值范围是( )221:rxCrA B C D52,23,52,3,0【答案】D【点评】本题的关键是给出目标函数的实际意义，即圆与可行域无公共点的问题对于目标函数为平方型： ，可看成可行域内的点 与定点22zxayb,Pxy两点连线的距离的平方，即 ；也可看成是以,Qab2PQxayb,Qab为圆心， 为半径的圆，转换为圆与可行域有无公共点的问题z【牛刀小试】【2016届吉林省吉林大学附中高三上第四次摸底】设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数ya x(a0，a 1)的图象过区域M的a的取值范围是（ ）（A）1，3 （B）2， （C）2，9 （D） ，9【答案】C来源:学科网ZXXK【解析】平面区域M如图所示，求得 ，由图可知，欲满足条件必有
