1、【标题 01】混淆了数列 和数列 的“ ”na21,na-n【习题 01】已知数列 满足 ， ，且 ,123(1)(1)0nna.nN（1）求 的值及数列 的通项公式；3456,ana（2）设 ( )，求数列 的 前 项和 .21nnbNnbnS【经典错解】 （1）由已知得 345611,8a当 为奇数时， ，所以数列的奇数项组成一个等差数列，2na所以 21()()23122n nn-=+-=-=-当 为偶数时， ，所以数列的偶数项组成一个等比数列，21nna所以 22112()()()()nnn a-=A因此，数列a n的通项公式为 n-12nkNa （ ） * （2）下略.【详细正解】
2、（1）由已知得 3456,.8aa当 为奇数时， ，所以数列的奇数项 组成一个等差数列 ，n2n 21n- 21na-令 2111()ab a- -=+-=-=所以 2()23nn n-当 为偶数时， ，所以数列的偶数项 组成一个等比数列 ，2nna2na2na111 22 2 nn nnnab-=AA因此，数列 的通项公式为na()n2=1nkNa （ ） *-（2）因为 ，则21nnb，3113()5()(2)(2)nnnS ，234 11()()()(3)()nnn 两式错位相减得 24 112()2nnS 112()14()2n 13()n13(2)nnS【习题 01 针对训练】定义：
3、项数为偶数的数列，若奇数项成等差数列，偶数项成等比数列，则称该数列为“对偶数列” （1）若项数为 项的“对偶数列” ，前 项为 ，求该数列的通项公式及 项的和；20na41,3220（2）设项数为 （ ）的“对偶数列” 前 项为 ，试求该数列前 （ ，mNn, n1m）项的和 ；学科#网nNnS（3）求证：等差数列 为“对偶数列”当且仅当数列 为非零常数数列a(0)nna【标题 02】放缩不等式求和时没有分类讨论【习题 02】设数列 的前 项和为 .已知 , , .nanS1a2123nSan*N(1) 求 的值；(2) 求数列 的通项公式；(3) 证明:对一切正整数 ,有 .2n 1274n
4、aa【经典错解】(1) 解： ， .2123nSanN当 时， 又 ，1n122a1a24（2）解： ， .n321 13n nnSaa当 时， 21nn由 ，得 121nnnSa12na1a数列 是以首项为 ，公差为 的等差数列.1n12,n naa当 时，上式显然成立. 1*,nN（3）证明：由（2）知， 2*,na221,1nn221211134na 134352nn111277424nn原不等式亦成立.综上，对一切正整数 ，有 .1274naa【详细正解】 （1）同上；（2）同上；（3）证明：由（2）知， 当 时， ， 原不等式成立.2*,naN1n74a当 时, , 原不等式亦成立.
5、n1274当 时, 321,1nnn22121 1342naa n 11134352n112717424nn当 时,， 原不等式亦成立. 综上，对一切正整数 ，有 .学科.网3 n1274naa【习题 02 针对训练】已知数列 满足 ， ，令 .（）求证： 是等比数列； （）记数列 的前 n项和为 ，求 ；（）求证： .121236nnaa【标题 03】对等比数列的判断方法没有理解透彻【习题 03】设数列 满足 ， 的前 项和为 ，数列 满足n1n(N)且 nanSnb2nba（l）若 ，求 ;（2）试判断数列 是否为等比数列？请说明理由；1a4Snb（3）若 ， ，且 试比较 与 的大小，并
6、证明你的结论3,mnpN2pmnS2p【经典错解】 （1） ，且 ，1a(N)且 1a ， ， .24a3246a4（2） ， nb1+n2=()2(2)n n nnb ab（ ）所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.1a（3） 事实上，由（2）知，当 时， ，则 mnPS13a10bn 是以 为首项， 为公差的等差数列， a (5)2nS ，且 ，,pNp 12(5)(52mnPSm） ） 2215()()4pmnpmn .21()044nnmnPS【详细正解】 （1）同上；（2） ， 2nba1+1=(1)2(2)n n nnbaaab（ ）又 ，当 时， ，此时 不是等比数列，13
7、30b当 时， ，则 1a10b12()nN故当 时，数列 是以 为首项， 为公比的等比数列.（3）同上13n1a2【深度剖析】 （1）经典错解错在对等比数列的判断方法没有理解透彻.（2）要判断一个数列 是等比数na列，需要证明 和 ，但是错解只证明了 ，忽略了对(0,)naqnN*+=10a 1(0,)naqN*+=首项是否为零的讨论，所以是错的.所以今后要判断一个数列是等比数列，一般先求 的值，如果不是1na+同一常数，数列 不是等比数列，如果 ，然后求出它的首项，看它的首项是否na1(0,)naqnN*+=为零，如果首项不为零，就是一个等比数列，否则也不是.【习题 03 针对训练】设数列
8、 的前 项和为 ，且 .nanS23na()N（1）证明数列 为等比数列;（2）求 的前 项和 .3nT【标题 04】逻辑不严谨忽略了等式的性质【习题 04】求和 .1231xnx【经典错解】令 ， 则Sn2 xSxnxn n231 ()两式相减得 来源:Z_xx_k.Com1()n21()nnxS【详细正解】若 ，则 ； 若 ， 则.0Sn1xSn()12若 ，且 时 令xxnn231则 Sxxn n231 ()两式相减得 学！科网2(1)nn 21()nnxS【习题 04 针对训练】设 数列 满足 ,0,bna11=,(2)nnba（1）求数列 的通项公式；（2）证明：对于一切正整数 n,
9、 .na1n【标题 05】弄错了数列的首项【习题 05】已知数列 满足 ， .na12,a12,*naN（1）令 ，证明： 是等比数列；（2）求 的通项公式.1nbnbn【经典错解】 （1） .当 时， ， 21111 122nnn naab b 是首项为 ，公比为 的等比数列. nb1a=（2）由（1）可得 ， ，下面的略.11()()2nnnbA11()2nna【详细正解】 （1） 1a当 时， ， n11 122nnn nbab 是首项为 ，公比为 的等比数列. n121a=-（2） 由（1）可得 ， ， ， ，()nnb11()2nna021()a132()a， ，2()na00 15
10、()nn 当 时，也符合， 152()3nn【习题 05 针对训练】在数列 中， ， na112nna（1）设 证明：数列 是等差数列；（ 2）求数列 的前 项和 12nabbnanS【标题 06】等比数列求和弄错了数列的项数【习题 06】已知数列 的前 项和 ，数列 满足 ， ，且na2nnSanb1b3718（ ）.（1）求数列 和 的通项公式；（2）若 ，求数列 的前12nnbn nacnc项和 .nT【经典错解】 （1）由题意知 ，当 时， ，-得2nnSa211nnSa，即 ，又 ， ，故数列 是以 为首项，nnaSa1 na1为公比的等比数列，所以 ，由 （ ）知，数列 是等差数列
11、，设其公22n1nnb2b差为 ，则 ，故 ，d9)(21735b 1)(415 ndbdn，综上，数列 和 的通项公式分别为 .na21ann，（2） ，来源:学科网12)(nnbc 12nTc 1210 2)(53nnn)()2(3-得 ，n 1211 . 下面略.2()1()nnT-=+-AA【详细正解】 （1）同上（2） ，12)(nnabc 12nTc 1210 2)(53nnn)()2(3-得 ， , nnnT21111()2(2)nnT-=+AA即 ， 3)(2)()2( nnn 3)(nn【深度剖析】 （1）经典错解错在等比数列求和时弄错了数列的项数.（2）经典错解没有认真观察
12、，凭经验得到数列 有 项，实际上这个数列有 项，所以在观察数列有多少项时，一定既要观1n -+1察首项，也要观察末项，要瞻前顾后，这才是科学的严谨的.（3） 数列的首项、项数、末项等是很容易错的基本量，所以在解答数列题时，在这些地方要谨慎细心.【习题 06 针对训练】已知数列 的前 项和 与通项 满足 .nanSna12nnSa（1）求数列 的通项公式；na（2）设 ，求 ；31212()log,().(),.n nnfxbfaffaTb2014T（3）若 ，求 的前 项和 .)ncafcU【标题 07】 不一定能说明 是使得 成立的最大自然数406S4060nS【习题 07】若数列 是等差数
13、列，首项 ， ， ，则使前 项和na1a2304a2034aAn成立的最大自然数 是（ ）nA405B 406C 7D08【经典错解】 ， ， ，1a2034a2034aA首项大于零的递减的等差数列， ,故选 .61062034()()Sa=+=+B【详细正解】 ， ， ，120342034首项大于零的递减的等差数列， ,203,a，故选 .4071407424()72Sa=+=AB【习题 07 针对训练】设 是等差数列， ， ， ，则使 成立na10a2708a2078a0nS的最大自然数 是（ ）A 4013B 40C415D416【标题 08】代换时忽略了 的范围导致结果出现错误n【习题
14、 08】已知在等比数列 中， ，且 是 和 的等差中项na12a13（1）求数列 的通项公式；na（2）若数列 满足 （ ） ，求 的通项公式 b123nb Nnbnb【经典错解】 （1）设等比数列 的公比为 ，由 是 和 的等差中项得：naq2a13， ， ， ， ， 23a211q0q212na（2）由 123nbb1()a得： ，所以 21nnnba2nb2nb【详细正解】 （1）设等比数列 的公比为 ，由 是 和 的等差中项得：nq2a13， ， ， ， ， 23a2112aq0q212na（2） 时，由 ，得 n3nbb 1时，由 12a1231()nb得： 学 科网2nna，所以
15、2nb2nb21nb【习题 08 针对训练】已知数列 na满足： ，令 1nab， S为)(11*232 Nnaa数列 nb的前 项和.（1）求 和 nS；（2）对任意的正整数 n，不等式 21nS恒成立，求实数 的取值范围a【标题 09】累加法求数列通项时弄错了数列的项数【习题 09】在数列 中，已知 ， ，求数列 的通项公式.na112nana【经典错解】由题得 2324315,7,9,2n所以 ，所以 .21579()na31n【详细正解】由题得 2132431,naaa所以 ， .21 1(5)n n 2na【习题 09 针对训练】在数列 中，已知 ， ，求数列 的通项公式.na112
16、nnana【标题 10】对数列的极限理解不够透彻【习题 10】设数列 的前 n 项和为 ，且anS2naS（1）求数列 的通项公 式；（2）若 ， 为数列 的前 n 项和，求 ；n bTbnT（3）是否存在实数 m 使得 对一切 恒成立？若存在，求出 m 的取值范围；若不存4nmTN在，说明理由【经典错解】 （1）由 ，令 n=1，则 a1=22S1，又 S1=a1，所以 a1=2nnaS当 n2 时，由 ，可得 anan1=2（S nSn1）=2a n，即nn13n所以 是以 a1= 为首项， 为公比的等比数列，于是 ；n23 2na（2） ， ， 来源:Zxxk.Comnb 23nT 31
17、nT两式相减可得 ，2311()133 nnnT 3214nnT（3） ， 单调递增，T nT 1=c1=110nnbn ， T n243T4134使得 对一切 恒成立，则 3m .nmN21410【详细正解】 （1） （2）同上.（3） （3） ， 单调递增，T nT 1=c1=103nnTbn 3 ， T n4434使得 对一切 恒成立，则 3m .2nmTN21410【习题 10 针对训练】在数列 中， 是数列 前 项和， ，当nanSna1a21,()nnSa（1）证明 为等差数列；（2）设 求数列 的前 项和 ；nS21nbnbnT（3）是否存在自然数 ，使得对任意自然数 ，都有 成
18、立？若存在，求出 的最小mN1(8)4nmm值；若不存在，请说明理由.高中数学经典错题深度剖析及针对训练第 22 讲：数列综合参考答案【习题 01 针对训练答案】 （1） ， ；,20)12nnanN是 正 奇 数 （ ） 是 正 偶 数 91()（2）见解析；（3）证明略.【习题 02 针对训练答案】 （）详见解析; （） ;（）详见解析.【习题 02 针对训练解析】 （） ， 学！科网两式相减，得经检验，当 时上式也成立，即 .有 即 ，且又当 时，左边=1n126当 时，有故 .121236nnaa【习题 03 针对训练答案】 （1）见 解析；（2） . 231512()nnTn【习题
19、04 针对训练答案】 （1） ； （2）证明见下面解析.2()0,)nba=-【习题 04 针对训 练解析】(1)由 可得12nn1,nnab当 时, 则数列 是以 为首项 为公差的等差数列,2b1,2nana12,2na从而 .当 时2b1(),2nnabab,则数列 是以 为首项. 为公比的 等比数列.1n1()2b2()(),2nnnn aabb 综上, .(2)0,)nb（2）当 b=2 时， 从而原不等式成立.11,2,nnbaa+,当 时，要证b1nb,11()(2), ,nnnnb即 证即证 123221,nnnnbbb +即证211223,2nnn b 而上式左边121 32)
20、()()()nnbb=(1221322 1nn bnbbb所以当 时，原不等式也成立，从而原不等式成立. 学#科网-得 .12221110 nnnnS【习题 06 针对训练答案】 （1） ；（2） ；（3） .()3na201485T 131()()423nnnU【习题 06 针对训练解析】 （1）在 中，令 ，可得1nnS112aSa当 时， ，2n1()223nn naSa数列 是以 为首项， 为公比的等比数列， 3 ()（2）由（1）及 ， ，3()logfx33()loglnnfx ，故 ，12 (1)().)122n nbfaffa12()nb又 ，12.()()3nn nTbn 2
21、01485T（3）由（2）及 ， ， ()nncaf 1()3nnc ，1212()3nnU 可得： ，3 2 1()()n -： ，1 1()()23nnnn ， 13()()42nnnU【习题 07 针对训练答案】 B，即 ，综上， ， ；来源:Z,xx,k.Com12na12na12na*N，则 )()(bn )12(nSn（2）由 得 ， 21nS21nS所以 ，因为 是单调递增数列，所以当 时 取得最小值为 ，因此 min)(nS3165【习题 09 针对训练答案】 13na【习题 09 针对训练解析】由题得 23421341,2,2nnaaa所以 .234 111 (),3nn nna【习题 10 针对训练答案】 （1）利用等差数列定义证明即可；（2 ）；(3)21nT0m来源:Zxxk.Com
