多面体与球的组合体问题.doc

1、多面体与球的组合体问题纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答.从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目.分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨.一、球与柱体的组合体规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱 柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.1.1 球与正方体如图 1 所

2、示，正方体 ，设正方体的棱长为 ， 为棱的中点， 为球的球1ABCDa,EFHGO心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球，截面图为正方形 和其内切圆，则；二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形 和其外接圆，则 ；2aOJr 2Ra三是球为正方体的外接球，截面图为长方形 和其外接圆，则1AC.通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常13AR用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题.例 1 棱长为 1 的正方体 的 8 个顶点都在球 的表面上，1ABCDO分别是棱 ， 的中

3、点，则直线 被球 截得的线段长为EF， 1EF_ _.解：由题意可知，球为正方体的外接球.平面 截面所得圆面的半径1A直线 被球 截得的线段为球的截12,ADR1EF面 ， 面圆的直径 .【牛刀小试】将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为_.【答案】4【解析】体积最大的球是其内切球，即球半径为 1，所以表面 积为 .412S1.2 球与长方体长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.设长方体的棱长为其体对角线为 .当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接,abcl球的道理是一样的，故球的半径22.labcR

4、例 2 在长、宽、高分别为 2，2，4 的长方体内有一个半径为 1 的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为_.解：利用运动的观点分析在小球移动的过程中，进过部分的几何体.因半径为 1 的小球恰好为棱长为 2 的正方体的内切球，故小球经过空间由上往下看为：半个小球、高为 2 的圆柱和半个小球，三部分的体积为：324110=.3【牛刀小试】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为 ，则该正四棱锥的外接球的表面积为 .363球与正棱柱球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱 的高为 底面边长为 ，如图 2 所示，1ABC,ha和

5、 分别为上下底面的中心.根据几何体的 特点，球心必落在高 的中点D1 1D， 借助直角三角形 的勾股定理，可求O3,2hRDaAO.23()Ra例 3 正四棱柱 的各顶点都在半径为 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 1ABCR. 42【牛刀小试】直三棱柱 的六个顶点都在球 的球面上，若 ，1ABCO1ABC， ，则球 的表面积为_.【答案】01123O6二、球与锥体的组合体规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.2.1 球与正四面体正四面体作为一个

6、规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一，利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图 4，设正四面体 的棱长为 ，内切球半径为 ，外接球的半径为 ,取SABCarR的中点为 ， 为 在底面的射影，连接 为正四面体的高.DES,CDSE在截面三角形 ,作一个与边 和 相切，圆心在高 上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为.此时， , 则有O,ROr23,a解得： 这个解法是通过利用两心合一的思路，建2233RrarCE， =， 6,.412Rra立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现，球心 为正四面体高的四等分

7、点.如果我们O牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便.例 4 将半径都为的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为_.BCC1A1AD1EE1DDOOB1图 2CBADSOE图 42.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法，即把三棱锥补形成正方体或者长方体.常见两种 形式：一是三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.如图 5，三棱锥 的外接球的球心和正方体 的11ABD1ABCD外接球的球心重合.设 ，则 .二是如果三棱锥

8、的三条侧棱互相垂直并且a32Ra不相等，则可以补形为一 个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.( 为长方体的体对角线长 ).224abclR例 5 在正三棱锥 中， 分别是棱 的中点，且 ,若SABCMN、 SCB、 AMN侧棱 ,则正三棱锥 外接球的表面积是 . 3 36【牛刀小试】 一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为 1 的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为_.【解析】把原来的几何体补成以 为长、宽、高的长方体，原几何体四棱锥与长方体是同一DP、 、个外接球， ， ， .2=1+3Rl=2R234SR球2.3 球与正棱锥球与正棱锥的组合

9、，常见的有两类， 一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径 这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.例 6 在三棱锥 PABC 中，PAPB=PC= 3,侧棱 PA 与底面 ABC 所成的角为 60，则该三棱锥外接球的体积为_.解：如图 7 所示，过 点作底面 的垂线，垂足为 ，设 为外接球的球心，连接 因ABCOH,AHO故 , 又 为直角三角形，0,3,AO 2

10、OP， A2, ,HPrH22334(),1,1.rrV【牛刀小试】已知正三棱锥 ABC,点 P,A,B,C 都在半径为 的球面上,若 PA,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为_. 3OCC1A1A BDD1B1图52.4 球与特殊的棱锥球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解.例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置.如图 8，三棱锥 ,满足SABC取 的中点为 ,由直角三角形的性质可得：,SABC面 SO所以 点为三棱锥 的外接球的球心,则O 2SCR例 7 矩形 中， 沿 将矩

11、形 折成一个直二面角D4,3,ABCD,则四面体 的外接球的体积是_.例 8 三棱锥 中， ，则三棱锥 的外接球的ABCD2,=5ACDBABCD半径是 .解：由于三棱锥 三组对棱的长相等，故可把三棱锥 放到长方体中，使三棱锥三组对棱分别为长方体的三组对面的对角线，则该长方体的长、宽、高分别为 1,1,2，所以外接球的半径2216R三、球与球的组合体对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力，解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解.例 9 在半径为 R 的球内放入大小相等的 4 个小球

12、，则小球半径 r 的最大值为_.四、 球与几何体的各条棱相切球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半： .24ra例 10 把一个皮球放入如图 10 所示的由 8 根长均为 20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8 根铁丝都有接触点，则皮球的半径为_.解：如图 11 所示，由题意球心在 AP 上，球心为 O，过 O 作 BP 的垂线 ON 垂足为 N，ON=R，OM=R，因为各个棱都为 20，所以 AM=10，BP=20,BM=10，AB= ,设 ，

13、102BPACBASO图 9图 11在 BPM 中， ,所以 .在 PAM 中, Rt22BPM103PRt,所以 .在 ABP 中, 22PMA10ARt，在 ONP 中, ,所以10sintsinONP，所以 .在 OAM 中, ,所以，2O222AM,解得， 或 30（舍）,所以， .(10)10RR10R10Rcm五、与三视图相结合的组合体问题本类问题一般首先给出三视图，然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还原几何体，根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解. 例 11 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为_.5【牛刀小试】若一个底面是正

14、三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为_.【答案】 43【解析】由题意知正三棱锥底边长为 2，高为 1，则根据球的性质可得，球表面积2201sin634R942.2914S综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以

15、借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确【迁移运用】1. 直三棱柱 1ABC的各顶点都在同一球面上，若 12ABC, 120BAC则此球的表面积等于_.【答案】 202已知四面体 PABC 的外接球的球心 O 在 AB 上,且 PO平面 ABC, , 若四面体 PABC 的23ACB体积为 ,则该球的体积为_343【解析】设该球的半径为 ，则 ,R2ABCBR所以 ，因为 是球的直径，所以 在大圆所在平面内，且AC在 中， ，所以 面积RtB2tA侧侧侧侧侧侧侧侧侧221132132SBCAR因为 面 ，且 ，所以POP2133PABCVSOR解得 ，所以球的体积3R3443某几何体的三视图如

16、右图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为_.28【解析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为 2 的正三角形，侧棱长是 2，三棱柱的两底面的中心连线的中点与三棱柱顶点的连线就是外接球的半径，所以，所以球的表面积为 .27(3)1r27843r4如图，直三棱柱 的六个顶点都在半径为 1 的半球面上， ，侧1ABC ABC面 是半球底面圆的内接正方形，则侧面 的面积为_.1BCAB25.如图，一个几何体的三视图(正视图、侧视图和俯视图) 为两个等腰直角三角形和一个边长为 1 的正方形，则其外接球的表面积为_.36.【河北省“五个一名校联盟” 2015 届高三教学

17、质量监测（一）】一 个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为_.【解析】由三视图可知：该几何体是一个如图所示的三棱锥 P-ABC，它是一个正四棱锥 P-ABCD 的一半，其中底面是一个两直角边都为6 的直角三角形，高 PE=4设其外接球的球心为 O，O 点必在高线 PE 上，外 接球半径为 R，则在直角三角形 BOE 中，BO2=OE2+BE2=（PE-EO） 2+BE2，即R2=（4-R） 2+（3 ） 2，解得：R = .1747表面积为 的球面上有四点60且 是等边三角形，CBAS、 球心 O 到平面 ABC 的距离为 ，若 ,则棱锥 体积的最大值为 273ABCS面AB

18、S8一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是 16【解析】由三视图知，几何体是一个三棱柱，三棱柱的底面是边长为 3 的正三角形，侧棱长是 2，根据三棱柱的两个底面的中心的中点与三棱柱的顶点的连线就是外接球的半径，求出半径即可求出球的表面积解：由三视图知，几何体是一个三棱柱 ABCA 1B1C1，三棱柱的底面是边长为 3 的正三角形 ABC，侧棱长是 2，三棱柱的两个底面的中心连接的线段 MN 的中点 O 与三棱柱的顶点 A 的连线AO 就是外接球的半径，ABC 是边长为 3 的等边三角形，MN=2，AM= ，OM=1，这个球的半径 r= =

19、2，这个球的表面积 S=42 2=16，故答案为：169已知 都是球 表面上的点， 平面 ， ， ，SABC， ， ， SABCA2S， ，则球 的表面 积等于_ 【答案】34O910 【2016 届黑龙江省哈尔滨师大附中高三 12 月考】利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥 PABCD,其中底面四边形是边长为 1的正方 形， 1PA，且 平面 ABCD,则球体毛坯体积的最小值应为 32p【解析】如图，将四棱锥 CR-AB补全为一个正方体，则：当正方体为球的内接正方体时球的体积最小，此时正方体的体对角线为球的直径，长为 2231,RR球的体积为：3342V；故答案应填：3p11如图，在四面体

20、中， 平面 ， 是边长为 的等边三角CDACD6形若 ，则四面体 外接球的表面积为 4【解析】该四面体的外接球与下面的正三棱柱的外接球是同一个球，因为底面是正三角形，边长为 ，所以 ， ，所以66sin0233E12OEAB，表面积 221RO4Sr12.正四面体 ABCD 的棱长为 4，E 为棱 BC 的中点，过 E 作其外接球的截面，则截面面积的最小值为 . ODCB DCA E13.已知正三棱锥 PABC,点 P,A,B,C 都在半径为 3的球面上,若 PA,PB,PC 两两互相垂直,则球心到截面 ABC 的距离为_. 3【解析】因为正三棱锥 ABC,PA,PB,PC 两两互相垂直 ,所

21、以我们可以把正三棱锥 PABC,放到正方体中，P、A、B、C 为正方体的顶点，则正三棱锥 ABC 的外接球的球心为正方体体对角线的交 点，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，面 A1BD 和面 CB1D1 把体对角线三等分，所以球心到截面 ABC 的距离为 .314.一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积是 ,则这个三棱柱的体积为 323. 34815.若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为 ，则圆锥的体积为 13【解析】过圆锥的旋转轴作轴截面，得 及其内切圆 和外切圆 ，且两圆同圆心，即ABCOA2A的内心与外心重合，易得 为正三角形，由题意 的半径为 ， 的边长为ABC 1rBC，圆锥的底面半径为 ，高为 ， 2333V