1、不等式恒成立的八种解法探析不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口这里对这一类问题的求解策略作一些探讨1 最值法例 1已知函数 在 处取得极值 ，其中)0(ln)(44xcbaxf 1c3为常数 （I）试确定 的值；（II ）讨论函数 的单调区间；（III ）若对于任cba, , )(xf意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围0x2)(cxfc分析：不等式 恒成立，可以转化为2min)(cxf解：（I） （过程略） 3,12ba（II）
2、 （过程略）函数 的单调减区间为 ，函数 的单调增区间为 )(xf )1,0()(xf ),1(（III）由（ II）可知，函数 在 处取得极小值 ，此极小值也是最小c3值要使 （ ）恒成立，只需 ，解得 或 2)(cxf0x23c所以 的取值范围为 c),31,(评注：最值法是我们这里最常用的方法 恒成立 ； 恒成立axf(axf)(minf)(axf)(ma2 分离参数法例 2已知函数 xxf1)(ln)(22（I）求函数 的单调区间；f（II）若不等式 对于任意 都成立（其中 是自然对数的底数） ，求ena)1( Nne的最大值a分析：对于（II）不等式 中只有指数含有 ，故可以将函数进
3、行分离考an)( a虑解：（I） （过程略）函数 的单调增区间为 ， 的单调减区间为)(xf )0,1(xf ),0(（II）不等式 等价于不等式 ，由于 ，知ena)1( lna1n；设 ，则l)(ann)1l( xxg)1l(),0(22)(ln)1()xxg )(l)(2x由（I）知， ，即 ；于是， 01l201ln220)(xg，即 在区间 上为减函数故 在 上的最小值1,0(x)(xg,()(xg,为 2ln)所以 的最大值为 a1l评注：不等式恒成立问题中，常常先将所求参数从不等式中分离出来，即：使参数和主元分别位于不等式的左右两边，然后再巧妙构造函数，最后化归为最值法求解3 数
4、形结合法例 3已知当 时，不等式2,1(x恒成立，则实数 的取值范围是xalog)1(2a分析：本题若直接求解则比较繁难，但若在同一平面直角坐标系内作出函数 与函数2)1(xf在 上的图象，借助图形可以直xgalo)(,(观、简捷求解解：在同一平面直角坐标系内作出函数与函数 在 上的图象（如右） ，从图象中容易知道：2)1(xf xgalo)(2,1(当 且 时，函数 的图象恒在函数 上方，不合题意；当 且0a,)(f )(xg1a时，欲使函数 的图象恒在函数 下方或部分点重合，就必须满足2,(x)(xf )(，即 1loga2y=g(x) 01y=f(x)y112O x故所求的 的取值范围为
5、 a2,1(评注：对不等式两边巧妙构造函数，数形结合，直观形象，是解决不等式恒成立问题的一种快捷方法4 变更主元法例 4对于满足不等式 的一切实数 ，函数 的值恒1aa)24()(2axay大于 ，则实数 的取值范围是0x分析：若审题不清，按习惯以 为主元，则求解将非常烦琐应该注意到：函数值大于x对一定取值范围的谁恒成立，则谁就是主元解：设 ， ，则原问题转化为 恒成)4()2()2af 1,a0)(af立的问题故应该有 ，解得 或 0)1(f1x3所以实数 的取值范围是 x),(),(评注：在某些特定的条件下，若能变更主元，转换思考问题的角度，不仅可以避免分类讨论，而且可以轻松解决恒成立问题
6、5 特殊化法例 5设 是常数，且 （ ） 0a123nnaN（I）证明：对于任意 ， 012)()(5ann（II）假设对于任意 有 ，求 的取值范围11n0分析：常规思路：由已知的递推关系式求出通项公式，再根据对于任意 有1求出 的取值范围，思路很自然，但计算量大可以用特殊值探路，确定目标，1na0再作相应的证明解：（I）递推式可以化归为 ， ，所以31)(23nna51)3(25nna数列 是等比数列，可以求得对于任意 ，513na 012)()( ann（II）假设对于任意 有 ，取 就有 解得1n,0631201a；310a下面只要证明当 时，就有对任意 有310aNn01na由通项公
7、式得 01111 25)(2)(32)(5 annn 当 （ ）时，2knN353)(5 11101111 nnnnnnaa当 （ ）时，k，可见总02212)( 11011 nnnnnn有 a故 的取值范围是0)3,0(评注：特殊化思想不仅可以有效解答选择题，而且是解决恒成立问题的一种重要方法6 分段讨论法例 6已知 ，若当 时，恒有 0，求实数 a 的取值范围2)(axf 0,1x()fx解：（i）当 时，显然 0 成立，此时，0()faR（ii）当 时，由 0，可得 ，,1xx2x+x令 2()(,);(0,1)gh则 0， 是单调递增，可知2x gxmax(1)g0， 是单调递减，可知
8、1)(h()in)3h此时 的范围是（1，3）a综合 i、ii 得： 的范围是（1，3） 例 7若不等式 对于 恒成立，求 的取值范围02ax21,xa解：（只考虑与本案有关的一种方法）解：对 进行分段讨论，x当 时，不等式恒成立，所以，此时 ；0x Ra当 时，不等式就化为 ，此时 的最小值为 ，所以 ；21,(3213213a当 时，不等式就化为 ，此时 的最大值为 ，所以)xx；213a由于对上面 的三个范围要求同时满足，则所求的 的范围应该是上三个 的范围的x aa交集即区间 ),(说明：这里对变量 进行分段来处理，那么所求的 对三段的 要同时成立，所以，用求交集的结x果就是所求的结果
9、评注：当不等式中左右两边的函数具有某些不确定的因素时，应该用分类或分段讨论方法来处理，分类（分段）讨论可使原问题中的不确定因素变化成为确定因素，为问题解决提供新的条件；但是最后综合时要注意搞清楚各段的结果应该是并集还是别的关系7 单调性法例 8若定义在 的函数 满足 ，且 时不等式),0()(xf )()(xyff1成立，若不等式 对于任意 恒成立，)(xf 2ayf),0(,则实数 的取值范围是a解：设 ，则 ，有 这样，210x10)(12xf，则0)()()()( 12111211212 xfffffffxf，函数 在 为减函数12ffxf,0因此 )()(2afyx)()(2xyafy
10、xf；而 （当且仅当 时ay2x22yx取等号） ，又 ，所以 的取值范围是 0,0(评注：当不等式两边为同一函数在相同区间内的两个函数值时，可以巧妙利用此函数的单调性，把函数值大小关系化归为自变量的大小关系，则问题可以迎刃而解8 判别式法例 9若不等式 对于任意 恒成立则实数 的取值范围是012axRxa分析：此不等式是否为一元二次不等式，应该先进行分类讨论；一元二次不等式任意恒成立，可以选择判别式法Rx解：当 时，不等式化为 ，显然对一切实数恒成立；0a01当 时，要使不等式 一切实数恒成立，须有 ，解2ax042a得 40a综上可知，所求的实数 的取值范围是 a)4,0不等式恒成立问题求
11、解策略一般做法就是上面几种，这些做法是通法，对于具体问题要具体分析，要因题而异，如下例例 10关于 的不等式 在 上恒成立，求 实数 的xaxx232512,a取值范围通法解：用变量与参数分离的方法，然后对变量进行分段处理； ，不等12,x式可以化为 ；下面只要求 在 时axx52xf52)(的最小值即可，分段处理如下当 时，,1， ，再令xxf256)(2 2325656)( xxf ， ，它的根为 ；所以在区间231f 011f ,上有 ， 递增，在区间 上有 ， 递减，则就有)2,0)(1xf)(5,2()(1xf)(f在 的最大值是 ，这样就有 ，256(31f ,x70)(xf即 在区间 是递减同理可以证明 在区间 是递增；所以，)x, )(xf2,在 时的最小值为 ，即 xf(21,10)5(fa技巧解：由于 ，所以， ， 两个等号成立都是在,2x2x时；从而有 （ 时取等号） ，即 5x 05)(xf 10评注：技巧解远比通法解来得简单、省力、省时但需要扎实的数学基本功
