1、南京市 2017 届高三年级第三次模拟考试数 学 2017.05注意事项：1本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题第 14 题） 、解答题（第 15 题第 20 题）两部分本试卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题卡参考公式：方差 s2 (x1 )2(x 2 )2(x n )2，其中 为 x1，x 2，x n 的平均数1n x柱体的体积公式：VSh，其中 S 为柱体的底面积，h 为柱体的高锥体的体积公式：V Sh，其中 S 为锥体的底面积，h 为锥体的高13一、填空题：本大题共
2、 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请把答案填写在答题卡相应位置上1已知全集 U1，2，3，4，集合 A1 ，4，B3，4，则 (AB) U2甲盒子中有编号分别为 1，2 的 2 个乒乓球，乙盒子中有编号分别为 3，4，5，6 的 4 个乒乓球现分别从两个盒子中随机地各取出 1 个乒乓球，则取出的乒乓球的编号之和大于 6 的概率为 3若复数 z 满足 z2 32i ，其中 i 为虚数单位， 为复数 z 的共轭复数，则复数 z 的 z z模为 4执行如图所示的伪代码，若输出 y 的值为 1，则输入 x 的值为 5如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则在这五场比赛中得分较
3、为稳定（方差较小）的那名运动员的得分的方差为 7 7 9 0 8 94 8 1 0 3 5甲 乙（第 5 题图）（第 4 题图）Read xIf x0 Theny2x 1 Elsey 2 x2End IfPrint y6在同一直角坐标系中，函数 ysin(x ) （x0， 2 ）的图象和直线 y 的交点 3 12的个数是 7在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 1 的焦距为 6，则所有满足条件的实数 mx22m2 y23m构成的集合是 8已知函数 f(x)是定义在 R 上且周期为 4 的偶函数当 x2，4时，f(x)|log 4(x )32|，则 f( )的值为 129若等比数列a n的各项均
4、为正数，且 a3a 12，则 a5 的最小值为 10如图，在直三棱柱 ABCA 1B1C1 中，AB1，BC 2 ，BB 13，ABC 90，点 D为侧棱 BB1 上的动点当 ADDC 1 最小时，三棱锥 DABC 1 的体积为 11 （2017 南京三模）若函数 f(x)e x(x 22xa)在区间 a，a1上单调递增，则实数 a的最大值为 12 （2017 南京三模）在凸四边形 ABCD 中， BD2，且 0，( )( )AC BD AB DC BC AD5，则四边形 ABCD 的面积为 13.（2017 南京三模） 在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O：x 2y 21，圆 M：( xa3
5、) 2(y2a) 21( a 为实数)若圆 O 与圆 M 上分别存在点 P，Q，使得OQP 30 ，则 a 的取值范围为 14 （2017 南京三模）已知 a，b，c 为正实数，且 a2b8c， ，则 的取值2a 3b 2c 3a 8bc范围为 二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15 （2017 南京三模） （本小题满分 14 分）如图，在三棱锥 ABCD 中，E，F 分别为棱BC，CD 上的点，且 BD平面 AEF（1）求证：EF平面 ABD；（2）若 BDCD，AE平面 BCD，求证：平面 AEF平面 ACDA
6、CBA1B1C1D（第 10 题图）AB CFED（第 15 题图）16 （2017 南京三模） （本小题满分 14 分）已知向量 a(2cos，sin 2)，b(2sin，t)，(0， )2（1）若 ab( ，0)，求 t 的值；25（2）若 t1，且 a b1，求 tan(2 )的值417 （2017 南京三模） （本小题满分 14 分）在一水域上建一个演艺广场演艺广场由看台，看台，三角形水域 ABC，及矩形表演台 BCDE 四个部分构成（如图） 看台，看台是分别以 AB，AC 为直径的两个半圆形区域，且看台的面积是看台的面积的 3 倍；矩形表演台 BCDE 中，CD10 米；三角形水域
7、ABC 的面积为 400 平方米设3BAC （1）求 BC 的长（用含 的式子表示） ；（2）若表演台每平方米的造价为 0.3 万元，求表演台的最低造价CBA水域看台表演台看台DE（第 17 题图）18 （2017 南京三模） （本小题满分 16 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 1(ab0)的右顶点和上顶点分别为 A，B，M 为线段 AB 的中点，x2a2 y2b2且 b2OM AB 32（1）求椭圆的离心率；（2）已知 a2，四边形 ABCD 内接于椭圆，ABDC记直线 AD，BC 的斜率分别为k1，k 2，求证：k 1k2 为定值xyOCBDMA（第 18 题图）19 （20
8、17 南京三模） （本小题满分 16 分）已知常数 p0，数列a n满足 an1 | pa n|2 anp，nN *（1）若 a11，p1，求 a4 的值；求数列a n的前 n 项和 Sn（2）若数列a n中存在三项 ar，a s，a t (r，s，t N *，r st )依次成等差数列，求 的取a1p值范围20 （2017 南京三模） （本小题满分 16 分）已知 R ，函数 f (x)e xex(xlnxx1) 的导函数为 g(x)（1）求曲线 yf ( x)在 x1 处的切线方程；（2）若函数 g (x)存在极值，求 的取值范围；（3）若 x1 时，f ( x)0 恒成立，求 的最大值南
9、京市 2017 届高三第三次模拟考试数学参考答案及评分标准一 、 填 空 题 （ 本 大 题 共 14 小 题 ， 每 小 题 5 分 ， 计 70 分 .）12 2 3 41 56.8 6238 57 8 98 10 11 12332 12 13 1 5213 ，0 1427，3065二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）15 （本小题满分 14 分）证明：（1）因为 BD平面 AEF，BD平面 BCD，平面 AEF平面 BCDEF，所以 BDEF 3 分因为 BD平面 ABD，EF平面 ABD，所以 EF平面 ABD 6 分（2）因为 A
10、E平面 BCD，CD平面 BCD，所以 AECD 8分因为 BDCD，BDEF ，所以 CDEF， 10 分又 AEEFE，AE平面 AEF，EF平面 AEF，所以 CD平面 AEF 12 分又 CD平面 ACD，所以平面 AEF平面 ACD 14 分16 （本小题满分 14 分）解：（1）因为向量 a(2cos，sin 2)，b(2sin，t )，且 ab( ，0)，所以 cossin ，t sin 2 2 分25 15由 cossin 得 (cossin )2 ，即 12sin cos ，从而 2sincos 15 125 125 2425所以(cossin )212sin cos 因为
11、(0， )，所以 cossin 54925 2 75分所以 sin ，从而 tsin 2 7 分(cos sin) (cos sin)2 35 925（2）因为 t1，且 a b1，所以 4sincossin 21，即 4sincoscos 2因为 (0 ， )，所以 cos0，从而 tan 9 分2 14所以 tan2 11 分2tan1 tan2 815从而 tan(2 ) 14 分4 23717 （本小题满分 14 分） 解：（1）因为看台的面积是看台的面积的 3 倍，所以 AB AC3在ABC 中，S ABC ABACsin400 ，所以 AC2 3 分12 3 800sin由余弦定理
12、可得 BC2AB 2AC 22ABAC cos，4AC 22 AC2 cos(42 cos) 3 3，800sin即 BC 40 所以 BC40 ，(0， ) 7 分（2）设表演台的总造价为 W 万元因为 CD10m，表演台每平方米的造价为 0.3 万元，所以 W3BC120 ，(0，) 9 分记 f() ，(0，)则 f () 11 分由 f ()0，解得 当 (0 ， )时，f ()0；当 ( ，)时，f ( )06 6 6故 f()在(0， )上单调递减，在( ，)上单调递增，从而当 时，f ()取得最小值，最小6 6 6值为 f( )1 6所以 Wmin120(万元) 答：表演台的最低
13、造价为 120 万元 14 分18 （本小题满分 16 分）解：（1）A( a， 0)，B(0，b)，由 M 为线段 AB 的中点得 M( ， )所以 ( ， )，a2 b2 OM a2 b2(a，b) AB 因为 b2，所以( ， )(a，b) b2，OM AB 32 a2 b2 a22 b22 32整理得 a24b 2，即 a2b 3 分因为 a2b 2c 2，所以 3a24c 2，即 a2c所以椭圆的离心率 e 5 3ca分（2）方法一：由 a2 得 b1，故椭圆方程为 y 21 x24从而 A(2，0) ， B(0，1)，直线 AB 的斜率为 7 分12因为 ABDC，故可设 DC 的
14、方程为 y xm 设 D(x1，y 1)，C (x2，y 2)联立12消去 y，得 x22mx2m 220，所以 x1x 22m ，从而 x12m x 2 9 分直线 AD 的斜率 k1 ，直线 BC 的斜率 k2 ， 11 分y1x1 2 y2 1x2所以 k1k2 ，14即 k1k2 为定值 16 分14方法二：由 a2 得 b1，故椭圆方程为 y 21 x24从而 A(2，0) ， B(0，1)，直线 AB 的斜率为 7 分12设 C(x0，y 0)，则 y 021因为 ABCD，故 CD 的方程为 y (xx 0)y 0x024 12联立 消去 y，得 x2(x 0 2y0)x2x 0
15、y00，解得 xx 0（舍去）或 x2y 0所以点 D 的坐标为(2y 0， x0) 13 分12所以 k1k2 ，即 k1k2 为定值 16 分y0 1x0 14 1419 （本小题满分 16 分）解：（1）因为 p1，所以 an1 |1a n|2 a n1 因为 a11，所以 a2|1a 1|2 a 111，a 3|1a 2|2 a 213，a4|1 a3|2 a319 3 分 因为 a21，a n1 |1a n|2 a n1，所以当 n2 时， an1，从而 an1 |1 an|2 a n1 an12 a n13a n，于是有 an3 n2 (n2) 5 分当 n1 时，S 11；当 n
16、2 时，S n1a 2a 3a n1 1 3n 11 3 3n 1 32所以 Sn 即 Sn ，nN * 8 分3n 1 32（2）因为 an1 a n|pa n| anppa na np2 p 0，所以 an1 a n，即a n单调递增 10 分（i）当 1 时，有 a1p，于是 ana 1p，a1p所以 an1 |p an|2 a np an p2 a np3a n，所以 an3 n1 a1若a n中存在三项 ar，a s，a t (r，s，tN *，rst)依次成等差数列，则有 2 asa ra t，即 23s1 3 r1 3 t1 （*） ，因为 st 1，所以 23s1 3s3 t1
17、 3 r1 3 t1 ，即23（*）不成立故此时数列a n中不存在三项依次成等差数列 12 分（ii）当1 1 时，有 pa 1p此时 a2 |pa 1|2 a1pp a12 a1pa1pa 12 pp，于是当 n2 时，a na 2p，从而 an1 |pa n|2 a np a n p2 a np3a n所以 an3 n2 a23 n2 (a12 p) (n2) 若a n中存在三项 ar，a s，a t (r，s，tN *，rst)依次成等差数列，同（i）可知，r1，于是有 23s2 (a12 p)a 13 t2 (a12p)因为 2s t1，所以 23 s2 3 t2 3s 3t1 0因为
18、 23s2 3 t2 是整数，所以a1a1 2 p 29 131，a1a1 2 p于是 a1a 12p，即 a1p，与pa 1p 相矛盾故此时数列a n中不存在三项依次成等差数列 14 分（iii ）当 1 时，则有 a1pp，a 1p0，于是 a2| pa 1|2a 1ppa 12 a1pa1pa 12p，a3|p a2|2a 2p|pa 1| 2a15ppa 12a 15 pa 14p，此时有 a1，a 2，a 3 成等差数列综上可知： 1 16 分a1p20 （本小题满分 16 分）解：（1）因为 f(x)e xeln x，所以曲线 yf ( x)在 x1 处的切线的斜率为 f(1)0，
19、又切点为(1，f (1)，即(1，0)，所以切线方程为 y0 2 分（2）g (x) e xe lnx ，g(x)e x x当 0 时，g(x)0 恒成立，从而 g (x)在(0，) 上单调递增，故此时 g (x)无极值 4 分当 0 时，设 h(x)e x ，则 h(x)e x 0 恒成立，x x2所以 h(x)在(0，)上单调递增 6 分当 0e 时，h(1)e0，h( )e e0，且 h(x)是(0，)上的连续函数，e因此存在唯一的 x0( ，1)，使得 h(x0)0e当 e 时，h(1)e0，h()e 10，且 h(x)是(0 ， )上的连续函数，因此存在唯一的 x01 ，) ，使得
20、h(x0)0故当 0 时，存在唯一的 x00，使得 h(x0)0 8 分且当 0xx 0 时，h(x )0，即 g(x)0，当 xx 0 时，h(x) 0，即 g(x)0，所以 g (x)在(0，x 0)上单调递减，在(x 0，) 上单调递增，因此 g (x)在 xx 0 处有极小值所以当函数 g (x)存在极值时， 的取值范围是(0 ，) 10 分（3）g (x) f(x )e xe lnx，g(x)e x x若 g(x)0 恒成立，则有 xex 恒成立设 (x)xe x(x1)，则 (x)(x1) e x0 恒成立，所以 (x)单调递增，从而 (x)(1)e，即 e于是当 e 时，g (x )在1，) 上单调递增，此时 g (x)g (1)0，即 f(x)0，从而 f (x)在1，) 上单调递增所以 f (x)f (1)0 恒成立 13 分当 e 时，由（2）知，存在 x0(1 ，)，使得 g (x)在(0，x 0)上单调递减，即 f(x)在(0 ，x 0)上单调递减所以当 1xx 0 时，f(x )f (1)0，于是 f (x)在1，x 0)上单调递减，所以 f (x0)f (1)0这与 x1 时，f ( x)0 恒成立矛盾因此 e，即 的最大值为 e 16 分
