1、1第三章 数系的扩充与复数的引入章末复习学习目标 1.掌握复数的有关概念及复数相等的充要条件.2.理解复数的几何意义.3.掌握复数的相关运算1复数的有关概念(1)复数的概念：形如 a bi(a， bR)的数叫做复数，其中 a， b 分别是它的实部和虚部若 b0，则 a bi 为实数，若 b0，则 a bi 为虚数，若 a0 且 b0，则 a bi 为纯虚数(2)复数相等： a bi c dia c 且 b d(a， b， c， dR)(3)共轭复数： a bi 与 c di 共轭 a c， b d0( a， b， c， dR)(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 x 轴叫做实
2、轴， y 轴叫做虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数(5)复数的模：向量 的模叫做复数 z a bi 的模，记作| z|或| a bi|，即| z| a bi|OZ (a， bR)a2 b22复数的几何意义(1)复数 z a bi 复平面内的点 Z(a， b)(a， bR) 一 一 对 应 (2)复数 z a bi(a， bR) 平面向量 . 一 一 对 应 OZ 3复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设 z1 a bi， z2 c di(a， b， c， dR)，则加法： z1 z2( a bi)( c di)( a c)( b d
3、)i；减法： z1 z2( a bi)( c di)( a c)( b d)i；乘法： z1z2( a bi)(c di)( ac bd)( ad bc)i；2除法： i(c di0)z1z2 a bic di a bic dic dic di ac bdc2 d2 bc adc2 d23(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任意 z1， z2， z3C，有 z1 z2 z2 z1，( z1 z2) z3 z1( z2 z3).类型一 复数的概念例 1 已知复数 z a2 a6 i，分别求出满足下列条件的实数 a 的值：a2 2a 15a2 4(1)z 是实数；(2) z
4、是虚数解 由 a2 a60，解得 a2 或 a3.由 a22 a150，解得 a5 或 a3.由 a240，解得 a2.(1)由 a22 a150 且 a240，得 a5 或 a3，当 a5 或 a3 时， z 为实数(2)由 a22 a150 且 a240，得 a5 且 a3 且 a2，当 a5 且 a3 且 a2 时， z 是虚数引申探究 本例中条件不变，若 z 为纯虚数，是否存在这样的实数 a，若存在，求出 a，若不存在，请说明理由解 由 a2 a60，且 a22 a150，且 a240，得 a 无解，不存在实数 a，使 z 为纯虚数反思与感悟 (1)正确确定复数的实、虚部是准确理解复数
5、的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提(2)两复数相等的充要条件是复数问题转化为实数问题的依据4跟踪训练 1 (1)已知 i 是虚数单位，若( mi) 234i，则实数 m 的值为_(2)下列说法：复数 z 是实数的充要条件是 z ；z若( x24)( x23 x2)i 是纯虚数，则实数 x2；实数集是复数集的真子集其中正确说法的个数是_考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 (1)2 (2)2解析 (1)( mi) 2( m21)2 mi34i，由复数相等得Error!解得 m2.(2)设 z a bi， a， bR，则 a bi，zz 时，得 b0， z
6、 为实数； z 为实数则 b0，有 z 成立，所以正确；对于，若z zx2，则 x240， x23 x20，此时( x24)( x23 x2)i0，不是纯虚数，故错误；显然正确类型二 复数的运算例 2 已知 z 是复数， z3i 为实数， 为纯虚数(i 为虚数单位)z 5i2 i(1)求复数 z；(2)求 的模z1 i解 (1)设 z a bi(a， bR)， z3i a( b3)i 为实数，可得 b3.又 为纯虚数，a 2i2 i 2a 2 a 4i5 a1，即 z13i.(2) 2i，z1 i 1 3i1 i 1 3i1 i1 i1 i 4 2i2 |2i| .|z1 i| 22 12 5
7、5反思与感悟 复数的综合运算中会涉及模、共轭及分类等，求 z 时要注意是把 z 看作一个整体还是设为代数形式应用方程思想当 z 是实数或纯虚数时注意常见结论的应用跟踪训练 2 已知 z1， z2为复数，(3i) z1为实数， z2 ，且| z2|5 ，求 z2.z12 i 2解 z1 z2(2i)，(3i) z1 z2(2i)(3i) z2(55i)R，因为| z2|5 ，所以| z2(55i)|50，2所以 z2(55i)50，所以 z2 (55i)505 5i 101 i类型三 复数的几何意义例 3 (1)已知等腰梯形 OABC 的顶点 A， B 在复平面上对应的复数分别为12i，26i，
8、 OA CB，求顶点 C 所对应的复数 z.(2)已知复数 z1， z2满足| z1|3，| z2|5，| z1 z2| ，求| z1 z2|的值10解 (1)设 z x yi， x， yR，则顶点 C 的坐标为( x， y)如图，因为 OA BC，所以 kOA kBC， OC BA，所以Error!解得Error! 或Error!因为 OA BC，所以Error!舍去，故 z5.(2)如图所示，设复数 z1， z2的对应点为 A， B，以 ， 为邻边作 OACB，OA OB 则 对应的复数为 z1 z2，OC 所以| |3，| |5，OA OB 6| | .BA 10所以 cos AOB .
9、|OA |2 |OB |2 |BA |22|OA |OB | 32 52 10235 45所以 cos OBC ，45又| | |3，BC OA 所以| z1 z2| .|OB |2 |BC |2 2|OB |BC |cos OBC 58反思与感悟 (1)任意一个复数都对应着一个点和一个向量，因而复数的加减运算可以转化为总的坐标运算或向量运算(2)求复数模可以计算它对应的向量的模，也可以计算它对应的点到原点的距离跟踪训练 3 已知复平面内点 A， B 对应的复数分别是z1sin 2 i， z2cos 2 icos2 ，其中 (0，)，设 对应的复数为 z.AB (1)求复数 z；(2)若复数
10、z 对应的点 P 在直线 y x 上，求 的值12解 (1)由题意得 z z2 z1cos 2 sin 2 (cos2 1)i12sin 2 i.(2)由(1)知，点 P 的坐标为(1，2sin 2 )由点 P 在直线 y x 上，得2sin 2 ，12 12sin 2 ，又 (0，)，sin 0，14因此 sin ， 或 .12 6 561若复数 zcos i(i 是虚数单位)是纯虚数，则 tan _.513 (1213 sin )答案 125解析 复数 zcos i 是纯虚数，513 (1213 sin )Error! Error!7则 tan .sincos 1252设 z ，则 z 的
11、共轭复数为_10i3 i答案 13i解析 由 z 13i，10i3 i 10i3 i3 i3 i得 13i.z3若复数 z 满足(34i) z|43i|，则 z 的虚部为_答案 45解析 z i.|4 3i|3 4i 53 4i 35 454若 z 是复数，且(3 z)i1(i 为虚数单位)，则 z_.答案 3i解析 z 33i.1i5复平面内点 A， B， C 对应的复数分别为 i,1,42i，由 A B C D 按逆时针顺序作ABCD，则| |_.BD 答案 13解析 如图，设 D(x， y)， F 为 ABCD 的对角线的交点，则点 F 的坐标为 ，(2，32)所以Error! 即Err
12、or!所以点 D 对应的复数为 z33i.因为 ，BD OD OB 所以 表示的复数为 33i123i，BD 所以| | .BD 131复数的四则运算按照运算法则和运算律进行运算，其中除法运算的关键是将分母实数8化2复数的几何意义是数形结合思想在复数中的一大体现3利用两个复数相等可以解决求参数值(或范围)和复数方程等问题.一、填空题1已知 f(x) x31，设 i 是虚数单位，则复数 的虚部是 _fii答案 1解析 f(i)i 31i1， 1i，虚部是 1.fii i 1i i2 i 1 1 i 12若复数 (aR，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数 a_.a 3i1 2i答案 6解析 i.a
13、3i1 2i a 3i1 2i1 2i1 2i a 6 3 2ai5 a 65 3 2a5若复数是纯虚数，则 0，且 0，a 65 3 2a5所以 a6.3复数 的虚部是_20171 i答案 20172解析 i，其虚部是 .20171 i 20171 i1 i1 i 20172 20172 201724若复数 z i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则 tan 的值为(cos 45) (sin 35) ( 4)_考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 7解析 复数 z i 是纯虚数，(cos 45) (sin 35)cos 0，sin 0，45 359cos ，sin ，tan ，45 3
14、5 34则 tan 7.( 4) tan 11 tan 34 11 345若 i 为虚数单位，则 _.1 2i1 i2答案 1 i12解析 1 2i1 i2 1 2i1 2i i2 1 2i2i 1 2ii 2 i 2 21 i.126下列说法中正确的是_(填序号)若(2 x1)i y(3 y)i，其中 xR， y CR，则必有 Error!2i1i；若一个数是实数，则其虚部不存在；若 z ，则 z31 对应的点在复平面内的第一象限1i考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 解析 由 y CR，知 y 是虚数，则Error!不成立，故错误；两个不全为实数的复数不能比较大小，故错误；实数的虚
15、部为 0，故错误；中 z31 1i1，对应点在第一1i3象限，故正确7设复数 z 满足 i(z4)32i(i 是虚数单位)，则 z 的虚部为_答案 3解析 由 i(z4)32i 得 z 4 4 423i463i.3 2ii 3 2iii2 3i 2 18. _.|2i 4 3i1 i3 i3 i1 2i|答案 52解析 .|2i 4 3i1 i3 i3 i1 2i| |2i| 4 3i|1 i|3 i|3 i|1 2i| 252225 52109已知方程 x2(4i) x4 ai0( aR)有实根 b，且 z a bi，则复数 z_.答案 22i解析 x2(4i) x4 ai0( aR)有实根
16、 b， b2(4i) b4 ai0，即b24 b4( a b)i0.根据复数相等的充要条件，得 b24 b40 且 a b0，解得a2， b2， z22i.10设复数 z 满足| z|1 且 ，则| z|_.|z1z| 52答案 12解析 因为 ，即| z|21 |z|，所以| z| .|z1z| |zz 1|z| 52 52 1211计算：(12i)(23i)(34i)(45i)(20082009i)(20092010i)(20102011i)_.答案 10051005i解析 原式(1234200820092010)(2345200920102011)i10051005i.二、解答题12已知
17、复数 z1满足 z12(1i)i，复数 z2的虚部为 2，且 z1z2是实数，求 z2的值解 由 z12(1i)ii1， z12(i1)i1， z2的虚部为 2，可设 z2 a2i( aR)又 z1z2(i1)( a2i)( a2)(2 a)i 为实数，2 a0，即 a2，因此 z222i.13已知复数 z(12i)(2i) .3 i1 i(1)计算复数 z；(2)若 z2(2 a1) z(1i) b160，求实数 a， b 的值解 (1) z(12i)(2i) 43i 43i(2i)62i.3 i1 i1 i1 i 4 2i2(2)(62i) 2(2 a1)(62i)(1i) b160，32
18、24i6(2 a1)2(2 a1)i b bi160，112212 a b(264 a b)i0，Error! 解得Error!三、探究与拓展14已知 f(x)Error!则 f(f(1i)_.答案 3解析 f(1i)(1i)(1i)2， f(f(1i) f(2)123.15已知 1i 是方程 x2 bx c0( b， c 为实数)的一个根(1)求 b， c 的值；(2)试判断 1i 是不是方程的根解 (1)1i 是方程 x2 bx c0 的根，且 b， c 为实数，(1i) 2 b(1i) c0，即 b c( b2)i0，Error! 解得Error!(2)由(1)知方程为 x22 x20，把 1i 代入方程左边得(1i) 22(1i)20，1i 也是方程的根
