1、1一 比较法学习目标 1.理解比较法证明不等式的理论依据.2.掌握利用比较法证明不等式的一般步骤.3.体会比较法所体现的转化与化归的数学思想方法知识点一 作差比较法思考 比差法的理论依据是什么？答案 a ba b0； a ba b0； a ba b0.梳理 作差比较法(1)作差比较法的理论依据： a b0 a b； a b0 a b； a b0 a b.(2)作差比较法解题的一般步骤：作差；变形整理；判定符号；得出结论其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定与 0 的大小关系，常用的方法：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等知识点二 作商比较法思考 1 对于两个正数 a，
2、 b，若 1，能够判断 a， b 的大小吗？ab答案 能，根据不等式的性质知，对于正数 a， b， 1 a b.ab思考 2 类比作差比较法，请谈谈作商比较法答案 对于正数 a， b， 1 a b； 1 a b； 1ab ab aba b.梳理 (1)作商比较法：若 a0， b0，要证明 a b，只要证明 1；要证明 b a，只要ab证明 1.这种证明不等式的方法，叫做作商比较法ab(2)作商比较法的理论依据是不等式的基本性质： b0，若 1，则 a b；若 1，则 a b；ab ab b0，若 1，则 a b；若 1，则 a b.ab ab(3)作商比较法解题的一般步骤：判定 a， b 符号
3、；作商；变形整理；判定与 1 的大小关系；得出结论.2类型一 作差比较法证明不等式例 1 已知正数 a， b， c 成等比数列，求证： a2 b2 c2( a b c)2.证明 因为正数 a， b， c 成等比数列，所以 b2 ac， b ，ac又( a2 b2 c2)( a b c)2 a2 b2 c2 a2 b2 c22 ab2 ac2 bc2 ab4 b22 bc2 b(a2 b c)2 b( )20，a c所以 a2 b2 c2( a b c)2.反思与感悟 作差比较法的关键是作差后的变形，一般通过分解因式或将差式转化为积商式，以便与 0 比较大小跟踪训练 1 已知 a1，求证： .a
4、 1 a a a 1证明 ( )( )a 1 a a a 1 1a 1 a 1a a 1 0，a 1 a 1a 1 aa a 1 .a 1 a a a 1类型二 作商比较法证明不等式例 2 已知 a0， b0，求证： aabb 2ab.证明 因为 aabb0， 20，所以 2 2ab.aabb当 a b 时，显然有 1；当 a b0 时， 1， 0，ab a b2所以由指数函数的单调性可知，2ab1；3当 b a0 时，0 1， 0，ab a b2所以由指数函数的单调性可知，2ab1.综上可知，对任意实数 a， b，都有 aabb 2ab.引申探究1若 a0， b0，求证： 2ab abba.
5、证明 因为 abba0， 0，所以22.baabba所以当 a b 时，显然有21;ba当 a b0 时， 1， 0，ab b a2由指数函数的单调性，可得2ab 01；(ab)当 b a0 时，0 1， 0，ab b a2由指数函数的单调性，可得2b 01，(ab)综上可知，对任意 a0， b0，都有 abba 2ab.42当 a0， b0 时，比较 aabb与 abba的大小解 由例 2 和探究 1 知， aabb 2 abba.反思与感悟 作商比较法证明不等式的一般步骤(1)作商：将不等式左右两边的式子进行作商(2)变形：化简商式到最简形式(3)判断：判断商与 1 的大小关系，也就是判断
6、商大于 1 或小于 1 或等于 1.(4)得出结论跟踪训练 2 已知 a0， b0，求证： .ab ba a b证明 ab baa baba bbaa b aab b bab a aab a2 bab b22ab a bab .a2 b2 a bab2ab a bab又 a2 b22 ab， 1，a2 b2 a bab2ab a bab 2ab a bab2ab a bab当且仅当 a b0 时取等号， .ab ba a b类型三 比较法的应用例 3 证明：若 a， b， m 都是正数，并且 a b，则 (糖水不等式)a mb m ab证明 .a mb m ab mb abb m a， b，
7、m 都是正数，且 a b， b a0， b(b m)0， 0，即 0，mb abb m a mb m ab .a mb m ab反思与感悟 比较法理论上便于理解，实用时便于操作，故应用比较广泛跟踪训练 3 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度 m 行走，另一半以速度 n 行走；乙有一半路程以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行走如果m n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？5解 设从出发地点至指定地点的路程为 s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1， t2，依题意有m n s， t2.t12 t12 s2m s2n t1 ， t2 ，2sm n sm n2mn
8、t1 t2 2sm n sm n2mn .s4mn m n22mnm n sm n22mnm n其中 s， m， n 都是正数，且 m n， t1 t20，即 t1 t2.从而知甲比乙先到达指定地点1已知不等式： x232 x(xR )； a5 b5 a3b2 a2b3(a， bR )； a2 b22( a b1)其中正确的个数为( )A0B1C2D3答案 C解析 x232 x( x1) 220，故正确；取 a b1，则 a5 b52， a3b2 a2b32，故不正确； a2 b22( a b1)( a1)2( b1) 20，故正确2. 1 成立的充要条件是( )1aA a1 B a0C a0
9、 D a1 或 a0答案 D解析 1 10 0 a0 或 a1.1a 1a 1 aa3若 x， yR，记 w x23 xy， u4 xy y2，则( )A w u B w uC w u D无法确定答案 C解析 w u x2 xy y2 2 0，(xy2) 3y24 w u.64 a， b 都是正数， P ， Q ，则 P， Q 的大小关系是( )a b2 a bA P Q B P QC P Q D P Q答案 D解析 a， b 都是正数， P0， Q0， P2 Q2 2( )2(a b2 ) a b 0.(当且仅当 a b 时取等号) a b22 P2 Q20， P Q.5设 a b0，求证：
10、 .a2 b2a2 b2 a ba b证明 方法一 a2 b2a2 b2 a ba ba ba b2 a2 b2a2 b2a b 0( a b0)，2aba ba2 b2a b原不等式成立方法二 a b0， a2 b20.左边0，右边0. 1 1.原不等式成立左 边右 边 a b2a2 b2 2aba2 b21作差比较法证明不等式的技巧(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断差式的符号，常将差式
11、变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的差式是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号2适用作商比较法证明的不等式的特点适合欲证的不等式两端是乘积形式、幂指数的不等式或某些不同底数对数值的大小比较7一、选择题1设 a， bR ，且 a b，若 P ， Q a b，则( )a2b b2aA P Q B P QC P Q D P Q答案 B解析 P Q a b .因为 a， bR ，且 a b，所a2b b2a a2 b2b b2 a2a a ba b2ab以 P Q0.2已知 a b1，则 与 的大小关系为( )1a 1 1b 1A. B. 1a 1 1b 1 1a 1 1b 1C. D.
12、 1a 1 1b 1 1a 1 1b 1答案 B解析 0，1a 1 1b 1 b aa 1b 1 .1a 1 1b 13已知 a b0， c d0， m ， n ，则 m 与 n 的大小关系是( )ac bd a bc dA m n B m nC m n D m n答案 C解析 m2 n2( ac2 bd)( ac bd ad bc)abcd ad2 bc( )20，abcd ad bc m2 n2.又 m0， n0， m n.4当 a b0 时，下列关系式中成立的是( )A. Blg b2lg a2a2 b2C. 1 D. 2 2ba (12) (12)答案 B解析 方法一 取特殊值 a4，
13、 b1，则选项 A，C，D 不正确，选项 B 正确，故选 B.8方法二 a b0， a2 b2.而函数 ylg x(x0)为增函数，lg b2lg a2，B 项正确5已知 a0，且 a1， Plog a(a31)， Qlog a(a21)，则 P， Q 的大小关系是( )A P Q B P QC P Q D大小不确定答案 A解析 P Qlog a(a31)log a(a21)log a .a3 12 1当 0 a1 时，0 a31 a21，则 0 1，a3 1a2 1log a 0，即 P Q0. P Q.a3 12 1当 a1 时， a31 a210， 1，a3 1a2 1log a 0，即
14、 P Q0. P Q.a3 12 1综上可知， P Q.6已知 a b0 且 ab1，设 c ， Plog ca， Nlog cb， Mlog c(ab)，则( )2a bA P M N B M P NC N P M D P N M答案 A解析 令 a2， b ，则 c ，12 2a b 45则 Mlog c(ab)0， Plog 4520， Nlog 450，12 P M N.二、填空题7设 a b c0， x ， y ， z ，则 x， y， z 的a2 b c2 b2 c a2 c2 a b2大小关系为_答案 x y z解析 a b c0， x0， y0， z0.而 x2 y2 a2 b
15、22 bc c2( b2 c22 ac a2)2 bc2 ac2 c(b a)0，9 x2 y2，即 x y；又 y2 z2 b2( c a)2 c2( a b)22 ac2 ab2 a(c b)0， y z. x y z.8已知 a0,0 b1， a b ab，则 与 的大小关系是_1 a11 b答案 1 a11 b解析 a0,0 b1， a b ab，(1 a)(1 b)1 a b ab1.从而 1，1 a11 b 1 a1 b .1 a11 b9某家电厂家为了打开市场，促进销售，准备对其生产的某种型号的彩电进行降价销售，现有四种降价方案：(1)先降价 a%，再降价 b%；(2)先降价 b
16、%，再降价 a%；(3)先降价 %，再降价 %；a b2 a b2(4)一次性降价( a b)%.其中 a0， b0，且 a b，则上述四种方案中，降价幅度最小的是_答案 方案(3)解析 设降价前彩电的价格为 1，按四种方案降价后彩电的价格依次为 x1， x2， x3， x4，则 x1(1 a%)(1 b%)1( a b)% a%b%；x2(1 b%)(1 a%) x1；x3 1( a b)% 2；(1a b2 %)(1 a b2 %) (a% b%2 )x41( a b)%1( a b)% a%b% x1 x2.又 x3 x1 2 a%b%0，(a% b%2 ) x3 x1 x2 x4.故降
17、价幅度最小的是方案(3)三、解答题10设 a， b 为非负实数，求证： a3 b3 (a2 b2)ab证明 由 a， b 是非负实数，作差得10a3 b3 (a2 b2) a2 ( ) b2 ( )( )( )5( )5ab a a b b b a a b a b当 a b 时， ，a b从而( )5( )5，a b则( )( )5( )50；a b a b当 a b 时， ，从而( )5( )5，a b a b则( )( )5( )50，a b a b所以 a3 b3 (a2 b2)ab11已知 b， m1， m2都是正数， a b， m1 m2，求证： .a m1b m1 a m2b m2
18、证明 a m1b m1 a m2b m2a m1b m2 a m2b m1b m1b m2am2 bm1 am1 bm2b m1b m2 .a bm2 m1b m1b m2因为 b0， m10， m20，所以( b m1)(b m2)0.又 a b， m1 m2，所以 a b0， m2 m10，从而( a b)(m2 m1)0.于是 0，a bm2 m1b m1b m2所以 .a m1b m1 a m2b m212已知函数 f(x)| x1| x1|， P 为不等式 f(x)4 的解集(1)求 P；(2)证明：当 m， n P 时，| mn4|2| m n|.(1)解 f(x)| x1| x1
19、|Error!由 f(x)4，得 x2 或 x2.所以不等式 f(x)4 的解集 P x|x2 或 x2(2)证明 由(1)可知| m|2，| n|2，所以 m24， n24，( mn4) 24( m n)2( m24)(n24)0，11所以( mn4) 24( m n)2，所以| mn4|2| m n|.13若实数 x， y， m 满足| x m| y m|，则称 x 比 y 接近 m.对任意两个不相等的正数a， b，证明： a2b ab2比 a3 b3接近 2ab .ab证明 因为 a0， b0，且 a b，所以 a2b ab22 ab ， a3 b32 ab .ab ab所以 a2b a
20、b22 ab 0， a3 b32 ab 0.ab ab所以| a2b ab22 ab | a3 b32 ab |ab ab a2b ab22 ab a3 b32 abab ab a2b ab2 a3 b3 a2(b a) b2(a b)( a b)(b2 a2)( a b)2(a b)0，所以| a2b ab22 ab | a3 b32 ab |，ab ab所以 a2b ab2比 a3 b3接近 2ab .ab四、探究与拓展14已知 a2，求证：log a(a1)log (a1) a.证明 a2， a11，log a(a1)0，log(a1) a0.由于 log a(a1)log a(a1) 2logaa 1loga 1a logaa 1 logaa 12 2.logaa2 12 a2，0log a(a21)log aa22. 2 21.logaa2 12 (logaa22 )即 1.logaa 1loga 1alog (a1) a0，log a(a1)log (a1) a.
