1、12.2.1 综合法和分析法学习目标 1.结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法，即综合法和分析法.2.了解综合法和分析法的基本模式、思考过程及特点.3.掌握直接证明的一般步骤，会用综合法和分析法证明一些简单的问题.4.通过具体案例，体会数学证明的特点，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用知识点一 综合法思考 (1)综合法的推理过程是合情推理还是演绎推理？(2)综合法的思维过程是怎样的？综合法中每步推证的结论是已知(或上一结论)的充分条件还是必要条件？答案 (1)综合法的推理过程是演绎推理，因为综合法的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“
2、猜想” (2)综合法的思维过程是由已知走向求证，即从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，达到待征明的结论或需求的问题综合法中每步推证的结论是已知(或上一结论)的必要条件，综合法的每一步推证都是由“已知”推出“新结论” ，直至要证的结论，其实质是命题“pq”中已知 p 寻找 q，即寻找必要条件梳理 (1)定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法(2)综合法的框图表示 PQ1 Q1Q2 Q2Q3 QnQ(P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等， Q 表示所要证明的结论)知识点二 综合法的特点1从“已知”看“
3、可知” ，逐步推向“未知” ，由因导果，其逐步推理实质上是寻找它的必要条件2用综合法证明不等式，其证明步骤严谨、逐层递进、条理清晰、形式简洁知识点三 分析法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析证明过程有何特点？已知 a， b0，求证： .a b2 ab2证明：要证 ，a b2 ab只需证 a b2 ，ab只需证 a b2 0，ab只需证( )20，a b因为( )20 显然成立，所以原不等式成立a b答案 从结论出发开始证明，寻找使证明结论成立的充分条件，最终把要证明的结论变成一个明显成立的条件梳理 (1)定义：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判
4、定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明方法叫做分析法(2)分析法的框图表示 QP1 P1P2 P2P3 得 到 一 个 明 显 成 立 的 条 件知识点四 综合法与分析法的联系思考 (1)综合法和分析法的本质区别是什么？(2)在实际证题中，怎样选用综合法或分析法？答案 (1)综合法是由因导果法，每步寻找的是必要条件；而分析法是执果索因法，每步寻找的是充分条件(2)对于思路清楚，方向明确的题目，可直接使用综合法；对于复杂的题目，常把分析法和综合法结合起来，先用分析法去转化结论，得到中间结论 Q，再根据结论的特点去转化条件，得到中间结论 P.若 PQ，则结论得证在解题时常用
5、分析法来探寻思路，用综合法来书写求解过程梳理 综合法与分析法是直接证明的两种基本方法，两种方法各有优缺点：分析法是“执果索因” ，它的优点是利于思考，解题方向较为明确，容易寻找到解题的思路和方法，缺点是思路逆行，叙述较繁；综合法是“由因导果” ，它的优点是易于表述、条理清晰、形式简洁，能较简捷地解决问题，缺点是不便于思考实际证题时常常两法兼用，先用分析法探索证明途径，然后用综合法有条理地表述解题过程1综合法是执果索因的逆推证法( )2分析法就是从结论推向已知( )3分析法与综合法证明同一问题时，一般思路恰好相反，过程相逆( )3类型一 综合法命题角度 1 综合法在证明等式、不等式问题中的应用例
6、 1 若 1( a， b， x， y 为正实数，且 a b)，求证： x y( )2.ax by a b考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 x， y， a， b0，且 1，ax by x y( x y) a b a b2 a b2 ( )2，当且(ax by) yax xby yaxbxy ab a b仅当 时，等号成立yax xby反思与感悟 综合法证明不等式主要依据的是不等式的基本性质和已知的重要不等式，其中常用的有如下几个： a20( aR)；( a b)20( a， bR)，其变形有 a2 b22 ab，2 ab， a2 b2 ；若 a， b(0，)，则 ，特别是 2
7、.(a b2 ) a b22 a b2 ab ba ab跟踪训练 1 若 a， b， c 是不全相等的正数，求证：lg lg lg lgalg blg c.a b2 b c2 c a2考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 因为 a， b， c(0，)，所以 0， 0， 0.a b2 ab b c2 bc a c2 ac又上述三个不等式中等号不能同时成立，所以 abc 成立a b2 b c2 c a2上式两边同时取常用对数，得 lg lg(abc)，(a b2b c2c a2 )所以 lg lg lg lgalg blg c.a b2 b c2 c a2命题角度 2 综合法在立体
8、几何中的应用例 2 如图，在三棱柱 ABC A1B1C1中， AA1底面 ABC， AB AC， AC AA1， E， F 分别是棱4BC， CC1的中点(1)若线段 AC 上存在点 D 满足平面 DEF平面 ABC1，试确定点 D 的位置，并说明理由；(2)证明： EF A1C.考点 综合法及应用题点 利用综合法解决图形问题(1)解 点 D 是 AC 的中点，理由如下：平面 DEF平面 ABC1，平面 ABC平面 DEF DE，平面 ABC平面 ABC1 AB， AB DE，在 ABC 中， E 是 BC 的中点， D 是 AC 的中点(2)证明 在三棱柱 ABC A1B1C1中， AC A
9、A1，四边形 A1ACC1是菱形， A1C AC1， AA1底面 ABC， AB平面 ABC， AA1 AB，又 AB AC， AA1 AC A， AA1， AC平面 AA1C1C， AB平面 AA1C1C， A1C平面 AA1C1C， AB A1C. AB AC1 A， AB， AC1平面 ABC1， A1C平面 ABC1，又 BC1平面 ABC1， A1C BC1.又 E， F 分别为 BC， CC1的中点， EF BC1， EF A1C.反思与感悟 把立体几何中线面平行、垂直的位置关系判断融合在一起是立体几何新的命题方向解答这类问题首先要判断线线之间的位置关系，然后利用几何体的性质进行推
10、理或计算跟踪训练 2 如图所示，已知 AB平面 ACD， DE平面 ACD， ACD 为等边三角形，5AD DE2 AB， F 为 CD 的中点求证：(1) AF平面 BCE；(2)平面 BCE平面 CDE.考点 综合法及应用题点 利用综合法解决图形问题证明 如图，取 CE 的中点 G，连接 FG， BG.(1) F 为 CD 的中点， GF DE 且 GF DE.12 AB平面 ACD， DE平面 ACD， AB DE， GF AB.又 AB DE， GF AB.12四边形 GFAB 为平行四边形，则 AF BG. AF平面 BCE， BG平面 BCE， AF平面 BCE.(2) ACD 为
11、等边三角形， F 为 CD 的中点， AF CD. DE平面 ACD， AF平面 ACD， DE AF.又 CD DE D， CD， DE平面 CDE， AF平面 CDE. BG AF， BG平面 CDE.又 BG平面 BCE，平面 BCE平面 CDE.6类型二 分析法例 3 已知 a0，求证： a 2.a2 1a2 2 1a考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 要证 a 2，a2 1a2 2 1a只需要证 2 a .a2 1a2 1a 2因为 a0，故只需要证 2 2，(a2 1a2 2) (a 1a 2)即 a2 4 4 a22 2 2，1a2 a2 1a2 1a2 2(a 1
12、a)从而只需要证 2 ，a2 1a2 2(a 1a)只需要证 4 2 ，(a21a2) (a2 2 1a2)即 a2 2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立1a2反思与感悟 分析法是从“未知”看“需知” ，逐步靠拢“已知” ，综合法是从“已知”看“可知” ，逐步推向“未知” ，综合法的实质是分析法的逆过程利用分析法一定要注意证明命题的思维特点以及分析法步骤的特殊性，一定要恰当使用“要证” “只需证” “即证”等词语跟踪训练 3 已知函数 f(x)3 x2 x，证明：对任意 x1， x2R，均有 ffx1 fx22.(x1 x22 )考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 要证 f
13、，fx1 fx22 (x1 x22 )即证1 121233xxxx，即证12x( x1 x2)12x( x1 x2)，7只需证121233xx.由于 x1， x2R 时， 120,，所以由基本不等式知， 121233xx显然成立，故原结论成立.1设 a， b(0，)，且 a b， a b2，则必有( )A1 ab B ab2 ，ab所以 ab1，a2 b22 a b2 2ab2所以 1ab.a2 b222函数 f(x) (00，排除 D，故选 C.3.如图所示，在直四棱柱 ABCD A1B1C1D1中，当底面四边形 ABCD 满足条件_时，有A1C B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，
14、不必考虑所有可能的情形)考点 分析法及应用题点 寻找结论成立的充分条件答案 对角线互相垂直(答案不唯一)解析 要证 A1C B1D1，只需证 B1D1垂直于 A1C 所在的平面 A1CC1，因为该四棱柱为直四棱柱，所以 B1D1 CC1，故只需证 B1D1 A1C1即可4在锐角 ABC 中， 3 ， x y ，则 _.CM MB AM AB AC xy考点 综合法及应用题点 利用综合法解决图形问题答案 3解析 由题设可得 3( )，CA AM AB AM 即 4 3 ，AM AB AC 亦即 ，则 x ， y .AM 34AB 14AC 34 14故 3.xy5已知 a， b， c 都为正实数
15、，求证： .a2 b2 c23 a b c3考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 要证 ，a2 b2 c23 a b c39只需证 2，a2 b2 c23 (a b c3 )只需证 3(a2 b2 c2) a2 b2 c22 ab2 bc2 ca，只需证 2(a2 b2 c2)2 ab2 bc2 ca，只需证( a b)2( b c)2( c a)20，而这是显然成立的，所以 成立a2 b2 c23 a b c31综合法证题是从条件出发，由因导果；分析法是从结论出发，执果索因2分析法证题时，一定要恰当地运用“要证” 、 “只需证” 、 “即证”等词语3在解题时，往往把综合法和分析法
16、结合起来使用一、选择题1若实数 x， y 满足不等式 xy1， x y0，则( )A x0， y0 B x0， y0考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 A解析 Error! Error!2在非等边三角形 ABC 中， A 为钝角，则三边 a， b， c 满足的条件是( )A b2 c2 a2 B b2 c2a2C b2 c2 a2 D b2 c2Q B P QC P0， Q0， Pb0 时，才有 a2b2，只需证 B 是 sinAsinB 的( )A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件考点 综合法及应用题点 利用综合法解决图形问题答案 C解析 由
17、正弦定理知 2 R，又 A， B 为三角形的内角，asinA bsinBsin A0，sin B0，sin AsinB2RsinA2RsinBabAB.6若 loga(3a1)0，则 a 的取值范围是( )A a1 D. 113 23考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题答案 D解析 log a(3a1)0，log a(3a1)log a1，11当 a1 时，则有 3a11，解得 a ， a1；23当 01 或 1 时， f(x) 单调递减，其图象在第一象限，故选 B.1x 1二、填空题8一个直六棱柱的底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长为 3，则它的外接球的表面积为_考点 综合法及
18、应用题点 综合法解决图形问题答案 25解析 由直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线知，该直六棱柱的外接球的直径为 5，其外接球的表面积为 4 225.42 32 (52)9在 ABC 中， C60， a， b， c 分别为 A， B， C 的对边，则12 _.ab c bc a考点 综合法及应用题点 利用综合法解决图形问题答案 1解析 由余弦定理得， c2 a2 b22 abcosC， c2 a2 b2 ab， ，ab c ba c a2 ac b2 bcb ca c a2 b2 ac bcab ac bc c2将式代入式，得 1.ab c ba c10与圆 C： x2 y22 x4
19、 y0 外切于原点，且半径为 2 的圆的标准方程为5_考点 综合法及应用题点 利用综合法解决图形问题答案 ( x2) 2( y4) 220解析 由题意知所求圆的圆心在直线 y2 x 上，所以可设所求圆的圆心为( a，2 a)(a0， b0 且 a b1，求证： 2.a 12 b 12考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 要证 2，a 12 b 12只需证 a b 2 4，12 12 (a 12)(b 12)又 a b1，即只需证明 1.(a 12)(b 12)而 (a 12)(b 12) (a12) (b 12)213 1 成立，1 12 122所以 2 成立a 12 b 1212
20、求证：当 x0 时，sin x x.考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 要证当 x0 时，sin x x，只需证当 x0 时，sin x x0 即可设 f(x)sin x x，则即证当 x0 时， f(x)max0. f(x)sin x x， f( x)cos x1，当 x0 时， f( x)0， f(x)在0，)上单调递减，当 x0 时， f(x)max f(0)0，当 x0 时，sin x x0 成立，原不等式成立13设数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 Sn2 an2 n1 (nN *)，求 a1的值，并证明数列是等差数列an2n考点 综合法及应用题点 综合法解决数列问
21、题解 当 n1 时， a1 S12 a12 2，解得 a14.证明：由 Sn2 an2 n1 ，得 Sn1 2 an1 2 n(n2)，两式相减，得 an2 an2 an1 2 n(n2)，即 an2 an1 2 n(n2)，于是 1( n2)an2n an 12n 1又 2，a121 42所以数列 是首项为 2，公差为 1 的等差数列an2n四、探究与拓展14若对 x， y1,2， xy2，总有不等式 2 x 成立，则实数 a 的取值范围是a4 y_考点 综合法及应用14题点 综合法解决不等式问题答案 (，0解析 由题意知 a(2 x)(4 y)恒成立，则只需 a(2 x)(4 y)min，
22、(2 x)(4 y)84 x2 y xy8(4 x2 y)210(4 x2 y)10 .(4x4x)令 f(x)10 ， x1,2，(4x4x)则 f( x) ， f( x)0，(44x2) 41 x2x2故 f(x)在 x1,2上是减函数，所以当 x2 时 f(x)取最小值 0，即(2 x)(4 y)的最小值为 0，所以 a0.15.如图所示，在直三棱柱 ABC A1B1C1中， E， F 分别是 A1B， A1C 的中点，点 D 在 B1C1上，A1D B1C.求证：(1) EF平面 ABC；(2)平面 A1FD平面 BB1C1C.考点 综合法及应用题点 综合法解决图形问题证明 (1)由 E， F 分别是 A1B， A1C 的中点知， EF BC. EF平面 ABC， BC平面 ABC， EF平面 ABC.(2)由三棱柱 ABC A1B1C1为直三棱柱知， CC1平面 A1B1C1.又 A1D平面 A1B1C1， A1D CC1.又 A1D B1C， CC1 B1C C， CC1， B1C平面 BB1C1C， A1D平面 BB1C1C.又 A1D平面 A1FD，平面 A1FD平面 BB1C1C.
