1、12.2.1 直接证明学习目标 1.了解直接证明的特点.2.掌握综合法、分析法的思维特点.3.会用综合法、分析法解决问题知识点一 直接证明思考 阅读下列证明过程，总结此证明方法有何特点？已知 a， b0，求证： a(b2 c2) b(c2 a2)4 abc.证明：因为 b2 c22 bc， a0，所以 a(b2 c2)2 abc.又因为 c2 a22 ac， b0，所以 b(c2 a2)2 abc.因此 a(b2 c2) b(c2 a2)4 abc.答案 利用已知条件 a0， b0 和基本不等式，最后推导出所要证明的结论梳理 (1)直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种证明通常称为直接证明(
2、2)直接证明的一般形式Error!本题结论知识点二 分析法和综合法思考 阅读证明基本不等式的过程，试分析两种证明过程有何不同特点？已知 a， b0，求证： .a b2 ab证明：方法一 a， b0，( )20，a b( )2( )22 0，a b ab a b2 ，ab .a b2 ab方法二 要证 ，a b2 ab只需证 a b2 ，ab只需证 a b2 0，ab又 a， b0，只需证( )20，a b( )20 显然成立，原不等式成立a b答案 方法一从已知条件出发推出结论；方法二从结论出发，追溯导致结论成立的条件2梳理 综合法和分析法定义比较直接证明 定义 推证过程综合法从已知条件出发，
3、以已知的定义、公理、定理为依据，逐步下推，直到推出要证明的结论为止这种证明方法称为综合法已 知 条 件 结 论分析法从问题的结论出发，追溯导致结论成立的条件，逐步上溯，直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止这种证明方法称为分析法结 论 已 知 条 件1综合法是执果索因的逆推证法( )2综合法证明的依据是三段论( )3综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件( )4分析法与综合法证明同一个问题时，一般思路恰好相反，过程相逆( )类型一 综合法的应用例 1 在 ABC 中，三边 a， b， c 成等比数列求证： acos2 ccos2 b.C A 32考点 综合法及应用题点 利用综合法解
4、决不等式问题证明 因为 a， b， c 成等比数列，所以 b2 ac.因为左边 a1 cosC2 c1 cosA2 (a c) (acosC ccosA)12 12 (a c)12 12(aa2 b2 c22ab cb2 c2 a22bc ) (a c) b 12 12 ac b2 b b右边，b2 32所以 acos2 ccos2 b.C A 32反思与感悟 综合法证明问题的步骤3第一步：分析条件，选择方向仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题思路第二步：转化条件、组织过程，把题目的已知条件，转化成解题所需要的
5、语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的转化组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路第三步：适当调整，回顾反思解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，有些语言可做适当的修饰，反思总结解题方法的选取跟踪训练 1 已知 a， b， c 为不全相等的正实数求证： 3.b c aa c a bb a b cc考点 综合法及应用题点 利用综合法解决不等式问题证明 因为 b c aa c a bb a b cc 3，ba ab cb bc ac ca又 a， b， c 为不全相等的正实数，而 2， 2， 2，ba ab cb bc ac ca且上述三式等号不能同时成立，所以 3633，ba a
6、b cb bc ac ca即 3.b c aa c a bb a b cc类型二 分析法的应用例 2 已知 a， b， c 都为正实数，求证： .a2 b2 c23 a b c3考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 要证 ，a2 b2 c23 a b c3只需证 2，a2 b2 c23 (a b c3 )只需证 3(a2 b2 c2) a2 b2 c22 ab2 bc2 ca，只需证 2(a2 b2 c2)2 ab2 bc2 ca，只需证( a b)2( b c)2( c a)20，而这是显然成立的，所以 成立a2 b2 c23 a b c34反思与感悟 分析法格式与综合法正好相反
7、，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等)这种证明的方法关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的它的常见书写表达式是“要证只需”或“” 跟踪训练 2 已知非零向量 a， b，且 a b，求证： .|a| |b|a b| 2考点 分析法及应用题点 分析法解决不等式问题证明 a bab0，要证 ，|a| |b|a b| 2只需证| a| b| |a b|，2只需证| a|22| a|b| b|22( a22 ab b2)，只需证| a|22| a|b| b|22 a22 b2，只需证| a|2| b|22| a|
8、b|0，即证(| a| b|)20，上式显然成立，故原不等式得证类型三 分析法与综合法的综合应用例 3 已知 ABC 中， A B C126.求证： .ab a ba b c证明 要证 ，ab a ba b c只需证 a2 ab ac ab b2，即证 a(a c) b2.由正弦定理，只需证 sinA(sinAsin C)sin 2B. A B C126， A ， B ， C ， 9 29 69即 sin sin 2 ， 9(sin 9 sin69 ) 29即 sin sin 2 ， 9(sin 9 sin39 ) 29即 sin 2sin cos sin 2 ， 9 29 9 29即 2si
9、n cos sin ，显然成立 9 9 295 成立ab a ba b c反思与感悟 综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程跟踪训练 3 已知 a， b， c 是不全相等的正数，且 0abc，a b2 b c2 a c2由公式 0， 0， 0.a b2 ab b c2 bc a c2 ac又 a， b， c 是不全相等的正数， abc.a b2 b c2 a c2 a2b2c2即 abc 成立a b2 b c2 a c2log x log x log x b解析 alg2lg5lg101，
10、be xb.62设 02 a，x 2x ( x1) 0， cba.11 x 1 1 x21 x x21 x3已知 a， b， c 分别是 ABC 的内角 A， B， C 的对边，且 a2 b2 c2 ab，则角 C 的值为_考点 综合法及应用题点 利用综合法解决三角形问题答案 3解析 cos C ，a2 b2 c22ab ab2ab 120b0 时，才有 a2b2，只需证 22a2 2 22已知 x0， y0，且 1，则 xy 的最大值为_x3 y4答案 3解析 1 2 ，x3 y4 xy12 xy3 xy3，当且仅当 x ， y2 时等号成立323已知函数 f(x)lg ，若 f(a) b，
11、则 f( a)_.1 x1 x答案 b解析 函数 f(x)的定义域为 x|1 x1，且 f( x) f(x)，函数 f(x)为奇函数， f( a) f(a) b.4若 P ， Q (a0)，则 P 与 Q 的大小关系为_a a 7 a 3 a 4答案 P0， Q0， PB 是 sinAsinB 的_条件(填“充分不必要” “必要不充分” “充要” “既不充分又不必要”)答案 充要解析 由正弦定理知 2 R，又 A， B 为三角形的内角，asinA bsinBsin A0，sin B0，sin AsinB2RsinA2RsinBabAB.6设 nN，则 _ .(填“” “a b ，则实数 a，
12、b 应满足的条件是_a b b a答案 a0， b0 且 a b解析 a b a b a a b ba b b a a b a b9a( )b( )(a b)( )0a b a b a b( )( )20，a b a b故只需 a b，且 a， b 都不小于零即可9已知函数 f(x)2 x， a， b(0，) A f ， B f ， C f ，且 a b，(a b2 ) (ab) (2aba b)则 A， B， C 从小到大排列为_答案 C ，a b2 ab2aba b又 f(x)2 x在 R 上为增函数， ABC.10比较大小：设 a0， b0，则 lg(1 )_ lg(1 a)lg(1 b
13、)ab12答案 解析 (1 )2(1 a)(1 b)ab2 ( a b)0，ab(1 )2(1 a)(1 b)，ab则 lg(1 )2lg(1 a)(1 b)，ab即 lg(1 ) lg(1 a)lg(1 b)ab1211在 ABC 中， C60， a， b， c 分别为 A， B， C 的对边，则 _.ab c bc a答案 1解析 由余弦定理知， c2 a2 b22 abcosC， c2 a2 b2 ab， ，ab c ba c a2 ac b2 bcb ca c a2 b2 ac bcab ac bc c2将式代入式，得 1.ab c ba c二、解答题12已知 a0， b0 且 a b
14、1，求证： 2.a 12 b 12证明 要证 2，a 12 b 12只需证 a b 2 4，12 12 (a 12)(b 12)10又 a b1，即只需证明 1.(a 12)(b 12)而 (a 12)(b 12) (a12) (b 12)2 1 成立，1 12 122当且仅当 a b 时等号成立12所以 2 成立a 12 b 1213在 ABC 中，三个内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c，且 A， B， C 成等差数列，a， b， c 成等比数列，求证： ABC 为等边三角形证明 由 A， B， C 成等差数列，有 2B A C.由于 A， B， C 为 ABC 的三个内角，
15、所以 A B C.由，得 B . 3由 a， b， c 成等比数列，得 b2 ac，由余弦定理及，可得 b2 a2 c22 accosB a2 c2 ac，再由，得 a2 c2 ac ac，即( a c)20，从而 a c，所以 A C.由，得 A B C ， 3所以 ABC 为等边三角形三、探究与拓展14.如图所示，在直四棱柱 A1B1C1D1 ABCD 中，当底面四边形 ABCD 满足条件_时，有A1C B1D1(注：填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能的情形)11答案 AC BD(答案不唯一)解析 要证 A1C B1D1，只需证 B1D1垂直于 A1C 所在的平面 A1CC1，
16、因为该四棱柱为直四棱柱，所以 B1D1 CC1，故只需证 B1D1 A1C1即可即当 BD AC 时，有 A1C B1D1.15设数列 an的前 n 项和为 Sn，已知 a11， an1 n2 n ， nN *.2Snn 13 23(1)求 a2的值；(2)求数列 an的通项公式；(3)证明：对一切正整数 n，有 .1a1 1a2 1an 74考点 综合法及应用题点 利用综合法解决数列问题(1)解 当 n1 时， 2 a1 a2 1 2，2S11 13 23解得 a24.(2)解 2 Sn nan1 n3 n2 n，13 23当 n2 时，2 Sn1 ( n1) an (n1) 3( n1)
17、2 (n1)，13 23，得 2an nan1 ( n1) an n2 n，整理，得 nan1 ( n1) an n(n1)，即 1， 1，当 n1 时， an 1n 1 ann an 1n 1 ann a22211.a11所以数列 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，ann所以 n，即 an n2.ann所以数列 an的通项公式为 an n2， nN *.(3)证明 因为 (n2)，1an 1n2 1n 1n 1n 1 1n所以 1a1 1a2 1an 112 122 132 1n21 14 (12 13) (13 14) ( 1n 1 1n)121 .14 12 1n 74 1n 74
