1、13.1.1 数系的扩充和复数的概念学习目标 1.了解数系的扩充过程与引入复数的必要性.2.理解复数的有关概念及其代数形式.3.掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系及复数相等的充要条件.4.利用两个复数相等的充要条件解决实际问题知识点一 对虚数单位的理解在实数集中，有些方程是无解的，例如 x210，为此，人们引进一个新数 i，并且规定：(1)它的平方等于1，即 i21；(2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立知识点二 复数的概念与分类思考 为解决方程 x22 在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程 x210 在实数系中无根的问题呢
2、？答案 设想引入新数 i，使 i 是方程 x210 的根，即 ii1，方程 x210 有解，同时得到一些新数梳理 (1)复数定义：把集合 C a bi|a， bR中的数，即形如 a bi(a， bR)的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位 a 叫做复数的实部， b 叫做复数的虚部表示方法：复数通常用字母 z 表示，即 z a bi(a， bR)，这一表示形式叫做复数的代数形式(2)复数集定义：全体复数所成的集合叫做复数集表示：通常用大写字母 C 表示知识点三 两个复数相等的充要条件思考 由 42 能否推出 4i2i?答案 不能当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小
3、梳理 在复数集 C a bi|a， bR中任取两个数 a bi， c di (a， b， c， dR)，我们规定： a bi 与 c di 相等的充要条件是 a c 且 b d.知识点四 复数的分类2(1)复数( a bi， a， bR)Error!(2)集合表示：1若 a， b 为实数，则 z a bi 为虚数( )2复数 z bi 是纯虚数( )3若两个复数的实部的差和虚部的差都等于 0，那么这两个复数相等( )类型一 数系的扩充与复数的概念例 1 (1)在 2 ， i,0,85i，(1 )i,0.618 这几个数中，纯虚数的个数为( )727 3A0 B1C2 D3(2)给出下列四个命题
4、：若 zC，则 z20；2i1 的虚部是 2i；复数 34i 的实部与复数 43i 的虚部相等；若 aR，则( a1)i 是纯虚数其中真命题的个数为( )A0 B1C2 D3考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 (1)C (2)A解析 (1) i，(1 )i 为纯虚数；2 ，0,0.618 是实数；85i 是虚数27 3 7(2)对于，当 zR 时， z20 成立，否则不一定成立，如 zi， z210； z 的虚部为 i.A1 B2C3 D0考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 A解析 易知正确，错误，故选 A.2下列各数中，纯虚数的个数是( )2 ， i，i 2,5i8，i 21
5、3i,0.618 ai(aR)717A0 B1C2 D3考点 复数的概念题点 复数的概念及分类答案 C解析 由纯虚数的定义知， i，i 213i3i 是纯虚数173复数 z1sin2 icos ， z2cos i sin ( R)，若 z1 z2，则 等于( )3A k( kZ) B2 k (kZ) 36C2 k (kZ) D2 k (kZ) 2 6考点 复数相等题点 复数相等的条件答案 D解析 由复数相等的充要条件可知，Error!cos ，sin ，32 12 2 k， kZ，故选 D. 643i 27i 的实部为_，虚部为_考点 复数的概念题点 求复数的实部与虚部答案 3 7解析 3i
6、27i37i，实部为3，虚部为 7.5已知复数 z m( m21)i( mR)满足 z0 且 a b D a0考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 D解析 复数 z 为实数的充要条件是 a| a|0，即| a| a，得 a0，故选 D.86若复数( a23 a2)( a1)i 是纯虚数，则实数 a 的值为( )A1 B2C1 或 2 D1考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 B解析 因为复数( a23 a2)( a1)i 是纯虚数，所以Error! 解得 a2.7已知关于 x 的方程 x2( m2i) x22i0( mR)有实数根 n，且 z m ni，则复数 z等于( )
7、A3i B3iC3i D3i考点 复数相等题点 利用复数相等解决一元二次方程答案 B解析 由题意知 n2( m2i) n22i0，即Error! 解得Error! z3i.8若( x y)i x1( x， yR)，则 2x y的值为( )A. B2C0D112考点 复数相等题点 复数相等的条件答案 D解析 由复数相等的充要条件知，Error!解得 Error! x y0.2 x y2 01.二、填空题9若 43 a a2i a24 ai，则实数 a 的值为_考点 复数相等题点 复数相等的条件答案 4解析 易知Error!解得 a4.10已知实数 a， x， y 满足 a22 a2 xy( a
8、x y)i0，则点( x， y)的轨迹方程是_9考点 复数相等题点 复数相等的条件答案 ( x1) 2( y1) 22解析 由复数相等的充要条件知，Error!消去 a，得 x2 y22 x2 y0，即( x1) 2( y1)22.11设 mR， m2 m2( m21)i 是纯虚数，其中 i 是虚数单位，则 m_.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 2解析 由Error!解得 m2.10三、解答题12当实数 m 为何值时，复数 z ( m22 m)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数m2 m 6m考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数解 (1)当Error!即 m2 时，
9、复数 z 是实数(2)当 m22 m0 且 m0，即 m0 且 m2 时，复数 z 是虚数(3)当Error!即 m3 时，复数 z 是纯虚数13已知复数 z a21( a23 a2)i， aR.(1)若 z 是纯虚数，求 a 的值；(2)若 z 是虚数，且 z 的实部比虚部大，求 a 的取值范围考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数解 复数 z a21( a23 a2)i， aR.(1)若 z 是纯虚数，可得 a210， a23 a20，解得 a1.(2)若 z 是虚数，且 z 的实部比虚部大，可得 a21 a23 a20，解得 a1 或 a 且 a2.12所以 a 的取值范围为 (1,
10、2)(2，)( ，12)四、探究与拓展14已知 12log(m n)( m23 m)i1，且 mR， nN *，则 m n_.考点 复数的概念题点 由复数的分类求未知数答案 1 或 2解析 由题意得Error!由，得 m0 或 m3.当 m0 时，由 12log(m n)1，得 0n2， n1 或 n2.当 m3 时，由 12l(m n)1，得 0n32，113 n1，即 n 无正整数解 m， n 的值分别为 m0， n1 或 m0， n2.故 m n 的值为 1 或 2.15已知关于 x 的方程 x2(12i) x(3 mi)0 有实根，求实数 m 的值考点 复数相等题点 由复数相等解决一元二次方程问题解 设 a 为方程的一个实数根，则有 a2(12i) a(3 mi)0，即( a2 a3 m)(2 a1)i0.由复数相等的充要条件得Error!解得Error!故实数 m 的值为 .112
